MODEL MATEMATIKA WAKTU PENGOSONGAN TANGKI AIR

Transkripsi

1 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakltas MIPA, Universitas Negeri Yogakarta, 6 Mei 9 MODEL MATEMATIKA WAKTU PENGOSONGAN TANGKI AIR Irawati, Kntjoro Adji Sidarto. Gr SMA Neg. Lipnoto Kab.Bol Slawesi Tenga. Prodi Mateatika Institt Teknologi Bandng Abstrak Seba tangki diisi air dengan ketinggian tertent dan pada dasar tangki tersebt dibat lbang kecil, seingga air engalir elali lbang tersebt. Menrt k Torricelli, apabila tangki dikosongkan aka kecepatan kelar air akan berba secara kontin dipengari ole ketinggian air. Laana wakt ang dignakan ntk engosongkan tangki apabila diisi air dengan ketinggian tertent disebt wakt pengosongan. Wakt pengosongan jga dipengari ole bentk tangki. Tlisan ini ebaas tentang depletion ratio. Seandaina kecepatan kelar air adala tetap, aka depletion ratio adala perbandingan antara wakt pengosongan jika kecepatan kelar air berba dipengari ole ketinggian air dengan wakt pengosongan jika kecepatan air kelar tetap. Selanjtna jika diketai depletion rationa aka dapat ditentkan bentk geoetri tangki tersebt. Kata knci : k Torricelli, wakt pengosongan, depletion ratio. PENDAULUAN Seba tangki diisi dengan air sapai dengan ketinggian tertent. Pada dasar tangki tersebt dibat lbang kecil. Menrt k Torricelli kecepatan air ang kelar dari lbang dipengari ole ketinggian air. Kecepatan air ang kelar seakin laa seakin kecil, sesai dengan penrnan ketinggian air. Meskipn tanki epnai vole, tinggi dan las penapang salran kelar air ang saa, diperlkan wakt ang berbeda ntk engosongkan tangki. Dala sitasi tertent diperlkan bentk tangki ang eberikan wakt pengosongan inial. Groetsc (8) dala tlisanna ebaas tentang depletion ratio. Uraian dala tlisan ini dibatasi pada odel ateatika wakt pengosongan tangki air dan depletion ratio. Selanjtna jika depletion ratio tangki diketai aka dapat ditentkan bentk geoetri tangki tersebt. PEMBAASAN k Torricelli P i Gabar j P Seba tangki seperti pada gabar diberi lbang kecil dibagian bawana. Tangki tersebt diisi air sapai dengan ketinggian tertent. Misalkan i adala titik awal pada perkaan air, dan j adala titik pada lbang. enatakan ketinggian air dan erpakan ngsi dari wakt. Karena lbang sangat kecil aka kecepatan trnna air di i jga ckp kecil. Karena perkaan air di i dan di j langsng berbngan dengan dara lar, aka tekanan di titik i (P i ) dan tekanan dititik j (P j ) akan saa ait saa dengan tekanan dara lar (P ). Seingga Pi Pj P. Dengan M-97

2 Irawati & Kntjoro AS/Model Mateatika Wakt enggnakan persaaan Bernolli (Masse,989) diperole (gesekan antara air dengan tangki diabaikan) : Pi + vi + gi Pj + vj + gj Karena Pi Pj P dan v i, aka P + + gi P + vj + gj v g( ) Maka j i j Seingga vj g dengan i j Karena kecepatan di j bergantng nilai aka v j dapat diganti ole v ata secara ditlis v. Jadi, v v g Persaaan ini ditekan ole Evangelista Torricelli (68-67) pada tan 6, ang kedian poplar disebt sebagai k Torricelli. Model Mateatika Wakt Pengosongan Tangki dan Depletion ratio Peratikan gabar, isalkan adala tinggi tangki, positi, adala tinggi air pada saat t, dan A adala las penapang tangki. Jika dala selang wakt Δt, ketinggian air trn sebesar Δ, aka penrnan vole air selaa selang wakt Δt adala: V A. Penrnan vole air jga dapat ditentkan dari vole air ang kelar dari lbang selaa selang wakt Δt. Jika kecepatan air kelar dari lbang pada saat ketinggian air adala v dan a adala las lbang ang ada pada dasar tangki aka vole air ang kelar dari lbang selaa selang wakt Δt enjadi: V av.. t Peratikan krva dibawa ini: () Apabila krva pada gabar ait Gabar {(, ) : [, ]}, kontin pada [,] dan bernilai positi pada (,] diptar teradap sb vertikal aka diperole sat benda ptar. Dala bentk integral vole benda ptar ang terbentk dari krva pada gabar adala V π s ds Karena v g dan terjadi penrnan ketinggian perkaan air dala tangki, aka persaaan V av.. t enjadi: M-98

3 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakltas MIPA, Universitas Negeri Yogakarta, 6 Mei 9 π s ds a g t Jika Δt, diperole sat persaaan dierensial: Disederanakan enjadi Maka d ( ( s) ) ds a g dt π ( ) d π a g dt ( ( ) ) π dt a g Jika tangki diisi air sapai ketinggian, dengan wakt pengosongan T( ), aka d T dt T( ) T dan engingat bawa pada saat t, ketinggian air Dengan ensbtitsi persaaan () ke adala dan pada saat T( ), ketinggian air adala, aka diperole π ( ( ) ) T ( ) d a g Jika tangki dikosongkan aka ketinggian air akan enrn secara kontin, akibatna kecepatan air jga enrn. Ata dengan kata lain kecepatan air kelar seakin laa seakin kecil, sesai dengan penrnan ketinggian air. Seingga jika kecepatan kelar air adala tetap, diana kecepatan awal enjadi T berbentk a g, aka wakt pengosongan ( ( ) ) π d T ( ) a g Sekarang anggap kecepatan air kelar tetap, aka depletion ratio adala perbandingan wakt pengosongan apabila kecepatan kelar air berba teradap ketinggian dengan wakt pengosongan T( ) apabila kecepatan kelar air tetap. Seingga depletio ratio, T adala Misalkan ( ( ) ) d T( ) T ( ) ( ( ) ) d () s, s ata s, s, aka d s ds dan tlis g s s aka dari persaaan () diperole ( ) T T g s s ds s g s ds (3) M-99 ()

4 Irawati & Kntjoro AS/Model Mateatika Wakt Beberapa Siat Misalkan perbandingan wakt pengosongan jika aka k ( ) T T dinotasikan dengan k. Dari persaaan (3) g s ds s g s ds ntk > () Karena ngsi kontin pada [, ] dan positi pada ( ] dan positi pada (, ]. Ingat kebali bawa ngsi dikatakan oogen berderajat jika ( αs) α ( s) setiap α dan s, kssna ngsi konstan adala oogen berderajat. Siat : g oogen berderajat jika dan ana jika oogen berderajat Bkti: ( ),, ngsi g kontin pada,. Akan ditnjkkan jika g oogen berderajat aka berderajat Peratikan bawa g( α s) ( α s) Maka ( α s) g( α s) Karena g oogen berderajat diperole Ata oogen berderajat. ( α s) α g s α g s. α s α ( s) ( ) Akan ditnjkkan jika berderajat, aka g oogen berderajat. Karena g( α s) ( α s). ntk M-

5 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakltas MIPA, Universitas Negeri Yogakarta, 6 Mei 9 Dan berderajat, aka g( α s ) ( α ) ( s) ( α ) s α ( s ) α g s Ata g oogen berderajat. Selanjtna isalkan dipili variabel s w dengan. Maka ds dw, seingga dari persaaan () diperole Siat : k g w dw w g w dw Andaikan bawa k( ) konstan: k( ) k > pada, oogen berderajat dan oogen berderajat, sat nilai tertent, dengan ( k ) ( k ) Bkti: Dari persaaan () diperole Jika ditrnkan diperole Seingga Jadi k s g s ds g s ds d d k s g ( s) ds g ( s) ds d d, ( ) k g g s ds ( ) g s ds k g, ntk < < g g s ds ( k ) (5), akan ditnjkkan bawa g Karena g adala asil bagi da ngsi ang dapat ditrnkan, aka g jga eiliki trnan, ait :. M-

6 Irawati & Kntjoro AS/Model Mateatika Wakt g' ( ) ( ) ( ) g k k g s ds (( k ) ) Maka diperole Seingga g' ( ) ( ) ( )( ) ( k ) g k k k g ( k ) ( k ) ( k ). ( k ) g' g( ) Maka g' ( ) g( ) dengan Selanjtna akan dicari solsi dari g' ( ) g( ) Jika diintegralkan aka diperole ln g( ) ln + ln C Seingga g ( ) C ( k ) Jadi, diperole g ( ) C dengan dan C konstanta (positi). ( k ) Jadi, jika k() konstan aka g oogen berderajat dan enrt siat () ngsi oogen berderajat. Beberapa Bentk Tangki 9 Jika k,, aka 8 8, dan g( ) C 9 9 Seingga ( ) C ntk sat konstanta C, pili C. Dengan deikian tangki dengan k apabila digabar dala bentk benda ptar akan berbentk seperti tapak pada 9 gabar berikt: Jika k. aka M- Seingga ( ) ( (.) ) (.) g C C, dan C ntk sat Gabar konstanta C, pili C. Dengan deikian tangki dengan k. akan berbentk kerct terbalik. Seperti tapak pada gabar 3 berikt: ())

7 Prosiding Seinar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakltas MIPA, Universitas Negeri Yogakarta, 6 Mei 9 Jika k. Seingga aka ( ) ( ). 3. 3, dan 3 g C C 8 ntk sat konstanta C, pili C. Dengan deikian tangki dengan k. apabila digabar dala bentk benda ptar akan berbentk seperti tapak pada gabar 5 berikt: () Jika k aka ( ), dan g( ) C C C ( ) C. Dengan deikian tangki dengan k( ) Gabar 5 Seingga konstan, pili silinder. Seperti tapak pada gabar 6 berikt: akan berbentk ( k aka ( ) Jika 3. Seingga ( ) Gabar 6 6 g C, dan C ntk sat konstanta C, pili C. Dengan deikian tangki dengan k 3. berbentk kerct. Seperti tapak pada gabar 5 berikt: M-3 ())

8 Irawati & Kntjoro AS/Model Mateatika Wakt Dengan eanaatkan depletion ratio diperole bentk tangki ang berbeda-beda. Kecepatan wakt pengosongan tangki jga dapat diliat dari depletion ratio. Seakin besar depletion ratio aka seakin labat wakt pengosongan tangki. Sebagai conto tangki ang berbentk kerct terbalik depletion rationa lebi kecil daripada tangki ang berbentk silinder, berarti tangki ang berbentk kerct terbalik epnai wakt pengosongan lebi cepat daripada tangki ang berbentk silinder. KESIMPULAN Berdasarkan k Torricelli, kecepatan air kelar dari tangki dipengari ole ketinggian air dala tangki. Lebi tepatna kecepatan air kelar dari tangki berbanding lrs dengan akar dari ketinggian air dala tangki. Wakt pengosongan tangki dipengari ole ketinggian air dan bentk tangki. Tangki berbentk silinder jika depletion ratio, berbentk kerct terbalik jika depletion ratio.. Tangki ang berbentk kerct terbalik epnai wakt pengosongan lebi cepat daripada tangki ang berbentk silinder. DAFTAR PUSTAKA Groetsc, C.W. (8) : Te Depletion Ratio, Te College Mateatics Jornal, 39, 3 8. Masse, B.S. (989) : Mecanics o Flids, Capan and all, London. M-