INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Gaesha No. 0 Badug, 4032 Telp. (022) 2500834, 253427, Fax. (022) 2506452 Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id. Diberika pers. Maxwell berikut: () E = ρ (2) E = B ε 0 Pekerjaa Rumah-3 FI- 30 Gelombag (3) B = 0 (4) B = J + ε 0 E da persamaa kostitutif B = μh da D = εe. a. Turuka persamaa gelombag bagi E da H bilamaa tak ada sumber muata maupu sumber arus. b. Jika E(r, t) = E 0 exp(i [ωt kz]) adalah solusi gelombag bisag yag mejalar dalam arah-z, guaka persamaa Maxwell di atas utuk medapatka ugkapa bagi H(r, t), serta yataka amplitudo H 0 diyataka dalam E 0, μ da ε. (poit:20) Mulai dega pers Maxwell tapa sumber arus da sumber muata, ρ = 0 J = 0: SOLUTION () E = 0 (2) E = B (3) B = 0 (4) B = με E B Ambil curl pada (2) E = Pakai () da (4) : ( E) 2 B E = 2 E = με ( E ) Re-arrage, we obtai the wave equatio for the E field : 2 E με 2 E 2 = 0 E Selajutya mulai dega curl (4) : B = με Pakai (2) da (3): dega B = μh: ( B) 2 E B = με 2 B = με 2 B 2 2 B με 2 B 2 = 0 2 H με 2 H 2 = 0 b. Jika E(r, t) = E 0 exp(i [ωt kz]) maka B aka berbetuk serupa: B(r, t) = B 0 exp(i [ωt kz]) da H = B μ maka memakai (2)
jadi secara umum : (2) E = B {E 0 exp(i[ωt kz])} = B 0 exp(i [ωt kz]) exp(i[ωt kz]) E 0 = iω B 0 exp(i [ωt kz]) dega k = z k. Memakai hubuga kostitutif B = μh, maka i z k exp(i[ωt kz]) E 0 = iω B 0 exp(i [ωt kz]) i z k E 0 exp(i[ωt kz]) = iω B 0 exp(i [ωt kz]) z k E = ω B atau z k E 0 = ω B 0 k E = ω B H = k μω z E H = k μω z E 0 exp(i[ωt kz]) = H 0 exp(i[ωt kz]) H 0 = k μω z E 0 = μc z E 0 = ε μ z E 0 2. Gelombag datar EM di vakum diyataka oleh fugsi gelombag sbb: E(r, t) = i 0,02 cos([ωt + kz]) semua satua SI. Frekuesiya diberika oleh f = 0 8 hz da laju propagasiya c = 3x0 8 m/s. a. Apakah jeis polarisasiya da arah jalarya? (poit:4) b. Berapakah ω, k da λ? (poit:4) c. Carilah meda H terkait. (poit:4) d. Hituglah rapat eergi rata-rataya. (poit:4) e. Hituglah rapat arus eergi rata-rataya. (poit:4) a. Polarisasi liear, mejalar arah Z b. ω = 2πf = 2π 0 8 rad s k = ω 08 rad = 2π c c m = 2π rad 3 m λ = 2π k = 2πc 2π 0 8=c0 8 m = 3m c. Meda H diberika oleh = 6,28 0 8 rad s = 2,09 rad/m H = ε 0 k E H = ε 0 k i E = j ε 0 E = j ε 0 0,02 cos (2π 0 8 [t + x c ]) Amplitudo H 0 = (0,02) ε 0
d. Rapat eergi rata-rata : < u >= ε 0 < E E >= ε 0 E 0 2 < cos 2 (ωt kx) > = 2 ε 0E 0 2 = 2 ε 0(0,02 2 ) = 2x0 4 ε 0 J m 3 Atau bisa juga dihitug melalui: < B B > < u > = = μ H 2 0 < cos 2 (ωt kx) > = 0 2 (0,02 2 ) ( ε 0 ) = 2x0 4 ε 0 f. Rapat arus eergiya (karea tidak pakai represetasi komplek, jadi bisa lagsug memakai rumus berikut): J m 3 N =< (E H) > = < E 0 i j H 0 cos 2 (ωt kx) > = k E 0 H 0 < cos 2 (ωt kx) > = k 2 E 0H 0 N = k 2 ε 0 E 0 2 = k 2 (0,022 ) ε 0 = k 2x0 4 ε 0 watt m 2 Y k 3. Gelombag EM datar di medium (idek bias =) diyataka oleh : k E(r, t) = (E o k) exp(i [ωt k r]) datag ke bidag batas dega medium 2 (idek bias 2=,5) dega sudut datag θ = 30. Gelombag ii mejalar di bidag XY dega bidag batas medium da 2 adalah z=0. a. Tetuka apakah ii kasus TE, TM atau buka keduaya? (poit:4) b. Jika k da k 2 adalah bilaga gelombag patul da bias, turuka ugkapa bagi vektor k da k 2 diyataka dalam k (yaitu besar bilaga gelombag datag) da vektor satua i,j da k. (poit:4) 2 2 k 2 c. Hituglah koefisie refleksi (r) dari medium ke 2, da koefisie trasmisi t. (poit:4) d. Hituglah reflektasi R da trasmitasiya T. (poit:4) e. Pakailah hasil-hasil di atas utuk meuliska betuk meda E da E 2 yaitu gelombag patul da trasmisi diyataka dalam E 0, ω, t, k, x, y, z, da 2. (poit:4) X a. Lihat gambar. Karea arah polarisasi meda E tegak lurus bidag datag maka ii kasus TE. b. Utuk gelombag patul k = k, sehigga: k = k(i si θ + j cos θ ) = k(i si 30 + j cos 30 ) = k(0.5 i + 0.5 3j) = k(0.5i + 0.87j) Utuk gelombag trasmisi, memakai hukum sellius: siθ = 2 si θ 2 or siθ = si θ 2 si 30 = si θ 2.5 2 θ 2 = arcsi ( ) = 9.47 3 (atau si θ 2 = cos θ 3 2 = 2 2). Da vektor gelombag k 3 2 = ω = ω v 2 c 2 = k 2 =.5k k 2 = k 2 (i si θ 2 j cos θ 2 ) =.5k (i 3 j 2 3 2) = k (i 3 2 j 2) c. Koefisie refleksi TE (r )
Koefisie trasmisi (t) : r TE = cos θ 2 cos θ 2 cos 30.5 cos 9.47 3 2 2 = = cos θ + 2 cos θ 2 cos 30 +.5 cos 9.47 3 + 2 2 = 0.2404 t TE = 2 cos θ 2 cos 30 = cos θ + 2 cos θ 2 cos 30 +.5 cos 9.47 = 3 = 0.7596 2 3 + 2 Lihat bahwa t TE = + r TE 0.7596 = 0.2404 d. Reflektasi R TE = r 2 TE = ( 0.2404) 2 = 0.0578 Trasmitasi ditetuka dari R TE + T TE = T TE = 0.0578 = 0.9422 e. Gelombag patul: E (r, t) = (r TE E o k) exp(i [ωt k r]) = ( 0.2404E o k) exp(i [ωt k(0.5x + 0.87y)] ) Gelombag trasmisi: E 2 (r, t) = (t TE E o k) exp(i [ωt k 2 r]) = (0.7596E o k) exp(i [ωt k(.5x 2y )] ) 4.a Buktika bahwa + r TE = t TE berlaku utuk seluruh sudut datag θ (poit:0) b. Buktika bahwa r TM = t TM haya berlaku utuk sudut datag ormal θ = 0 (poit:0) a. Utuk kasus TE, Dari kotiutas syarat batas : E + E = E 2 Artiya : + E = E 2 + r E E TE = t TE dega memakai defiisi r TE da t TE. Hasil ii jelas tak bergatug sudut θ. b. Utuk kasus TM peerapa syarat batas kotiutas memberika: E cos θ E cos θ = E 2 cos θ 2 atau cos θ E E cos θ = E 2 E cos θ 2 cos θ r TM cos θ = t TM cos θ 2 Or r TM = t TM cos θ 2 cos θ Memakai hukum sellius maka θ = 0 da θ 2 = 0, sehigga utuk kasus ii : r TM = t TM. 5. Total iteral reflectio. Sebuah gelombag TM datag dari medium dega idek bias ke 2 (dega > 2) da sudut datag θ. Besar meda datag da trasmisi adalah : E (r, t) = E exp(i[ωt k r]) E 2 (r, t) = E 2 exp(i[ωt k 2 r]) Defiisik = 2 <, da bidag batas kedua medium adalah di z=0 da bidag datag XY. a. Carilah sudut kritis θ c yaitu sudut datag yag terkait dega sudut bias θ 2 = π rad (poit:5) 2
b. Misal sudut datagya θ > θ C, tujukka bahwa gelombag trasmisiya aka memiliki amplitudo megalami ateuasi sebesar e αy dega : α = k 2 ( si θ 2 ) da gelombag trasmisiya mejalar sepajag bidag batas (iilah gelombag evaescece).(poit:5) Aswer: Y k X 2 2 k 2 a.meurut hukum Sellius, sudut kritis ditetuka dari si θ = 2 si θ 2 dega θ 2 = π 2, sehigga si θ c = 2 si π 2 si θ c = 2 = atau θ c = arcsi (). Karea > 2 maka = 2/ <, jadi θ c sudut real. b. Misal vektor gelombag trasmisi k 2, atau secara eksplisit berarti : k 2 = k 2 (i si θ 2 i cos θ 2 ) (lihat gambar). atau k 2 = k 2 (i si θ 2 j si 2 θ 2 ). () Jika sudut datag > c maka si θ > si θ c =. Meurut hukum Sellius si θ = 2 si θ 2. Sehigga sudut bias 2 dihitug dari : si θ 2 = si θ >. (2) Akibatya sudut 2 kompleks, Tapi ilai siusya tetap bisa diperoleh! (lihat 2) : k 2 = k 2 (i si θ j ( si θ ) 2 ) Karea si θ > maka ilai di bawah akar egatif, jadi k2 adalah vektor gelombag kompleks! Jadi gelombag trasmisiya mejadi: E 2 (r, t) = E 2 exp i( ωt k 2 x si θ 2 k 2 y cos θ 2 ) E 2 (r, t) = E 2 exp i ( ωt k 2 [x si θ i y ( si θ 2 ) ]) Defiisika kostata α = k 2 ( si θ )2 yag berharga real, maka : E 2 (r, t) = E 2 e αy exp i (ωt k 2si θ x) Hal ii berarti gelombag trasmisi mejalar sepajag perbatasa (sejajar X) tetapi amplitudoya megalami ateuasi di arah tegak lurus perbatasa (Y). &&&&&&&&&&& NOV 207 &&&&&&&&&&&&