BAB II PEMBAHASAN. 1

Transkripsi

1 BAB II PEMBAHASAN A. Keadaa Makro da Keadaa Mikro Masalah utama yag dihadapi dalam mekaika statistic adalah meetuka sebara yag mugki dari partikel-partikel kedalam tigkattigkat eergi da keadaa-keadaa atau status eergi. Ricia sebara partikel ii sagat tergatug pada apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak terbedaka. Spesifikasi jumlah partikel kedalam tigkat-tigkat eergy dega tidak meghirauka apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak, yag disebut dega keadaa Makro (macrostate) dari suatu sistem. Setiap keadaa makro dapat dirici lagi mejadi kadaa-keadaa mikro, tergatug kepada apakah partikel-partikel itu terbedaka atau tidak. Jumlah kadaa mikro utuk setiap keadaa makro k, yag disebut dega Peluag Termodiamik yag disimbolka dega W K. Sedagka peluag termodiamika sistem adalah sjumlah semua peluag termodiamika tiaptiap keadaa makro, yag biasa dirumuska sebagai berikut: Ω = k w k Pada sistem klasik seperti molekul-molekul gas.massa sistem sagat besar sehiggapajag gelombag sagat kecil. Akibatya tidak terjadi tumpag tidih fugsigelombag sistem-sistem tersebut, sehigga secara prisip sistem-sistem tersebutdapat dibedaka. Massa utuk sistem sub atomik sagat kecil maka pajag gelombag cukup besar.pajag gelombag yag besar meyebabka fugsi gelombag dua sistem yagberdekata mejadi tumpag tidih. Kalau dua fugsi gelombag tumpag tidihmaka kita tidak dapat lagi membedaka dua sistem yag memiliki fugsi-fugsigelombag tersebut

2 B. Peluag Termodiamik Statistik Bose- Eiste Statistik bose-eiste mempuyai 2 ciri yag membedakaya dari statistic Maxwell- Bolzma da statistic Fermi-Direc yaitu : 1. Partikel- partikel dalam system idak dapat dibedaka atara yag satu dega yag laiya. 2. Jumlah partikel dalam suatu status tidak terbatas jumlahya. Berdasarka spesifikasi yag berbeda ii, maka jumalah keadaa mikro atau peluag termodiamik pada suatu keadaa makro pada statistic Bozt- Eiste ii tidak sama, baik dega statistic Fermi- Direc, maupu statistic Maxwell-Bolzma. Agar lebih mudah dipahami, kita lihat cotoh I bawah ii : Cotoh : Pada suatu tigkat eergi yag terdiri dari 3 buah status, terdapat 4 buah boso. Berapa cara yag mugki utuk medistribusika boso tersebut kedalam status-satus itu? Solusi : Jika status kita lukiska dega kotak, daa boso dega titik, sedagka satu kotak dapat diisi oleh lebih dari satu titik, maka diperoleh 15 cara utuk medistribusika ke 4 boso tersebut kedalam 3 status eergy. Seperti gambar berikut :

3 Cara yag diguaka dalam cotoh diatas, dapat diterapka jika bso da status diyataka dalam jumlah yag kecil. Jika jumlah boso cukup besar, tidaklah mugki utuk kita meghitugya satu persatu, apalagi melukiska kofigurasiya. Oleh sebab itu dicari formula yag berlaku secara umum, baik utuk jumlah boso sedikit, atau jumlah boso yag sagat besar. Sesuai dega ciri khas statistic Bose-Eiste, telah diperoleh peluag termodiamik yag meggambarka jumlah keadaa mikro utuk suatu keadaa makro tertetu, yag dapat ditulis : Wi = Nᵢ + gᵢ 1! gᵢ 1! N! Da berlaku utuk satu tigkat eergi ke i. jika system mempuyai lebih dari satu tigat eergy, masig-masig dega g i keadaa, maka peluag termodiamikya merupaka perkalia dari masig- masig peluag termodiamik pada setiap eergi. Agar lebih mudah dipahami kita lihat cotoh berikut : Cotoh : Suatu system terdiri dari 2 tigkat eergy, ɛ 1 dega 3 buah status, berisi 2 buah boso, sedagka ɛ 2 dega 2 buah status, berisi 4 buah boso. Keadaa mikro yag maakah yag mugki utuk system tersebut? Solusi : Utuk tigkat ɛ 1 diperoleh W₁ = 4! 2!2! = 6 Utuk tigkat ɛ₂ diperoleh W₂ = 5! 1!4! = 5

4 Keadaa makro yag mugki dapat diperoleh dega meggabugka tiap cara megisi tigkat pertama dega 5 cara megisi tigkat ke 2, sehigga diperoleh : 6 5 = 30 yag merupaka jumlah keadaa mikro. 2 Selajutya dapatlah disimpulka bahwa jika ada tigkat eergy, misalya ɛ₁, ɛ₂,, ɛ, masig-masig dega g₁, g₂,., g, a diisi oleh N₁, N₂,, N, maka jumlah keadaa mikro yag mugki utuk suatu keadaa makro adalah : W = W 1 W 2, W = Nᵢ + gᵢ 1! gᵢ 1! N! C. Fugsi Distribusi Bose-Eiste Sama halya dega statistik Maxwell Boltzma da Fermi Dirac, fugsi distribusi Bose Eistei dapat diperoleh pada saat peluag termodiamik berharga maksimu, dega syarat jumlah boso tetap, karea sistem terisolasi artiya : Ni = N da dn = dni=0 pers (1) Serta eergi dalam sistem (U) tetap, sehigga : U = Ni ԑi = 0 da du = ԑi dni = 0 pers (2) Peluag termodiamik aka berharga maksimum bila harga l W maksimum, yaki : L W = l П Ni+gi 1! gi 1!Ni! Atau L W = l N i + g i 1! l g i 1! + l N i! 2 Dra.Yulia Jamal,M.Si,dkk. Fisika Statistik. (Padag: UNP Press,2003) hal

5 Dega megguaka pedekata stirlig (L N! = N l N N) da megabaika agka 1, maka akhirya diperoleh: L W = N i + g i l N i + g i i =1(N i + g i ) g i l g i g i + N i l N i N i L W = N i + g i l N i + g i N i g i g i l g i g i + N i l N i N i i =1 L W = N i + g i l N i + g i N i g i g i l g i + g i N i l N i + N i L W = N i + g i l N i + g i g i l g i N i l N i L W = N i + g i l N i + g i g i lg i N i ln i Bila didiferesialka terhadap N i, maka : l w dn i = dn i N i + g i l N i + g i g i lg i N i ln i l w = dn l N i + g i 0 ln i i l W = l W = l N i + g i dn i ln i dn i dn i pers (3) l N i+g i N i Sama halya dega statistik Maxwell- Bolztma da Fermi Dirac, fugsi distribusi Bose- Eistei dapat diperoleh dari solusi persamaa (1), (2), da (3) dega megguaka metode peggali lagrage, sehigga dapat ditulis: d l W + α dn + β du = 0 Atau Ni +gi l dni + α dni + β εi dni = 0 Ni Selajutya diperoleh:

6 l Ni+gi Ni = - (α + β εi) Atau Ni = gi exp α+βεi 1 Sesuai dega persamaa distribusi Maxwell-Boltsma da Fermi- Dirad, Harga β = 1 kt. Sedagka harga kostata α agak sukar utuk diugkapka secara umum. jika e -a = A,maka fugsi distribusi Bose- Eiste dapat ditulis: syarat: Ni = A exp gi ε pers (4) KT 1 Pada prisipya, harga A dapat ditetuka dega megguaka N i = N Telah kita ketahui,bahwa jika jumlah keadaa persatua volume dalam ruaga fasa adalah B, maka jumlah keadaa keadaa dalam sistem tersebut dapat ditulis: g = B dt Dega demikia diperoleh jumlah keadaa yag mempuyai eergi atara ε da ε+ dε, yaitu: g (ε) dε = B dx dy dz dpx dpy dpz Harga B dapat ditetuka dega megguaka prisip ormalisasi da azas ketidakpastia Heiseberg, yaki: adalah: Da dihasilka: B = 1 0 x g ε dε 1, da h3 x p h Jadi jumlah keadaa yag mempuyai eergi aatara ε da ε + dε, h3 dx dy dz dp x dp y dp z pers (5)

7 dapat ditulis: Jika V = dx dy dz da dp x dp y dp z = 4 π p 2 dp, maka persamaa 5-8 h 3 v 4 π p2 dp pers (6) Dega megguaka hubuga ε = P2 2m Maka diperoleh: p 2 = ε2m P = ε2m h 3 v 4 π ε 2m m p dε 2p dp = 2m dε dp = 2m 2p dε P = (ε) 1/2 (2m) 1/2 dp = m p dε h 3 v 4 π ε 2m2 1 (ε)1/2 (2m )1/2 h 3 v 8 π (1/2)1/2 (m) 3/2 (ε) 1/2 dε h 3 v 8 π 1 2 (m)3/2 (ε) 1/2 dε dε h 3 v 8 π 1 2 x 2 2 (m)3/2 (ε) 1/2 dε h 3 v 8 π 2 2 (m)3/2 (ε) 1/2 dε h 3 v (2)2 (2) 1/2 π(m) 3/2 (ε) 1/2 dε h 3 v (2)1 (2) 3/2 π(m) 3/2 (ε) 1/2 dε h 3 v 2π (2m)3/2 (ε) 1/2 dε pers (7) Dega meggabugka persamaa (7) dega persamaa (4), diperoleh jumlah molekul yag mempuyai eergi atara ε da ε + dε, yaitu : dn(ε) = V h 3 2π 2m 3 A exp 2 ε 1 2 dε ε pers (8) KT 1 Dalam bayak hal, A exp ( ε ) 1, maka diguaka pedekata: KT dn(ε) = V 2π 2m h exp A ε KT dԑ pers (9) Bila kita perhatika persamaa (5-14),megigatka kita pada distribusi Maxwell-Boltzma jika diguaka syarat:

8 ε=0 dn ε = N Maka diperoleh: A= V (2π m k T) pers (10) N3h Dega megambil gas helium sebagai cotoh,pada tekaa 1 atm, da suhu 300 K, diperoleh A=3.10 5, sedagka utuk suhu 4 K, diperoleh harga A= 7, berarti bahwa pada suhu 4 K, pedekata diatas dapat diguaka,tapa kesalaha yag besar. 3 3 Dra. Yulia Jamal.M.Si,dkk. Op,cit. hal