BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial. b. Menjelaskan klasifikasi persamaan diferensial. c. Menjelaskan beberapa pengertian yang terkait misalnya tingkat persamaan diferensial, pangkat persamaan diferensial. 1.1 Pengertian Persamaan Diferensial Berikut akan dipelajari pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait di dalamnya. Definisi 1.1. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap variabel bebas. Contoh 1.1. berikut ini beberapa contoh persamaan diferensial: 1. xy 0, dengan derivatif dari variabel tak bebas y terrhadap variabel bebas x.. x xy 0, dengan terhadap variabel bebas x. dan derivatif dari variabel tak bebas y 1
3. 0, dengan dan masing-masing derivatif dari variabel tak bebas z terhadap variabel bebas x dan y. v v v 4. 0, dengan v v,, dan v masing-masing derivatif dari variabel tak bebas v terhadap variabel bebas x, y, dan z. Menurut banyaknya variabel bebas persamaan diferensial dibedakan menjadi yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan diferensial tersebut dapat dilihat dalam definisi berikut. Definisi 1.. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas. Contoh 1.. Persamaan xy 0 dan x xy 0 merupakan persamaan diferensial biasa, karena variabel tak bebas y hanya bergantung pada varia- bel bebas x. Definisi 1.3. Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap dua atau lebih variabel bebas. Contoh 1.3. Persamaan 0 merupakan persamaan diferensial parsial, karena variabel tak bebas z bergantung pada kedua variabel bebas y dan x. v v v Demikian juga persamaan 0, karena variabel tak bebas v bergantung pada tiga variabel bebas, yaitu x, y, dan z.
Selain pengelompokan tersebut, dikenal juga persamaan diferensial simultan (sistem persamaan diferensial). Pandang sistem persamaan diferensial berikut : dz y z 0 dt dt dz 3 y z t dt dt merupakan sistem persaman diferensial dengan y dan z merupakan variabel tidak bebas dan t variabel bebas. Berikut ini diberikan pengertian order dan derajat persamaan diferensial Definisi 1.4. Tingkat (order) persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari derivatif yang terdapat dalam persaman diferensial. Definisi 1.5. Derajat (degree) persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari derivatif tingkat tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial. Contoh 1.4. 1. 5 6y cos x 0, persamaan diferensial orde derajat 1.. 3 3y sin x 0, persamaan diferensial orde derajat 1. 3. 4 y 0, persamaan diferensial orde derajat 4. 4. 3 3y 0, persamaan diferensial orde 3 derajat. 3 Notasi y, y, y, y ( ),, y ( ) dapat digunakan untuk menyatakan berturut-turut derivatif pertama, kedua, ketiga, keempat,,, dan derivatif ke-n 3
dari variable tak bebas y terhadap suatu variable bebas. Sebagai contoh, persamaan dapat ditulis sebagai berikut: 3y 0 dan t t y sin t dt dt y ' ' ' 3y 0 dan t y' ' ty' y sin t. Definisi 1.6. Persamaan diferensial biasa linear orde n dengan variabel bebas x dan variabel tak bebas y adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a (x) d y + a (x) d y + + a (x) + a (x)y = b(x) Jadi, linear di sini adalah linear terhadap variable tak bebas dan derivativederivatifnya. Contoh 1.5. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial linear 1. x + x + y = 0. + + 4 6y = e Definisi 1.7. Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear. Contoh 1.6. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial nonlinear 1. x + x + y = 0. + + y 6y = 0 4
1. Membentuk Persamaan Diferensial Selanjutnya, bagaimana membentuk persamaan diferensial?. Persamaan diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang terdapat dalam suatu persamaan (kurva). Banyaknya konstanta sembarang menunjukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari. Contoh 1.5. 1. Diberikan persamaan garis y = mx + dengan m konstanta sembarang, tentukan persamaan diferensial dari persamaan garis tersebut!. Penyelesaian: Karena persamaan y = mx + mempunyai satu konstanta sebarang (m), maka order tertinggi dari derivatifnya adalah satu. Persamaan y = mx + diturunkan terhadap x diperoleh = m. Eliminasi m dari dua persamaan tersebut dipero- leh persamaan diferensial y x atau x y 0.. Tentukan persamaan diferensial dari y c1 cos x c sin x, dengan c1dan c sembarang konstanta! Penyelesaian: Karena persamaan y c1 cos x c sin x mempunyai dua konstanta sebarang (c 1 dan c ), maka order tertinggi dari derivatifnya adalah dua. Persamaan y c1 cos x c sin x diturunkan dua kali terhadap x diperoleh c1 sin x c cos x dan c1 x c sin x cos. Jadi, persamaan diferensial yan dicari adalah y 0. 1.3 Penyelesaian Persamaan Diferensial Kebalikan dari proses membentuk persamaan diferensial adalah menyelesaikan persamaan diferensial, yaitu mencari suatu fungsi yang dapat diturunkan 5
dan memenuhi persamaan diferensial tersebut. Pada Contoh 1.5 di atas, y = mx + dan y c1 cos x c sin x masing masing merupakan penyelesaian persamaan diferensial x y 0 dan y 0. Adapun macam macam penyelesaian adalah sebagai berikut: 1. Penyelesaian umum yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang memuat konstanta sebarang.. Penyelesaian khusus yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang diperoleh dari penyelesaian umum dengan memberi nilai tertentu pada konstanta sebarang. 3. Penyelesaian bersyarat yaitu penyelesaian khusus yang memenuhi syarat tertentu. 4. Penyelesaian singular yaitu suatu penyelesaian yang tidak dapat diperoleh dari penyelesaian umum dengan memanipulasi di sebarang konstanta. Contoh 1.6. 1. x y ce merupakan penyelesaian umum dari persamaan y = 0.. Jika pada contoh nomor 1 diambil c 1 = 4 maka x y 4e merupakan penyelesaian khusus persamaan y = 0. 3. x y e merupakan penyelesaian bersyarat persamaan y 0 dengan syarat y(0) = 1. 1 4. 48x 16y(x ) 3 0 merupakan penyelesaian singular dari persamaan 16x y x 0. Penyelesaian bersyarat merupakan penyelesaian dari suatu masalah nilai awal atau masalah syarat batas. Yang dimaksud dengan masalah nilai awal adalah 6
suatu persamaan diferensial yang disertai nilai awal di suatu titik tertentu, sedangkan masalah syarat batas adalah suatu persamaan diferensial yang disertai nilai tertentu di titik batas. Pembicaraan mengenai masalah nilai awal dan syarat batas akan dibahas lebih lanjut tidak dalam perkuliahan ini. Contoh 1.7. 1. Fungsi y 100 x, 10 x 10 merupakan penyelesaian masalah nilai awal : x ; y(6) 8. y. Fungsi y ( x 4) e merupakan penyelesaian masalah nilai awal : y xe ; y() 0. 3. Fungsi 5 x x y e 3e merupakan penyelesaian masalah nilai awal : 3 10 y 0; y(0) 5, y '(0) 4. Latihan 1. Tentukan order dan derajat persamaan diferensial berikut! a. + y = x b. + + xy = 0 c. + + x = 0 d. x + x + y = e e. + 3y = x + e. Tunjukkan bahwa fungsi f yang diberikan merupakan penyelesaian persamaan diferensial terkait! a. y = 0, y(t) = e b. + 3y = 0, y(t) = e 7
c. x y = x, y(x) = 3x + x d. x + 5x + 4y = 0, y(x) = x e. y ( ) + 4y + 3y = x, y(x) = 3. Selidiki apakah a. Persamaan x y 4 = 0 merupakan penyelesaian diferensial =. b. Fungsi f(x) = + e merupakan penyelesaian y = + e. c. Fungsi y = (x + 1)e merupakan penyelesaian + y = 0. d. Fungsi x = cos 3t + t cos t + sin t penyelesaian persamaan + 9x = t cos t. 8