BAB 5 Interpolasi dan Aproksimasi

Transkripsi

1 BAB 5 Interpolasi dan Aproksimasi Interpolasi merupakan proses penentuan dan pengevaluasian suatu fungsi yang grafiknya melalui sejumlah titik tertentu. Sebaliknya, pada aproksimasi grafik fungsi yang diperoleh tidak harus melalui. 5.1 Interpolasi Polinomial Fungsi polinomial berderajat n mempunyai bentuk Untuk n = 1, diperoleh fungsi linear. n = 2, diperoleh fungsi kuadratis. n = 3, diperoleh fungsi kubik. Bila diberikan dua buah titik (x 0,y 0 ) dan (x 1,y 1 ) dengan x 0 x 1, maka fungsi linear yang melalui kedua titik tersebut adalah Fungsi ini disebut fungsi interpotasi antara titik (x 0,y 0 ) dan (x 1,y 1 ). Secara umum, bila terdapat n+1 titik data (x 0,y 0 ), (x 1,y 1 ),..., (x n,y n ) dengan semua x i berbeda, maka fungsi interpolasinya adalah dengan 5.2 Interpotasi beda terbagi Newton Bila x 1, x 2 dan x 3 adalah empat bilangan yang berbeda, maka didefinisikan : beda terbagi orde satu (first order devided difference) adalah beda terbagi orde dua (second order devided difference) adalah Universitas Gadjah Mada 1

2 beda terbagi orde tiga (thirth order devided difference) adalah Andaikan P n (x) adalah polinomial yang menginterpolasi f(x i ) pada titik x i,untuk i = 0, 1, 2,..., n, yang berarti derajat P n (x) n dan P n (x i )=f(x i ), 1. = 0,1,...,n dengan menggunakan definisi beda terbagi, maka : Secara umum dikatakan sebagai rumus beda terbagi Newton : 5.3 Interpolasi Spline Cara paling sederhana melakukan interpolasi adalah dengan membuat segmensegmen garis yang menghubungkan titik-titik interpolasi. Cara ini disebut interpolasi linear sepotong-sepotong. Namun demikian hasil interpolasi ini tidak mulus. Interpolasi Spline menghendaki kurva yang diperoleh mempunyai pola seperti interpolasi linear dan kurva tersebut mulus. Untuk itu disyaratkan I. Derivatif ke satu dan derivatif ke dua dari fungsi interpolasi tersebut kontinyu. II. Harga derivatif ke satu tidak jauh berbeda antar titik interpolasi (Harga derivatif ke dua sekecil mungkin) Misal terdapat n buah titik interpolasi (x i, y i ),i=1,...,n, x 1 < x 2 <... < x n dan a = x 1, b = x n. Fungsi interpolasi spline pada titik-titik ini adalah s(x) yang mempunyai sifat : I. s(x) adalah polinomial berderajat 3 pada tiap interval [x j-1,x j ], untuk j=2,3,..., n II. s(x), s'(x) dan s (x) bersifat kontinyu untuk a x b III. s '(x 1 )=s '(x n )=0 Fungsi interpolasi spline interval x j-1 x x j berbentuk : dengan M i = s" (x i ) Universitas Gadjah Mada 2

3 Penyederhanaan fungsi tersebut menghasilkan sistem persamaan linear untuk j = 2,3,...,n-1. Disamping itu, M 1 = M n = 0. Sebagai contoh, akan ditentukan fungsi spline yang menginterpolasi data-data Dari titik-titik tersebut dihasilkan sistem persamaan linear : Selanjutnya diperoleh M 2 = ½ M 3 = 0 Dengan demikian fungsi interpolasinya adalah : 5.4. Pencocokan kurva dengan regresi linear Dalam pencocokan suatu fungsi pada data-data hasil pengukuran, semakin banyak data maka kecermatan kurva yang dicocokkan semakin tinggi. Pendekatan terbaik adalah meninjau fungsi dengan sedikit parameter bebas dan menentukan nilai parameter tersebut sedemikian rupa sehingga simpangan fungsi dari titik-titik data adalah sekecil mungkin. Fungsi linear didefinisikan sebagai dengan a dan b adalah konstanta yang akan ditentukan. Simpangan garis dari masing-masing titik data didefinisikan oleh dengan n adalah banyak titik data. Total kuadrat simpangan Universitas Gadjah Mada 3

4 Akan dicari a dan b sehingga D minimal. Nilai D akan minimal jika derivatif parsial D terhadap a dan b adalah nol. Setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh 5.5 Pencocokan kurva dengan polinom Suatu polinom berderajat m dituliskan sebagai Prinsip kuadrat terkecil pada regresi linear dapat digunakan pada pencocokan dengan kurva polinom ini. Supaya D minimum maka derivatif parsial D terhadap kofisien-koefisien a 0, a 1, a 2,..., a n haruslah sama dengan nol. Setelah dilakukan penyederhanaan-penyederhanaan, diperoleh Universitas Gadjah Mada 4

5 Umpan balik 1. Suatu alat memberikan respon terhadap masukan yang diberikan kepadanya sebagai berikut : input 0,5 1,0 2,0 output 0,47 9 0,84 1 0,90 9 Andaikan alat tersebut sebagai sebuah fungsi, gunakan interpolasi untuk menentukan fungsi tersebut. Selanjutnya perkirakan output jika diberikan input Bandingkan untuk berbagai macam interpolasi. I. Diberikan data-data sebagai berikut : x 0,0 0,2 0,4 0,7 0,9 1,0 y 1,016 0,768 0,648 0,401 0,272 0,193 entukan fungsi regresi potinom orde 2 untuk data-data tersebut. Selanjutnya gunakan untuk memperkirakan nilai y bila x = 0,5 Universitas Gadjah Mada 5