PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN

Transkripsi

1 PEMBAHASAN TRANSFORMASI KEBALIKAN.` Definisi Suatu transformasi yang didasarkan pada fungsi dengan dinamakan transformasi kebalikan. Secara geometric, transformasi akan memetakan titik-titik yang mendekati ke titik-titik di daerah yang jauh dari peta titik-titik sebelumnya. Dengan menuliskan dan dalam bentuk kutub, kita lihat bahwa jika maka diperoleh Bukti: Jadi, di bawah fungsi kebalikan suatu titik dengan modulus dan argument dipetakan menjadi suatu titik dengan modulus dan argument. Transformasi tersebut dapat digambarkan secara geometri dengan langkah-langkah sebagai berikut: Kasus I : berada di dalam lingkaran. Ambil suatu titik yang mempunyai modulus dan argument yang terletak di dalam lingkaran satuan. Lukis garis melalui yang tegak lurus pada sinar dari O dan melalui. 3. Dari titik-titik perpotongan dengan lingkaran satuan, lukis garis singgung yang berpotongan pada suatu titik pada.

2 4. Diperoleh dan. 5. Tentukan titik dimana dan. 6. Diperoleh. Kasus II : berada di garis pada lingkaran satuan untuk setiap, maka merupakan pencerminan titik terhadap sumbu Real. Ambil sebarang titik. Cerminkan pada sumbu Real

3 Kasus III : berada di luar lingkaran. Ambil sebarang titik. Tarik garis R melalui dan 3. Bagi garis R menjadi dua bagian sama panjang, beri nama titik tengah dengan A 4. Lukis lingkarang dengan pusat A dan berjari-jari OA yang akan memotong lingkaran satuan di dua titik. Beri nama B dan C 5. Tarik garis S yang melalui B dan C sehingga memotong garis R di titik 6. Diperoleh dan. 7. Tentukan titik dimana dan. 8. Diperoleh

4 . Contoh Soal. Kita akan melihat bayangan kurva dibawah pemetaan x. Dari penguraian Kita mempunyai u x x y y dan v x y x y z x y x y i w, perhatikan garis tegak z Kemudian karena setiap titik pada garis yang diberikan berbentuk z yi Kita mendapatkan bahwa u x y y dan v y Dengan menguadratkan dan menjumlahkan dua persamaan terakhir itu, kita memperoleh u v u Sehingga, diperoleh sebuah lingkaran w Setelah ditemukan gambar transformasi dari garis tersebut, kita akan menentukan daerah dari pada bidang Misalkan daerah di dalam lingkaran,

5 u v jadi, daerah di dalam lingkaran tersebut adalah pemetaan dari daerah Dengan cara yang hampir sama dapat ditunjukkan daerah di luar lingkaran adalah pemetaan dari daerah dan garis pada lingkaran merupakan pemetaan dari garis Seperti pada gambar di bawah ini: Bidang transformasi Bidang

6 Pernyataan: Di bawah transformasi kebalikan garis-garis dan lingkaran-lingkaran dipetakan ke garisgaris atau lingkaran-lingkaran. Bukti berdasarkan a) b) Persamaan mewakili suatu lingkaran atau suatu garis dan sebaliknya setiap garis atau lingkaran dapat diwakili oleh seuatu persamaan yang berbentuk seperti di atas. Misalkan diberikan suatu lingkaran atau suatu garis, misal konstanta dan. Maka:. Kemudian untuk Dari a) kita mempunyai,, Kemudian dengan membagi persamaan dengan diperoleh yang merupakan garis atau lingkaran pada bidang.. Perhatikan garis L : x y Dalam notasi persamaan di bawah K : a x y bx cy d, a, b, c, d. Jadi, w, L dipetakan menjadi garis atau lingkaran yang diberikan. Maka, L z dipetakan menjadikan lingkaran C u v u v :

7 Begitu pula, kita mendapatkan bahwa garis L : x y Dipetakan menjadi lingkaran C u v u v : Perhatikan bahwa: Dipetakan ke lingkaran Dipetakan ke lingkaran Karena untuk, dan untuk maka kedua garis tersebut berpotongan tegak lurus di. Sedangkan untuk dan untuk, serta Subtitusi sehingga diperoleh untuk dan maka kedua lingkaran tersebut berpotongan pada dan. Transformasi

8 .3 LATIHAN SOAL 3.3 Carilah bayangan masing-masing garis atau lingkaran berikut dibawah pemetaan kebalikan a) y b) yx c) x d) xy e) x y 4 f) x y 4 g) Sumbu nyata h) Sumbu khayal Jawab: a) y y a, b, c, d ( u v ) v u v v b) yx y x a, b, c, d u v u v u v u v

9 c) x x a, b, c, d u v u d) xy x y a, b, c, d u v u v u v u v u v u v e) x y x y y x y y a, b, c, d v v

10 f) x y 4 x x y y x y x y 4 a, b, c 4, d u v u v 4 u v u v 4 g) y a, b, c, d v v h) x a, b, c, d u

11 3.6 Carilah bayangan lingkaran z dibawah Jawab: z x iy x y x x y x y x a, b, c, d u w z Transformasi 3.8 Tunjukkan bahwa sembarang garis xc dipetakan menjadi lingkaran Jawab: xc w c c dibawah transfomasi kebalikan a, b, c, d c c u v u

12 u u u v c u v c 4c 4c u u v c 4c v c c w c c 3.9 Bahaslah bayangan garis mendatar di bawah pemetaan kebalikan dan turunkan persamaan bayangan itu, sama seperti terhadap soal 3.8 Jawab: Dari pembahasan di atas diperoleh bahwa sehingga