BAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pemba

Transkripsi

1 BAB 1 Konsep Dasar 1.1 Klasikasi Persamaan Difrensial Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan Persamaan Difrensial Parsial (PDP). Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam denisi berikut. Denisi Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas disebut Persamaan Difrensial. Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa (PDB) dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difrensial Parsial (PDP) Contoh Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan xy 1

2 BAB 1. KONSEP DASAR. d y ; 3x = d3 y ; y = 3 d y ; x = @u @z 5 6. d y = 7 y x Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada Persamaan Difrensial Biasa (PDB). Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat pada satu variabel bebas. Denisi 1.1. Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan dalam persamaan F (x y 0 y 00 : : : y (n) ) = 0. Denisi Linieritas dan Homogenitas PDB Order n dikatakan linier bila dapat dinyatakan dalam bentuk a 0 (x)y (n) a 1 (x)y (n;1) a n (x)y = F (x) dimana a 0 (x) 6= 0 Selanjutnya: 1. Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier. Bila koesien a 0 (x) a 1 (x) : : : a n (x) konstan dikatakan mempunyai koesien konstan bila tidak, dikatakan mempunyai koesien variabel. 3. Bila F (x) = 0 maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak, disebut nonhomogen.

3 BAB 1. KONSEP DASAR 3 1. Solusi PDB Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB. Denisi 1..1 Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut: F ; x y y 0 y 00 : : : y (n) ) = 0 (1.1) dimana F adalah fungsi real dengan (n ) argumen akan mempunyai solusi eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut: 1. Bila f adalah suatu fungsi dimana f C(I) dan f C n (I) untuk 8x I dan I adalah sebarang interval real, maka f dikatakan solusi eksplisit dari ; ; (1.1) jika F x f f 0 f 00 : : : f (n) ) C(I) dan F x f f 0 f 00 : : : f (n) ) = 0 untuk 8x I.. Sedangkan g(x y) = 0 disebut solusi implisit dari (1.1) jika fungsi g dapat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f C(I) untuk 8x I dan minimal satu merupakan solusi eksplisitnya. Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis solusi yaitu 1. Solusi umum,yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial, katakanlah C. Sebagai contoh, diketahui sutau PDB y 0 = 3y 1 maka solusi umunnya adalah y = ;1=3 Ce 3x.. Solusi khusus, yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB. Misal PDB itu y 0 = 3y 1 y(0) = 1 maka solusi khususnya adalah y = ;1=3 4 3 e3x.

4 BAB 1. KONSEP DASAR 4 3. Solusi singular, yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya. Contoh y = Cx C adalah solusi umum dari (y 0 ) xy 0 = y, namun demikian disisi lain PDB ini mempunyai solusi singular y = ; 1 4 x. 1.3 Metoda Penyelesaian Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari suatu PDB yaitu: 1. Metoda Analitik. Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi yaitu bentuk eksplisit dan implisit, yang dicari melalui teknik deduktif analogis dengan menggunakan konsep-konsep matematik. Kelebihannya dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup eksibel untuk masalah-masalah yang komplek. Dengan komputer dapat diselesaikan dengan software MATLAB atau MAPLE. Prosedur dalam MATLAB ditulis sebagai berikut: %Menggunakan fungsi dsolve dsolve('dy=3*y1, y(0)=1'). Metoda kualitatif. Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB. Dengan mengamati pola grak gradien "eld" (direction eld) maka dapat diestimasi solusi PDB itu. Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui, dan juga kurang

5 BAB 1. KONSEP DASAR 5 eksibel untuk kasus yang komplek. Dengan MATLAB direction eld dapat digambar sebagai berikut: %Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot %Misal akan diamati pola solusi dari PDB y 0 = 1 ; ty with(plots): eldplot([t 1 ; t y] t = ;1::4 y = ;1:: arrows = LIN E color = t) %Atau dengan menggunakan fungsi DEplot eq1:=di(y(t),t)=1-*t*y(t) DEplot(eq1,y(t),t=-1..4,y=-1..) Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini. Gambar 1.1: Diagram kekonvekan untuk D R Atau dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada dalam matematika untuk menggambar suatu fungsi, (lihat KALKULUS). 3. Metoda Numerik. Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda

6 BAB 1. KONSEP DASAR 6 yang sangat eksibel. Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkembangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang mudah sampai level yang komplek. Walaupun fungsi solusi tidak diketahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat divisualisir dalam grak sehingga dapat dianalisis dengan baik. Namun metoda ini berdasarkan pada prinsip-prinsip aproksimasi sehingga solusi yang dihasilkan adalah solusi hampiran (pendekatan). Sebagai konsukwensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang dengan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat. Salah satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan rumus y n1 = y n hf(t y), (lihat catatan Algoritma dan Pemerograman). Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan MATLAB programming. %Programming Untuk Menyelesaikan PDB %y 0 = y ; t 1 y(0) = 0:5 %Dengan menggunakan metoda Euler n=input('jumlah iterasi :') y(1)=0.5 t(1)=0 h=0. for i=:n fprintf('nn y(i) = 1: y(i ; 1) ; 0: t(i ; 1) 0: t(i) = t(1) (i ; 1) h end plot(t,y) hold on f = t: : t 1 ; 0:5: exp(t) plot(t,f,'o')

7 BAB 1. KONSEP DASAR Masalah Nilai Awal (MNA) Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengan y 0 = = f(x y) dimana f adalah kontinyu atas variabel x y pada domain D (dalam bidang xy). Misal (x 0 y 0 ) adalah titik pada D, maka masalah nilai awal yang berkenaan dengan dengan y 0 = f(x y) adalah masalah untuk menentukan solusi y yang memenuhi nilai awal y(x 0 ) = y 0. Dengan notasi umum sebabagai berikut: y 0 = f(x y) y(0) = y 0 (1.) Permasalahannya sekarang apakah solusi y(x) yang memenuhi y(x 0 ) = y 0 selalu ada (principle of existence), kalau benar apakah solusi itu tunggal (principle of uniqueness). Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting untuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun kualitatif. Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard. Denisi (Sarat Lipschitz) Suatu fungsi f(t y) dikatakan memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D R jika ada konstanta L > 0 sedemikian hingga jjf(t y 1 ) ; f(t y )jj Ljjy 1 ; y jj untuk sebarang (t y 1 ) (t y ) D. Selanjutnya konstanta L disebut sebagai konstanta Lipschitz.

8 BAB 1. KONSEP DASAR 8 Denisi 1.4. (Konvek) Suatu himpunan D R dikatakn konvek bila untuk sebarang (t y 1 ) (t y ) D maka titik ((1 ; )t 1 t (1 ; )y 1 y ) juga merupakan elemen dari D untuk [0 1]. Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut (t, y ) 1 1 (t, y ) (t, y ) 1 1 (t, y ) Konvek Tidak Konvek Gambar 1.: Diagram kekonvekan untuk D R Teorema Teorema Lipschitz. Andaikata f(t y) terdenisi dalam himpunan konvek D R dan ada konstanta L > 0 dimana df (t y) maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz. L untuk semua (t y) D (1.3) Teorema 1.4. Misal D = f(t y)ja t b ;1 y 1g dan f(t y) adalah fungsi kontinyu dalam D, kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam variabel y maka masalah nilai awal y 0 (t) = f(t y) a t b y(a) = mempunyai solusi tunggal y(t) untuk a t b. Contoh y 0 = 1 t sin(ty) 0 t y(0) = 0. Tentukan apakah persamaan ini mempunyai solusi tunggal.

9 BAB 1. KONSEP DASAR 9 Penyelesaian f(t y) = 1 t sin(ty), kemudian terapkan teorema nilai rata-rata pada KALKULUS yaitu untuk sebarang y 1 < y, maka ada bilangan (y 1 y ) sedmikian hingga f(t y ) ; f(t y 1 ) y ; y f(t ) = t cos(t): Kemudian f(t y ) ; f(t y 1 ) = (y ; y 1 )t cos(t) jjf(t y ) ; f(t y 1 )jj = jj(y ; y 1 )t cos(t)jj jjy ; y 1 jjjjt cos(t)jj jjy ; y 1 jjjj max t cos(t)jj 0t = 4jjy ; y 1 jj: Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjf(t y 1 );f(t y )jj Ljjy 1 ;y jj, dimana konstanta Lipschitznya adalah L = 4, berarti persamaan itu mempunyai solusi tunggal. Teorema Teorema Picard. Suatu masalah nilai awal y 0 = f(x y) y(x 0 ) = y 0 mempunyai solusi tunggal y = (x) pada interval jx;x 0 j, dimana adalah bilangan positif dan kecil sekali, bila 1. f C(D) dimana D adalah daerah pada bidang xy, yaitu D = f(x y) a < x < b c < y C(D) yang memuat nilai kondisi awal (x 0 y 0 )

10 BAB 1. KONSEP DASAR 10 Latihan Tutorial 1 1. Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan xy (b) d y ; 3x = 0 (d) d3 y ; y = 3 d y ; x = = 5 d y = 7 y x. Tentukan orde dan sifat-sifat kelinieran dari persamaan diferensial berikut ini xy xe x (b) d4 y 4 3 (c) d y ysinx = 0 (d) d6 u dt 6 5 d y 5y = 0 d u d 5 u dt dt 5 t = u (e) x y = 0 5 d (f) y xsiny = 0 (g) 4 d u = dt q d 5 u dt 5 t = u (h) d3 y dt 3 t dt (cos t)y = t (i) (1 s ) d y ds s y = ds es

11 BAB 1. KONSEP DASAR 11 (j) d4 y dt 4 (k) d 3 y dt 3 d y dt y = 0 d 3 y 3 xtan (xy) = 0 (l) d y dt (m) (1 t ) d y dt dt (cos (t ))y = t t dt tey = 0 (n) d5 y ds 5 cosec(s ; ) = siny 3. Ulangilah soal nomor, tentukan sifat kehomgenan dari masing-masing soal tersebut 4. Selidikilah apakah solusi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan diferensial berikut ini (a) y 00 y 0 ; 3y = 0 y 1 (t) = e ;3t y (t) = e t (b) ty 0 ; y = t y(t) = 3t t (c) y (4) 4y (3) 3y = t y 1 (t) = t 3 y (t) = e ;t t 3 (d) t y 00 3ty 0 ; y = 0 t > 0 y 1 (t) = t 1 y (t) = t ;1 (e) y 0 ; ty = 1 y(t) = e t R t 0 e;s ds e t 5. Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah nilai awal yang bersesuaian (a) y 0 = ;y y(0) = y(x) = e ;x (b) y 00 4y = 0 y(0) = 1 y 0 (0) = 0 y(x) = cos(x) (c) y 00 3y 0 y = 0 y(0) = 0 y 0 (0) = 1 y(x) = e ;x ; e ;x 6. Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lipschitz:

12 BAB 1. KONSEP DASAR 1 (a) f(t y) = y cos t 0 t 1 y(0) = 1 (b) f(t y) = 1 t sin y 0 t y(0) = 0 (c) f(t y) = t y t e 1 t y(1) = 0 (d) f(t y) = 4t3 y 1t 4 0 t 1 y(0) = 1 dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing-masing soal ini. 7. Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal pada interval yang memuat kondisi awal berikut (a) y 0 = ;1 ; y y(0) = 0 (b) y 0 = ; t ; y y(0) = 1 (c) y 0 = e ;t y y(1) = 3 (d) y 0 = ; y x y(0) = 1 8. Tentukan untuk titik-titik (x 0 y 0 ) yang mana PDB berikut ini memenuhi teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard. (a) y 0 = x y x;y (b) y 0 = (x ; y) 1 3 (c) y 0 = (1 ; x ; xy ) 3 (d) xy 0 = x y