BAB 4 PENANAISAAN RANKAIAN DENAN PERSAMAAN DIFERENSIA ORDE DUA ATAU EBIH TINI 4. Pendahuluan Persamaan-persamaan ferensial yang pergunakan pada penganalisaan yang lalu hanya erbaas pada persamaan-persamaan ferensial orde perama dengan koefisien konsana. Selanjunya akan bahas persamaan ferensial dengan baasan yang sama yaiu linierias dan koefisien konsan akan eapi dengan orde yang lebih inggi. Adapun prosedur maemaika berikan beriku ini ermasuk dalam meode penyelesaian klasik mana meode klasik ini memberikan pengerian-pengerian yang lebih mudah/baik mengenai penafsiran persamaan ferensial dan persyaraan suau penyelesaian. Pada umumnya persamaan ferensial homogen orde dua dengan koefisien konsan perlihakan sebagai beriku. d i a a i a (4.) Adapun penyelesaian persamaan ferensial ini harus berbenuk sedemikian rupa sehingga penyelesaian iu senri apabila urunkan perama dan kedua kalikan dengan suau koefisien konsan jumlahnya menja nol, hal ini mungkin erja kalau hasil penyelesaiannya berbenuk eksponensial yang misalkan dengan : sehingga : i() s K. (4.) dan : K.s. s (4.3) d i K.s. s (4.4) mana K dan s merupakan konsana yang nyaa, imajiner aau kompleks. Selanjunya apabila Persamaan (4.), (4.3) dan (4.4) subsiusikan ke dalam Persamaan (4.) akan peroleh : s s s a s K ask a K (4.5) 77
oleh karena harga s K idak akan pernah nol unuk harga yang erbaas/finie, maka Persamaan (4.5) dapa bua menja : adapun Persamaan (4.6) ini persyaraan agar a s as a (4.6) s K merupakan hasil penyelesaian, yang sebu juga dengan persamaan karakerisik aau auksiliari yang memiliki akar-akar : s a ;s a 4a a a a (4.7) oleh sebab iu erdapa dua benuk eksponensial dari penyelesaian persamaan ferensial homogen dari Persamaan (4.), yaiu : i i K s K s...(a)...(b) (4.8) karena i dan i masing-masing merupakan penyelesaian persamaan ferensial dari Persamaan (4.5), sehingga jumlah penyelesaian-penyelesaian ini adalah : i 3 = i + i (4.9) dengan demikian i 3 juga merupakan suau penyelesaian, mana hal ini dapa perlihakan dengan mensubsiusikan Persamaan (4.9) ke dalam Persamaan (4.5) yang hasilnya adalah : d (i i ) d(i i ) a a (i i ) a (4.) d i d i a a a i a a a i + = (4.) sehingga i 3 menyeakan penyelesaian dari Persamaan (4.5), maka secara umum dapa nyaakan penyelesaian Persamaan (4.5) ini adalah : i() s s K. K. (4.) Adapun harga-harga s dan s yang enukan dengan Persamaan (4.7) dapa merupakan bilangan nyaa, imajiner aaupun kompleks dan ini erganung dari harga-harga a, a dan a dari persamaan ferensial homogen ersebu. 78
4. Respons Rangkaian R Seri Dengan Inpu Uni Sep Perhaikan rangkaian bawah ini : ambar 4. Rangkaian seri R dengan inpu egangan searah dengan mengabaikan semua konsi awal, maka pada saa = saklar uup, sehingga dapa uliskan persamaan egangan pada rangkaian adalah : R.i bila deferensialkan sau kali maka peroleh : misalkan : sehingga : d i d d.s R. R. R. s d d d R.s i i i (4.3) (4.4) (4.5) (4.6) Persamaan (4.6) ini sebu sebagai persamaan karakerisik rangkaian aas. Adapun akar-akar persamaan karakerisik ini adalah : R s;s R 4 maka benuk umum penyelesaian dari persamaan ferensial : (4.7) i s s K. K. (4.8) 79
dalam hal ini ada iga kemungkinan, yaiu : 4. Bilamana : R > ( keadaan overdamped / eredam lebih) 4 R Dalam konsi ini besaran adalah posiif, sehingga akar-akar s dan s adalah nyaa. Unuk menenukan hraga K dan K dapa cari dari konsi awal yang keahui. Pada saa saklar uup ( = ), maka i (+) =. Hal ini sebabkan sifa dari dan i yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka pada =, bagian dari, oleh karena iu Persamaan (4.3) unuk =, adalah : () R. maka : () sehingga erliha erdapa dua konsi awal, yaiu : i (+) = dan hrga-harga ini subsiusikan ke dalam Persamaan (4.8) akan peroleh : i( ) K. s K. s () (4.9), dan jika K + K = (4.) karena Kemuan jika Persamaan (4.8) deferensialkan sau kali peroleh : () s K. s sk. s pada saa =, maka Persamaan (4.) menja : (4.) () sehingga dapa : s K. s s K. sk s K dari Persamaan (4.) dan (4.) akan peroleh : s (4.) K (s s ) K dan (s s) 8
dan jika harga-harga K dan K ini subsiusikan ke dalam Persamaan (4.4), maka 4 peroleh penyelesaian persamaan ini unuk konsi R > i (s s ) s s Kalau persamaan (4.3) ini gambarkan benuknya adalah : adalah : (4.3) K (s s ) K (s s ) K. s K. K. s s K. s ambar 4. Kurva arus pada rangkaian seri R dengan inpu sep pada konsi R > 4 ambar 4., menggambarkan sifa kurva yangmemperlihakan variasi s s K. dengan waku dan juga variasi arus oal K. K. s s K. dan dengan waku. 4. Bilamana : R = ( keadaan criical damped / eredam lebih) Pada konsi ini besaran R 4 menja nol, oleh karena iu akar persamaan karakerisik Persamaan (4.6) adalah nyaa dan sama, sehingga penyelesaian Persamaan (4) menja : i s (K K ) (4.4) kalau misalkan : K = (K + K ), maka persamaan aas berbenuk : s i K (4.5) 8
Hal ini belumlah benuk penyelesaian yang sempurna karena penyelesaian dari persamaan deferensial orde dua harus mengandung dua konsana yang berbeda, oleh karena iu Persamaan (4.5) harus mofikasi. Misalkan asumsikan penyelesaian Persamaan (4.5) berbenuk : mana y adalah besaran yang akan cari. s i y. (4.6) Subsiusikan Persamaan (4.6) ke dalam Persamaan (4.4) dengan suau keenuan bahwa y memenuhi persamaan ferensial : d y dan kemuan bila inegrasikan dua kali beruru-uru akan menghasilkan : y (4.7) K K (4.8) dan kalau Persamaan (4.8) ini subsiusikan ke Persamaan (4.6) peroleh : mana dalam hal ini : s R. s K s i K (4.9) Di dalam hal ini konsi awal juga sama dengan : i () () dan. peroleh : Apabila harga-harga ini subsiusikan ke Persamaan (4.9) akan i( ) K s K sehingga peroleh K =. dan jika harga K ini subsiusikan ke Persamaan (4.9) maka peroleh : i s K s (4.3) dan apabila Persamaan (4.3) deferensialkan sau kali maka dapa : dan selanjunya bila konsi awal Persamaan (4.3) ini akan peroleh : () s K s () K s s s.. (4.3), pada = subsiusikan ke s 8
sehingga peroleh K, dan apabila harga K ini subsiusikan ke Persamaan (4.3), maka peroleh persamaan arus yang mengalir pada rangkaian 4 unuk konsi R =, yaiu : dan kalau gambarkan kurvanya adalah : i.. s (4.3) i i.. s ambar 4.3 Kurva arus pada rangkaian seri R dengan inpu sep pada konsi R > 4 4 3. Bilamana : R < (keadaan underdamped / kurang eredam) Pada konsi ini besaran R 4 adalah negaif, oleh karena iu akar-akar persamaan karakerisik dari Persamaan (4.6) bilangan kompleks yang misalkan : mana : s s A jb...(a) A jb...(b) (4.33) R A dan B oleh karena iu Persamaan (4.8) menja : 4 R (4.34) karena : i i (A jb) (A jb) K K (4.35) A jb jb K K (4.36) 83
jb cosb j sin B maka Persamaan (4.36) menja : A dan jb cosb jsin B cosb j sin B K cosb jsin B i K (4.37) apabila konsi awal : i(+) =, unuk =, subsiusikan ke dalam Persamaan (4.37) maka akan peroleh : A. cos B. j sin B. K cos B. jsin B. i( ) K K + K = (4.38) Selanjunya ferensialkan Persamaan (4.37) sau kali dan kemuan subsiusikan () kedalamnya unuk = : A () A A kemuan subsiusikan konsi awal Persamaan (4.39) aas, maka peroleh : () AK cosb j sin B K cosb jsin B K B sin B j cosb K B sin B jcos B A A K A A K B () unuk = (4.39) ke dalam cos B. j sin B. K cos B. jsin B. sin B. j cos B. K B sin B. jcos B. A K K jbk K karena menuru Persamaan (4.38) : K + K =, maka : oleh karena iu peroleh : jbk (4.4) K dan K jb jb kemuan subsiusikan harga-harga K dan K ke dalam Persamaan (4.37) sehingga peroleh : i A jb cosb j sin B cosb jsin B jb 84
i A B sin B (4.4) apabila harga A dan B pada Persamaan (4.34) subsiusikan ke dalam Persamaan (4.4) aas, akan dapa : i 4 R R sin 4 R R. i.sin R 4 R. 4 (4.4) erliha bahwa dalam keadaan ini arus berosilasi, dan kalau bagian eksponensial R hilangakan, maka arus i murni sinusoidal dengan frekuensi resonansi (naural angular frequency). fn n n R 4 R 4 raan de ik siklus de ik (4.43) (4.44) kalau Persamaan (4.4) gambarkan : R 4 R 4 85
ambar 4.4 Kurva arus dari rangkaian seri R dengan inpu uni sep pada konsi R < 4 onoh : Saklar pada rangkaian bawah ini uup pada saa =, dengan mengabaikan semua konsi awal elemen rangkaian, carilah benuk persamaan arus i. Jawab : Bila saklar uup, persamaan egangan pada rangkaian adalah : kalau deferensialkan : R.i i V (a).i, R.i i (,).(. V i 6 ).i. 4 i, d i 4...i d d d 4.. d i (b) (c) d s misalkan :, maka Persamaan (c) menja : s.s. 4 i 4 s.s. adapun akar-akar persamaan karakerisik ini adalah : 86
dari rangkaian dapa liha : s s. 4(. 4. 4(. 4 ) ) 5,3 948,68 R.,. 6 dan (,).(.. 6 ) 5 ernyaa : R 4 aau R > adalah [liha Persamaan (4.3)] i K., sehingga benuk umum dari Persamaan (b) s K. s sehingga : 5,3.. K. 948,68. i K (d) karena konsi awal abaikan dan sifa yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka pada =, arus : i(+) = bila Persamaan (e) ini subsiusikan kedalam Persamaan (d) unuk =, peroleh : sehingga peroleh : i( ) K 5,3.. K. 948,68. (e) = K + K (f) dan demikian juga pada yang idak bisa berubah dengan sekeika, sehingga maka kalau harga-harga ini subsiusikan ke dalam Persamaan (a) akan peroleh : sehingga : () R.i( ) i V () V, i 87
() Amp / de selanjunya ferensialkan Persamaan (d) sau kali, maka : 5,3.K 5,3.. 948,68.K. 948,68. selanjunya subsiusikan Persamaan (g) ke dalam Persamaan (h) unuk =, maka : 5,3. 948,68. () 5,3.K. 948,68.K. maka dari Persamaan (h) dan (i) peroleh : (g) (h) 5,3.K 948,68. K (i) K = dan K = - Kemuan harga-harga K dan K ini subsiusikan ke dalam Persamaan (d) maka peroleh: i 5,3. 948,68.. Amp. inilah benuk persamaan arus yang mengalir pada rangkaian seelah saklar uup. onoh : Perhaikan rangkaian bawah ini : dengan mengabaikan konsi awal, pada saa = saklar uup. arilah benuk persamaan arus i pada rangkaian. Jawab : Adapun persamaan egangan pada rangkaian seelah saklar uup adalah : R.i i V (a) 88
R V.i i.i i ().(,4).i 5 i kalau deferensialkan sau kali : misalkan : d i. 5.i d d. d d d s, maka Persamaan (c) menja : 5 i s.s 5 i s.s 5 adapun akar-akar persamaan karakerisik ini adalah : (b) (c) s erliha bahwa : maka : 4(.5) R. R 5 s dan 5 dan 4(.5) 4 aau R = ().(,4) 5 sehingga benuk umum penyelesaian Persamaan (b),[liha Persamaan (4.3)] adalah : mana : R 5, sehingga : i K K 5 i K K (d) karena sifa yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka pada = arus : i(+) = selanjunya bila Persamaan (e) subiusikan ke dalam Persamaan (d) peroleh : (e) 5 89
5. i () K K. K = bilamana harga K = subiusikan ke dalama Persamaan (d), maka peroleh : i (f) 5.K (g) demikian juga dengan yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka egangan pada pada = + : i() (h) i() maka jika harga-harga i(+) = dan subsiusikan kedalam Persamaan (a) unuk =, dapa : () R.i( ) i() V aau dapa : () V bila Persamaan (d) deferensialkan sau kali, maka : kalau harga maka peroleh : () Amp / de () 5. 5 K Amp / de K. 5, subsiusikan ke dalam Persamaan (i) unuk =, 5. 5. () 5. K. K. maka peroleh K =, dan kalau harga ini subsiusikan ke dalam Persamaan (g), maka peroleh persamaan arus pada rangkaian seelah saklar uup adalah : (i) i. 5 Amp onoh : 9
Perhaikan rangkaian bawah ini : dengan mengabaikan semua konsi awal, carilah benuk persamaan arus i pada rangkaian seelah saklar uup pada saa =. Jawab : Adapun persamaan egangan pada rangkaian seelah saklar uup adalah : R.i i V (a) R.i i V deferensialkan sau kali : 5.i, (,).(5. i 6 ) 5.i. 5 i d i 5 5...i d d d 5 5.. i d, (b) (c) misalkan : d s, maka Persamaan (c) menja : 5 s 5.s. i s 5.s. adapun akar-akar persamaan karakerisik ini adalah : 5 9
dari rangkaian erliha : 5 5 5 4(. ) s 5 5 5 5 4(. ) s 5 j37,8 j37,8 R 5., 6.5 dan. 6 (,).(5. ) ernyaa : R 4 aau R < sehingga unuk mendapakan penyelesaian dari Persamaan (b) gunakan benuk Persamaan (4.39) dengan : dan : sehingga : misalkan : 5 R R 5., (,).(5. 5 6 ) 5., 37,8 cos37,8 j sin 37,8 K cos37,8 jsin 37,8 i K 5 i Maka Persamaan (d) menja : (K K )cos37,8 j(k K )sin 37,8 (d) K 3 = K + K dan K 4 = j (K + K ) 5 i 4 K 3 cos37,8 K sin 37,8 (e) konsi awal elemen abaikan dan karena sifa dari yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka pada =, arus : i(+) = demikian juga dengan yang sifanya idak dapa berubah dengan sekeika, sehingga i maka pada saa = +, dari Persamaan (a) dapa : (f) () R.i( ) i() V (g) 9
sehingga peroleh : () V, Amp / de dan apabila Persamaan (f) subsiusikan kedalam Persamaan (e) unuk =, peroleh : maka peroleh : 5. i () K 3 cos37,8. K 4 sin 37,8. K 3 = Kemuan ferensialkan Persamaan (e) sau kali : 5 5 37,8.K 5 3 sin 37,8 37,8 cos 37,8 5. K 3 cos 37,8 K 4 sin 37,8 ( 37,8.K 3 K 4 )sin 37,8 (37,8.K 4 K ) cos 37,8 kemuan subsiusikan Persamaan (h) ke Persamaan (i) unuk = : 5. () ( 37,8.K 3 K 4 )sin 37,8. (37,8.K 4 K 3 ) cos 37,8. sehingga : maka : = 37,8.K 4 K 4 37,8,7 kemuan harga-harga K 3 dan K 4 yang peroleh subsiusikan ke dalam Persamaan (e) sehingga dapa persamaan arus yang mengalir pada rangkaian seelah saklar uup adalah : 3 (h) (i) i,7. 5 sin 37,8 Amp. 4.3 Response Rangkaian Paralel R Dengan Sumber Searah Rangkaian bawah ini memperlihakan rangkaian paralel R dengan sumber arus searah dengan semua konsi awal elemen pasif abaikan dan pada saa = saklar pada rangkaian akan buka. 93
ambar 4.5 Rangkaian paralel R dengan sumber searah Bila saklar erbuka, maka menuru hukum arus Kirchhoff dapa uliskan : deferensialkan sau kali :.v v (4.45) d v d d v.v (4.46) (4.47) bilamana : d s, maka Persamaan (39) menja : s s.v (4.48) Persamaan (4.48) sering sebu sebagai persamaan karakerisik dari rangkaian pada ambar 4.5, dan persamaan ini dapa benuk menja : dengan akar-akar : (s - s ) (s s )v = (4.49) s s 4 4 misalkan : dan s 4, sehingga : ( ) dan ( ) s sehingga Persamaan (4.49) menja : s ( ) s ( ).v erliha bahwa harga β bisa poiif; nol dan imaginer / negaif, 94
Kemunkinan I : 4 Dari Persamaan (4.49) yang berbenuk : misalkan : maka Persamaan (4.49) menja: harga β adalah posiif mana s dan s nyaa. (s - s ) (s s )v = (s s )v = u (4.5) (s - s ) u = karena d s, maka : kalau inegralkan : du s.u du u n(u) u s s K' s K' K' s karena K ' K, maka : s u K (4.5) apabila Persamaan (4.5) ini subsiusikan kedalam Persamaan (4.5), maka dapa : karena d s, maka : (s - s )v K d - s s v K - s.v K s s kalau ruas kiri dan kanan persamaan ini kalikan dengan fakor inegrasi hasilnya: s s (s s ) - s.v. K s,maka (4.5) 95
karena : d(v. maka Persamaan (4.5) menja : kalau inegralkan : v. s s s ) s d(v. d(v. s (s s) ) K. s (s s ) ) K. (s K s s (ss ). ) K" (4.53) bilamana ruas kiri dan kanan Persamaan (4.53) kalikan dengan s, maka : K v.... K (s ". s ) K s s v. K" (s s ) kalau misalkan : s s (ss ) s s K maka Persamaan (4.54) menja : (s K s ) dan K = K (4.54) v s s K. K. (4.55) ini adalah benuk umum penyelesaian dari Persamaan (4.45) unuk konsi mana K dan K dapa enukan dari konsi awal rangkaian. 4, Apabila saklar buka pada saa =, maka : v(+) = (4.56) hal ini sebabkan egangan pada erminal kapasior idak dapa berubah dengan sekeika, demikian pula halnya dengan arus yang mengalir pada pada =, yaiu v, dengan demikian Persamaan (4.45) unuk = menja : sehingga peroleh : ().v() v() 96
() (4.57) Selanjunya apabila Persamaan (4.56) subiusikan ke dalam Persamaan (4.55) unuk = akan peroleh : v() K. s. K. selanjunya ferensialkan Persamaan (4.55) sau kali : s. K + K = (4.58) s.k. s sk. kemuan subsiusikan Persamaan (4.57) unuk = ke dalam persamaan aas, sehingga : sehingga peroleh : () s.k. s dari Persamaan (4.58) dan (4.59) peroleh : K (s s ) s s. sk. K s K s. K dan (s s ) (4.59) bilamana harga K dan K subsiusikan kedalam Persamaan (4.55), maka dapa benuk persamaan egangan v pada rangkaian ambar 4.5 bilamana saklar buka pada = adalah : v (s s ) s s (4.6) Persamaan (4.6) ini benuknya sama dengan Persamaan (4.8) unu rangkaian seri R mana bagian / ganikan dengan /, demikian juga kurva pada ambar 4., berlaku pada persamaan (4.6) hanya dengan mengganikan perpoongan kurva dengan / sumbu y ganikan dengan (s s ) seperi kurva beriku ini. 97
K K (s s ) (s s ) K. s K. K. s s K. s ambar 4.6 Kurva egangan pada rangkaian paralel R dengan inpu searah pada konsi 4 onoh : Perhaikan rangkaian ini : dengan mengabaikan semua konsi awal elemen pasif, maka pada = saklar buka, carilah benuk persamaan egangan v, dan berapa besar egangan v seelah saklar buka selama, deik. Jawab : Persamaan arus pada rangkaian seelah saklar buka adalah :.v v (a).v v / 7 / 7.v v bila deferensialkan sau kali, maka peroleh : 98
misalkan : d v 7 v d 7 d.v d s, maka : s 7s.v akar-akar persamaan ini adalah : selanjunya : s 7s 7 s 7 4.. 3 7 s 7 4.. 4 (7) 49 dan 4 4. (/) 4 maka :, sehingga benuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah Persamaan (47), yaiu : v s s K. K. (b) mana : s = -3 dan s = -4, sehingga Persamaan (b) menja : Apabila saklar buka pada =, maka : 3. K. 4 v K (c) v(+) = hal ini sebabkan oleh karena sifa dari idak dapa berubah dengan sekeika, demikian juga karena sifa dari yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka arus yang mengalir pada pada =, yaiu : (d) v (e) kalau Persamaan (d) dan (e) subsiusikan kedalam Persamaan (a) unuk =, maka : ().v() v() 99
() vol / de (f) Selanjunya apabila Persamaan (d) subiusikan ke dalam Persamaan (c) pada =, akan peroleh : 3. 4. v() K. K. K + K = (g) Kemuan bilamana Persamaan (c) ferensialkan sau kali, akan peroleh : 3.K 3. 4K. dan apabila Persamaan (f) subsiusikan ke dalam persamaan ini unuk =, maka : 3. 4. () 3.K. 4K. -3K - 4K = (h) dari Persamaan (g) dan (h) peroleh : K = dan K = - bilamana harga K dan K ini subsiusikan kedalam Persamaan (c), maka dapa benuk persamaan egangan v bilamana saklar buka pada = adalah : 3. 4 v vol sedangkan besar egangan v seelah saklar buka selama, deik adalah : 4 3.(,) 4(,),75 vol v(,de) Kemungkinan II : Adapun akar-akar : 4 mana β adalah nol dan s = s mana : s 4 dan dan s 4 4
akan eapi karena : 4 demikian Persamaan (4.49) menja : kalau misalkan : maka Persamaan (4.6) menja : karena : s s, maka : β =, sehingga :, dengan s s v (4.6) s v u (4.6) s u d s, maka persamaan aas menja : du u kalau inegralkan : K ' dan karena K, maka : du u du u n (u) u K' u K' u K dengan demikian Persamaan (4.6) menja : K' s v K (4.63) karena d s, maka Persamaan (4.63) menja : v K kalau kalikan dengan fakor inegrasi : karena : d(v. maka Persamaan (4.64) menja :, maka persamaan aas menja : v. ) K v. (4.64)
bila inegralkan : d(v. d(v. v. ) K ) K K K' bila kalikan dengan kalau misalkan :, maka : maka persamaan aas menja : v K.. K'. K = K dan K = K. K.. v K (4.65) mana, dan Persamaan (4.65) ini adalah benuk penyelesaian umum dari 4 Persamaan (4.45) unuk konsi, mana K dan K dapa cari dari konsi awal rangkaian. Adapun konsi awal dari rangkaian seperi pada Persamaan (4.56) yaiu : v( ) (4.66) dan Persamaan (4.57) yaiu : () (4.67) Selanjunya apabila Persamaan (4.66) subiusikan ke dalam Persamaan (4.65) unuk = akan peroleh :.. v() K. K.. Kemuan ferensialkan Persamaan (4.65) sau kali : K = (4.68)....K. K. K.. bilamana Persamaan (4.67) dan (4.68) subsiusikan kedalam persamaan aas unuk =, akan peroleh :
... ().K. K. K.. sehingga peroleh : K (4.69) selanjunya bilamana harga K dan K dari Persamaan (4.68) dan (4.69) subsiusikan kedalam Persamaan (4.65), maka peroleh persamaan egangan v pada rangkaian ambar 4.5, unuk konsi 4 sebagai beriku : dengan : v.. Adapun kurva dari Persamaan (4.7) ini adalah : (4.7) I v o.. ambar 4.7 Kurva arus pada rangkaian paralel R dengan inpu arus searah pada konsi 4 onoh : Perhaikan rangkaian beriku ini : dengan mengabaikan semua konsi awal dari elemen pasif, maka pada saa = saklar buka, carilah benuk persamaan egangan v dan berapa besar v seelah saklar erbuka selama, deik. 3
Jawab : Adapun persamaan arus pada rangkaian seelah saklar buka ialah :.v v (a).v v 4 / 6 / 9 6.v 9 v 4 bila deferensialkan sau kali, maka peroleh : misalkan : d v 6 9 v d 6 d 9.v d s, maka : s 6s 9.v akar-akar persamaan ini adalah : erliha bahwa : maka : s 6s 9 6 6 s 6 4..9 3 s 6 4..9 3 dan 4 Persamaan (4.65), yaiu : (6) 36 dan 4 4. (/ 9) 36, sehingga benuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah v K (6) 3 dengan., sehingga : Apabila saklar buka pada saa =, maka :. K.. 3. K.. 3 v K (b) v(+) = (c) 4
hal ini sebabkan karena sifa dari yang idak dapa berubah dengan sekeika, demikian juga halnya dengan yang idak dapa berubah dengan sekeika, maka arus yang mengalir pada pada = juga nol,sehingga : v (d) kalau Persamaan (d) dan (e) subsiusikan kedalam Persamaan (a) unuk =, maka dapa: ().v() v() () 4 4 vol / de Selanjunya apabila Persamaan (c) subiusikan ke dalam Persamaan (b) unuk =, maka peroleh : maka peroleh : v() K. 3. K = Selanjunya ferensialkan Persamaan (b) sau kali : K.. 4. 3 3 3 3.K. K. 3.K.. kemuan subsiusikan Persamaan (e) dan (f) ke dalam persamaan aas pada =, sehingga peroleh : (e) (f) maka peroleh : 3. 3. 3. () 3.K. K. 3K. 4 K = 4 (g) Subsiusikan harga-harga K dan K pada Persamaan (f) dan (g) ke dalam Persamaan (b), sehingga peroleh benuk persamaan egangan v pada rangkaian unuk konsi 4 adalah : 5
v 4.. 3. vol seelah saklar buka selama, deik, maka besar egangan V adalah : 3., v(,de) 4.(,).,96 vol Kemungkinan III : 4 harga β adalah negaif mana s dan s kompleks Dalam keadaan ini bilangan kompleks : 4, sedangkan s j dan j s, maka akar-akar merupakan selanjunya akar-akar ini subsiusikan ke dalam Persamaan (4.55) sehingga dapa : j j v K. K. menuru rumus Euler s bahwa : maka Persamaan (4.7) menja :. j. j v K. K.. j v K. K. j (4.7) j j cos j sin dan cos j sin menuru Persamaan (4.56) pada = : cos j sin K. cos j sin. v K. (4.7) selanjunya menuru Persamaan (4.57) pada = : v(+) = (4.73) () dan kalau harga ini subsiusikan kedalam Persamaan (4.7) unuk =, peroleh : cos. j sin. K. cos. j sin.. v() K. (4.74) 6
K + K = (4.75) Selanjunya ferensialkan Persamaan (4.7) sau kali :..K. cos j sin K. cos j sin K. sin jcos K. sin jcos (4.76) Selanjunya subsiusikan Persamaan (4.74) ke dalam Persamaan (7.76) unuk =, maka dapa : (). K.. K. cos. j sin. K. cos. j sin.. sin. jcos. K. sin. jcos. K K jk K kalau Persamaan (4.75) subsiusikan ke dalam Persamaan (4.77), akan peroleh : j dari Persamaan (4.75) dan (4.77) peroleh : dan : K K K j j selanjunya subsiusikan Persamaan (4.79) dan (4.8) kedalam Persamaan (4.7) akan peroleh : (4.77) (4.78) (4.79) (4.8) v.. j cos j sin. cos j sin j (4.8) v sin (4.8) maka peroleh persamaan egangan v pada rangkaian ambar 4.5, unuk konsi 4 4 mana, seandainya harga α dan β subiusikan ke dalam Persamaan (4.8), akan peroleh : 7
v v v v sin 4 4 4. 4 sin sin sin 4 4 4 4 (4.83) erliha v merupakan osilasi egangan berbenuk sinus yang ampliudonya idak konsan dan menurun secara eksponensial dengan konsana waku dengan frekuensi ayunan ( angular frequency ) : n 4 rad / de (4.84) kalau Persamaan (4.83) gambarkan kurvanya adalah :. 4. 4 ambar 4.8 Kurva egangan pada rangkaian paralel R dengan inpu arus searah pada konsi onoh : Perhaikan rangkaian bawah ini : 4 8
pada saa = saklar buka, carilah benuk persamaan egangan v pada rangkaian. Jawab : Adapun persamaan arus pada rangkaian seelah saklar buka ialah :.v v (a) bila Persamaan (a) deferensialkan sau kali, maka dapa : d v v dengan mensibusikan harga-harga, dan maka peroleh : d v.v (b) (c) misalkan : d s, maka Persamaan (c) menja : s s.v (d) s adapun akar-akar Persamaan (e) adalah : dari rangkaian erliha bahwa : s (e) s 4.. s 4.. j j,5 4 dan 4 4. 8,5 9
sehingga ernyaa bahwa 4, maka benuk umum penyelesaian Persamaan (a) adalah Persamaan (4.55) dengan mensubsiusikan harga-harga s dan s ke dalam Persamaan (4.55) ini akan peroleh : karena : maka : bila misalkan : maka : j j j v K. K v. j K. K. j j cos j sin dan cos j sin cos j sin K. cos j sin v K. K K.cos jk jk v.sin ( K K ) K 3 dan ( jk jk ) K 4 v 4 K3.cos K.sin (f) Karena egangan pada idak dapa berubah dengan sekeika, maka menuru Persamaan (4.56), maka v(+) =, dan demikian pula halnya arus pada idak dapa berubah dengan sekeika, maka v, selanjunya apabila harga ini subsiusikan ke dalam Persamaan (a) unuk =, maka peroleh : sehingga peroleh : ().v() v() () vol / de (g) Selanjunya bila harga v(+) = subiusikan ke dalam Persamaan (f) akan peroleh : v() K3.cos K4.sin
maka peroleh : K 3 = (h) apabila harga K 3 ini subsiusikan kedalam Persamaan (f), maka dapa : v.cos K 4.sin v 4.K.sin (i) bilamana persamaan (i) deferensialkan sau kali maka dapa :.K 4.sin.K 4.K 4 cos sin.cos (j) Apabila Persamaan (g) subsiusikan ke dalam Persamaan (j) unuk =, peroleh : sehingga peroleh : ().K 4 K 4 = cos sin (k) dan bilamana harga-harga K 3 dan K 4 subsiusikan kedalam Persamaan (f) maka peroleh benuk persamaan egangan v bilamana saklar buka pada saa = adalah : v sin
4.4 Soal aihan. Dengan mengabaikan semua konsi awal, maka carilah benuk persamaan arus i seelah saklar uup dan cari juga besar arus pada rangkaian seelah saklar uup selema, deik. Rangkaian bawah ini sudah dalam keadaan seady sae maka pada = saklar buka. arilah benuk persamaan v dan i seelah saklar buka. 3. Rangkaian bawah sudah mencapai keadaan seady sae, pada saa = saklar buka, carilah benuk persamaan v seelah saklar buka dan cari juga besar v seelah saklar buka selama, deik. 4. Perhaikan rangkaian bawah ini carilah persamaan v pada rangkaian bawah ini.
3