MASSA KLASIK SOLITON PERSAMAAN SCHRÖDINGER NONLINEAR

Transkripsi

1 Berkala Fisika ISSN : Vol. 14, No. 3, Juli 011, hal MASSA KLASIK SOLITON PERSAMAAN SCHRÖDINGER NONLINEAR T.B. Prayino Jurusan Fisika, Fakulas MIPA, Universias Negeri Jakara Jl. Pemuda Rawamangun No. 10 Jakara Timur [email protected] Absrac We have calculaed classical mass of solion of nonlinear Schrödinger equaion in he case of (1+1) space-ime dimension. The equaion describes he propagaion of elecromagneic wave in combinaion of dispersive-nonlinear medium. The propagaion iself will creae a sable elecromagneic pulse. The firs hing ha mus be done is o calculae analyical soluion of one solion of nonlinear Schrödinger equaion by ransforming wave funcion and coninuing by applying direc inegraion. The definiion of is classical mass is based on classical field heory by beginning he consrucion of Lagrangian densiy and coninuing Hamilonian densiy of ha nonlinear equaion. The Lagrangian densiy is obained by rial funcion relaing by Euler- Lagrange ha creaes appropriae nonlinear Schrödinger equaion. Keywords : Solion, Nonlinear Schrödinger. Absrak Pada makalah ini elah dihiung massa klasik solion persamaan Schrödinger nonlinear berdimensi ruang waku (1+1). Persamaan ersebu merupakan persamaan yang menggambarkan perambaan gelombang elekromagneik dalam kombinasi medium dispersif-nonlinear. Perambaan dalam kombinasi medium erebu akan menghasilkan sebuah pulsa gelombang elekromagneik yang sabil. Hal perama yang harus dilakukan adalah menghiung solusi analiik sau solion persamaan Schrödinger nonlinear melalui ransformasi fungsi gelombang, lalu dilanjukan dengan inegrasi langsung. Definisi massa klasik ini didasarkan pada eori medan klasik yang diawali melalui perumusan rapa Lagrangian, lalu dilanjukan dengan merumuskan rapa Hamilonian dari persamaan nonlinear ersebu. Rapa Lagrangian ersebu didapa melalui fungsi coba yang dikaikan dengan persamaan Euler-Lagrange yang naninya menghasilkan persamaan Schrödinger nonlinear ersebu. Kaa Kunci : Solion, Schrödinger Nonlinear. Pendahuluan Solion merupakan sebuah gelombang nonlinear yang sabil dan mempunyai energi berhingga [1]. Gelombang ini pada umumnya ercipa apabila sebuah gelombang meramba pada medium dispersif dan nonlinear. Menuru eori gelombang klasik, medium dispersif akan membua ampliudo gelombang yang meramba pada medium ersebu melemah dan akhirnya menghilang. Sebaliknya, sebuah pulsa gelombang yang meramba pada medium nonlinear akan membua ampliudo gelombang ersebu membesar dan pada suau saa juga akan menghilang. Apabila kedua medium ersebu disaukan maka kedua sifa yang berlawanan dari kedua medium ersebu akan mencipakan sebuah gelombang sabil. Hal ini menjadi konsep menarik apabila dikaikan dengan dualisme parikel-gelombang. Menuru eori kuanum, sifa gelombang yang harus dipenuhi agar dapa merepresenasikan parikel adalah memenuhi sifa erlokalisasi sehingga dapa dihiung energinya. Melalui konsep ersebu, solion menjadi model maemaika yang menarik unuk merepresenasikan sifa parikel karena sifa kesabilannya. Sifa ersebu menganarkan kia kepada definisi massa solion yang dapa dirumuskan 75

2 T.B. Prayino Massa Klasik Solion Persamaan melalui eori medan klasik (Massa solion ini biasanya sering disebu massa klasik solion) [1]. Ada perbedaan pendapa dalam mendefiniskan solion karena adanya suau alasan fisis. Di salah sau referensi, solion adalah solusi sau gelombang (solusi sau solion) dari persamaan gelombang nonlinear yang dapa dihiung energinya dan massa klasiknya []. Pada referensi yang lain, solion merupakan solusi banyak gelombang (solusi mulisolion) dari persamaan gelombang nonlinear sedangkan solusi sau solion ersebu dinamakan solusi soliary wave [3]. Alasan yang dikemukakan oleh referensi ersebu dikarenakan umbukan anar solusi sau solion idak mencerminkan sifa parikel walaupun massa klasiknya dapa dihiung, eapi sifa parikel dapa diperlihakan melalui umbukan anar solusi mulisolion. Namun demikian, kedua pendapa ersebu dapa digunakan. Solusi sau solion mempunyai syara keberhinggan pada limi ( ± ) yang dapa diuliskan secara maemais lim ψ (, ) = berhingga ± Dalam makalah ini akan dikaji salah sau persamaan gelombang nonlinear, yaiu persamaan Schrödinger nonlinear (NLS) berdimensi ruang waku (1+1). Persamaan ini adalah persamaan gelombang elekromagneik yang meramba dalam medium dispersif-nonlinear. Beberapa modifikasi dapa diliha juga dalam referensi [4]. Tujuan akhir dari makalah ini adalah menghiung massa klasik solion persamaan NLS. Susunan dari makalah ini adalah sebagai beriku, benuk umum persamaan NLS dan solusi sau solion akan dikaji pada bab, perumusan dan perhiungan massa klasik solion akan dibahas pada bab 3. Seluruh kesimpulan hasil akhir akan diuraikan pada bab 4. Teori Dasar Pada umumnya solusi solion dapa dicari melalui berbagai cara. Cara yang paling sering dicoba adalah melakukan inegrasi langsung walaupun secara umum hal ersebu idak mudah dilakukan. Pada bab ini kia mengkaji solusi sau solion persamaan Schrödinger nonlinear dengan dimensi ruang waku (1+1) melalui inegrasi langsung. Benuk umum persamaan Schrödinger nonlinear yang menggambarkan perambaan gelombang elekromagneik dalam kombinasi medium dispersif-nonlinear dapa diuliskan ψ α ψ i + + γ ψ ψ = 0 (1) dengan α adalah koefisien dispersi kecepaan grup dan γ menyaakan indeks bias nonlinear. Benuk persamaan (1) berganung dari referensi yang digunakan, sebagai conoh dapa diliha pada [3-6]. Solusi sasioner didapa melalui pemisahan variabel dari fungsi gelombang ψ (, ) = χ( ) ep( it ( )). () Dengan mensubsiusikan solusi coba () ke persamaan (1) akan didapa dua persamaan dengan variabel yang erpisah dt α d χ = + γχ. (3) d χ d Agar mempunyai solusi, kedua persamaan di ruas kiri dan kanannya haruslah bernilai konsan. Unuk persamaan ruas kiri dt = K, ( K = konsana) (4) d Solusi khusus dari (4) adalah T ( ) = K. (5) Melalui subsiusi (4) ke persamaan (3), kia mendapakan persamaan lainnya yang mempunyai benuk d χ γ 3 = K χ χ. (6) d α α Unuk mencari solusi (6), perama-ama kia mengalikan kedua ruas dengan d χ / d sehingga melalui aljabar maemaika akan didapa benuk 76

3 Berkala Fisika ISSN : Vol. 14, No. 3, Juli 011, hal d 1 dχ d K γ 4 = χ χ d d d α α (7) Inegrasi langsung dapa dilakukan dengan mengubah benuk (7) menjadi α dχ d = (8) K γ χ 1 χ K Solusi pada (8) dapa dicari melalui banuan sofware Mahemaica aau menggunakan inegral subsiusi. Unuk menerapkan meode inegral subsiusi, kia melakukan ransformasi fungsi K χ = sec h( y). (9) γ Dengan melakukan subsiusi (9) ke (8), maka akan didapa benuk inegral α = dy K α = y. (10) K Dengan demikian, solusi unuk fungsi χ dapa diulis K α χ ( ) = sec h (11) γ K Solusi sau solion sasioner persamaan Schrödinger nonlinear didapa dengan mensubsiusikan persamaan (5) dan (11) ke persamaan (), didapa K α ψ (, ) = sec h ep( ik) γ K (1) Di bawah ini adalah profil dari solusi gelombang nonlinear ersebu dengan mengambil α = γ = K = 1 pada saa = Apabila diperhaikan, solusi pada persamaan (1) mempunyai karakerisik beriku lim ψ (, ) = 0 lim ψ (, ) = 0 Hasil dan Pembahasan Pada ahap beriku ini akan dihiung massa klasik solion persamaan NLS berdasarkan solusi yang elah didapa. Hal perama adalah menenukan rapa Lagrangian bagi persamaan NLS ersebu. Kia meninjau dahulu fungsi rapa Lagrangian ansaz yang dapa diuliskan L( ψ, ψ, ψ, ψ, ψ, ψ ), dengan ψ = ψ / dan ψ = ψ /. Dengan mensyarakan variasi rapa Lagrangian, δ L = 0, kia mendapakan dua persamaan Euler- Lagrange yang saling bebas ψ d d ψ d d = 0, ψ (13) d = 0 d ψ d ψ d ψ (14) Supaya menghasilkan persamaan NLS (1), kia memilih persamaan (14). Selanjunya kia meninjau rapa Lagrangian ansaz beriku L = Aψψ + Bψ ψ + Cψ + Dψ (15) dengan A, B, C, dan D adalah konsana yang harus dienukan agar sesuai dengan persamaan NLS (1). Dengan melakukan subsiusi (15) ke persamaan 4 77

4 T.B. Prayino Massa Klasik Solion Persamaan (14), kia mendapakan rapa Lagrangian NLS i α γ L = ( ψ ψ ψψ ) ψ + ψ (16) Selain iu, rapa Hamilonian dalam eori medan klasik dapa diuliskan H = ψ p + ψ p L (17) dengan momenum konjuga p = / ψ. Dengan mensubsiusikan seluruh besaran yang didapa, maka rapa Hamilonian unuk NLS mempunyai benuk 1 4 H = ( α ψ γ ψ ). (18) Massa klasik solion NLS didapa melalui rumus [1] m = H = 1 ( d 4 α ψ γ ψ )d. (19) Apabila solusi persamaan NLS (1) ke (19), lalu dihiung maka akan didapa massa klasik solion NLS ( 8K K m = α ). (0) 3γ α Menginga bahwa massa klasik yang menggambarkan parikel haruslah posiif m > 0, maka menuru persamaan (0) harus erdapa baasan α > ± K. (1) Kesimpulan Pada makalah ini elah diformulasikan solusi sau solion unuk persamaan persamaan NLS dengan dimensi ruang waku (1+1). Solusi ini didapa melalui pemisahan variabel, lalu dilanjukan dengan inegrasi langsung. Di samping iu, elah dirumuskan pula rapa Lagrangian dan rapa Hamilonian unuk persamaan NLS. Perumusan kedua fungsi ersebu mempunyai konvensi ersendiri berdasarkan referensi, seperi pada [7]. Kedua fungsi 4 ersebu didapakan melalui rapa Lagrangian ansaz yang sesuai dengan persamaan NLS yang sesuai apabila disubsiusikan ke persamaan Euler- Lagrange. Seelah iu, melalui dua perumusan di aas dapa dihiung massa klasik solion. Perhiungan massa klasik ini berdasarkan definisi massa pada eori medan klasik yang merupakan inegral dari rapa Hamilonian erhadap seluruh ruang. Selain iu, elah diunjukkan pula bahwa erdapa baasan yang harus dipenuhi oleh konsana-konsana yang erdapa dalam solusi sau solion NLS supaya massa klasik solion bernilai posiif. Ucapan Terima Kasih Saya mengucapkan erima kasih pada semua dosen fisika eruama Sawiko Sidopekso, PhD aas moivasinya. Selain iu, rasa erima kasih diucapkan juga kepada Sina Laifah, Ika Firiasih, dan Alhidayauddiniyah sebagai eman diskusi. Dafar Pusaka [1] Wospakrik H. J, Solion and Paricle, J. Theor. Compu. Sud. Vol. 4, 0308, 005. [] Rajaraman R., Solions and Insanons, Elsevier Science Publishers B. V, Amserdam, Neherlands, [3] Drazin P. G. and Johnson R. S, Solions : an Inroducion, Cambridge Universiy Press, New York, USA, 00. [4] Leble S. and Reichel B., Coupled Nonlinear Schrödinger Equaions in Opics Fiber Theory, Eur. Phys. J. Special Topics. Vol. 173, 5-55, 009. [5] Sco A. C, Chu F. Y. F, and Mclaughlin D. W, The Solion : A New Concep in Applied Science, Proc. IEEE. Vol. 61. No. 10, ,

5 Berkala Fisika ISSN : Vol. 14, No. 3, Juli 011, hal [6] Agrawal G. P, Applicaions of Nonlinear Fiber Opics, Elsevier Inc., California, USA, 008. [7] Biswas A. and Konar S. Inroducion o non-kerr Law Opical Solions, Taylor & Francis Group, New York, USA,

6 T.B. Prayino Massa Klasik Solion Persamaan 80