Slide : Tri Harsono Politeknik Elektronika Negeri Surabaya ITS Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS

Transkripsi

1 Persamaan Differensial Biasa Orde Slide : Tri Harsono Polieknik Elekronika Negeri Surabaya ITS Polieknik Elekronika Negeri Surabaya PENS - ITS 1

2 1. PD Linier Homogin Dengan Koefisien Benuk Umum: Konsan Orde d y dy a a1 a0 y x Terhadap ruas kanan fungsi inpu: Bila x 0 PD Homogin Bila x 0 PD Non Homogin a 0, a 1, a koefisien konsan variabel bebas

3 1. PD Linier Homogin Dengan Koefisien Konsan Orde PD Linier Homogin Dengan Koefisien Konsan dy dy a a1 a0 y 0 Bgm Penyelesaian Umum PUPD? 3 Dapa diselesaikan dengan meode Operaor D, Meode Koefisien Tdk Tenu, Transformasi Laplace.

4 Operaor D Operaor Differensial Dd/ aau d/dx Arinya : differensial perama Conoh: Terdapa suau fungsi dalam x, yaiu ye x Tenukan Dy, arinya mencari differensial perama dari ye x Sehingga Dye x Bila dijumpai D y, berari differensial kedua dari fungsi ye x Kondisi ini erjadi pada semua jenis fungsi y yang lainnya 4

5 1. PD Linier Homogin Dengan Koefisien Konsan Orde Dengan Operaor D Ada 3 jenis penyelesaian umum: Dua akar riil yang berbeda r 1 r Dua akar kompleks konjuga r 1, a±jb Akar kembar r 1 r r Didapakan dari Persamaan Karakerisik Overdamping Underdamping Criical damping 5

6 SOAL Bualah laihan, soal-soal pada buku Advanced Engineering Mahemaics, Edwin Kreyszig, pada sesi problems for.4 dan.5 hal

7 Pemodelan: Gearan Bebas Perhaikan Sisem mekanik gearan beriku: k m f y Keerangan: m masa benda kg; f koefisien redaman {N-de/m}; k koefisien kekakuan pegas N/m Bagaimana model maemaik dari sisem gearan bebas di aas? Bagaimana benuk pergeseran benda yg bermasa m pada sisem iu? F 7

8 Pemodelan: Gearan Bebas Unuk memperoleh model maemaik dari sisem gearan bebas di aas, digunakan hukum Newon ke-, Massa x Percepaan Gaya, Gaya adalah resulane dari semua gaya aksi yang bekerja pada benda ersebu. 8

9 . PD Orde Non Homogin Beberapa cara penyelesaian PD Non Homogin : Meode Operaor Differensial Meode Koefisien Tidak Tenu 9

10 Meode Operaor Differensial METODE OPARATOR DIFFERENSIAL Penyelesaian Umum PD PUPD uk PD Non Homogin: Y Y h Y p Y h : penyelesaian homogin, didapakan dari PD Homogin Y p : penyelesaian parikulir, didapakan dari PD Non Homogin 10

11 Meode Operaor Differensial Diconohkan PD Linier Koefisien Konsan Orde, Benuk Umumnya: a y a1 y a0 F a D a D a y F y y a D a D a 1 h D 1 1 F 0 F..1

12 Meode Operaor Differensial Penyelesian PD sanga dienukan oleh inpu F, Secara umum ada 5 jenis inpu F: Fungsi konsan sep funcion, Fungsi polinomial polynomial funcion, Fungsi sinusoida sinusoidal funcion, Fungsi eksponensial exponenial funcion, Kombinasi fungsi eksponensial dengan fungsi sinusoida 1

13 Meode Operaor Differensial Jenis-jenis fungsi inpu F: 1. FK Kkonsan Sep funcion Penyelesaian Parikulir Y p K/a 0. Fe -a a konsan Penyelesaian Parikulir Y p e -a /hd e -a /h-a syara h-a 0 Bila h-a 0, penyel. Parikulir : Yp n /n!e -a, n orde dari PD 13

14 Meode Operaor Differensial Jenis-jenis fungsi inpu F: 3. FFungsi sinusoida ada macam 3.1. F sinω, sinω sinω sinω Yp i ω h D i D i ω 0 Bila i ω 0 Yp cosω ω 14

15 Meode Operaor Differensial Jenis-jenis fungsi inpu F: 3. FFungsi sinusoida ada macam 3.. F cosω, cosω cosω cosω Yp i ω h D i D i ω 0 Bila i ω 0 Yp sinω ω 15

16 Soal: Selesaikan PD beriku dengan menggunakan operaor D: 16 1 y y 4 y0 0 di 5i 5 i0 10 dv 33 9v 18 v0 10 dx 3 4 5x e x0 0 dv v 10e v0 0 dp p e p0 10

17 ; ; ; ; ; p p e p dp p d x x e x dx x d y y e v dv v d v v e v dv v d i i i di i d i e i di Soal: Selesaikan PD beriku dengan menggunakan operaor D:

18 Soal: Selesaikan PD beriku dengan menggunakan operaor D: dx 13 x 4cos x0 0 dv v 10sin 5 v0 0 d y 15 5y 0sin 5 y0 5; y 0 d v 16 9v 18cos 3 v0 0; v

19 Meode Operaor Differensial Jenis-jenis fungsi inpu F: 4. Framp linier; F k Yp h D 1 Q D {1 Q D Q D Q 3 D...} 19

20 Soal: Selesaikan PD beriku dengan menggunakan operaor D: Selesaikan persamaan differensial beriku: dx 17 4x 0 x0 0 dv 18 3v 9 v0 5 d y dy y 16 y0 5; y 0 d v 0 4v 0 v0 ; v 0 0 0

21 Meode Operaor Differensial Jenis-jenis fungsi inpu F: 5. Fdamped sinusoidal wave; F e -a sinω Yp e a sin ω h D e a sin ω h D a 1

22 Soal: Selesaikan PD beriku dengan menggunakan operaor D: Selesaikan PD beriku: dx 1 x 1e sin x0 5 dv 3 5 5v 50e cos v0 0 d y dy 3 5y e cos y0 0; y 0 1

23 4. METODE KOEFISIEN TIDAK Penyelesaian homoginnya Y h eap menggunakan Operaor D, Unuk penyelesaian parikulirnya Y p menggunakan meode koefisien idak enu, Liha abel koefisien idak enu, TENTU Tabel pemisalan Y p, dienukan oleh jenis fungsi inpu F yang diggunakan. 3

24 Tabel Koefisien Tidak Tenu F Pilihan Y p a ke a Ce k n n 0,1,,... n n 1 K x K 1 x... K1x K0 n n k cosω k sinω K cos ω M sin ω 4

25 METODE KOEFISIEN TIDAK TENTU Beberapa benuk penyelesaian Yp : 1. Jika inpu F merupakan salah sau jenis yang ada di abel, maka pilihlah Y p sesuai dengan pemisalan yang ada pada abel,. Jika inpu F merupakan jumlahan dari fungsi-fungsi inpu pada abel, maka pilihlah Y p yang juga jumlahan dari fungsi-fungsi pemisalan yang bersesuaian, 3. Jika inpu F sama dengan jenis akar karakerisik, maka kalikan pemisalan Y p dengan variabel bila x sama dengan akar unggal, dan kalikan dengan bila x sama dengan akar kembar. 5

26 METODE KOEFISIEN TIDAK Conoh: Selesaikan PD beriku dengan menggunakan Meode Koefisien Tidak Tenu. TENTU dx 1 4x 8x 5 d v dv v 10cos 3 d y 3 dy y 4y e 3 4 d v dv v D 1 y e 1 6

27 SOAL Unuk soal-soal di aas, selesaikan dengan meode koefisien idak enu 3 soal. 7

28 Pemodelan: Gearan Paksa. Resonansi 4. Bagaimana benuk model maemaik dari sisem mekanik gearan di bawah ini, bila mendapakan inpu gaya driving force FF 0 cosω k F f Keerangan: m masa benda kg; f koefisien redaman {N-de/m}; k koefisien kekakuan pegas N/m m y 5. Bagaimana benuk pergeseran forced moion benda pada sisem mekanik gearan soal no.4? 8

29 Pemodelan Elecrical Circui 6. Bagaimana model maemaik dari sisem rangkaian lisrik RLC circui di bawah ini, bila inpu egangan adalah EE 0 sinω C R L ~ EE 0 sinω 7. Bagaimana benuk oupu i dari model maemaik sisem rangkaian lisrik pada soal no.6 9

30 Analogy Sysem Tabel analogi Besaran Elecrical dan Mechanical Indukansi L Resisansi R Elecrical Sysem Massa m Mechanical Sysem Konsana peredam f Kebalikan kapasiansi C Derivaif E 0 ωcosω dari gaya elekromoif Arus I Koefisien pegas k Driving force F 0 cosω Pergeseran y 30

31 31