Siyal da Sistem Watu Disrit ET 35 Pegolaha Siyal Watu Disrit EL 5155 Pegolaha Siyal Watu Disrit Effria Yati Hamid 1
2 Siyal da Sistem Watu Disrit 2.1 Siyal Watu Disrit 2.1.1 Pegertia Siyal Watu Disrit Dereta berides dari bilaga omples atau real. Siyal watu disrit adalah fugsi dari variabel bebas yag merupaa bilaga bulat, diyataa oleh (). Siyal aalog : a (t) Siyal disrit : (), bilaga bulat Notasi : () = {()}={,(-1),(),(1), } 2
() Siyal disrit : (), -5-4 -3-2 -1 3 4 5 a (t) Siyal aalog : a (t) t 3
2.1.2 Siyal Watu Disrit Berilai Komples Siyal watu disrit berilai omples z() = a() + jb() = Re{z()}+jIm{z() Dalam betu polar z() = z() ep ( j arg{z()}) 4
2.1.3 Tipe Siyal Watu Disrit 1. Impuls satua/ uit sample sequece 1,, 1,, () -3-2 -1 3 4 2. Uit step sequece 1, u, 1, u, u() -3-2 -1 3 4 5
2.1.3 Tipe Siyal Watu Disrit 3. Dereta Espoesial a,, ()=1.2 Bila a omples a re j ( ) r e j = r cos j si 6
2.1.3 Tipe Siyal Watu Disrit Cotoh : r. 9 a re R I j da θ 1.9.9 R.9.9 e cos 1 j 1 I cos 1 si 1 j si 1.9.9 cos 1 si 1 7
2.1.3 Tipe Siyal Watu Disrit 3. Dereta Espoesial a re a j r r e j. 9 Cotoh.9 e 1. 9 j r. 9 da θ 1 1 1 8
2.1.3 Tipe Siyal Watu Disrit 4. Siyal periodi da aperiodi Siyal disebut periodi bila ()=(+N) utu harga N bilaga bulat positif da utu seluruh. Bila siyal periodi dega perioda N maa siyal tersebut juga periodi dega perioda 2 N, 3N da seluruh harga elipata bilaga bulat dari N. Perioda fudametal N, yaitu bilaga bulat positif terecil yag memeuhi persamaa ()=(+N). Bila tida ada satupu bilaga bulat N yag memeuhi persamaa ()=(+N) maa dereta tersebut adalah dereta aperiodi. 9
2.1.3 Tipe Siyal Watu Disrit 4. Siyal simetris da atisimetris Siyal watu disrit berharga real : simetris geap jia () = (-) utu seluruh harga simetris gajil jia () = -(-) utu seluruh harga Siyal watu disrit berharga omples (siyal omples) : simetris ojugate jia () = *(-) utu seluruh harga atisimetri ojugate jia () = -*(-) utu seluruh harga 1
2.1.4 Siyal eerji da siyal daya Eerjisuatudereta Bila E riilmaa E. Bila E berhigga( E ) maa siyaleerji(eergysigal) Eerjideretadalamselag-N N, E N N 2 2 2 disebut 11
2.1.4 Siyal eerji da siyal daya Daya rata- rata siyal disrit P lim N 1 2N 1 N N 2 Bila E berhigga(fiite) maap. Bila E ta higga(ifiite) maaemugia P berhiggaatauta higga. Bila P berhigga ( ) maa siyaldaya(power sigal) disebut 12
2.1.4 Siyal eerji da siyal daya Cotoh Tetua apaah uit step sequece u() adalah siyal daya atau siyal eerji P lim N lim N lim N 1 2N 1 N 1 2N 1 1 1 N 1 2 N Cotohsiyaldayalaiya, e N N 1 2 Uit step sequeceadalahsiyaldaya. u 2 jωω,cos 13
2.1.5 Operasi Dasar pada Siyal Watu Disrit 1. Pejumlaha 1 () y() = 1 () + 2 () 2. Peralia s () 2 () y() = s().w() 3. Peyealaa () w() A y() = A.() 4. Pergesera (shiftig) : () Z -1 y() = (-1) 14
2.1.5 Operasi Dasar pada Siyal Watu Disrit 5. Dow samplig () M y() = (M) 6. Up samplig () L y() = (/L) y[ ] L,,, L, 2L, 3L,... laiya 7. Foldig (pembalia) y() = (-) 15
2.1.5 Deomposisi Siyal Siyal dapat dideomposisi dari dereta impuls satua () yag diberi bobot da digeser. ()= +(-1)(+1)+() ()+ (1)(-1)+ (2)(-2)+ 16
2.2 Sistem Watu Disrit 2.1.1 Pegertia () T(.) y()=t(()) Sistem Watu Disrit adalah operator matematis atau pemetaa yag metrasformasi siyal e siyal laiya. Secara umum otasi yag diguaa : T(.) 17
2.2.2 Sifat Sistem Watu Disrit Sistem Tapa Memori Keluara pada watu = haya bergatug pada iput pada watu =. Additif Homoge: T( 1 ()+ 2 ())=T( 1 ())+T( 2 ()) T( c ())=c T(()) Sistem Liier : sistem yag mempuyai sifat additif da homoge T(a 1 ()+b 2 ())=at( 1 ())+bt( 2 ()) 18
Sistem Tida Berubah Terhadap Watu (time ivariat system) Bila respo sistem terhadap masua () adalah y() maa respo terhadap masua (- ) adalah y(- ). Darisifat aditif : y y y T T T T Kareaoefisie Utu sistem yag tida berubah terhadap watubila h(-) adalah maa T h h respo sistem terhadap masua osta, dari sifat homoge: Kovolusi 19
Causal Respo sistem pada watu = bergatug pada masua. y() haya bergatug pada (), (-1),(-2),, tetapi tida bergatug pada (+1),(+2),. Secara matematis eluara sistem ausal memeuhi persamaa dalam betu sbb: y()=f((),(-1),(-2), ) cotoh: Tetua apaah sistem dega persamaa beriut causal atau tida ausal (a) y[]= []-[-1] l( b) y[]= [] (c) y[]= [2 ] (d) y[]=[-] (e) y[]=[-1]+[]+[+1] - (f) y[]=[ 2 ] 2
Causal Sistem LTI Keluara sistem LTI pada = 1 y[ ] h y[ ] h h = [ h[ 1] 1 h[ 2] 2...] [ h[] h[1] 1]... Sistem ausal jia eluara pada watu = haya bergatug pada masua [ ], [ -1],... tida bergatug pada masua [ +1],[ +2],..., sehigga respo impuls sistem LTI harus memeuhi odisi h [ ] < 21
Stabil Sistem dega masua terbatas maa eluara terbatas. Bila () terbatas, maa aa ada ostata M sedemiia sehigga [ ] M Bila () terbatas, maa aa ada ostata M y sedemiia sehigga y[ ] M y 22
Stabil Sistem LTI Keluara sistem LTI y[ ] h y[ ] h y[ ] h y[ ] M Bila iput terbatas maa aa ada suatu bilaga terbatas M sehigga [] M sehigga h Ke luara y [ ] aa terbatas jia respo impuls LTI memeuhi odisi S h h Sistem LTI stabil jia respo impuls sistem absolutely summable. 23
2.2.3 Kovolusi Hubuga atara masua da eluara pada sistem LTI diyataa oleh pejumlaha ovolusi. ( ) h( ) h Sifat-sifat Kovolusi a. () y() =y() () b. () (y() z())=(() y()) z() c. () (y()+z())= ()y() + () z() d. () () = () () = () e. () (- ) = (- ) 24
Buti (e) : [ ] [ ] [ ] [ ] Igat [ ] 1 utu maa [ ] 1 utu [ ] [ ] [ ] [ ] sehigga utu [ [ ] : ] [] 25
( ) h( ) h 26
Pajag dereta hasil ovolusi 2 dereta yag terbatas pajagya Sistem eivale utu hubuga serial da paralel 27
Perhituga Lagsug Cotoh : u a a a 1 a 1 a y.u u, u u u u a h h y u h a u a 1. 1 1 y Bila Bila. utu da utu Karea 1 28
29
Perhituga ovolusi dega metoda grafis Gambar () da h() sebagai fugsi dari. Reverse satu dereta : h() mejadi h(-) Geser h(-) sebesar mejadi h(-) Peralia () da h(-) da jumlaha seluruh hasil peralia utu seluruh harga. Perhituga dilaua utu seluruh emugia harga pergesera. Cotoh : 3
2.2.4 Sistem dega Respo Impuls Terbatas da Tida Terbatas Sistem LTI dapat dibagi mejadi : FIR (fiite-duratio impulse respose) IIR (ifiite-duratio impulse respose) Sistem FIR ausal : h() = < da M Kovolusi pada sistem FIR ausal : Sistem IIR ausal : ( ) h( ) h() = < Kovolusi pada sistem IIR ausal : ( ) h( ) M 1 h h 31
2.2.5. Sistem Watu Disrit Reursif da No Reursif () F((),(-1), (-M)) y() Sistem o-reursif () F((),(-1), (-M)) y() z -1 Sistem reursif 32
Cotoh Sistem Watu Disrit Reursif da Noreursif () b y() Sistem o-reursif z -1 b 1 z -1 b 2 y() = b () + b 1 (-1) + b 2 (-2) () b y() z -1 b 1 z -1 Sistem reursif z -1 b 2 y() = y(-1) + b () + b 1 (-1) + b 2 (-2) 33
2.2.6. Sistem Watu Disrit Direpresetasia oleh Persamaa Perbedaa Total respose : y() = y zi () + y zs () Agar sistem reursif bersifat liier da time ivariat maa harus memeuhi sifat liier (superposisi) da time ivariat. Agar liier maa 1. Total respose : y() = y zi () + y zs () 2. Prisip superposisi berlau utu y zi () da y zs (). 34
y[ ] ay[ 1] [ ] Aa dihitug ilai y[ ] utu, dimulai dari y[] y[] ay[ 1] [] y[1] ay[] [1] a y[ 1] a[] [1] 2 3 2 y[2] ay[1] [2] a y[ 1] a [] a[1] [2] y[ ] ay[ 1] [ ] 1 y[ ] a y[ 1] a [ ] y[ ] yzi[ ] yzs[ ] Mis : [ ] c11 [ ] c22[ ] yzs[ ] a [ c11 [ ] c22[ ]] c1a 1[ ] c2 a 2[ ] (1) (2) c1y zs [ ] c2yzs [ ] Mis : y[ 1] c1 y1[ 1] c2y2[ ] 1 yzi[ ] a [ c1 y1[ 1] c2 y2[ ]] 1 1 c1a [ y1[ 1] c2a [ y1[ 1] (1) (2) c1y zi [ ] c2yzi [ ] sistem liier 35
y[ ] ay[ 1] [ ] 1 y[ ] a y[ 1] a [ ] y[ ] y [ ] y [ ] zi zs Dari persamaa perbedaa dapat dilihat bahwa oefisie a osta, tida bergatug pada. sistem time ivariat. Sistem yag ditulisa dalam persamaa beriut : y[ ] ay[ 1] [ ] adalah sistem LTI ausal. Sistem yag ditulisa dalam persamaa perbedaa oefisie osta liier ( liear costat - coefficiet differece equatio) adalah liier da time ivariat. 36
Solusi Persamaa Perbedaa Koefisie Kosta Liier Persamaa Perbedaa Koefisie Kosta Liier N M a y[ ] b [ ] a 1 Tujua utu meetua respo y[], pada sistem dega masua [], da satu set odisi odisi awal. Asumsi : h y[] = y [] + y [] h p Solusi y [] adalah solusi homoge, yaitu respo sistem terhadap odisi awal dega asumsi []= Solusi y [] adalah solusi husus atau particular p dega asumsi odisi awal = yaitu respo sistem terhadap [] Solusi homoge Solusi homoge didapat dega megasumsia []=, sehigga persamaa perbedaa homoge N a y[ ] Asumsi solusi perbedaa homoge dalam betu espoesial, yaitu y h [ ] 37
Dega substitusi e persamaa sebelumya maa persamaa poliomial atau N a N N N 1 N 2 a1 a2... a a 3 N1 Poliomial di dalam tada urug adalah poliomial arateristi. Poliomial arateristi mempuyai N aar,,,,.... Aar dapat berharga real atau omples. Koefisie a, a,...umumya real. Utu harga a riil, aar berharga omples merupaa pasaga oyugatif omples. Bila semua aar berbeda maa solusi persamaa homoge : C N h[ ] 1 ditetua utu memeuhi odisi awal. Bila terdapat aar multiple, maa solusi persamaa homoge : m1 m 1 y [ ] C C... C h y C N m1 Karea []= maa yh[ ] dapat dipaai utu meghitug respo zero iput (y zi [ ]) N C 38 N
Solusi husus ( particular) Solusi husus umumya tergatug []. Harus dicari y p [ ] yag memeuhi persamaa perbedaa, utu [] tertetu. Solusi husus juga dapat diperoleh dari respo zer o state ( y []). zs Solusi husus Persamaa Perbedaa Liier Koefisie Kosta Siyal iput () A (osta) A M A M Solusi Khusus K K M K M +K 1 M-1 + +K M A M A (K M +K 1 M-1 + +K M ) A si ( ) K 1 cos ( ) + K 2 si ( ) A cos ( ) K 1 cos ( ) + K 2 si ( ) Total solusi persamaa perbedaa : y[ ] y [ ] y [ ] h p 39
Cotoh 6.1 Persamaa perbedaa y[ ] - 3 y[ -1] - 4 y[ - 2] Tetua respo zero iput jia dietahui odisi awal y[-1] 5 da y[-2]. Solusi Asumsi solusi perbedaa homoge dalam betu espoesial, yaitu y [ ] h Dega substitusi e persamaa sebelumya maa persamaa poliomial Aar persamaa 1da 4 3 4 2 2 3 4 y [ ] C 1 C 4, h Karea [ ] maa sistem tida mempuyai solusi husus, y p [ ] 4
Sehigga solusi total, y[ ] y [ ] C -1 C 4, h Utu meetua harga C da C maa solusi total harus memeuhi odisi awal. y[] 3 y[-1] 4 y[-2] y[1] 3 y[] 4 y[-1] 13 y[-1] 12 y[-2] yh [] C1C2 y [1] C 4C h Dari edua persamaa diatas maa C 1da C = 16 y[ ] y [ ] -1-1 16 4, h Respo zero iput diperoleh dega megevaluasi ostata pada solusi homoge. y[] 3 y[-1] 4 y[-2] y[1] 3 y[] 4 y[-1] 13 y[-1] 12 y[-2] y [] C C y [1] C 4C Karea y[-2] = da y[-1]=5, maa y[] 15 da y[1] 65 h h C 15 C 4C 65 Dari edua persamaa diatas maa C 1da C = 16 y zi C y[ ] yzi[ ] -1-1 16 4, [ ] 1-1 16 4 y [ ] -1 4, zi 41
2 17 1.5 1.5 3 4 5 6 7 8 9 1 y[ ] y [ ] -1-1 16 4, zi 42
Cotoh 6.2 Persamaa perbedaa y[ ] - 3 y[ -1] - 4 y[ - 2] [ ] 2 [ -1] [ ] 4 u[ ] Tetua respo y[ ],. Solusi Solusi homoge Solusi husus ( particular) y [ ] C 1 C 4, h y [ ] K 4 u[ ] Dega substitusi e persamaa perbedaa p K 4 u[ ] - 3K 1 4 u[ 1] - 4K 2 4 u[ 2] 6 5 6 5 1 4 u[ ] 2. 4 u[ 1] 2, maa K y [ ] 4 u[ ] p Total solusi : 6 5 y[ ] y [ ] y [ ] C -1 C 4 4, h p 43
Harga C 1 da C2 harus memeuhi harga odisi awal Substitusi lagsug pada persamaa solusi total y[ ] - 3 y[ -1] - 4 y[ - 2] [ ] 2 [ -1] C 1 y[] 4 u[] 4 u[ 1] y[] 1-1 C 4 6 1 4 1 1 1 5 1 y[1] 3 y[] 4[ 1] 4 u[1] 2 4 u[] y[1] 3 4 2 9 C C C -C C -1 4 1 C 9 1 4C 4.2 1 26 1,da C2 25 25 1 26 6 25 25 5 y[ ] -1 4 4, 44
[ ] T(.) y [ ] 12 15 1 y[ ] - 3 y[ -1] - 4 y[ - 2] [ ] 2 [ -1] 14 16 12 8 6 4 2 3 4 5 6 7 8 9 1 [ ] 4 u[ ] 1 8 6 4 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 26 6 25 25 5 y[ ] -1 4 4, 45
H pf (s) A/D () y() D/A H rc (s) (-1) y(-1) 2 3 y(-2) 4 46
Meetua respo zero iput da respo zero state. Respo zero iput mempuyai betu yag sama dega solusi homoge. y [ ] y [ ] C -1 C 4, zi y zi [] h C1 C2 y [1] -C 4C zi Dari persamaa homoge : y[ ] - 3 y[ -1] - 4 y[ - 2] y[] y[1] Tida ada solusi artiya y sehigga respo total adalah respo zero state. zi [ ], area odisi awal y[ 2] y[ 1] 47
Respo zero state Total solusi : 6 5 y[ ] y [ ] y [ ] C -1 C 4 4, h p y[] da y[1] diperoleh dega memasua harga-harga odisi awal y[-1] da y[-2] e persamaa y[ ] - 3 y[ -1] - 4 y[ - 2] [ ] 2 [ -1] y[] 3 y[ 1] 4[ y 2] [] 2 [ 1] 1 y[] 4 u[] 4 u[ 1] y[] 1 1 y[1] 3 y[] 4[ 1] 4 u[1] 2 4 u[] y[1] 3 4 2 9 C C C C -1 4 1 C 6 1 1 1 5 -C C -1 4 1 4 9 C 1 4C 4.2 1 26 1,da C2 25 25 1 26 6 zs 25 25 5 y[ ] y [ ] -1 4 4, 48
Cotoh 6.3 Persamaa perbedaa y[ ] y[ -1] - 6 y[ - 2] [ ] Tetua respo y[], jia dietahui siyal masua [ ] 8 u[ ] da odisi awal y[-1] 1 da y[-2] 1. Solusi Asumsi solusi perbedaa homoge dalam betu espoesial, yaitu y [ ] h Dega substitusi e persamaa sebelumya maa persamaa poliomial Aar persamaa 3 da 2 Asumsi solusi husus Substitusi e persamaa 6 2 2 6 y [ ] C 3 C 2, h y [ ] Cu[ ] p Cu[ ] Cu[ 1] - 6 Cu[ 2] 8 u[ ] 2 C C - 6C 8 C -2 Solusi total y[ ] yh[ ] y p[ ] C1-3 C2 2-2, 49
Kostata C da C memeuhi odisi awal. y[ ] C -3 C 2-2, y[] C C - 2 y[1] - 3C 2C - 2 y[] da y[1] diperoleh dega memasua harga-harga odisi awal y[-1] 1 da y[-2] 1 e persamaa y[ ] y[ -1] - 6 y[ - 2] [ ] y[] - y[-1] 6 y[-2] [] y[] - 1 6 8 y[] 1 y[1] - y[] 6 y[-1] [1] y[1] - 1 6 8 y[1] 13 C C 3-3C 2C 15 Dega meyelesaia edua persamaa diatas diperoleh Total solusi y[ ] 1.8-3 4.8 2-2, C 1.8 da C 4.8 5
Respo zero iput y [ ] C 3 C 2, zi y [] C C zi y [1] 3C 2C zi y[] da y[1] diperoleh dega memasua harga-harga odisi awal y[-1] 1 da y[-2] 1 e persamaa y[ ] y[ -1] - 6 y[ - 2] y[] - y[-1] 6 y[-2] y[] - 1 6 y[] 7 y[1] -y[] 6 y[-1] y[1] 7 6 y[1] 13 C C -7 3C 2C 13 Dega meyelesaia edua persamaa diatas diperoleh Respo zero iput y [ ] 5.4-3 1.6 2, zi C 5.4 da C 1.6 51
Respo zero state y [ ] C -3 C 2-2, zs y [] C C - 2 zs y [1] 3C 2C - 2 zs y[] da y[1] diperoleh dega memasua harga-harga odisi awal y[-1] da y[-2] e persamaa y[ ] y[ -1] - 6 y[ - 2] [ ] y[] 8 y[1] C C 1 3C 2C 2 Dega meyelesaia edua persamaa diatas diperoleh C Respo zero state y [ ] 3.6-3 6.4 2-2, zs Respo total (total solusi) 3.6 da C 6.4 y[ ] y [ ] y [ ] 3.6-3 6.4 2-2 5.4-3 1.6 2, zs zi y[ ] 1.8-3 4.8 2-2, 52
2.2.7. Respo impuls sistem dega persamaa perbedaa oefisie osta liier Respo impuls: () = () y() = h() () LTI h() ( odisi awal ol) Utu () = () ), solusi husus y p () = respo impuls diperoleh dega cara meyelesaia persamaa pada solusi homoge. Harga ostata ditetua dega memecaha y h () utu =,1.... da odisi awal y(-1)=y(-2),..y(-n)= 53
Cotoh 7.1 Sistem LTI dega persamaa perbedaa y[ ] y[ -1] - 6 y[ - 2] [ ] Tetua respo impuls sistem diatas. Solusi Dari cotoh soal 6.3, Respo impuls h[] utu y [ ] C 3 C 2, h. [ ] [ ] maa solusi husus ol, y [ ]. Solusi total, y[ ] y [ ] C -3 C 2,. Kodisi awal ol sehigga respo zero iput, y Respo impuls adalah respo zero state, h [ ]. h[ ] y [ ] C -3 C 2,. zs y[] da y[1] diperoleh dega memasua harga-harga [ ] [ ], odisi awal y[-1] da y[-2] e persamaa perbedaa y[ ] y[ -1] - 6 y[ - 2] [ ] y[ ] [ ] y[] 1 y[1] [1] - y[] 6 y[ 1] y[1] 1 2C 2C 2 3 2 C1, C 5 1 5 1 C2-3C 2 1 3 2 5 5 h[ ] -3 2, zi p 54
Kestabila sistem LTI Sistem yag direpresetasia oleh persamaa perbedaa oefisie osta liier orde N dega aar poliomial arateristi ( ) berbeda mempuyai solusi homoge sbb: Respo impuls sistem N h[ ] 1 y C h[ ] N C 1 55
Respo impuls sistem LTI stabil jia respo impuls absolutely summable. h[ ] h [ ] N 1 C h[ ] C 1 N 1 h [ ] 56
2.3.Kosep Freuesi Siyal Watu Disrit () = A cos (+) = 2 f Dimaa A : Amplituda : freuesi disrit (radia /sample) : fasa (radia) f : freuesi (cycles/sample) 57
Siyal 1. 2. 3. Agarperiodimaa Ideti: cos ω Bila Maa cos ω siusoidal watu 2 - cos (2π harusrasioal 2 cos disrit: ω ω ) 2ππ - cos ω 2 cos(ω Artiyautu tujuaaalisismaaharga dapatdibatasi: ω p q 2π 2ππ) 58
Dereta Harga N freuesi terecil Deretasiusoidal si si N memeuhi persamaa periodidegaperioda(n disebutperiodafudametal. N si 2f N si2f Persamaadiatas aabear jia dahaya jia ω f 2π N Deretasiusoidalwatudisritadalahperiodihaya jia f o bilagarasioal., ) jia dahaya jia yagperiodidegafreuesi aa 2f N 2 59
Duaderetasiusoidalaaideti jia freuesiya berbeda2π,dimaa adalahbilagabulat. Buti dimaa si 2 si Artiyaseluruhderetasiusoidalwatudisrit dibawahiiadalahideti si( ) 1,2,3... 2 6
Utumelihatsiyalsiusoidaldegafreuesi misala da 2 Nilai bervariasidari sampai2 maa bervariasi 1 dari sampai 1 2 1. Acos ω1 Acosω Acos ω2 Acos( 2 ) Acos ω ω 2 2 2 2, adalahalias freuesiω 1 Daerahf reuesisiyalsiusoidal 1 1 f 1,atau f 2 2 Freuesitertiggiadalah ( atau ) eivaledegaf - atau 2 1 atau 2 f watudisrit 1 2 61
1 ()=cos(.29*pi*) 1 ()=cos(.3*pi*).5.5 () () -.5 -.5-1 3 4 ()=cos(.31*pi*) 1-1 3 4 ()=cos(2*pi*) 1.5 () ().5 -.5-1 3 4 ()=cos(2.5*pi*) 1 3 4 ()=cos(3*pi*) 1.5.5 () () -.5-1 3 4 -.5-1 3 4 62
3 2 1 () -1-2 -3 3 4 5 6 7 8 9 1 3cos 2 63