5. Aplikasi Turunan MA4 KALKULUS I
5. Menggambar grafik fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi C. Kemonotonan Fungsi D. Ekstrim Fungsi E. Kecekungan Fungsi F. Titik Belok MA4 KALKULUS I
A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi Definisi 5.: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni (i) Asimtot Tegak Garis c disebut asimtot tegak dari y f() jika (ii) Asimtot Datar Garis y b disebut asimtot datar dari y f() jika (iii) Asimtot Miring Garis y a b disebut asimtot miring jika ± f ( ) a dan ± f ( ) a b c ± f ( ) ± f ( ) b MA4 KALKULUS I 3
Asimtot tegak a a a asimtot tegak Dalam kasus f ( ) f ( ) a dan a a asimtot tegak Dalam kasus dan a a f ( ) f ( ) MA4 KALKULUS I 4
y b Garis y b asimtot datar karena f ( ) Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk hingga Tapi, jika untuk menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh grafik fungsi(tidak dipotong lagi) b MA4 KALKULUS I 5
yf() y a b Garis y a b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring MA4 KALKULUS I 6
Contoh Tentukan semua asimtot dari Jawab : (i) Asimtot tegak :, karena 4 (ii) Asimtot datar : f ( ) dan 4 Maka asimtot datar tidak ada 4 ( ) ( ) f ( ) 4 ( ( 4 ) ) 4 MA4 KALKULUS I 7
MA4 KALKULUS I 8 f a. 4 ) ( ± ± 4 ± ) ( ) ( ) ( ) ( 4 4 ± ± (iii) Asimtot miring 0 4 ± ) ( 4 ± ± 4 a f b ± ) ( Asimtot miring y 4 ±
Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut :. f ( ). f ( ) 3 3. f ( ) 4. f ( ) 3 5. f ) ( MA4 KALKULUS I 9
C. Kemonotonan Fungsi Definisi 5. Fungsi f() dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk ( ) < f ( ) I < f,, f( ) f( ) I Fungsi f() monoton naik pada selang I MA4 KALKULUS I 0
monoton turun pada interval I jika untuk ( ) > f ( ), I < f, f( ) f( ) I Fungsi f monoton turun pada selang I MA4 KALKULUS I
Teorema 5. : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f() monoton naik pada I jika Fungsi f() monoton turun pada I jika f '( )> 0 I f '( )< 0 I Contoh Tentukan selang kemonotonan dari 4 f ( ) Jawab : ( )( ) ( 4) 6 4 4 f '( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( 4) ( ) f() monoton naik ------------ --------- 0 4 pada (,0) dan (4, ) f() monoton turun pada (0,) dan (,4). MA4 KALKULUS I
n D. Ekstrim Fungsi Definisi 5.3 Misalkan f() kontinu pada selang I yang memuat c, maksimum f(c) disebut nilai global dari f pada I jika minimum f ( c) f ( c) f ( ) f ( ) I f(c) disebut nilai maksimum minimum buka yang memuat c sehingga lokal dari f pada I jika terdapat selang f ( c) f ( c) f ( ) f ( ) untuk setiap pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis. MA4 KALKULUS I 3
Ma lokal Min lokal Ma global Min global Ma lokal Min lokal a b c d e f Nilai ekstrim fungsi pada selang I[a,f] MA4 KALKULUS I 4
n Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner ( yaitu c dimana f '( c) 0 ), secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f(c)) Titik singulir ( c dimana f '( c) tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f(c)) MA4 KALKULUS I 5
Teorema 5.3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika f '( ) > f '( ) < ( c, c δ ) f(c) 0 0 ( c δ, c) f '( ) < 0 f '( ) > 0 maksimum lokal minimum pada dan pada Maka f(c) merupakan nilai c f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f >0) dan disebelah kanan c monoton turun (f <0) f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f <0) dan disebelah kanan c monoton naik (f >0) MA4 KALKULUS I 6
Teorema 5.4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal f ''( c) < 0 Misalkan f '( c) 0. Jika,maka f(c) merupakan maksimum f ''( c) > 0 nilai lokal f Contoh :Tentukan nilai ekstrim dari f ( ) Jawab: f minimum ( 4) '( ) ( ) ------------ --------- 0 4 Dengan menggunakan uji turunan pertama : 4 di 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f ( 0) f ( 4) 6 MA4 KALKULUS I 7
MA4 KALKULUS I 8 Soal Latihan 6 30 5 ) ( 3 4 5 f 3 3 ) ( f ) ( f f ) ( ) ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :.. 3. 4.
E. Kecekungan Fungsi y y Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah Fungsi f() dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( ) naik pada interval I, dan f() dikatakan cekung kebawah pada interval I bila f '( ) pada interval I. turun Teorema 5.6 Uji turunan kedua untuk kecekungan. Jika f "( ) > 0, I, maka f cekung ke atas pada I.. Jika, maka f cekung ke bawah pada I. f "( ) < 0, I MA4 KALKULUS I 9
contoh Tentukan selang kecekungan dari Jawab : f '( ) 4 ( f ''( ) ( ( ) 4)( ) )(( 8 ( 8 ( ( ) 4 4)( ) ( 3 )( ) ) 4 8 4) ( f ( ) 4)) 8 3 ( ) 4 Grafik f cekung keatas pada (, ) dan cekung kebawah pada selang (,) MA4 KALKULUS I 0
n F. Titik belok n Definisi 5.4 Misal f() kontinu di b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f() jika : terjadi perubahan kecekungan di b, yaitu di sebelah kiri b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya b adalah absis titik belok, jika f "( b) 0 atau f "( b) tidak ada. MA4 KALKULUS I
f(c) f(c) c c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas MA4 KALKULUS I
f(c) c c (c,f(c)) bukan titik belok karena disekitar c tidak terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan tapi tidak ada titik belok karena f tidak terdefinisi di c MA4 KALKULUS I 3
Tentukan titik belok (jika ada) dari. f ( ) 3 f '( ) 6, f ''( ) ------------- Di 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0) - maka (0,-) merupakan titik belok 4. f ( ) f ''( ) 0 0 Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan MA4 KALKULUS I 4
3. f ( ) f ''( ) 4 8 3 ( ) -------------- Walaupun di, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f() tidak terdefinisi di MA4 KALKULUS I 5
Soal Latihan Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut :. f ( ) 5 4 5 30 3 6. 3. 4. 5. f ( ) f ( ) f ( ) 3 3 ( ) f ( ) / 3 MA4 KALKULUS I 6
Contoh: Diketahui f ( ) 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f() a. Fungsi f() monoton naik pada selang (,0), (4, ) monoton turun pada selang (0,) dan (,4). di 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f ( 0) di 4 tercapai minimum lokal dengan nilai b. Grafik f cekung keatas pada, ) selang (,), tidak ada titik belok f ( 4) ( dan cekung kebawah pada c. Asimtot tegak, asimtot miring y, tidak ada asimtot datar 6 MA4 KALKULUS I 7
d. Grafik f() ----- ----- f ' --------------------- 0 4 f ' ' 6 y - 4 MA4 KALKULUS I 8
Soal Latihan A. Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot.. 3. 4. f ( ) f ( ) 4 3 f ( ) 4 3 f ( ) 5. f ) 4 ( MA4 KALKULUS I 9
B. Misalkan f suatu fungsi kontinu dan f(-3)f(0). Jika grafik y f '( ) seperti gambar berikut : a. Tentukan selang kemonotonan fungsi f b. Tentukan selang kecekungan fungsi f c. Sketsa grafik fungsi f(). MA4 KALKULUS I 30
5. Menghitung it fungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it :. Aturan L Hôpital untuk bentuk 0, 0 0 Andaikan f() g() 0. Jika 0, 0., f '( ) g'( ) L,, atau Maka f ( ) g( ) f '( ) g '( ) MA4 KALKULUS I 3
Contoh Hitung Jawab cos 0 bentuk (0/0) cos sin 4 cos 0 0 0 Ctt : aturan L hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi. Aturan L Hôpital untuk bentuk f '( ) Andaikan f() g(). Jika g'( ) maka f ( ) g( ) f ' ( ) g' ( ) L,, atau MA4 KALKULUS I 3
Contoh Hitung 3 5 Jawab 3 5 3 3 (bentuk ) Ctt: walaupun syarat di penuhi, belum tentu it dapat dihitung dengan menggunakan dalil L Hopital Contoh Hitung Jawab 3 ( 3) ( ( ) ( 3) ( ) 3 3 MA4 KALKULUS I 33 )
MA4 KALKULUS I 34 Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setelah dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 3 ) ( ) ( 3
3. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya rubah kedalam bentuk 0 atau 0 Contoh : Hitung 0 csc Jawab : 0 csc 0sin 0cos 0 MA4 KALKULUS I 35
n 4. Bentuk - Misalkan f() g(). Untuk menghitung [ f() - g() ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f()- g() ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung csc 0 ( cot ) Jawab : cos cos ( csc cot ) sin sin 0 0 sin 0 sin 0 cos 0 MA4 KALKULUS I 36
Soal Latihan Hitung it berikut ( bila ada ). sin 0 cos 6. 3 3. 3. 4. 5. csc 0 5 ( cos ) cot 0 MA4 KALKULUS I 37
5.3 Masalah maksimum minimum lainnya Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan/ meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Setelah itu gunakan aturan-aturan turunan untuk menentukan nilai maksimum atau nilai minimum MA4 KALKULUS I 38
Contoh:. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 00 cm agar luasnya maksimum jawab Misal panjang y, lebar y Luas L y, karena y 00 à y 50 - Sehingga Luas L() (50-) 50, 0 50 L' ( ) 50 à 5 Karena maka di 5 terjadi maks lokal. L' '(5) < 0 Karena L(0) 0, L(5) 65, L(50) 0 à agar luas maks haruslah 5 dan y 5 MA4 KALKULUS I 39
. Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 4 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum. 4-45- Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang, sehingga V() (45-) (4-) 3 V ( ) 4 38 080, 0 V '( ) ( 3 90) ( 8)( 5) Sehingga diperoleh titik stasioner 8 dan 5 45-4- MA4 KALKULUS I 40
V ''( ) Sehingga 4 76 V ''(8) 56 > 0 di 8 terjadi min lokal V ''(5) 56 < 0 di 5 terjadi maks lokal Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika 5 dan 0, (batas Df) V(0) 0 V() 0 V(5) 450 Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 4 cm tinggi 5 cm MA4 KALKULUS I 4
Bisa saja masalah yang dihadapi harus dimodelkan kedalam bentuk fungsi implisit, seperti contoh berikut Contoh Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari menara kontrol 5 km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z Menara kontrol z 3 km y Diketahui dz dt 5000 Saat z 5 MA4 KALKULUS I 4
Dengan menggunakan dalil pythgoras diperoleh y 9 z Pada saat z 5 à y 4 Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan dy y z dt dz dt Jika data y 4, z 5, dan dz 5000 dt Kecepatan vertikal roket dy dt 5 4.5000 disubstitusikan diperoleh 650 km/jam MA4 KALKULUS I 43
Soal Latihan. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 00 dan hasil kalinya minimum cm. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 000 dan kelilingnya minimum 3. Tentukan titik pada garis 6 y 9 yang terdekat ke titik (-3,) 4. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu serta dua titik sudutnya di atas sumbu serta terletak pada parabola y 8 5. Tentukan ukuran segitiga samakaki yang memiliki luas terbesar sehingga dapat diletakkan dalam lingkaran berjari-jari r MA4 KALKULUS I 44
6. Kota A terletak 3 km dari garis pantai yang lurus dan kota B terletak 4 km dari titik di pantai yang terdekat dari A. Pemerintah Daerah setempat akan memasang kabel telepon dari kota A ke kota B. Jika biaya pemasangan kabel dari A ke B untuk setiap kilometer melewati jalan laut dua kali besarnya dibandingkan biaya pasang kabel lewat darat. Tentukan letak titik di pantai agar biaya pemasangan kabel telepon dari A ke B semurah mungkin. MA4 KALKULUS I 45