KONSTRUKSI KLAS BARISAN p-supremum BOUNDED VARIATION SEQUENCES A-4 Moch. Aruma Imro 1, Ch. Rii Idrati 2, da Widodo 3 1 Jurusa Matematika, FMIPA, Uiversitas Brawijaya, Malag 65145 da Mahasiswa S3 Matematika, FMIPA, UGM, e-mail : maimr@ub.ac.id. 2 Jurusa Matematika, FMIPA, Uiversitas Gadjah Mada,Yogyakarta, 55281, Idoesia, e-mail : riii@ugm.ac.id. 2 Jurusa Matematika, FMIPA, Uiversitas Gadjah Mada,Yogyakarta, 55281, Idoesia, e-mail : widodo_mathugm@yahoo.com. Abstract Pada paper ii dibahas kostruksi klas barisa p-supremum Bouded Variatio Sequeces yag merupaka geeralisasi dari klas Supremum Bouded Variatio Sequeces (SBVS). Kemudia kostruksi yag didapat diselidiki relasi iklusi dari klas tersebut. Keyword : Klas Barisa, p-supremum Bouded Variatio Sequeces, Relasi Iklusi. PENDAHULUAN Dalam aalisis Fourier, sifat-sifat koefisie deret Fourier pertama kali dibahas oleh Chaudy da Jollife [2] da koefisie-koefisie tersebut dikeal dega ama klas MS(Mootoe sequeces). Kemudia beberapa peeliti seperti Leidler [7], Tikhoov [11] da Zhou [8, 12] berturut-turut memperlemah syarat kemootoa Klas MS ke dalam klas RBVS (Rest Bouded Variatio Sequeces), GMS (Geeral Mootoe Sequeces) da GBVS (Group Bouded Variatio Sequeces). Lebih lajut Zhou dkk [13] berhasil membuktika bahwa geeralisasi klas kemootoa merupaka klas MVBVS (Mea Value Bouded Variatio Sequeces). Lebih lajut diperoleh MS RBVS GMS GBVS MVBVS. Jika syarat kemootoa di dalam klas MVBVS diperlemah lagi maka kekovergea seragam deret Fourier tidak terjami. Namu demikia Feg da Zhou [3] dapat meujukka bahwa MVBVS dapat diperlemah mejadi klas GM 7. Dalam perkembaga yag lai teryata Korus [6] juga berhasil membuktika bahwa klas MBVS dapat diperlemah Makalah dipresetasika dalam Semiar Nasioal Matematika da Pedidika Matematika dega tema Kotribusi Pedidika Matematika da Matematika dalam Membagu Karakter Guru da Siswa" pada taggal 10 November 2012 di Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY
mejadi klas SBVS (Supremum Bouded Variatio Sequeces) da klas SBVS 2. Meurut Feg da Zhou [3] GM 7 sama dega SBVS, walaupu ampak mirip Korus [6] berhasil membuktika bahwa SBVS sebagai klas yag berbeda dega GM 7 tetapi sama-sama memuat klas MBVS. Kemudia klas SBVS da SBVS 2 tetap mempertahaka sifat kekovergea seragam pada deret Fourier da memeuhi relasi MS RBVS GMS GBVS MVBVS SBVS SBVS 2. Defiisi klas SBVS da SBVS 2 sebagai berikut: Defiisi 1.1. Barisa a k k=1 C disebut aggota klas SBVS (Supremum Bouded Variatio Sequeces) jika terdapat kostata positif K da γ 1, sehigga dega [x] bagia bulat dari x. Defiisi 1.2. Barisa a k k=1 positif K da b(k) k=1 a k a k+1 K sup m /γ k=m a k C disebut aggota klas SBVS 2 jika terdapat kostata [0, ) sehigga a k a k+1 K sup m b() k=m a k. Kemudia Liflyad da Tikhoov [9, 10] megembaga klas GMS ke GMS p (p- geeral mootoe sequeces) yag terdiri dari kemootoa barisa bilaga, dega defiisi berikut : Defiisi 1.3. Diberika a = a da β = β masig-masig barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β GMS p, jika terdapat kostata positif K sehigga berlaku a k a p 1/p k+1 Kβ utuk semua bilaga bulat positif da 1 p <. Defiisi 1.4. Diberika klas GMS da β = β barisa bilaga real positif, klas GMS β adalah keluarga a: a, β GMS Lebih lajut klas GMS p telah digeeralisasi mejadi klas NBVS p [4] da MVBVS p [5] dega defiisi berikut. Defiisi 1.5. Diketahui a = a ad β = β berturut-turut barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β MVBVS, jika terdapat kostata positif K da λ 2 sehigga berlaku a k utuk semua bilaga bulat positif. K Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 26
Defiisi 1.6. Diberika a = a ad β = β masig-masig barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β MVBVS p, jika terdapat kostata positif K da λ 2 sehigga berlaku a p 1/p k K utuk semua bilaga bulat positif da 1 p <. Defiisi 1.7. Diberika klas MVBVS p da β = β barisa bilaga real positif, kemudia didefiisika klas MVBVS p (β) adalah koleksi a: a, β MVBVS p. Lemma 1.8. Diberika 1 p <, utuk setiap barisa bilaga real o egatif a i pertidaksamaa a p i=1 i i=1 a p i berlaku utuk setiap bilag bulat positif [1]. Kemudia di dalam paper ii aka dipaparka hasil peelitia Peulis yag megkostruksika klas p-supremum Bouded Variatio Sequeces yag merupaka geeralisasi dari klas SBVS da diselidiki sifat iklusiya. PEMBAHASAN 2. Defiisi p-supremum Bouded Variatio Sequeces. Meurut Korus [6] klas SBVS SBVS 2, sehigga dalam defiisi di sii dibahas klas SBVS 2. Notasi SBVS 2 dalam tulisa ii ditulis SBVST (SBVS Two) da dapat diperluas mejadi SBVST. Defiisi 2.1. Diberika a = a ad β = β berturut-turut barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β SBVST, jika terdapat kostata positif K da γ 1, sehigga utuk semua bilaga bulat positif. a k a k+1 K sup m /γ k=m Defiisi 2.2. Diberika a = a da β = β masig-masig barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β SBVST p, jika terdapat kostata positif K da γ 1 sehigga m /γ k=m utuk semua bilaga bulat positif da 1 p <. Dari defiisi 2.1 da defiisi 2.2, klas SBVS 1 adalah klas SBVS. Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 27
Defiisi 2.3. Diberika klas SBVS p da β = β barisa bilaga bilaga real positif, klas SBVS p (β) adalah keluarga a: a, β SBVS p utuk 1 p <. Defiisi 2.4. Diketahui a = a ad β = β berturut-turut barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β SBVST, jika terdapat kostata positif K da b(k) k=1 [0, ) sehigga berlaku utuk semua bilaga bulat positif. a k a k+1 K sup m b() k=m Defiisi 2.5. Diberika a = a ad β = β masig-masig barisa bilaga kompleks da real positif. Pasaga a, β SBVST p, jika terdapat kostata postif K da b(k) k=1 [0, ) sehigga berlaku m b() k=m utuk semua bilaga bulat positif da 1 p <. Dari defiisi 2.4 da defiisi 2.5, klas SBVST 1 adalah klas SBVST. Defiisi 2.6. Diberika klas SBVST p, klas SBVST p (β) adalah keluarga a: a, β SBVST p utuk 1 p <. 3. Sifat-sifat klas p-supremum Bouded Variatio Sequeces Teorema 3.1. Jika 1 p < q <, maka berlaku SBVS p SBVS q. Bukti: Ambil a, β SBVS p, maka terdapat kostata positif K da γ 1 sehigga k=m. m /γ Kemudia meurut Lemma 1.8 diperoleh sehigga a q k q p = a pq p k a p k a q k 1/p K 1/q a k p Jadi a SBVS q terbukti SBVS p SBVS q. sup m /γ Akibat 3.2. Jika 1 p < q <, maka SBVS p β SBVS q β. k=m Bukti: Ambil a SBVS p β, maka a, β SBVS p, meurut Teorema 3.1. a, β SBVS q. Jadi a SBVS q β. Akibat 3.3. Utuk setiap a SBVS, maka a SBVS p a dega 1 p <. Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 28
Bukti: Ambil a SBVS, maka terdapat kostata positif K da γ 1, sehigga a k a k+1 K sup m /γ k=m a k. k=m Diambil β = a = a, maka a k a k+1 K sup m /γ sehigga a, β SBVS p, jadi a SBVS p a. Teorema 3.4. Jika 1 p < q <, maka SBVST p SBVST q. Bukti: Ambil a, β SBVST p, maka terdapat kostata positif K da b(k) k=1 [0, ) sehigga berlaku m b() k=m Seperti lagkah bukti teorema 2.1. diperoleh Sehigga diperoleh a q k 1/p 1/q a k p k=m, a k a q 1/q k+1 K sup m b() jadi a, β SBVST q da terbukti SBVST p SBVST q. Teorema 3.5. Jika 1 p <, maka SBVS p SBVST p. Bukti: Ambil a, β SBVS p, maka terdapat kostata positif K da γ 1 sehigga k=m. m /γ Kemudia diambil b = /γ sehigga berlaku k=m. m b() Jadi a, β SBVST p da terbukti SBVS p SBVST p. Akibat 3.6. Jika 1 p <, maka SBVS p β SBVST p β. Bukti: Ambil a SBVS p β, maka a, β SBVS p, meurut Teorema 3.5. a, β SBVST p. Jadi a SBVS p β. Akibat 3.7. Utuk setiap a SBVST, maka a SBVST p a dega 1 p <. Bukti: Ambil a SBVST, maka terdapat kostata positif K da b(k) k=1 [0, ) sehigga berlaku m b() k=m a k Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 29
Diambil β = a = a, maka sehigga a, β SBVST p, jadi a SBVST p a. m b() k=m Teorema 3.8. Jika 1 p <, maka MVBVS p SBVS p. Bukti: Ambil a, β MVBVS p jadi terdapat kostata positif K da λ 2 sehigga berlaku a p 1/p k K utuk semua bilaga bulat positif da 1 p <. Kemudia sejala dega bukti Teorema 1.3. [6], bahwa K K 2 /λ 1 k= /λ 4 /λ 1 2λ 2 /λ 1 + + + k=2 /λ k=λ 2 /λ 2λ2 K sup m /λ k=m. Jadi a p 1 p k 2λ2 K sup m /λ K = 2λ 2 K. Terbukti MVBVS p SBVS p. k=m, sehigga a, β SBVS p dega Akibat 3.9. Jika 1 p <, maka MVBVS p β SBVS p β. Bukti: Ambil a MVBVS p β, maka a, β MVBVS p, meurut Teorema 3.8. a, β SBVS p. Jadi a SBVS p β, terbukti MVBVS p β SBVS p β. Akibat 3.10. Utuk setiap a MVBVS, maka a MVBVS p a SBVS p a dega 1 p <. Bukti: Ambil a MVBVS, maka terdapat kostata positif K da λ 2 sehigga berlaku a p 1/p k K utuk semua bilaga bulat positif da 1 p <. Diambil β = a = { a }, sehigga a p 1/p k K jadi a MVBVS p a da meurut Akibat 3.9 maka a SBVS p a. Terbukti a MVBVS p a SBVS p a. KESIMPULAN Kesimpula yag diperoleh dari pembahasa diatas adalah sebagai berikut. a k Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 30
1. Kostruksi klas SBVST p merupaka klas yag lebih umum dari klas SBVST da klas SBVS (Teorema 3.4 da Teorema 3.5) 2. Klas SBVST p merupaka geeralisasi dari klas MVBVS p (Teorema 3.5 da Teorema 3.8) 3. Utuk setiap a MVBVS, maka a MVBVS p a SBVS p a dega 1 p < (Akibat 3.10). Ucapa Terima Kasih. Peulis megucapka terima kasih atas dukuga dari Jurusa Matematika FMIPA UB da Program Studi S3 Jurusa Matematika FMIPA UGM. DAFTAR PUSTAKA [1] Belaidi,B. da El Farissi, A., Iequalities Betwee The Sum of Power ad The Expoetial of Sum of Noegative Sequece, Departmet of Mathematics Uiversity of Mostagaem, Mostagaem (Algeria). 2012. [2] Chaudy TW da Jollife AE, The Uiform Covergece of certai class trigoometric serie, Proc. Lodo, Soc. 15, 214-116, 1916. [3] Feg, F.J. da Zhou, S.P., O L 1 -Covergece Of Fourier Series Of Complex Valued Fuctios Uder The GM 7 Coditio, Acta Math, Hugar, 133(1-2), 2011. [4] Imro, M.A., Idrati, Ch.R.ad Widodo, O p-no Oe Sided Bouded variatio Sequeces ad Fuctios, Proc 2d Basic Sciece Iteratioal Coferece, Mathematics Departmet, FMIPA, UB, 2012. [5] Imro, M.A., Idrati, Ch.R.ad Widodo, Sifat-sifat Barisa da fugsi dasri klas p-mea Value Bouded variatio, Koferesi Nasioal Matematika 16, Upad, Badug, 2012 [6] Korus,P., Remark O the uiform Ad L 1 -Covergece Of Trigoometric Series, Acta Math. Hugar, 128(4), 2010. [7] Leidler, L., Best Approaximatio ad Fourier Coefficiets, Aal. Math, 31, 117-129 (2005). [8] Le, R.J. ad S. P. Zhou, A ew coditio for uiform covergece of certai trigoometric series, Acta Math Hugar, 108, 2005. [9] Liflyad,E. ad Tikhoov,S., The Fourier Trasforms of Geeral Mootoe Fuctios, Aalysis ad Mathematical Physics, Treds i Mathematics (Birchauser, 2009). Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 31
[10] Liflyad, E. Ad Tikhoov, S., A cocept of geeral mootoicity ad applicatios, Math Nachr, 284, No. 8-9, 2011. [11] Tikhoov,S., Best approximatio ad moduli of Smoothess computatio ad Equivalece Theorems, Joural of Approximatio Theory, 153 (19-39), 2008. [12]Yu, D.S. da Zhou, S.P., A Geeralizatio of Mootoicity Coditios ad Applicatios, Acta Math Hugar, 115(3), 2007. [13] Zhou, S.P., Zhou, P. da Yu, D.S., Ultimate geeralizatio to mootoicity for Uiform Covergece of Trigoometric Series, Sciece Chia Mathematics, 53(7), 1853-1862, 2010. Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 32