Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 BILANGAN BERPOLA YANG MERUPAKAN BENTUK KUADRAT SEMPURNA Problem 1. Tujukka bahwa bilaga 1... 1 2... 2 5 merupaka betuk kuadrat 2. Tetuka A jika A = 1... 1 5... 5 6 3. Tetuka A jika A = 4... 4 8... 8 9 4. Tetuka A jika A = 4... 4 5. Tetuka A jika A = 1... 1 6 2... 2 4 2 8... 8 96 da B = 10... 05 6. Jika A = 1... 1 7. Tetuka A jika A = 1... 1 2... 2 perlihatka bahwa AB 1 merupaka betuk kuadrat Utuk meyelesaika soal-soal tersebut, hal-hal berikut sagat membatu. (1) 1000 = 999 1 10 3 = 999 1 10 = 9... 9 1 = 9 1... 1 1 Jika B 1... 1 maka 10 = 9B 1 (2) 1111 = 1100 11 = 11 x 10 2 11 1... 1 = 1... 1 (3) 10 2 11 = 89; 10 3 111 = 889; 10 1... 1 10 1... 1 = 8... 8 9 Sutopo, Fisika UM 1 Iduksi
1. Tujukka bahwa bilaga 1... 1 2... 2 5 merupaka betuk kuadrat Beberapa kasus: Kojektur : 1... 1 2... 2 5 = 3... 3 5 1... 1 2... 2 5 = 1... 1 2... 2 10 25 = 1... 1 10 2 10 1... 1 25 = 10 (B. 10 2B) 25 = 10 (B (9B 1) 2B) 25 = 10 (9B 3B) 25 = 900B 300B 25 = (30B 5) = 30(1... 1) 5 2. Tetuka A jika A = 1... 1 5... 5 6 Beberapa kasus: A 2 A = 3... 3 0 5 = 3... 3 Kojektur : 1... 1 5... 5 6 = 3... 3 4 dega = 0, 1, 2,... Bukti A 2 A 1225 35 112225 335 11122225 3335 Sutopo, Fisika UM 2 Iduksi 5 1... 1 5... 5 6 = 1... 1 5... 5 1 = 1... 1 10 5 1... 1 1 = B. 10 5B 1 dega B 1... 1 = B (9B 1) 5B 1 = 9B 6B 1 = (3B 1) = 3(1... 1) 1 16 4 1156 34 111556 334 11115556 3334 = 3... 3 1 = 3... 4 = 3... 3 4
3. Tetuka A jika A = 4... 4 8... 8 9 Beberapa kasus: A 2 A 49 7 4489 67 444889 667 44448889 6667 kojektur : 4... 4 8... 8 9 = 6... 6 7 dega = 0, 1, 2,... Bukti 4... 4 8... 8 9 = 4... 4 8... 8 1 = 4 1... 1 10 8 1... 1 1 = 4B. 10 8B 1 dega B 1... 1 = 4B (9B 1) 8B 1 = 36B 12B 1 = (6B 1) = 6(1... 1) 1 = 6... 6 4. Tetuka A jika A = 4... 4 6 2... 2 4 1 = 6... 7 = 6... 6 7 Beberapa kasus: A 2 A 4624 68 446224 668 44462224 6668 4444622224 66668 kojektur : 4... 4 6 2... 2 4 = 6... 6 Bukti 4... 4 6 2... 2 4 = 4... 4 6 10 2... 2 4 2 8 dega = 1, 2,... = 4... 4 2 10 2... 2 2 Sutopo, Fisika UM 3 Iduksi
= (4B 2). 10 2B 2 dega B 1... 1 = (4B 2) (9B 1) 2B 1 = 36B 24B 4 = (6B 2) = 6(1... 1) 2 = 6... 6 2 = 6... 8 = 6... 6 8 5. Tetuka A jika A = 1... 1 2 8... 8 96 Beberapa kasus: A 2 A 1296 36 112896 336 11128896 3336 1111288896 33336 kojektur: 1... 1 2 8... 8 96 = 3... 3 1 2 6 dega = 0, 1, 2,... Bukti 1... 1 2 8... 8 96 = 1... 1 1 10 8... 8 8 = (B 1). 10 8B 8 dega B 1... 1 = (B 1) (9B 1) 8B 8 = 9B 18B 9 = (3B 3) = 3(1... 1) 3 = 3... 3 3 = 3... 6 = 3... 3 6 Sutopo, Fisika UM 4 Iduksi
6. Jika A = 1... 1 da B = 10... 05 perlihatka bahwa AB 1 merupaka betuk kuadrat Beberapa kasus: A B AB1 AB 1 1 15 16 4 11 105 1156 34 111 1005 111556 334 1111 10005 11115556 3334 kojektur: 1... 1 10... 05 1 = 1... 1 5... 5 6 = 3... 3 2 4 dega = 0, 1, 2,... Kojektur pertama: 1... 1 10... 05 1? 1... 1 5... 5 6 dega = 0, 1, 2,... 1... 1 10... 05 1 = 1... 1 (10 5) 1 Kojektur kedua: 1... 1 5... 5 = 1... 1 10 5... 5 1 = 1... 1 5... 5 1 = 1... 1 5... 6, dega = 1, 2, 3 = 1... 1 5... 5 6, dega = 0, 1, 2,... terbukti 6? 3... 3 1... 1 5... 5 6 = 1... 1 10 5... 5 1 2 4 dega = 0, 1, 2, = 1... 1 (9... 9 1) 5... 5 1 1 1 1 = A(9A 1) 5A 1 dega A =1... 1 da = 0, 1, 2, = 9A 6A 1 = (3A 1) = 3 1... 1 1 1 = 3... 34 1 = 3... 3 4 terbukti Sutopo, Fisika UM 5 Iduksi
2 Kojektur ketiga: 1... 1 10... 05 1? 3... 3 4 dega = 0, 1, 2,... 1. 10... 05 = 10 5 = 9... 9 1 5 = 9A 6 dega A 1... 1 da = 0, 1, 2,... 2. 1... 1 10... 05 1 = A(9A 6) 1 = 9A 6A 1 = (3A 1) = 3... 34 1 = 3... 3 4 terbukti 7. Tetuka A jika A = 1... 1. Beberapa kasus: 2... 2 Kojektur: 1... 1 2... 2 = 1... 1 0 8...89 =3... 3 Bukti kojektur pertama: 1... 1 1... 1 2... 2 1... 1 2... 2 2 (1) (2) (1)-(2) 11 2 9 3 1111 22 1089 33 111111 222 110889 333 11111111 2222 11108889 3333? 2... 2 = 1... 1 10 1... 1 = 2(1... 1 (1) (2) = 1... 1 10 1... 1 A 2 1... 1 0 8...89 ).. (2) A.. (1) Lihat catata o (2) di box = 1... 1 0 1 10 1... 1 = 1... 1 10 10 1... 1 = 1... 1 10 8.. 89 Lihat catata o (3) di box Sutopo, Fisika UM 6 Iduksi
= 1... 1 0 10 8.. 8 9 = 1... 1 0 8.. 8 9 terbukti Bukti kojektur kedua: 1... 1 0 8...89? 3... 3 1... 1 0 8...8 9 = 1... 1 0 10 8...8 1 = 1... 1 1 10 8...8 1 = (A 1)(9A 1) 8A 1, dega A 1... 1 = 9A A 9A 1 8A 1 = 9A = (3A) = 3... 3 Terbukti Sutopo, Fisika UM 7 Iduksi
Meemuka pola pada deret matemika PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA Misalka () merupaka peryataa dalam bilaga asli yag memeuhi: (1) bear, da jika (k) bear maka (k1) maka () bear utuk sebarag bilaga asli. Cotoh: Buktika bahwa: 1 3 5 (2-1) = 2 : (1) = 1 = 1 2, bear Diassumsi bear utuk = k, maka (k) = 1 3 5 (2k -1) = k 2. o Dibuktika bahwa bear utuk = k 1 o (k1) = 1 3 5 (2k -1) {2(k1) -1} = k 2 2k 2 1 = k 2 2k 1 = (k1) 2, terbukti Karea terbukti bahwa (1) bear da juga terbukti bear utuk sebarag = k 1, maka bear bahwa 1 3 5 (2-1) = 2. Problem 1. Hitug S = k = 1 2 2. Hitug S = k 3. Hitug S = k 4. Hitug S = 5. Hitug S = 6. Hitug S = 7. Hitug S = () = 1 2 = 1 2 ()() ()() ()() =.. () =... =... =... 8. Hitug S = a = a a a a, a 1 ()() ()() ()() Sutopo, Fisika UM 8 Iduksi
9. Hitug S = 10. Hitug S = = = ()...... () 1. Soal 1: Hitug S = k = 1 2 S = k S = ( 1) 2 = 1 2 adalah deret aritmatika dega U 1 = 1, =, da U =, maka (i)(1): S bear utuk = 1, sebab 1(11)/2 = 1 (ii) Diasumsika bahwa (k) bear: S bear utuk = k, yaitu S = () bear. Aka dibuktika bahwa (k1), yaitu S = ()() juga bear. Bukti S = S U = () : S = k (k 1) = ()() = 1 2 = () = ()() bear utuk sebarag asli. Bear 2. Soal 2: Hitug S = k = 1 2 Suku-suku pada S = k = 1 2 mirip dega soal omor 1, yaitu megadug derete bilaga asli 1, 2, 3,,. Maka jumlaha tersebut dapat diduga memuat factor (1). Ambil beberapa kasus pertama utuk medapatka pola: S 1 = 1 = 1(12)/2 diduga: S = () S 2 = 14 = 5. dugaa: S =. = 3 (Salah). Ugkapa baru yag prospektif:s =.. diduga: S = ()(). Dugaa baru ii cocok dega S 1. S 3 = 149 = 14. dugaa: S =.. = 14 (BENAR). Dugaa terbaik: S = ()() selajutya diuji dega prisip iduksi matematika (PIM). (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. = 5 Sutopo, Fisika UM 9 Iduksi
S = S U = ()() = ()( ) (k 1) = (){()()} = ()()() = S utuk = k1 S = k = 1 2 = ()() bear utuk semua asli. 3. Soal 3: Hitug S = k = 1 2 Suku-suku pada S = k = 1 2 mirip dega soal omor 1 da 2. Maka jumlaha tersebut dapat diduga memuat factor (1). Ambil beberapa kasus pertama utuk medapatka pola: S 1 = 1 = 1(12)/2 diduga: S = () S 2 = 18 = 9. dugaa: S =. S = (). Dugaa baru ii cocok dega S 1. = 3 (Salah). Dugaa: perlu diuadratka. diduga: S 3 = 1 8 27 = 36 = 6 2. cocok dega dugaa: S =. = 6. Dugaa terbaik S = k = 1 2 = () selajutya dibuktika dg PIM (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. S = S U = () (k 1) = () ()() = () ( ) = () () = ()() = S utuk = k1 S = k = 1 2 = (k1)(k2) bear utuk semua asli. 2 Sutopo, Fisika UM 10 Iduksi
4. Soal 4. Hitug S = () =.. () Faktor 1/(1) lebih domia daripada factor 1/ pada S = = ().. Oleh sebab itu, jumlaha tersebut diduga sagat ditetuka oleh factor 1/(1) Ambil beberapa kasus pertama utuk medapatka pola: S 1 = = = diduga: S. = S = =. dugaa: S = X = 2 diduga: S = dega S 1. S = = =.. cocok dega dugaa: S =. Dugaa terbaik S = () =.. = (). (). Dugaa baru ii cocok. selajutya dibuktika dg PIM (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. S = S U = = S utuk = k1 S = () () =.. = () = = = ()() ()() ()() = () bear utuk semua asli. () 5. Hitug S = ()() =... ()() Faktor (21) lebih domia daripada (2-1) pada S ==.. sebab itu, jumlaha tersebut diduga sagat ditetuka oleh factor 1/(21) Ambil beberapa kasus pertama utuk medapatka pola: S 1 = = = diduga: S. = S = =. Berdasar dugaa: S = = (BENAR).. Perlu ditujukka bahwa S = bear utuk sebarag.. ()(). Oleh (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. Sutopo, Fisika UM 11 Iduksi
S = S U = ()() = () ()() = ()() = ()() ()() = () = S utuk = k1 S = ()() =... ()() = bear utuk semua asli. 7. Hitug S = ()() =... ()() ()() Faktor 2 da (21) domia dalam S = =... karea itu, kedua factor tersebut dapat diguaka sebagai acua pedugaa pola. Ambil beberapa kasus pertama utuk medapatka pola: S 1 = = = diduga: S. = S = =. Berdasar dugaa: S =. = (SALAH, ada selisih ). ()(). Oleh dugaa baru: S = () () sehigga S = () (.) = (bear)da S = (bear). Dugaa terbaik: S = () selajutya diuji dega PIM. () (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. S = S U = () () = ()()() = (){()}() () ()() ()() ()() S = ()() = (){()()} ()() utuk = k1 =... = ()() () ()() = () () = () = ()() () = S bear utuk semua asli. Sutopo, Fisika UM 12 Iduksi
8. Hitug S = a = a a a a, a 1 Jumlaha S = a = a a a a merupaka jumlaha deret geomeri dega a 0 = r = a, maka S = a. Pembuktia dega PIM: (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. S = S U = ( ) S = a 9. Hitug S = () a = () = = a = S utuk = k1 = () = a a a a = a, dega a 1, bear utuk semua asli. Betuk dapat diubah mejadi1. Maka S = 1 = = =. S = = =. 10. Hitug S = = ().... Faktor 2 k palig domia dalam S = diduga memuat betuk 2... () = ().... Ambil beberapa kasus pertama utuk medapatka pola: S 1 = =. diduga: S =.. (). Maka, S S = = =. Berdasar dugaa: S = (SALAH, ada selisih = dugaa baru: S = = 1 () () Dugaa terbaik tsb selajutya perlu diuji dega PIM. () ).. Dugaa ii bear utuk = 1 da =2. (1) terbukti bear, maka diasumsika (k) bear, yaitu S bear utuk sebarag = k. Harus dibuktika bear utuk = k1, yaitu (k1) bear. Sutopo, Fisika UM 13 Iduksi
S = S U = 1 S = 2 (k1)2 k1 ()() = 1 ()() = 1 ()() = 1 ()() ()() = 1 = ().... = 1 = S () () utuk = k1 = 1.. () () () bear utuk semua asli. Moho maaf jika ada salah-salah, karea sagat mugki terjadi kesalaha akibat tekik copy & paste Tulisa tersebut haya sekedar pemikira. Jika ada salah mugki saja peulis haya peggemar da peggua matematika Sutopo, Fisika UM 14 Iduksi