Jural MIPA 38 () (5): 68-78 Jural MIPA http://ouraluesacid/u/idephp/jm APROKSIMASI ANUIAS HIDUP MENGGUNAKAN KOMBINASI EKSPONENSIAL LJ Siay S Gurito Guardi 3 Jurusa Matematia FMIPA Uiversitas Pattimura Ambo 3 Jurusa Matematia FMIPA UGM Yogyaarta Ifo Artiel Searah Artiel: Diterima Februari 5 Disetuui Maret 5 Dipubliasia April 5 Keywords: Life auity the distributio of later life time distracted Jacobi polyomial epoetial combiatio Maeham law Abstra Auitas hidup adalah suatu ragaia pembayara yag dibuat secara otiu atau dalam iterval watu tertetu (seperti bulaa warter semester tahua da lailai) yag dipegaruhi oleh fator elagsuga hidup seseorag Peelitia ii bertuua utu megaprosimasi ilai-ilai auitas hidup Nilai-ilai tersebut diperoleh dari hasil aprosimasi distribusi watu hidup yag aa datag (future lifetime) Aprosimasi distribusi watu hidup yag aa datag tersebut didasara atas poliomial Jacobi teraliha dimaa aprosimasi tersebut meghasila suatu betu ombiasi espoesial Selautya betu tersebut diguaa utu megaprosimasi distribusi dari auitas hidup Dalam studi asus hasil umeri yag diperoleh dalam peelitia ii merupaa hasil aprosimasi distribusi watu hidup yag aa datag dega megguaa huum Maeham emudia hasil tersebut diguaa utu meetua ilai-ilai auitas hidup Hasil-hasil yag diperoleh dalam studi asus tersebut sagat aurat Abstract Life auity is a series of paymets made cotiuously or i certai time itervals (such as mothly quaterary semester aual etc) it is iflueced by a perso's survival his study aims to aproimate life auity values hose values are obtaied from the approimatio of the later life time distributio (future lifetime) Approimatio distributio of later life time is based o polyomial Jacobi sidetraced where approimatio produces a combiatio of epoetial form Furthermore the form used to aproimate the distributio of life auity I the case study the umerical results obtaied i this study were the result of a life time distributio approimatio that would come with usig the Maeham law; the the results were used to determie the values of life auity he results obtaied i the case studies are very accurate 5 Uiversitas Negeri Semarag Alamat orespodesi: E-mail: lsiay@staffupattiacid gurito3@yahoocom 3 guardiugm@yahoocom ISSN 5-9945 68
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 PENDAHULUAN Auitas secara umum diartia sebagai suatu ragaia pembayara yag dibuat dalam itervaliterval watu tertetu dari suatu masa pembayara Auitas ii disebut sebagai auitas pasti area tida dipegaruhi oleh suatu probabilitas Auitas yag dipegaruhi oleh peluag hidup seseorag disebut sebagai auitas hidup Dega demiia auitas hidup adalah suatu ragaia pembayara yag dibuat secara otiu atau dalam iterval watu tertetu (seperti bulaa warter semester tahua da lai-lai) yag dipegaruhi oleh fator elagsuga hidup Seperti yag dietahui bahwa peghituga auitas hidup sagat bergatug pada peluag hidup seseorag Dietahui bahwa usia hidup seseorag pada watu yag aa datag tida dapat dietahui secara pasti Utu itu perlu adaya suatu distribusi peluag yag disesuaia dega usia hidup seseorag sehigga dapat meghitug peluag hidup orag tersebut Distribusi yag dimasud adalah distribusi peluag dari watu hidup yag aa datag (future lifetime) atau serig disebut sebagai distribusi watu hidup yag aa datag Dalam statistia ada beberapa distribusi husus yag dapat diguaa utu membetu peluag hidup seseorag seperti distribusi espoesial pareto da lai-lai Pada umumya distribusi-distribusi tersebut megguaa betu espoesial Dalam matematia da statistia betu espoesial sagat petig dalam peerapaya Betu espoesial baya diguaa dalam membetu fugsi-fugsi husus utu meetua suatu distribusi peluag Pegguaa betu espoesial memberia suatu emudaha dalam berbagai peghituga Pegguaa betu espoesial serig diombiasia dega beberapa fugsi tertetu utu pegolaha data da aprosimasi Dalam peelitia sebelumya Dufrese (6) megguaa betu ombiasi espoesial utu fittig distribusi Kemudia betu ombiasi espoesial diguaa utu meetua auitas hidup stoasti da hasil yag diperoleh sagat aurat (Dufrese 7) Dalam peelitia Petury et al () megguaa ombiasi espoesial utu megaprosimasi distribusi watu hidup yag aa datag Di sisi lai ombiasi espoesial diguaa utu aprosimasi tabel mortalita da hasil yag diperoleh sagat aurat (Siay & Satyahadewi 4) Berdasara uraia di atas maa masalah yag diagat dalam peelitia ii adalah bagaimaa hasil aprosimasi auitas hidup megguaa ombiasi espoesial Dega demiia peelitia ii bertuua utu membetu aprosimasi distribusi watu hidup yag aa datag (future lifetime) dega megguaa ombiasi espoesial Kemudia betu tersebut diguaa utu megaprosimasi distribusi dari auitas hidup Simbol Pochhammer utu suatu bilaga a diotasia dega a didefiisia seperti beriut a a aa a Dega demiia fugsi hipergeometri Gauss yag diotasia dega F ; dapat didefiisia seperti beriut c a ; a b b cb z F a b c z zt t t dt b c b c! dega z c b Re Re Misal X adalah variabel radom otiu yag megiuti usia hidup seseorag (dari elahira sampai ematia) Utu usia hidup diberia percepata mortalitas yag didasara atas huum Maeham seperti beriut A Bc R Persamaa ii serig disebut sebagai hazard rate atau failure rate Berdasara hazard rate atau failure rate teresbut dapat diperoleh fugsi survival distribusi Maeham seperti persamaa () 69
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 y ep S ep y dy A Bc dy y c c ep Ay B ep A B log c log c B epa mc dega m () log c MEODE PENELIIAN Peelitia ii megguaa metode studi literatur (pustaa) yaitu megumpula iformasiiformasi berupa teori-teori emudia megaalisa teori-teori tersebut da megapliasiaya dalam studi asus Studi asus yag diguaa dalam peelitia ii berupa simulasi da software yag diguaa adalah Mathematica HASIL DAN PEMBAHASAN Distribusi Watu Hidup yag Aa Datag Misal variabel radom X memilii distribusi watu hidup Dega demiia adalah usia hidup dari seseorag yag diotasia dega Watu hidup yag aa datag (future lifetime) dari adalah X yag diotasia dega atau atau utu lebih simpel cuup ditulis dega otasi ; merupaa variabel radom yag bergatug pada Beriut aa diberia cdf dari yaitu F t P t tr () Betu cdf dari yag diberia pada persamaa () merupaa peluag meiggal dalam aga watu t tahu Betu ii serig diotasia dega t q Dega demiia peluag utu hidup selama t tahu adalah P R p q t t t t Karea t q adalah suatu cdf utu variabel radom maa t p merupaa ccdf dari yag F F t merupaa peluag dapat ditulis sebagai t Perhatia bahwa dapat hidup mecapai t tahu sehigga dapat diperoleh hubuga atara fugsi survival F t seperti persamaa (3) F t t P P X t X P X t X t S S da ccdf S utu setiap t R (3) Aprosimasi Distribusi megguaa Kombiasi Espoesial Kombiasi Espoesial Beriut ii aa diberia betu umum dari suatu ombiasi epoesial dega medefiisia sebuah fugsi yag berbetu t t f t a e (4) di maa a adalah osta Fugsi ii adalah fugsi desitas peluag (pdf) ia (a) a ; (b) utu setiap ; (c) f utu setiap Kodisi (a) da (b) meyataa bahwa fugsi teritegral utu atas R amu tida utu odisi (c) Jia a utu semua maa persamaa (4) disebut sebuah miture of epoetials atau disebut uga sebagai distribusi hiper-espoesial eorema (a) Misal variabel radom o egatif Maa terdapat suatu barisa variabel radom masig-masig dega suatu pdf yag diberia oleh suatu ombiasi espoesial 7
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 da sedemiia sehigga overge dalam distribusi e (b) Jia distribusi tida mempuyai atom maa t lim sup F t F t Buti uua dari pembutia eorema bagia (a) adalah meemua suatu barisa dari ombiasi espoesial yag overge dalam distribusi e suatu variabel radom ataa barisa variabel radom tersebut adalah Ambil sebarag t R sedemiia sehigga dapat dibuat iterval t Misala bahwa X adalah suatu barisa variabel radom yag idepede terhadap dega desitasya merupaa ombiasi espoesial yag overge dalam distribusi e t Maa terdapat variabel radom dega X t Dega demiia utu megaibata overge e sehigga utu setiap lim F t F t t C F Secara euivale dapat diataa bahwa overge dalam distribusi e Beriut ii aa diperlihata bahwa pdf dari merupaa suatu ombiasi espoesial Karea dietahui bahwa desitas dari X merupaa ombiasi espoesial sehigga betu desitas dari beriut: f X a e adalah X dapat diberia seperti Dietahui bahwa betu umum desitas f t f t u df u X t Dega demiia utu setiap variabel radom betu desitasya dapat diperoleh seperti beriut: f t f t u df u X t t u a e e df u ut t t t y a e e e df y y t t y t t tt y a e e df y Itegral dalam espresi terahir dari f t di atas memilii esamaa ilai utu semua t (tapi tida utu t ) Dega demiia betu ombiasi espoesial tetap dipertahaa Sehigga dapat disimpula bahwa f t adalah suatu ombiasi espoesial utu semua t Dega ata lai desitas dari betu ombiasi espoesial merupaa suatu Aggap bahwa otiu da misal suatu barisa variabel radom yag overge pada dalam distribusi Diberia sebarag area otiu megaibata terdapat titititi t t m yag memeuhi F t F t F t m F tm maa terdapat sedemiia sehigga utu ita milii F t F t m 7
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 Aa dituua utu setiap t R berarti ada tiga iterval yaitu utu dapat diperoleh seperti beriut: maa Pertama ia t t t m F t F t F t F t F t F t F t F t Kedua ia t t maa F t F t F t F t F t Ketiga ia t t m maa F t F t F t F t F t m Jadi utu setiap t R da utu setiap terdapat N sedemiia sehigga utu setiap berlau F t F t t Hal ii euivale dega lim sup F t F t Poliomial Jacobi eraliha Pada umumya betu poliomial Jacobi dapat didefiisia seperti beriut P F ;! utu Dietahui uga bahwa poliomial Jacobi ortogoal atas iterval utu fugsi bobot Kemudia betu poliomial Jacobi teraliha (shifted Jacobia polyomials) dapat diturua seperti beriut: R P F ;! Gauss da di maa F adalah fugsi hipergeometri!! Dega demiia poliomial Jacobi teraliha ortogoal atas dega fugsi bobotya adalah w Sifat-sifat dari poliomial Jacobi teraliha dapat diberia utu suatu fugsi yag terdefiisi atas (termasu semua fugsi otiu da terbatas) sedemia sehiga c R c R d h h R d! Aprosimasi Distribusi Watu Hidup Yag Aa Datag Berdasara teori shifted Jacobi polyomials yag diberia pada bagia sebelumya maa teori tersebut dapat diterapa e dalam suatu distribusi peluag atas R dega cara seperti beriut ii Misal Ft adalah cdf da misal P Ft merupaa ccdf Ft serig disebut uga sebagai F da F utu F t F t t (ompleme cdf) fugsi survival Jia t Misal meyataa watu sampai F t p ematia dari usia hidup maa t Dietahui bahwa r g F log r g Pemetaa yag teradi dari betu ii merupaa pemetaa pada yag maa t berorespodesi dega da t berorespodesi dega Dietahui uga bahwa F maa dapat diperoleh sedemiia rupa sehigga g 7
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 Misal parameter-parameter p da b dietahui sedemiia sehigga dega meerapa shifted Jacobi polyomials dapat diperoleh p g b R Euivale dega rt prt rt prt F t g e e b e b e Betu di atas memilii esamaa dega betu (4) utu pr utu Jia p suatu ombiasi espoesial dapat diperoleh dega cara pemotoga umlaha dari deret di atas Berdasara betu dari deret yag diberia di atas maa ostata b dapat ditemua seperti beriut: p b g R d h r h p rt rt rt e e R e F t dt (5) Dega demiia betu (5) merupaa ombiasi dari betu p rt rt e e F tdt Jia maa dapat diperoleh E st st st e F t dt F t d e e s s s Hal ii berarti ostata b dapat diperoleh dega megguaa trasformasi Laplace dari distribusi Dega demiia dapat diberia eorema beriut ii yag merupaa oseuesi lagsug dari shifted Jacobia polyomials eorema otiu atas Misal diberia fugsi beriu ii prt e F t da yag memilii sebuah limit yag berhigga utu t meuu ta higga utu beberapa pr (hal ii selalu bear di maa p ) Maa prt rt F t e b R e (6) Utu setiap t da overge seragam atas setiap iterval a b utu a b ida semua distribusi terodisi dalam eorema Hasil dalam teorema beriut tida membutuha asumsi ii eorema 3 Misal da utu beberapa pr da r prt rt e e F t dt (ii selalu bear ia p ) Maa N prt rt prt rt lim F t e b R e e e dt N Pemotoga umlaha dari deret yag diperoleh dega megguaa metode ii bualah fugsi distribusi yag sebearya Ii merupaa suatu aprosimasi dari betu ccdf distribusi Fugsi yag diperoleh dari metode ii bisa lebih ecil dari atau lebih besar dari atau fugsi tersebut mugi saa turu pada beberapa iterval Distribusi Auitas Hidup Misal suatu auitas yag pembayaraya sebesar yag dilaua secara otiu adalah s e a e ds (7) Di maa log i merupaa percepata tigat buga (force of iterest) dega i adalah tigat buga (iterest rate) sehigga e merupaa suatu ilai searag Dega demiia Suatu auitas seumur hidup dapat diembaga 73
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 utu suatu pembayara sampai ematia dega megguaa ilai searag dari suatu auitas pasti otiu yag diberia dalam persamaa (6) Misal meyataa watu hidup yag aa datag dari seseorag yag berusia ; orag berusia dapat diotasia dega Dega demiia merupaa suatu variabel radom yag memilii distribusi watu hidup aa datag Misal Y adalah suatu variabel radom yag meyataa ilai searag dari suatu pembayara secara otiu maa dapat diyataa sebagai Y a utu setiap Berdasara hubuga di atas maa fugsi distribusi dari Y dapat diperoleh seperti beriut: e FY y PY y Pa y P y log y Pe y P log y F utu y (8) Jelas bahwa fugsi distribusi dari Y didasara atas fugsi distribusi Dega demiia pdf dari Y dapat diperoleh f y d F y d log y F f log y dy dy y Y Y utu y Epetasi Y dapat diperoleh seperti beriut: E E t Y a a F t t dt e F t dt tr (9) di maa t mortalitas dari Nilai adalah percepata E Y serig disebut uga sebagai ilai searag atuaria (actuarial preset value disigat APV) utu suatu auitas seumur hidup otiu dari usia hidup diotasia dega a Kemudia utu memberi uura tigat resio ematia dari suatu auitas hidup otiu variasi dari Y sagat diperlua Sebelum itu dimisala bahwa Z e maa mome e- dari Z dapat diberia dalam sebagai beriut: E Z E e e f t dt Berdasara hasil tersebut maa dapat diperoleh V Z E Z E Z E e E e E E serig Dalam atuaria Z e diotasia dega A Beriut ii dapat diberia betu dari variasi Y sebagai beriut: e VY V a e V V E e e E A A () Perhatia bahwa a e sehigga V a e Ii artiya bahwa tida terdapat tigat resio ematia utu ombiasi dari suatu auitas hidup otiu terhadap tiap tahu da suatu asurasi iwa sebesar dapat dibayara pada saat ematia Studi Kasus Hasil-hasil yag diperoleh pada bagia ii didasara atas huum Maeham seperti yag diberia pada bagia sebelumya dega parameter-parameter seperti beriut: A 7 ; 5 B 5 ; 4 c yag megiuti Bowers et al (997) Berdasara persamaa () maa dapat diperoleh F t t R S t S e 9648 549 549 9648 t 7 t Hasil ii dapat diterapa utu usia hidup 3 da 65 maa diperoleh 74
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 86 9648 t 7 t F t P 3 t 864e da t F t P65 t 45e 6 9648 7 t Ii merupaa betu esa dari ccdf 3 da 65 secara berturut-turut Aprosimasi Distribusi Watu Hidup yag Aa Datag Hasil aprosimasi yag diperoleh pada bagia ii didasara atas persamaa (f) dega megguaa parameter-parameter beriut p r 8 (Dufrese 7) Secara sigat hasil aprosimasi ccdf dapat ditulis seperti beriut: N t c e dega p F t N r Betu ii disebut uga sebagai aprosimasi N - bagia dari bagia dari Ft Utu hasil aprosimasi 8- Ft dapat dilihat pada abel abel Hasil aprosimasi 8-bagia dari Ft 6 39963 333 96 96 8636 76 9358 745 3 56 8 75 4 336 98347 4478 5 46 4793 6 56749 6 496 43 7 49369 6 7 576 9396 7 967 7 8 656 38634 8 88543 7 9 736 5797 9 693 8 86 5447 9 4654 8 896 4344 9 765 8 976 497883 9 868 8 3 56 4393 9 734 8 4 36 7539 9 46957 8 5 6 63 9 7559 8 6 96 96656 8 43767 7 7 376 345 7 498999 6 Sumber: Pegolaha Data megguaa software Mathematica igat etelitia dari hasil aprosimasi dari distribusi watu hidup yag aa datag utu N bagia yag berbeda dapat dilihat pada abel Berdasara abel dapat dilihat bahwa aprosimasi 8-bagia dari Ft lebih aurat area memilii ilai yag palig ecil bai itu utu usia 3 tahu ataupu 65 tahu Secara visual dapat dilihat bahwa hasil aprosimasi 8-bagia lebih bai area pola grafiya hampir sama dega betu esaya bai itu utu usia 3 75
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 tahu ataupu 65 tahu Grafi distribusi watu hidup yag aa datag dapat dilihat pada Gambar Sumber: Pegolaha Data megguaa software Mathematica Gambar Distribusi watu hidup yag aa datag abel Estimasi tigat etelitia dari N - bagia aprosimasi Ft 3 4 8 5 3 43 7 98 98 798 65 8 43 Sumber: Pegolaha Data megguaa software Mathematica Aprosimasi Auitas Hidup Berdasara hasil sebelumya diperoleh bahwa hasil aprosimasi 8-bagia dari Ft lebih bai Dega demiia maa meghitug ilai aprosimasi auita hidup pada bagia ii megguaa aprosimasi 8-bagia dari distribusi watu hidup yag aa datag dega parameterparameter yag diberia pada bagia sebelumya Dega demiia utu 6 ccdf distribusi auitas hidup dari usia 3 tahu da 65 tahu dapat ditetua dega megguaa persamaa (8) Secara visual ccdf distribusi auitas dapat diperlihata seperti Gambar Berdasara Gambar dapat dilihat bahwa aprosimasi distribusi auitas hidup utu usia hidup 3 tahu da 65 tahu sagat bai area grafi aprosimasi da grafi esa tida ada perbedaa yag sigifia Haya pada usia 3 tahu grafi esa aga sediit berbeda Hal ii diareaa Hal ii diareaa error yag diberia oleh hasil aprosimasi 8-bagia dari distribusi watu hidup yag aa datag utu usia hidup 65 tahu lebih bai dibadiga usis hidup 3 tahu 76
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 Sumber: Pegolaha Data megguaa software Mathematica Gambar ccdf distribusi auitas hidup Kemudia mea da variasi distribusi auitas hidup utu 6 secara berturut-turut dapat dihitug dega megguaa persamaa (9) da () diperlihata pada abel 3 Pada tabel 3 dapat dilihat bahwa hasil aprosimasi sagat aurat abel 3 Hasil dari distribusi auitas hidup utu 6 Usia 3 ahu Usia 65 ahu Esa Aprosimasi Esa Aprosimasi Mea 49999 49994 979 979 Variasi 463 4 7695 796 Deviasi Bau 647 4534 3575 35679 Sumber: Pegolaha Data megguaa software Mathematica Hasil peghitugaga ilai-ilai auitas hidup yag dihasila oleh usia 3 tahu da 65 bai secara esa ataupu aprosimasi dapat dilihat pata abel 4 Secara eseluruha ilai-ilai auitas yag diperoleh dari aprosimasi distribusi watu hidup yag aa oleh suatu ombiasi espoesial sagat bai da medeati ilai sebearya abel 4 Nilai-ilai auitas hidup Esa Aprosimasi Esa Aprosimasi 45669 45865 55 5535 35669 34877 4838 489 8888 86495 844 848 3 3879 3838 764 7639 4 36 83 89 5 7437 7397 99978 99978 6 49999 49994 979 979 7 399 3 8678 8678 8 7848 785 8565 8565 9 65 67 75468 75468 9636 96363 793 793 8877 8877 66799 66799 8 8 6395 6395 3 7548 7548 5974 5974 4 77 77 56696 56696 5 65546 65546 5399 5399 Sumber: Pegolaha Data megguaa software Mathematica 77
LJ Siay S Gurito Guardi / Jural MIPA 38 () (4): 68-78 SIMPULAN Berdasara hasil-hasil peelitia yag diberia dalam peulisa ii maa dapat disimpula bahwa auitas hidup dapat diprosimasi dega megguaa aprosimasi ccdf dari distribusi watu hidup yag aa datag oleh persamaa prt rt F t e b R e yaitu dega melaua pemotoga terhadap umlaha dari deret tersebut Misal pemotoga deret di atas dalam N bagia maa hasil dari aprosimasi tersebut dapat diyataa dalam betu F t N c e t N Secara dega p r umeri hasil aprosimasi auitas hidup megguaa ombiasi espoesial atas aprosimasi distribusi watu hidup yag aa datag sagat aurat DAFAR PUSAKA Bowers NL Gerber HU Hicma JC Joes DA & Nesbitt CJ 997 Actuarial Mathematics Secod editio Society of Actuaries Schaumburg Illiois Dufrese D 6 Fittig Combiatios of Epoetials to Probability Distributios o appear i Applied Stochastic Models i Busiess ad Idustry Dufrese D 7 Stochastic Life Auities North America Actuarial Joural Volume Number : 36-57 Petury Mataupa RW & Siay LJ Aprosimasi Distribusi Watu Hidup Yag Aa Datag Jural Bareeg Volume 5 Nomor : 47-5 Siay LJ & Satyahadewi N 4 Aprosimasi abel Mortalita Megguaa Persamaa Dufrese Prosidig Semiar Nasioal Matematia da Statistia Potiaa: 445-453 78