MENENTUKAN PELUANG RUIN DENGAN METODE KOMBINASI EKSPONENSIAL Karmila 1*, Hasriati 2, Haposa Sirait 2 1 Mahasiswa Program S1 Matematika 2 Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas Riau Kampus Bia Widya 28293 Idoesia * chelsea_holic@rocketmail.com ABSTRACT This paper discusses the probability of the state whe surplus become egative at the first time i the isurace. That is called the probability of rui, for the claim amout is supposed to be a combiatio of expoetial distributio. We assume that the claim umber distributio is Poisso ad the waitig time distributio of the claim is expoetial. I this paper, we determie the rui probability for the claim amout, assumig that it is a combiatio of expoetial distributio, which is called combiatio of expoetial method. Keywords: combiatio of expoetial distributio, expoetial distributio, poisso distributio, rui probability ABSTRAK Kertas kerja ii membahas tetag peluag dari keadaa dimaa surplus berilai egatif utuk pertama kaliya yag disebut dega peluag rui, utuk besar klaim yag berdistribusi kombiasi ekspoesial. Dalam kasus ii, diasumsika bayak klaim berdistribusi Poisso da waktu tuggu terjadi klaim berdistribusi ekspoesial. Meetuka peluag rui dari besar klaim yag berdistribusi kombiasi ekspoesial disebut dega metode kombiasi ekspoesial. Kata kuci: distribusi kombiasi ekspoesial, distribusi ekspoesial, distribusi poisso, peluag rui 1. PENDAHULUAN Utuk megatisipasi kemugkia adaya kerugia keuaga yag mugki terjadi di masa yag aka datag karea kejadia-kejadia yag tidak diharapka, maka seseorag megikuti program asurasi. Pada program asurasi, perusahaa asurasi membuat perjajia, yag terdapat dalam polis asurasi, dega peserta asurasi. Peserta asurasi disebut dega pemegag polis. Pemegag polis harus membayar premi sesuai dega kesepakata yag ada dalam polis asurasi, da perusahaa asurasi aka memberika jamia berupa sejumlah uag yag disebut dega klaim. Dalam perusahaa asurasi, proses surplus adalah suatu proses akumulasi dari kekayaa yag diperoleh dega mejumlahka modal awal dega premi 1
yag dibayar oleh setiap pemegag polis kemudia dikuragi dega total besar klaim yag dikeluarka oleh perusahaa asurasi. Misalka total besar klaim yag harus dikeluarka perusahaa asurasi lebih besar dari jumlah modal awal da total premi yag dibayar oleh setiap pemegag polis, maka besarya surplus yag dimiliki perusahaa asurasi aka mejadi egatif. Besarya surplus mejadi egatif utuk pertama kali disebut dega rui [1]. Terjadiya klaim pada suatu perusahaa asurasi tidak dapat diprediksi, karea terjadiya klaim merupaka kejadia radom da besar klaim diyataka sebagai variabel radom [4]. Sehigga besarya klaim aka mempuyai distribusi probabilitas. Diasumsika besar klaim berdistribusi kombiasi ekspoesial. Meetuka peluag rui pada perusahaa asurasi utuk besar klaim yag berdistribusi kombiasi ekspoesial disebut dega metode kombiasi ekspoesial. Pada peelitia ii peulis sekedar medetailka jural ilmiah yag ditulis oleh Dufrese & Gerber dega judul Three Methods to Calculate the Probability of Rui [2]. 2. PELUANG RUIN DAN DISTRIBUSI BESAR KLAIM Pada bagia ii dibahas megeai peluag rui da distribusi dari besar klaim yag diberika oleh [2] da [3]. Pada perusahaa asurasi, terdapat suatu proses surplus. Pada [3], misalka c merupaka laju pertumbuha icome premi (kosta) per satua waktu t, S t merupaka pembayara klaim agregat saat t, da u meyataka modal awal, maka proses surplus pada saat t dapat diyataka dega U t = u + ct S t, t, (1) dega S t = X 1 + X 2 + X 3 + + X N(t) N t = bayak klaim pada waktu t X i = besar klaim ke- i. Keadaa dimaa surplus yag dimiliki oleh perusahaa asurasi kecil dari ol disebut dega rui da titik pada waktu terjadi rui pada saat pertama kali diotasika dega T, yag dapat diyataka dega T = mi t, utuk U t <, t >, utuk U t. 2 Peluag rui merupaka peluag dari T ketika T berilai higga, sehigga peluag rui utuk modal awal u dapat diyataka dega ψ u = Pr T <. (3) 2
Diasumsika besar klaim berdistribusi kombiasi ekspoesial, dega fugsi desitas probabilitasya dapat diyataka sebagai berikut p x = e x, x >, (4) dega 1. adalah parameter positif yag meyataka ilai harapa dari distribusi ekspoesial dega < β 1 < β 2 < < β, 2. Parameter At merupaka koefisie kombiasi liear dari distribusi kombiasi ekspoesial yag dapat berilai egatif, dega = 1. Pada [2], apabila distribusi kombiasi ekspoesial ditraslasi sebesar τ >, maka fugsi desitas probabilitasya dapat diyataka dega p x = dega ilai harapaya adalah E(x) = da fugsi distribusiya adalah P x = 1 e x+τ, utuk x > τ (5) e τ (6) e x+τ. (7) 3. PELUANG RUIN DENGAN METODE KOMBINASI EKSPONENSIAL Pada suatu proses surplus perusahaa asurasi, peluag rui utuk modal awal u dapat diyataka sebagai berikut u+ct ψ u = 1 P u + ct + ψ u + ct x dp x τ dimaa persamaa (8) mempuyai solusi tuggal. e t dt, (8) Lemma 1. Persamaa fugsi u+ct g u = 1 P u + ct + g u + ct x dp x τ e t dt, (9) mempuyai solusi tuggal, utuk u, dega syarat g =. 3
Bukti: Misalka persamaa (9) mempuyai dua solusi, yaitu g 1 u da g 2 u, dimaa g 1 = g 2 = da misalka δ u meyataka beda dari g 1 u da g 2 u, maka δ u = g 1 u g 2 u. Sehigga berdasarka persamaa (9), δ u dapat diyataka sebagai berikut u+ct δ u = e t δ u + ct x dp x τ dt. (1) Misalka m = maks δ u, dega u da v merupaka titik maksimum, m = δ v v+ct = e t δ v + ct x dp x τ v+ct e t δ v + ct x dp x τ dt v+ct dt e t dp x τ dt v+ct m m e t dp x τ dt m m. (11) Pertidaksamaa (11) tidak mugki terjadi, sehigga g u mempuyai solusi tuggal. Kemudia aka dikostruksi solusi umerik dari persamaa (8). Misalka g u adalah solusi tuggal dari persamaa (8), maka dega megguaka prisip fraksi parsial g u dapat diyataka dega g u = C k e r ku. (12) Dega mesubstitusika persamaa (12) ke persamaa (9), diperoleh C k e r ku = + + c e u+τ C k r k + r k c C k r k + c e u+τ e r k u+τ. (13) 4
Kemudia dega membadigka koefisie C k e r ku yag ada pada ruas kaa da kiri persamaa (13), diperoleh + rc = r e rτ. (14) Maka persamaa (14) merupaka poliomial berderajat dega akar-akarya adalah r 1, r 2,, r. Selajutya, dega membadigka ruas kaa da kiri persamaa (13) terhadap koefisie + c e u+τ, diperoleh C k r k = 1. (15) Maka persamaa (15) merupaka poliomial berderajat, dega akar-akarya adalah C 1, C 2,, C. Jadi, jika r 1, r 2,, r adalah akar-akar dari persamaa (14) da C 1, C 2,, C adalah akar-akar dari persamaa (15), maka persamaa (12) adalah solusi persamaa (8), sehigga diperoleh ψ u = C k e r ku. (16) Utuk meetuka koefisie peluag rui pada persamaa (16), diasumsika suatu fugsi rasioal sebagai berikut Q x = 1 j =1 β j β j r k (x r k ) t j x β j β j, (17) dega Q β j = 1 β j, utuk j =, 1, 2, Dega megguaka fraksi parsial pada persamaa (17), diperoleh koefisie D 1, D 2,, D yag memeuhi persamaa berikut D k x r k = Q x. (18) Utuk x = β j, persamaa (18) dapat diyataka sebagai berikut β j D k β j r k = 1. (19) 5
Persamaa (19) ekivale dega persamaa (15), sehigga dapat disimpulka bahwa D k = C k. Selajutya, dega mesubstitusika persamaa (17) ke persamaa (18), diperoleh x r h x r k D k = 1 j=1 β j β j r k k h x r k t j x β j β j. (2) Ambil x = r h, maka persamaa (2) dapat diyataka dega D h = 1 j =1 β j β j r k k h r h r k t j r h β j β j. (21) Karea D k = C k, maka persamaa (21) dapat diyataka sebagai berikut C h = 1 j =1 β j β j r k k h r h r k t j r h β j β j, (22) Kemudia utuk τ =, aka ditetuka koefisie r k da C k. Sebelum meetuka koefisie r k, terlebih dahulu ubah betuk koefisie persamaa (14) mejadi 1 + oleh r r r pada, sehigga persamaa (14) dapat diyataka c = r. (23) Maka persamaa (23) merupaka persamaa poliomial berderajat dega akarakarya adalah r 1, r 2,, r. Selajutya, utuk meetuka ilai koefisie C k pada saat τ =, diberika suatu persamaa fugsi rasioal sebagai berikut Q x = 1 x x x (E x ). (24) c Dari persamaa (6) diperoleh E x =, 6
sehigga persamaa (24) dapat diyataka dega Q x = 1 x x A t x c. (25) Ambil x = β j, sehigga diperoleh Q β j = 1 β j. Karea Q x da Q(x) mempuyai pola yag sama, maka diperoleh bahwa Q x da Q(x) Sehigga dari persamaa (18) diperoleh D k idetik. = Q x. (26) x r k Dega mesubstitusika persamaa (25) ke persamaa (26), diperoleh x r h D x r k = 1 k x x x c /(x r h ). (27) Berdasarka persamaa (23), persamaa (27) dapat diyataka dega x r h D x r k = 1 k x x 1 ( x)( r h ). (28) Ambil x = r h, sehigga persamaa (28) dapat diyataka dega D h = 1 r h A t r h ( r h ) 2. Karea D k = C k, maka ilai koefisie C h dapat diyataka dega C h = 1 r h A t r h ( r h ) 2, (29) dega r h merupaka solusi persamaa (23). Jadi, peluag rui perusahaa asurasi utuk klaim yag berdistribusi kombiasi ekspoesial yag ditraslasi sebesar τ > merupaka persamaa (16), dega r k merupaka solusi persamaa (14) da C k diyataka pada persamaa (22) da peluag rui utuk τ = merupaka persamaa (16), dega r k merupaka solusi persamaa (23) da C k diyataka pada persamaa (29). 7
4. CONTOH Suatu perusahaa asurasi mempuyai pembayara klaim yag berdistribusi kombiasi ekspoesial dega fugsi desitas probabilitasya sebagai berikut p x = 12 e 3x e 4x, dega rata- rata bayak klaim adalah 1 klaim per hari, da laju pertumbuha icome premiya adalah 1 rupiah per hari. Tetuka besar peluag rui dari perusahaa asurasi tersebut utuk modal awalya sebesar,.5, 1, 1.5,, 9.5, 1, 1.5 juta rupiah. Diketahui rata-rata bayak klaim = 1, laju pertumbuha icome premi c = 1, fugsi desitas probabilitas dari klaim adalah p x = 12 e 3x e 4x, = 2, koefisie traslasi distribusi kombiasi ekspoesial τ =, da ilai harapa dari distribusi ekspoesial yag dikombiasi liear adalah β 1 = 3 da β 2 = 4, sehigga diperoleh A 1 = 4 da A 2 = 3. Kemudia dega megguaka persamaa (23), diperoleh r 1 = 1 da r 2 = 5. c = 2 r 1 = 1 A 1 β 1 r + A 2 β 2 r 5 r (1 r) = Dega megguaka persamaa (29), diperoleh C 1 da C 2, yaitu C 1 = 1 r 1 = 1 1 2 2 A t r 1 2 ( r 1 ) 2 4 + 3 4 + 3 3 1 4 1 3 4 4 + 3 (3 1) 2 (4 1) 2 da C 1 = 5 8 C 2 = 1 r 2 = 1 5 C 2 = 1 24. 2 2 A t r 2 2 ( r 2 ) 2 4 + 3 4 + 3 3 5 4 5 3 4 4 + 3 (3 5) 2 (4 5) 2 8
Sehigga dari persamaa (16), diperoleh persamaa peluag rui perusahaa asurasi tersebut adalah sebagai berikut ψ u = 5 8 e u 1 24 e 5u. Selajutya, dega megguaka software MATLAB, ditetuka peluag rui dega modal awal sebagai maa terlihat pada Tabel 1. Tabel 1: Peluag Rui dari Klaim yag Berdistribusi Kombiasi Ekspoesial modal awal modal awal peluag rui (juta rupiah) (juta rupiah) peluag rui.5833 5.5.26.5.3757 6.15 1.2296 6.5.9 1.5.1394 7.6 2.846 7.5.3 2.5.513 8.2 3.311 8.5.1 3.5.189 9.1 4.114 9.5. 4.5.69 1. 5.42 1.5. Grafik peluag rui disajika pada Gambar 1. Gambar 1: Grafik Peluag Rui dari Klaim yag Berdistribusi Kombiasi Ekspoesial 9
5. KESIMPULAN DAN SARAN Meetuka peluag rui dega metode kombiasi ekspoesial dipegaruhi oleh modal awal yag dimiliki oleh perusahaa asurasi. Peluag rui perusahaa asurasi berbadig terbalik dega modal awal. Semaki besar modal awal yag dimiliki oleh perusahaa asurasi, maka semaki kecil kemugkia perusahaa asurasi tersebut bagkrut. Peluag rui juga berkaita erat dega resiko kerugia yag dimiliki oleh perusahaa asurasi. Jika Perusahaa asurasi megetahui besar peluag rui, maka perusahaa asurasi tersebut dapat meguragi resiko kerugia yag mugki aka terjadi. DAFTAR PUSTAKA [1] Bowers, N. L., H. U. Gerber, J. C. Hickma, D. A. Joes & C. J. Nesbitt. 1997. Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries, Uited States of America. [2] Dufrese, F & H. U. Gerber. 1986. Three Methods to Calculate the Probability of Rui. ASTIN Buleti, 19: 71-9. [3] Kass, R., M. Goovaerts, J. Dhaee & M. Deuit. 21. Moder Actuarial Risk Theory. Kluwer Academic Publishers. Netherlads. [4] Klugma, S. A., H. H. Pajer & G. E. Willmot. 1998. Loss Models, From to Data to Decisios. Wiley Series i Probability ad Statistics. Joh Wiley & Sos, Ic.,USA. 1