Program MATLAB untuk Membentuk Compound Distribution

Transkripsi

1 Statistika, Vol. 10 No. 1, Mei 2010 Program MATLAB utuk Membetuk Compoud Distributio ACENG KOMARUDIN MUTAQIN Program Studi Statistika Fakultas MIPA Uiversitas Islam Badug Jl. Purawarma No. 63 Badug 40116, ABSTRAK Salah satu teori statistika yag dipakai utuk meaksir outstadig claim liability dalam asurasi umum adalah compoud distributio. Compoud distributio merupaka distribusi utuk peubah acak hasil pejumlaha peubah-peubah acak yag salig bebas, dimaa bayakya peubah-peubah acak tersebut juga merupaka peubah acak. Makalah ii membahas pembagua program MATLAB utuk membetuk compoud distributio. Program yag dibagu dapat diterapka utuk distribusi apapu. Sebagai baha aplikasi diguaka data riil klaim produk asurasi mobil di perusahaa asurasi PT YZ. Kata Kuci: Outstadig claims liability; compoud distributio; MATLAB; kovolusi. 1. PENDAHULUAN Meaksir total cadaga uag di masa datag utuk membayar klaim-klaim yag telah terjadi merupaka pekerjaa petig bagi perusahaa asurasi. Pertaggugjawaba perusahaa asurasi terhadap klaim-klaim yag telah terjadi da belum dibayarka tersebut disebut outstadig claims liability (OCL). Perhituga OCL biasaya diselesaika dega megguaka metode yag sifatya stokastik. Ii terjadi karea total uag da waktu pembayara klaim bersifat acak, hal ii membuat ketidakpastia (ucertaity) megeai OCL. Derajat ketidakpastiaya tergatug pada kelas bisis yag diambil. Secara umum ada dua kelas bisis, yaitu short-tail da log-tail (Olofsso, 2006). Kelas bisis short-tail adalah suatu bisis asurasi dimaa peudaa atara terjadiya klaim da waktu peyelesaiaya sigkat, serigkali kurag dari satu tahu. Cotoh dari kelas bisis short-tail adalah asurasi kebakara, asurasi gempa bumi, da asurasi kerusaka fisik mobil. Kelas bisis log-tail adalah suatu bisis asurasi dimaa peudaa atara terjadiya klaim da waktu peyelesaiaya lama, mugki lebih dari satu tahu (serigkali lebih dari lima tahu (Atkis, 2001)). Cotoh dari kelas bisis log-tail adalah asurasi pertagguga pihak ketiga, asurasi pesawat terbag, asurasi malpraktik medis, reasurasi, da asurasi laut. Salah satu teori statistika yag dipakai utuk meaksir OCL adalah compoud distributio (Klugma et al., 2004). Compoud distributio adalah distribusi utuk peubah acak yag terbetuk dari hasil pejumlaha peubah-peubah acak, dimaa bayakya peubah-peubah acak tersebut juga merupaka peubah acak. Dalam beberapa buku stokastik, peubah acak yag terbetuk dikeal sebagai jumlah acak (radom sum). Jumlah acak serig mucul dalam atria, teori risiko, model populasi, da biometrik (Taylor da Karli, 1994). Makalah ii membahas pembagua program MATLAB utuk membetuk compoud distributio. Program yag dibagu dapat diterapka utuk distribusi apapu. Sebagai baha aplikasi diguaka data riil klaim produk asurasi mobil. Sisa dari makalah ii disusu sebagai berikut. Outstadig claims liability dibahas pada Bagia 2. Compoud Distributio dari OCL disajika dalam Bagia 3. Bagia 4 meguraika memuat algoritma da program MATLAB. Sedagka bagia terakhir berisika aplikasi compoud distributio dalam bidag asurasi. 63

2 64 Aceg Komarudi Mutaqi 2. OUTSTANDING CLAIMS LIABILITY Misalka Dij meyataka peubah acak dalam betuk icremetal (bisa berupa bayakya klaim atau total pembayara klaim) utuk klaim-klaim yag terjadi pada accidet period i da dibayarka pada developmet period j, dimaa 1 i, da 1 j. Peubah acak Dij mempuyai pegamata jika i + j + 1 (ru-off triagle data), laiya merupaka pegamata-pegamata yag aka datag (outstadig claims) da berada dalam future triagle (Olofsso, 2006). Umumya satua dari period adalah tahu, tapi mugki juga kuartal (lihat Taylor & McGuire (2004)). Tabel 1 megilustrasika ru-off triagle data da future triagle data dalam betuk icremetal. Ru-off triagle data adalah sel-sel Dij yag berwara putih sedagka future triagle data adalah sel-sel Dij yag berwara abu-abu. Tabel 1. Ru-off Triagle Data da Future Triagle Data dalam Betuk Icremetal Outstadig claims liability utuk accidet period i (Ri) didefiisika sebagai R i = D ik k= + 2 i ; utuk i = 2,, (1) Sedagka total outstadig claims liability (R) adalah R = D ik i= 2 k= + 2 i (2) 3. COMPOUND DISTRIBUTION DARI OCL Misalka S, meyataka total pembayara klaim di masa datag (atau OCL), yaitu jumlah dari suatu peubah acak, N, pembayara idividu 1, 2,, N. Oleh kareaya, S = N ; utuk N = 0, 1, 2, (3) dimaa S = 0, ketika N = 0. Diasumsika bahwa: 1. Bersyarat pada N =, peubah acak 1, 2,, adalah iid. 2. Bersyarat pada N =, distribusi dari peubah acak 1, 2,, tidak tergatug pada. 3. Distribusi dari N tidak tergatug pada ilai-ilai dari 1, 2,. Pedekata utuk membagu distribusi dari S adalah melalui tahapa berikut: 1. Membagu distribusi utuk N berdasarka data. 2. Membagu distribusi utuk j berdasarka data.

3 Program MATLAB utuk Membetuk Compoud Distributio Megguaka kedua distribusi di atas utuk membetuk distribusi dari S. Peubah acak S yag ada pada Persamaa (3) mempuyai fugsi distribusi FS = Pr( S x) = p Pr( S x N = ) = = 0 = 0 p F * (4) dimaa F(x) = Pr( x) adalah fugsi distribusi dari j da p = Pr(N = ). Dalam Persamaa * (4), F adalah kovolusi lipat dari fugsi distribusi kumulatif utuk peubah acak. Distribusi pada Persamaa (4) disebut sebagai compoud distributio dega fugsi peluag = * f S p f (5) =0 Ekspektasi dari variasi dari peubah acak S adalah E(S) = E(N)E() (6) Var(S) = E(N)Var() + Var(N)[E()] 2 (7) fuctio [S,fS]=compoud(f1,p) bad=20000; % Bayakya ilai aggregate, s = 0,1,2,...,bad. jf=legth(f1); % Bayakya ilai x (besarya klaim) % karea proses diskritisasi % yag ilai peluagya adalah f1=f(x). m=legth(p); % Bayakya ilai (frekuesi klaim) % yag ilai peluagya adalah p. S=0:bad; % Nilai-ilai aggregate, s = 0,1,2,...,bad. f0=zeros(bad+1,1); % Distribusi f*0(x) Semuaya ol, kecuali f0(1,1)=1; % utuk x = 0. f(:,1)=f0; % Distribusi f*0(x) disimpa di kolom 1 % pada matriks f A=zeros(bad+1,1); % Iisialisasi utuk distribusi f*1(x) = f(x) A(1:jf)=f1; % Pegisia ilai-ilai f*1(x) = f(x) f(:,2)=a; % Distribusi f*1(x) disimpa di kolom 2 % LOOPING for di bawah ii utuk meghitug % f*2(x), f*3(x),... for i=3:m fc=cov(f(:,2),f(:,i-1)); % Proses meghitug covolutio fc=fc(1:bad+1); % Pegambila hasil covolutio ed S=S'; f(:,i)=fc; fs=f*p; % peyimpaa hasil covolutio % Nilai-ilai aggregate, s = 0,1,2,...,bad % disimpa dalam vektor kolom. % Distribusi dari aggregate, S (Compoud Distributio) Gambar 1. Program MATLAB utuk Membetuk Compoud Distributio

4 66 Aceg Komarudi Mutaqi 4. ALGORITMA DAN PROGRAM MATLAB Algoritma utuk membetuk compoud distributio adalah sebagai berikut: 1. Iputka distribusi utuk peubah acak N (p) da peubah acak (f(x)). Apabila peubah acak kotiu, maka salah satu pedekataya adalah mediskritkaya terlebih dahulu. 2. Tetuka batas maksimum utuk ilai dari peubah acak S. 3. Tetuka bayakya ilai yag mugki utuk peubah acak N, da. 4. Tetuka ilai-ilai yag mugki utuk peubah acak S. 5. Tetapka ilai, da, utuk. 6. Lakuka iisialisasi, yaitu. 7. Hitug kovolusi fugsi desitas, utuk k = 2, 3, (sampai bayakya ilai N yag mugki). 8. Betuk compoud distributio dega megguaka Persamaa (5). Program MATLAB utuk algoritma di atas disajika dalam Gambar APLIKASI COMPOUND DISTRIBUTION Data yag aka diguaka utuk aplikasi adalah data klaim produk asurasi mobil yag ada di perusahaa asurasi PT YZ di Badug, Jawa Barat. Utuk lebih jelasya megeai data ii dapat dilihat di Mutaqi et al. (2009). Distribusi peluag total OCL (S) dibetuk megguaka Persamaa (5), dimaa peubah acak N, bayakya pembayara klaim di masa datag megikuti distribusi biomial egatif dega taksira parameter = 1, da = 165,9, da peubah acak, total pembayara klaim di masa datag megikuti logormal dega taksira parameter = 14,942, da = 1,0721 (Mutaqi et al., 2009). Sebelum megguaka Persamaa (5), terlebih dahulu dilakuka pediskrita utuk total pembayara klaim di masa datag. Pediskrita dilakuka dega jala membuat selag-selag dalam retag , dimaa masig-masig selag lebarya Dega demikia ada sebayak selag. Dega megkombiasika distribusi biomial egatif da distribusi logormal aka diperoleh distribusi total OCL yag gambar fugsi desitas da fugsi distribusiya masig-masig diilustrasika pada Gambar 4 da 5. Gambar 4. Fugsi Desitas utuk Distribusi Total OCL

5 Program MATLAB utuk Membetuk Compoud Distributio 67 Gambar 5. Fugsi Distribusi Total OCL Taksira rata-rata distribusi total OCL adalah Rp ,58, da taksira simpaga bakuya adalah Rp ,47. Taksira persetil ke-75 dari distribusi total OCL adalah sekitar Rp ,00. Terlihat bahwa distribusi dari total OCL adalah skewed-to-theright (codog ke kiri atau ekorya di kaa). DAFTAR PUSTAKA [1]. Atkis, G. (2001). The Role of Modellig Log Tail Classes of Busiess Risk i Maagig Capital. Proceedigs of the 2001 Coferece o Ehacig Shareholder Value through Capital Risk Maagemet: [2]. De Alba, E. (2006). Claim Reservig Whe There are Negative Values i Ruoff Triagle: Bayesia Aalysis Usig the Three-Parameter Log-Normal Distributio. North America Actuarial Joural Vol. 10, No. 3: [3]. Eglad, P. D., da Verrall, R. J. (2002). Stochastic Claims Reservig i Geeral Isurace. http// Dowload pada 7 Oktober [4]. Klugma, S. A., Pajer, H. H., Willmot, G. E. (2004). Loss Models: From Data to Decisios. Joh Wiley & Sos: New Jersey. [5]. Mack, T. (1993). Distributio-free Calculatio of the Stadard Error of Chai Ladder Reserves Estimates. ASTIN BULLETIN, Vol. 23, No. 2: [6]. Olofsso, M. (2006). Stochastic Loss Reservig Testig the New Guidelies from the Australia Prudetial Regulatio Authority (APRA) o Swedish Portfolio Data Usig a Bootstrap Simulatio ad Distributio-Free Method by Thomas Mack. se/mathstat/reports/serieb/2006/rep13/report.pdf. Dowload pada 7 Oktober [7]. Taylor, H. M., Karli, S. (1994). A Itroductio to Stochastic Modelig. Edisi Revisi, Academic Press, New York. [8]. Taylor, G., da McGuire, G. (2004). Loss Reservig with GLMs: a Case Study. Casualty Actuarial Society 2004 Discussio Paper Program, Paper ii dipresetasika pada CAS Sprig 2004 Meetig, Colorado Sprig, CO, May Dowload pada 24 Desember [9]. Taylor, G., McGuire, G., da Greefield, A. (2003). Loss Reservig: Past, Preset ad Future. Ivited Lecture utuk the IV ASTIN Colloquium, Berli, August Diproduksi ulag pada The Research Paper Series of the Cetre for Actuarial Studies, Uiversity of Melboure. Dowload pada 24 Desember [10]. Wright, T. S. (1997). Probability Distributio of Outstadig Liability from Idividual paymets Data. Isitute of Actuaries Claims Reservig Maual, Sectio D7. [11]. Wright, T. S. (2007). Usig Idividual Claim Data. Dipresetasika pada Stochastic Reservig Semiar. Wright.pdf. Dowload pada 26 Jauari 2008.