B a b 1 I s y a r a t

34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29

35 1.5.2. Isyarat Ekspoesial da Siusoidal Kompleks Waktu Diskrit Isyarat ekspoesial kompleks waktu diskrit diyataka dega persamaa, x[] C α atau x[] C e β dega α e β da C serta α merupaka bilaga kompleks. Jika kostata C da α berupa bilaga riil saja, maka isyarat yag demikia disebut dega isyarat ekspoesial riil. Jika ditijau dari ilai α, berikut ii adalah perilaku isyarat ekspoesial riil: 1. Jika harga α lebih besar daripada satu ( α >1 ), maka isyarat bertambah (aik) secara ekspoesial sejala dega membesarya ilai.... Gambar 1.32 Isyarat x[] dega α >1 2. Jika harga α memiliki ilai dalam retag atara ol da satu (<α<1), maka isyarat cederug meuru secara ekspoesial sejala dega membesarya ilai..... Gambar 1.33 Isyarat x[] dega <α<1

36 3. Jika harga α 1, maka isyarat tetap pada ilai kosta C meskipu ilai berubah. 4. Jika harga α memiliki ilai dalam retag atara ol da egatif satu ( 1<α<), maka isyarat cederug meuru secara ekspoesial sejala dega membesarya ilai da juga megalami pergatia ilai yag berselag-selig (atara positif da egatif).... Gambar 1.34 Isyarat x[] dega 1<α< 5. Jika harga α lebih kecil daripada egatif satu ( α < 1 ), maka isyarat bertambah (aik) secara ekspoesial sejala dega membesarya ilai da juga megalami pergatia ilai yag berselag-selig (atara positif da egatif).... Gambar 1.35 Isyarat x[] dega α < 1

37 6. Jika harga α 1, maka isyarat aka mempuyai ilai yag berselag-selig atara +C da C sejala dega perubaha ilai. Jika kostata C 1 da β imagier, maka dapat diyataka bahwa jω x[] e Isyarat ii medekati isyarat siusoidal yag diyataka x[] A cos (ω + ϕ) x[] A 2 e e Jika didefiisika da A 2 + e e jϕ jω jϕ jω C C e jθ α α e jω maka isyarat ekspoesial kompleks secara umum dapat diyataka dega x[] Cα C e C α C α jθ.α e jθ e e jω jω { cos(ω + θ) + jsi(ω + θ) } Gambar 1.36 berikut merupaka beberapa cotoh isyarat siusoidal waktu diskrit. Pada gambar 1.36 (a) diilustrasika cotoh isyarat siusoidal waktu diskrit dega persamaa x[] cos (/6). Pada gambar 1.36 (b) memperlihatka isyarat siusoidal waktu diskrit meaik, yaitu jika harga mutlak α lebih besar daripada 1 atau α > 1, ii juga berarti bahwa α mempuyai retag pada α < 1 atau α > 1. Sedagka gambar 1.36 (c) memperlihatka isyarat siusoidal waktu diskrit meuru, yaitu jika harga mutlak α lebih kecil daripada 1 atau α < 1, ii juga berarti bahwa α mempuyai retag pada 1 < α < 1.

38 (a) (b) (c) Gambar 1.36 (a) Isyarat siusoidal waktu diskrit (b) Isyarat siusoidal waktu diskrit meaik (c) Isyarat siusoidal waktu diskrit meuru Berikut adalah sifat-sifat periodik isyarat ekspoesial kompleks waktu diskrit: 1. Iterval frekuesi yag perlu dipertimbagka haya sepajag 2π saja, yaitu pada retag ω 2π atau π ω π. Hal ii disebabka karea

39 e j(ω + 2ππ) e e j2π2 jω e jω yaitu bahwa isyarat tersebut periodik pada periode 2π. jω 2. Agar isyarat ekspoesial kompleks waktu diskrit t x[] e periodik dega periode N >, maka x[ + N] e yag juga berarti bahwa e jω N e 1 jω (+ N) jω Sehigga ω N harus merupaka perkalia bilaga bulat dari 2π, yaitu ω N 2π m Atau dapat diyataka kembali sebagai ω 2π m N Frekuesi dasarya adalah 2π ω N m Da periode dasarya adalah 2π N m ω Isyarat-isyarat ekspoesial waktu diskrit periodik dikataka terhubug secara harmoik jika dapat dipeuhi dimaa φ [] e k 2π jk N N adalah peiode dasar 2π/N adalah frekuesi dasar φ k [] adalah isyarat ke-k k, ±1, ±2, ±3,.

da N 2 N periode x[] 3 x 8 4 1.5.3. Cotoh Soal da Peyelesaia 1. Tetuka periode dasar isyarat x[] jika x[] e 2π j 3 + e 3π j 4 Peyelesaia: Isyarat x[] dapat dipadag sebagai jumlaha dua buah isyarat, misalka da x 2π j 3 1[] e x 3π j 4 2[] e maka x[] dapat diyataka kembali sebagai x[] x 1 [] + x 2 [] Jika dapat ditemuka periode masig-masig isyarat x 1 [] da x 2 [] maka dapat ditemuka pula periode dasar x[], yaitu saat x 1 [] da x 2 [] sama-sama berulag. N 1 periode x 1 [] 2π 2π m m 3m ω 2π 3 Periode merupaka harga yag bulat, sehigga harga m dapat dipilih sebagai bilaga bulat pula. Nilai terkecil utuk m dapat dipilih sama dega 1, sehigga N 1 3 N 2 periode x 2 [] 2π 2π 8 m m m ω 3π 3 4 Periode merupaka harga yag bulat, sehigga harga m dapat dipilih sebagai bilaga bulat pula. Agar diperoleh N 2 yag bulat, maka ilai terkecil utuk m adalah 3, sehigga N 2 8 Periode x[] dapat ditetuka dega cara mecari selag waktu terkecil dimaa x 1 [] da x 2 [] tepat berulag secara bersamaa; yaitu kelipata terkecil atara N 1 24

41 2. Jika x[] ditetuka dega persamaa sebagai berikut, 1, utuk x[], utuk yag lai Tetukalah apakah isyarat waktu diskrit x 1 [] x[] + x[ ] periodik atau tidak. Peyelesaia: Isyarat x[] dapat digambarka sebagai berikut. x[]. -3-2 -1 1 2 Gambar 1.37 Isyarat x[] utuk soal o.2 Utuk meetuka isyarat x 1 [], maka harus ditetuka terlebih dahulu x[ ] yaitu isyarat waktu balika dari isyarat x[]. Selajutya kedua isyarat tersebut dijumlahka utuk memperoleh isyarat x 1 []. Perhatika gambar 1.38 yag megilustrasika proses peyelesaia soal ii. Pada gambar 1.38(c) terlihat bahwa pada saat maka ilai x 1 [] 2 sedagka utuk yag lai maka x 1 [] 1, atau dapat diyataka sebagai [] x 1 2, utuk utuk yag lai Nilai x 1 []2 tidak terulag pada ilai dimaapu, hal ii berarti bahwa x 1 [] merupaka isyarat yag tidak periodik. 1 x[] (a)

42 x[ ] 1 (b) 2 x 1 [] x[] + x[ ] 1 (c) Gambar 1.38 (a) Isyarat x[] (b) Isyarat x[ ] (c) Isyarat x 1 [] x[] + x[ ] 1.5.4. Soal-soal Tambaha 1. Jika x[] ditetuka dega persamaa sebagai berikut, 1, utuk x[], utuk yag lai Tetukalah apakah isyarat waktu diskrit yag diyataka dega persamaa x 1 [] x[] + x[ +1] periodik atau tidak. 2. Temuka periode dasar isyarat-isyarat berikut: a. x[] cos (2π/12) b. x[] cos (8π/31) c. x[] cos (/6) 1.6. Fugsi Impuls Satua da Fugsi Udak Satua Pada sub bab ii aka dijelaska pegertia tetag fugsi impuls satua (uit impuls) da fugsi udak satua (uit step), baik utuk variabel bebas waktu kotiyu

43 maupu waktu diskrit. Utuk mempermudah pejelasa, maka aka dibahas utuk fugsi impuls satua da udak satua waktu diskrit terlebih dahulu. 1.6.1. Fugsi Impuls Satua da Fugsi Udak Satua Waktu Diskrit Fugsi impuls satua (uit impuls) waktu diskrit diotasika sebagai δ[] da diyataka dega persamaa, utuk δ[] utuk Perhatika gambar 1.39. Fugsi impuls satua waktu diskrit dalam aplikasiya dapat diguaka utuk proses pecuplika isyarat lai pada suatu saat tertetu (yag diigika). 1 δ [] Gambar 1.49 Fugsi impuls satua waktu diskrit Oleh karea δ[] haya mempuyai ilai pada saat, maka pecuplika suatu isyarat x[] dega megguaka δ[] berarti megalika ilai isyarat x[] pada saat dega δ[], atau diyataka x[]. δ[] x[]. δ[] Secara umum dapat juga diyataka x[]. δ[ ] x[ ]. δ[ ] Fugsi udak satua (uit step) waktu diskrit diotasika sebagai u[] da didefiisika sebagai berikut., utuk < u[] utuk Perhatika gambar 1.5. Terdapat hubuga khusus atara fugsi impuls satua dega fugsi udak satua, atara lai adalah sebagai berikut.

44 1. Fugsi impuls satua dapat diperoleh dega cara δ[] u[] u[ 1] yaitu meguragi fugsi udak satua dega fugsi udak satua yag telah megalami alih ragam pergesera waktu ke arah kaa sebayak satu satua. 2. Fugsi udak satua dapat diperoleh dega cara u[] atau u[] k k δ[ k] δ[ k] Dega kata lai, fugsi udak satua dapat diperoleh dega pejumlaha fugsi impuls satua yag telah digeser sebesar k, dega k, 1, 2, 3,. 1 u [] Gambar 1.5 Fugsi udak satua waktu diskrit 1.6.2. Fugsi Impuls Satua da Fugsi Udak Satua Waktu Kotiyu Fugsi udak satua waktu kotiyu diotasika sebagai u(t) da didefiisika sebagai, utuk t < u(t) utuk t > Perhatika gambar 1.51. Nilai u(t) berubah secara medadak dari ol mejadi satu pada saat t. u(t) 1 t Gambar 1.51 Fugsi udak satua waktu kotiyu

45 Fugsi impuls satua waktu kotiyu diotasika sebagai δ(t) da didefiisika sebagai turua pertama dari fugsi udak satua waktu kotiyu, yaitu Perhatika gambar 1.52. δ(t) d dt u(t) δ(t) 1 (a) t k δ(t) k (b) t Gambar 1.52 (a) Fugsi impuls satua waktu kotiyu (b) Fugsi impuls terskala (sebesar k) Fugsi impuls satua waktu kotiyu yag diguaka utuk proses pecuplika isyarat x(t) diyataka dega x(t). δ(t) x(). δ(t) atau secara umum juga dapat diyataka sebagai x(t).δ(t t ) x(t ).δ(t t ) 1.6.3. Cotoh Soal da Peyelesaia 1. Gambarka fugsi-fugsi berikut ii. a. δ[ 2] b. δ[+1] c. u[ ]

46 d. u[ 3] e. u[+2] Peyelesaia: Jika fugsi Maka:, utuk δ[] utuk, utuk 2 a. δ[ 2] utuk 2, utuk 1 b. δ[+ 1] utuk 1, utuk < Jika u[] utuk Maka:, utuk > c. u[ ] utuk, utuk < 3 d. u[ 3] utuk 3, utuk < 2 e. u[+ 2] utuk 2 Perhatika gambar 1.53. 1 δ [ 2] (a) 1 2 3 1 δ [+1] (b) -2-1 1

47 1 u [ ] (c) -2-1 u [-3] (d) -1 1 2 3 4 1 u [+2] (e) -3-2 -1 Gambar 1.53 Ilustrasi fugsi jawaba soal o. 1 2. Buktika bahwa: a. δ[] u[] u[ 1] b. u[] k δ[ k] Peyelesaia: a. Utuk membuktika bahwa δ[] u[] u[ 1], maka aka dibuktika dari ruas kaa tada sama dega. Perhatika gambar 1.54. 1 u [] (a)

48 1 u [ 1] (b) 1 1 δ [] (c) Gambar 1.54 Bukti utuk soal o. 2a. Dega meguragi fugsi udak satua waktu diskrit (u[]) dega fugsi udak satua waktu diskrit yag tergeser ke arah kaa satu satua (u[ 1]), teryata diperoleh fugsi impuls satua waktu diskrit. Dega demikia, soal o. 2a terbukti bear. k b. Utuk membuktika u[] δ[ k], juga aka diuji dari arah ruas kaa tada sama dega. Disebelah kaa tada sigma (Σ), tertulis fugsi impuls satua yag tergeser ke arah kaa sebesar k satua, dega k, 1, 2, 3,. Tada sigma sediri berarti pejumlaha, sehigga kompoe di sebelah kaa tada sama dega merupaka pejumlaha fugsi impuls satua yag tergeser ol satua, satu satua, dua satua, tiga satua, dst. Perhatika gambar 1.55. Utuk k 1 δ [] (a)

49 utuk k 1 1 δ [ 1] (b) 1 utuk k 2 1 δ [ 2] (c) 1 2 utuk k 3 1 δ [ 3] (d) 1 2 3 4 dst, sampai dega k 1 u [].. (e) Gambar 1.55 Bukti utuk soal o.2b Gambar 1.55 (a) adalah fugsi impuls tergeser ol satua, atau tidak tergeser. Gambar 1.55 (b), (c), da (d) merupaka fugsi impuls yag tergeser masigmasig satu, dua, da tiga satua. Jika peggesera fugsi impuls ii dilakuka terus-meerus sampai dega k, kemudia semua fugsi tersebut dijumlahka, maka aka diperoleh fugsi pada gambar 1.55 (e). Fugsi ii dapat

5 diyataka sebagai k δ[ k], yag teryata idetik dega fugsi udak satua u[]. Dega demikia persamaa pada soal 2b telah terbukti bear. 1.6.4. Soal-soal Tambaha 1. Buktika bahwa dalam proses pecuplika berlaku 2. Buktika pula bahwa 3. Buktika bahwa x(t). δ(t) x(). δ(t) x(t).δ(t t ) x(t ).δ(t t ) δ(t) d dt u(t)