(R.4) PENGUJIAN DAN PEMODELAN ASOSIASI DUA VARIABEL KATEGORIK MULTI-RESPON DENGAN METODE BOOTSTRAP DAN ALGORITMA GANGE Giat Sudrajat Saruda, 2 Septiadi Padadisastra, 3 I Gede Nyoan Mindra Jaya Mahasiswa Progra Magister Statistika Terapan 2,3Dosen Progra Magister Statistika Terapan Universitas Padjajaran, Bandung, Indonesia Eail : giat@bps.go.id Abstrak Metode-etode analisis pola asosiasi antar variabel telah dikenal sebelunya, seperti analisis regresi sederhana untuk data nuerik ataupun analisis loglinier untuk data kategorik. Sedangkan apabila seua variabelnya berupa data kategorik ulti-respon, yaitu suatu kondisi diana responden dapat eilih lebih dari satu kategori respon atau lebih dari satu ite pilihan, pendekatan regresi tidak dapat dilakukan karena asusi-asusi odel regresi tidak dapat dipenuhi. Maka diperlukan pendekatan lain untuk engatasi asalah ini. Model asosiasi pada tabel kontingensi yang elibatkan dua variabel kategorik ulti-respon dapat diselesaikan dengan enggunakan pendekatan odel loglinier, yang disebut sebagai odel loglinier arjinal dengan enerapkan etode bootstrap dan algorita Gange (Bilder, 2004). Kata Kunci : Variabel Kategorik Multi-Respon, Loglinier Marjinal, Bootstrap, Algorita Gange.. PENDAHULUAN Analisis data survey yang kopleks banyak dilaksanakan di berbagai negara, salah satunya adalah Indonesia. Kopleksitas data dapat enyebabkan perasalahan yang beraga dan eiliki iplikasi yang berbeda. Salah satu jenis kopleksitas struktur data dala data survey adalah adanya variabel kategorik ulti-respon, yaitu suatu kondisi diana responden dapat eilih lebih dari satu kategori respon atau lebih dari satu ite pilihan. Menurut Thoas dan Decady (2004) perasalahan yang uncul dari jenis kopleksitas tersebut adalah sifat ulti-respon dari data, bukan dari ekanise sapling atau desain kuesioner. Metode-etode analisis pola asosiasi antar variabel dari data nuerik telah dikenal sebelunya, seperti analisis regresi sederhana ataupun analisis regresi berganda. Sedangkan apabila seua variabelnya berupa data kategorik ulti-respon, yaitu suatu kondisi diana responden dapat eilih lebih dari satu kategori respon atau lebih dari satu ite pilihan, pendekatan regresi tidak dapat dilakukan karena asusi-asusi odel regresi tidak dapat dipenuhi. Maka diperlukan pendekatan lain untuk engatasi asalah ini. 9
Model loglinear dapat digunakan untuk engkaji pola asosiasi antar variabel pada data kategorik. Model loglinier berguna untuk enentukan dependensi (asosiasi) antar beberapa variabel kategorik. Dala odel loglinier, terdapat suatu asusi bahwa seua variabel yang dianalisis epunyai status yang saa sebagai suatu variabel dependen karena odel loglinier hanya enunjukkan dependensi (asosiasi) antar variabel. Model asosiasi pada tabel kontingensi yang elibatkan dua variabel kategorik ulti-respon dapat diselesaikan dengan enggunakan pendekatan odel loglinier, yang disebut sebagai odel loglinier arjinal dengan enerapkan etode bootstrap dan algorita Gange. 2. UJI INDEPENDENSI 2. Uji Independensi Dua Variabel Kategorik Respon Tunggal Perhatikan Tabel, isalkan X dan Y elabangkan dua variabel kategorik respon tunggal, X dengan I kategori dan Y dengan J kategori. Tabel. Tabel Kontingensi Dua Variabel Kategorik Respon Tunggal Kategori Kategori 2 Variabel Y Kategori J- Kategori J Total Respon Kategori 2 (J ) J Kategori 2 2 22 2(J ) 2J 2 Variabel X ij Kategori I- (I ) (I )2 (I )(J ) (I )J (I ) Kategori I I I2 I(J ) IJ I Total Respon 2 (J ) J Misalkan enyatakan peluang dari (X,Y) bahwa X=i dan Y=j yang ebentuk tabel seperti pada Tabel. Misalkan erupakan total baris dan erupakan total kolo dengan tanda + enyatakan julah keseluruhan dari indeks. Untuk tabel kontingensi dua arah dengan dua variabel kategorik respon tunggal, hipotesis independensi yang dipergunakan adalah: H : = H : dengan: i =, 2,, I dan j =, 2,, J. 20
Statistik uji Pearson Chi-Square untuk tabel kontingensi dua arah sebagai berikut: dengan: i =, 2,, I; j =, 2,, J; n ij X = ( ), () : observasi pada kategori variabel X ke-i dan variabel Y ke-j; dan adalah estiasi frekuensi harapan yang erupakan perkalian dari total baris dengan total kolo dibagi dengan ukuran sapel keseluruhan, sebagai berikut: = np p = n = (2) 2.2 Uji Independensi Dua Variabel Kategorik Multi-Respon Perhatikan Tabel 2, ij erupakan julah dari subyek yang eilih kategori ke-i pada variabel X dan kategori ke-j pada variabel Y. Tabel 2. Tabel Kontingensi Dua Variabel Kategorik Multi-Respon Variabel X Kategori Kategori 2 2 2 2 22 Variabel Y J- J Total Respon Total Sapel/ Subyek (J-) J + 2(J-) 2J 2+ 2 ij Kategori I- Kategori I ) I (I- )2 I2 (I- (I-)(J-) (I-)J (I )+ (I ) I(J-) IJ I+ I Total Respon + +2 +(J ) +J ++ + Total Sapel/ Subyek 2 (J ) J + n Karena elibatkan dua variabel kategorik ulti-respon, aka terdapat 2 (dua) set arjinal yang harus dipertibangkan. Set arjinal pertaa, engacu sebagai penjulahan berdasarkan baris yang dinotasikan, i =,..., I dan penjulahan berdasarkan kolo yang dinotasikan, j =,..., J, didapat dari = dan =. Set arjinal kedua,, i =,..., I dan, j =,..., J. Dapat dikatakan, dan ewakili total sapel/subyek 2
berdasarkan variabel X (baris) dan variabel Y (kolo). Secara uu, dan. Tabel 2 dapat juga dituliskan sebagai berikut: Tabel 3. Tabel Kontingensi Dua Variabel Kategorik Multi-Respon 2 Variabel Y J- J Julah Peluang Peluang Marjinal Baris Kategori 2 (J ) J + Variabel X Kategori 2 2 22 2(J ) 2J 2+ 2 ij Kategori I- (I ) (I )2 (I )(J ) (I )J (I )+ (I ) Kategori I I I2 I(J ) IJ I+ I Julah Peluang + +2 +(J ) +J ++ + Peluang Marjinal Kolo 2 (J ) J + Peluang dari erupakan peluang banyaknya subyek yang erespon kategori ke-i pada variabel X (baris) dan kategori ke-j pada variabel Y (kolo). Pada set arjinal pertaa, total dari julah peluang berdasarkan baris ( ) atau pun total dari julah peluang berdasarkan kolo ( ) adalah. Pada set arjinal kedua, total dari peluang arjinal baris adalah, dan total dari peluang arjinal kolo adalah. Sehingga penaksirnya adalah,,,, dan. Untuk tabel kontingensi dengan dua variabel kategorik ulti-respon, hipotesis yang dipergunakan adalah: H : = H : dengan: i =, 2,, I dan j =, 2,, J. Dengan hipotesis di atas, aka odifikasi dari statistik uji chi-square adalah: X = n n = n (3) 22
3. METODE BOOTSTRAP DENGAN ALGORITMA GANGE Pada pertengahan 970, Efron eperkenalkan etode bootstrap untuk enduga paraeter dari sebaran yang tidak diketahui bentuk distribusinya. Metode bootstrap adalah etode berbasis resapling data sapel, sapel yang ada disapel kebali, dengan cara pengebalian pada datanya. Algorita Gange pertaa kali diperkenalkan oleh Gange (995). Algorita ini enerapkan etode Iterative Proportional Fitting (IPF), seperti dala penaksiran paraeter odel loglinier pada tabel kontingensi. Bootstrap Procedure Chi- Square with Gange Algorith erupakan kobinasi antara etode bootstrap dan algorita Gange. Tahapan prosedur dari Bootstrap Procedure Chi-Square with Gange Algorith sebagai berikut: () Tentukan estiasi frekuensi, () dan () dari H 0 dan H a yang telah ditetapkan dan hitung Pearson Chi-Square. (2) Tentukan frekuensi observasi setiap sub-tabel 2x2 untuk seua pasangan (X i, Y j). (3) Dengan () dan frekuensi observasi pada tahap 2, gunakan algorita Gange untuk endapatkan peluang ultinoial dari asing-asing sub-tabel yang dibentuk dari kobinasi (X,, X i, Y,, Y j) di bawah asusi odel H 0. (4) Siulasikan B buah resaple dari (X *,, X i*, Y *,, Y j*) dengan enggunakan peluang ultinoial pada tahap 3. (5) Bandingkan odel dengan asing-asing resaple dan hitung X untuk b=,, B. (6) Hitung p-value dengan ruus: B IX X dengan I( ) adalah fungsi indikator. 4. MODEL LOGLINIER MARJINAL Agresti dan Liu (999) enunjukkan bahwa variabel kategorik ulti-respon dapat dinyatakan sebagai vektor biner diana setiap eleen dari vektor enunjukkan respon untuk tiap kategori. Respon biner diaksud adalah berupa jawaban 0 atau. Karena kedua variabel (X dan Y) erupakan variabel kategorik ulti-respon, aka tabel kontingensi dapat dituliskan seperti pada Tabel 4. Perhatikan bahwa () = () () dan () = () + () + () + () yang saa dengan n (julah responden/total sapel). Model asosiasi arjinal antara X dan Y digunakan untuk enjelaskan pola asosiasi diantara IJ sub-tabel 2x2 di dala tabel kontingensi. Pola tersebut keudian enggabarkan asosiasi antara X dan Y. 23
Model loglinier digunakan untuk tujuan ini karena secara alai engarah kepada interpretasi odds ratio dari asosiasi tersebut. Untuk eodelkan asosiasi antara X i dan Y j, odel loglinier arjinal cocok untuk asing-asing sub-tabel. Model loglinier arjinal erupakan odel yang endeskripsikan asosiasi antara dua variabel kategorik ulti-respon pada tabel kontingensi. Asosiasi didefinisikan oleh odds ratio dala sub-tabel dari ite pada tabel kontingensi. Model asosiasi tersebut sebagai berikut: Tabel 4. Tabel Kontingensi Modifikasi Kategori Y J 0 0 0 Julah Peluang Peluang Marjinal Baris X I 0 J + 0 ij 0 I IJ I+ I Julah Peluang + +J ++ + Peluang Marjinal Kolo J + () Model Siultaneous Pairwise Marginal Independence (SPMI): Independensi pada setiap sub-tabel atau tidak ada asosiasi antara variabel X dan Y. Odds ratio untuk seua sub-tabel saa dengan ( ij=). Bentuk odelnya sebagai berikut: log () = γ + () + () (2) Model Asosiasi Hoogen: Odds ratio untuk seua sub-tabel bernilai saa, akan tetapi tidak saa dengan. Nilai odds ratio adalah log( ij)= 00. Bentuk odelnya sebagai berikut: log () = γ + () + () + (3) Model dengan Efek Baris (Y Hoogen): Odds ratio antar sub-tabel berbeda pada setiap kategori X (i =,, I), yaitu: log( ij) = 00 + (). Bentuk odelnya sebagai berikut: log () = γ + () + () + + () 24
(4) Model dengan Efek Kolo (X Hoogen): Odds ratio antar sub-tabel berbeda pada setiap kategori Y (j =,, J), yaitu: log( ij) = 00 + (). Bentuk odelnya sebagai berikut: log () = γ + () + () + + () (5) Model dengan Efek Baris dan Kolo (Main-Effects): Perbedaan antara log odds ratio untuk setiap dua kategori Y adalah konstan sepanjang X dan sebaliknya. Bentuk odelnya sebagai berikut: log () = γ + () + () + + () + + () (6) Model Saturated (Model Lengkap): Odds ratio dari odel saa dengan odds ratio observasi pada setiap sub-tabel. Bentuk odelnya sebagai berikut: log () = γ + () + () + + () + () + () dengan: a = 0, ; b = 0, ; i =, 2,, I (banyak kategori variabel X); j =, 2,, J (banyak kategori variabel Y). 5. HASIL DAN PEMBAHASAN Data yang digunakan adalah variabel Keluhan Kesehatan dan variabel Jenis Obat/Cara Pengobatan yang berasal dari hasil Survey Sosial Ekonoi Nasional (SUSENAS) 200. Tabel kontingensi dari hasil tabulasi kedua variabel tersebut dapat dilihat pada Tabel 5 berikut: Tabel 5. Tabel Kontingensi Variabel Keluhan Kesehatan dan Variabel Jenis Obat/Cara Pengobatan Penduduk di Kota Sukabui Keluhan Kesehatan Panas Batuk Pilek Asa Diare Sakit Kepala Berulang Sakit Gigi Lainnya Jenis Obat/ Cara Pengobatan Tradisional 20 22 9 6 4 5 5 6 Modern 28 40 52 8 26 49 2 77 Lainnya 4 4 4 2 2 2 25
Tabel 6. Perbandingan Antar Model Ho dengan Ha adalah Model Saturated (Lengkap) Model Ho Model Ha Pearson 2 Bootstrap 2 p-value Independen Saturated 6.5325 39.6254 0.00003490 Hoogen Saturated 02.4942 42.5458 0.00004867 Efek X Saturated 00.670 47.6509 0.00000872 Efek Y Saturated 28.784 2.290 0.3356 Efek X dan Y Saturated 28.5024 3.2884 0.077783 Tabel 6 enunjukkan perbandingan antar odel Ho (dengan Ha adalah odel saturated). Model yang cocok untuk data Keluhan Kesehatan dan Jenis Obat/Cara Pengobatan adalah odel dengan efek Y serta odel dengan efek X dan Y. Apabila dilihat dari p-value, aka odel yang paling cocok adalah odel dengan efek Y (kolo/variabel Keluhan Kesehatan). Output Model dengan Efek Baris (Variabel Y): save_indices: col. # = W ite #, col. #2 = Y ite # OR: col. # = odel predicted OR, col. #2-#3 = (-alpha)00% C.I. OR_obs: col. # = observed OR, col. #2-#3 = (-alpha)00% C.I. SAVE_ OR OR_OBS INDICES *.35499 0.9765786.877869.4389937 0.774777 2.672662 2*.97079.3823988 2.658399.720536 0.9294378 3.849835 3**.9985924.447462 2.7595693.709402 0.6288793 2.80229 4*.7706294 0.8078842 3.8806655 3.2692308.2399787 8.693982 5* 2.0250774.0674289 3.848843.503884 0.5037893 4.5282292 6**.592422.072573 2.3635207 0.8683036 0.3288369 2.29278 7* 2.5800578.343042 4.956436 2.5238095 0.9030274 7.0536223 8** 0.3696456 0.255089 0.535795.8462 0.5888463 2.24474 2 *.35499 0.9765786.877869.36468 0.8823474.9640257 2 2*.97079.3823988 2.658399 2.0807927.37467 3.577206 2 3*.9985924.447462 2.7595693 2.6666667.74525 4.0745492 2 4*.7706294 0.8078842 3.8806655.0748408 0.4570007 2.527967 2 5* 2.0250774.0674289 3.848843 2.6 0.979553 6.9039098 2 6*.592422.072573 2.3635207 2.06596.0864902 4.0844794 2 7* 2.5800578.343042 4.956436 2.0662379 0.764454 5.5848209 2 8** 0.3696456 0.255089 0.535795 0.2528044 0.688337 0.3785386 3 *.35499 0.9765786.877869.398857 0.3707656 5.277732 3 2**.97079.3823988 2.658399.37403 0.3642029 5.836685 3 3**.9985924.447462 2.7595693.268872 0.3364038 4.7856096 3 4*.7706294 0.8078842 3.8806655 2.28 0.2743625 8.94796 3 5* 2.0250774.0674289 3.848843.879667 0.227497 5.52226 3 6*.592422.072573 2.3635207 2.0435835 0.447 0.070495 3 7** 2.5800578.343042 4.956436 5.4404762.07267 27.6065 3 8** 0.3696456 0.255089 0.535795 0.5678793 0.66376 2.7648625 Keterangan: *) Odds ratio observasi berada di dala selang kepercayaan odds ratio odel. **) Odds ratio observasi berada di dala selang kepercayaan odds ratio odel. 26
Berdasarkan output di atas, ada sebanyak 6 sub-tabel yang eiliki odds ratio observasi yang berada di dala selang kepercayaan dengan =5%. Sedangkan odds ratio observasi yang kurang signifikan hanya ada sebanyak 8 sub-tabel. Marginal odeling of 2 MRCVs progra The standardized Pearson residuals, predicted values,... for MODEL stand_ stand_ Observation W Y wi yj COUNT u_hat resid_ err 0 0 286 285.393 0.23593 2.57255 2 2 0 59 59.607-0.23593 2.57255 3 3 0 25 25.607-0.23593 2.57255 4 4 20 9.393 0.23593 2.57255 5 5 2 0 0 286 287.096-0.42598 2.5776 6 6 2 0 59 57.904 0.42598 2.5776 7 7 2 0 23 2.904 0.42598 2.5776 8 8 2 22 23.096-0.42598 2.5776 9 9 3 7 0 7 7.889-0.77870.4200 92 92 3 7 2. 0.77870.4200 93 93 3 8 0 0 320 39.48 0.48244.20678 94 94 3 8 0 6 6.582-0.48244.20678 95 95 3 8 0 7 7.582-0.48244.20678 96 96 3 8 2.48 0.48244.20678 6. KESIMPULAN Berdasarkan hasil dan pebahasan di atas, diperoleh kesipulan bahwa variabel Keluhan Kesehatan eiliki asosiasi dengan variabel Jenis Obat/Cara Pengobatan. Odds ratio sub-tabel pada tabel kontingensi dipengaruhi oleh efek kolo (variabel Keluhan Kesehatan). Sehingga Odds ratio antar keluhan kesehatan (panas, batuk, pilek, asa, diare, sakit gigi, sakit kepala berulang, lainnya) berbeda. 7. DAFTAR PUSTAKA Agresti, A. 990. Categorical Data Analysis. New York: John Wiley and Sons. Badan Pusat Statistik (BPS). 200. Buku III: Pedoan Kor Pencacahan Survey Sosial Ekonoi Nasional (SUSENAS) 200. Jakarta: BPS. Bilder, C.R. & Loughin, T.M. 2004. Modelling Association between Two or More Categorical Variables that Allow for Multiple Category Choices. E-Journal on-line. Melalui http://statistics.unl.edu/faculty/bilder/bilder_loughin. Efron, B. and Tibshirani, R. 983. An Introduction to the Bootstrap. New York: Chapan and Hall. E-book. Lauritzen, S.L. 2002. Lectures on Contingency Tables, Electronic Edition. Copenhagen: Aalborg University. Melalui http://citeseerx.ist.psu.edu/ viewdoc/download. 27