PIRAMIDA PASCAL: SUATU PENGEMBANGAN SEGITIGA PASCAL I Waya Pua Astawa SMKN Abag, Kab. Kaagasem, Bali Abstact. The ability to expad ad geealize is oe of the most impotat facilities a teache ca help a studet develop. I this aticles, the familia applicatio of Pascal s tiagle to detemie the coefficiets of a biomial expasio (a + b) is develoved by the use of Pascal s pyamid to coside the coefficiets of a tiomial expasio (a + b + c), kwatoomial expasio (a + b + c + d), utill poliomial expasio. Wheeas a biomial expasio ca be epeseted by a eadily visible tiagle, tiomial expasio, kwatoomial expasio util poliomial expasio ae epeseted by the moe complex pyamid. Thee is a uique elatioships betwee Pascal s tiagle ad Pascal s pyamid. The geeal fomula of (a + b) called biomial theoem also could be used to detemie the fomula of tiomial expasio, kwatoomial expasio, util poliomial expasio. Keywod. biomial s teoem, kwatoomial, pascal's tiagle, pascal's pyamid, polyomial, tiomial,. Pedahulua Pada tahu 9 Blaise Pascal meebitka buku yag beudul Taité du Tiagle Aithmétique da di dalamya tedapat susua bilaga yag kemudia dikeal dega segitiga Pascal. Meski dikeal dega ama Pascal, teyata segitiga Pascal telah dikeal di Cia sebelum tahu sepeti oleh Al-Kaai (95 9), Oma Khayyam (8 ), Jia Xia ( 7) da Yig Hui (8 9). Segitiga Pascal meupaka koefisiekoefisie biomial atau betuk alaba besuku dua yag tesusu dalam betuk segitiga. Koefisie biomial dapat diyataka dega megguaka kombiasi da alaba. Dega kombiasi, koefisie biomial dilambagka dega. Betuk meyataka bayak caa membuat himpua bagia dega eleme dai suatu himpua dega eleme. Secaa alaba, koefisie biomial meupaka koefisie suku a b pada ekspasi betuk alaba dua suku (a + b) utuk bilaga cacah. Dimulai dega. Setiap bais beikutya mulai da beakhi dega. Bilaga laiya dipeoleh dega meambahka dua suku tedekat dai bais di atasya. (a + b) (a + b) (a + b) (a + b) (a + b)
Sebagai cotoh, utuk meetuka (a + b) guaka koefesie-koefesie pada bais ke-5 sehigga: (a + b) = a + a b + a b + ab + b atau (a + b) = a + a b + a b + ab + b. Dega megguaka otasi sigma, ekspasi biomial (a + b) dapat dituliska dalam betuk: (a b) a b... () dimaa a, b bilaga eal, bilaga cacah da koefesie biomial dai suku ke- +. Dalam pembelaaa matematika, kemampua utuk meabaka da membuat geealisasi sagat petig bagi guu dalam membatu siswa megembagka kemampua matematik. Peeapa segitiga Pascal utuk meetuka ekspasi (a + b) sudah dipelaai seak pedidika meegah. Yag meadi petayaa adalah bagaimaa kalau suku betuk alaba tesebut ditambah? Misalya (a + b + c), (a + b + c + d), da seteusya sampai betuk alaba buah suku. Dalam koteks ii, segitiga Pascal masih bisa diguaka walaupu haus melalui bebeapa tahapa opeasi alaba. Oleh kaea itu, pada atikel ii aka diselidiki susua koefesie-koefesie da umus dai ekspasi tiomial (a + b + c).. Metoda Peulisa Atikel ii meupaka hasil kaia pustaka/hasil pemikia dalam upaya utuk meggali da megembagka pegetahua matematika yag sudah ada. Hasil pegembaga ii dihaapka dapat mempekaya teoi/matei matematika, yag atiya dapat diguaka utuk memecahka masalah yag mucul baik dalam matematika maupu dalam ilmu laiya yag memeluka batua matematika.. Hasil da Pembahasa a. Piamida Pascal Segitiga pascal meupaka susua bilaga-bilaga yag meupaka koefesie-koefesie biomial dai ekspasi dua suku, misalya sukusukuya a da b. Bagaimaa ika tedii dai suku yaitu a, b da c atau (a + b + c). Utuk itu aka dicoba meguaika (a + b + c) utuk pagkat kecil dega megguaka fomula segitiga pascal, sebagai beikut. Utuk =,,, da betuuttuut dipeoleh (a + b + c) =, (a + b + c) = a + b + c, (a + b + c) = a + ab + ac + b + bc + c, (a + b + c) = a + a b + a c + ab + abc + ac + b + b c + bc + c, (a + b + c) = a + a b + a c + a b + a bc + a c + ab + ab c + abc + ac + b + b c + b c + bc + c. Dai cotoh uaia di atas, telihat bahwa umlah suku-suku dai uaia (a + b + c) dimaa =,,,,, betuut-tuut adalah,,,, 5, yag meupaka bilaga segitiga. Ekspasi petama: (a + b + c) mempuyai koefesie tuggal yaitu. Ekspasi kedua: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + b + c yag diwakili oleh segitiga lapis petama dega agka-agka haya pada titik-titik sudutya. Ekspasi ketiga: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + ab + ac + b + bc + c yag dapat disusu dalam segitiga lapis kedua, yaitu
Ekspasi keempat: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + a b + a c + ab + abc + ac + b + b c + bc + c yag dapat disusu dalam segitiga lapis ketiga, yaitu Ekspasi kelima: (a + b + c) mempuyai koefesie: a + a b + a c + a b + a bc + a c + ab + ab c + abc + ac + b + b c + b c + bc + c yag dapat disusu dalam segitiga lapis keempat, yaitu Jadi susua koefesie-koefesie dai ekspasi tiomial (a + b + c) membetuk lapisa segitiga dimaa agka pada setiap sisiya sama da meupaka koefesie-koefesie dai ekspasi (a + b) seta bilaga pada setiap titik sudutya. Jika masigmasig titik sudut lapisa segitiga tesebut dihubugka maka aka bebetuk piamida sepeti dituukka gamba. (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) da seteusya Gamba. Piamida Pascal utuk Ekspasi Tiomial Kostuksi bilaga-bilaga di atas meupaka pegembaga dai segitiga pascal, sehigga kostuksi koefesie-koefesie dai uaia (a + b + c) tesebut dikeal dega Piamida Pascal (Posametie, 99: ). ) Hubuga ataa Segitiga Pascal da Piamida Pascal Di dalam piamida Pascal tampak bahwa bilaga-bilaga pada setiap sisi segitiga meupaka bilagabilaga bais besesuaia dai segitiga Pascal. Misalya bilagabilaga pada tiap sisi dai (a + b + c) adalah sama dega bilaga-bilaga bais ke-5 dalam segitiga pascal. Hubuga ii meupaka petuuk utuk meetuka metode dalam meuuka piamida pascal, yaitu sebagai beikut. Misalka bilaga-bilaga pada setiap sisi dai ekspasi tiomial (a + b + c) diwakili oleh bilagabilaga pada bais yag besesuaia dai segitiga Pascal. Buatlah segitiga Pascal sampai bilaga bais ke-+. Kemudia kalikalah bilagabilaga tiap bais dai segitiga Pascal dega bilaga-bilaga
pada bais teakhi secaa beuuta. Hasil ii meuukka koefesiekoefesie dai ekspasi tiomial yag dicai. Sebagai cotoh, meetuka koefesie dai (a + b + c). Bilaga-bilaga pada sisi tepi dai (a + b + c) adalah. Bilaga ii meupaka bilaga bais ke-5 dai segitiga Pascal yag meupaka koefesie dai ekspasi (a + b). bilaga bais ke-5 dai segitiga Pascal Tabel. Meetuka koefesie dai (a + b + c) Segitiga Pascal sampai bais ke-5 Koefesie dai ekspasi (a + b + c) ) Peeapa Piamida Pascal Utuk Ekspasi Tiomial (a + b + c) Lagkah-lagkah meguaika (a + b + c) adalah: ) meetuka susua koefesie-koefesie (segitiga) megguaka piamida pascal da ) megguaka koefesie-koefesie itu utuk meetuka ekspasi dai (a + b + c) meuut suku-sukuya, dega atua sebagai beikut.. Bilaga bais ke- dai segitiga adalah koefesie dai a dega pagkat tetiggi dai ekspasi (a + b + c).. Bilaga-bilaga pada setiap bais meupaka koefesiekoefesie dai pekalia ataa vaiabel a dega pagkat tuu tigkat dai bais sebelumya da vaiabel lai dega pagkat aik tigkat dai bais sebelumya sehigga deaat tiap suku sama dega.. Dalam bais pagkat a tetap sedagka pagkat b tuu tigkat dai kii ke kaa da pagkat c aik tigkat. Pehatika atua segitiga pada gamba! (a b c ) a,b,c a,b,c a,b,c Keteaga: a,b,c : pagkat (a,b,c) tuu a,b,c : pagkat (a,b,c) tetap a,b,c : pagkat (a,b,c) aik (a b c ) (a b c ) Gamba. Ilustasi Atua Pegguaa Piamida Pascal ) Rumus Umum dai Ekspasi Tiomial (a + b + c) Sebelum membahas umus umum utuk ekspasi (a + b + c), aka
5 diuaika kembali megeai piamida Pascal yag dikembagka dai segitiga Pascal. Dega megguaka otasi kombiasi maka segitiga Pascal dapat dituliska sebagai beikut.... Susua koefesie-koefesie dai ekspasi tiomial (a + b + c) pada piamida Pascal dipeoleh dega caa sebagai beikut.... Dega megguaka atua tesebut, maka fomula umum utuk ekspasi (a + b + c) dapat ditetuka sebagai beikut. (a + b + c) = [ a ] + [ a - b + a c] + [ a -b + a - bc + a -c ] + + [ a - b + a - b - c + a - b - c + + a - b - c + + a - c ] + + [ a b - + a b - c + + abc - + ac - ] + [ b + b -c + b -c + + bc - + c ] Betuk umum suku-suku dai ekspasi (a + b + c) yag koefesiekoefesieya bais ke-+ adalah:
[ a - b + a - b - c + a - b - c + + a - b - c + + a - c ] atau a b c Dega demikia ekspasi (a + b + c) dapat ditulis secaa sigkat sebagai beikut. (a + b + c) = [ a ] + a b c + a b c + + a - b - c + + a b - - c + b - c atau (a + b + c) = a - b - c = a - b - c Jadi umus umum dai ekspasi tiomial (a + b + c) adalah sepeti dituukka umus. (a + b + c) = a - b - c... () b. Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c + d) Pada pembahasa sebelumya, telihat bahwa segitiga pascal dapat dikembagka dalam meetuka kofiguasi koefesie-koefesie dai ekspasi (a + b + c) yag dikeal Piamida Pascal. Selautya, apakah metode tesebut dapat dikembagka utuk ekspasi poliomial (a + b + c + d), (a + b + c + d + e) da seteusya. Oleh kaea itu, aka diselidiki dulu fomula dai ekspasi (a + b + c + d) sebagai beikut. Petama, ekspasi (a + b + c + d) meghasilka koefesie tuggal yaitu Kedua, ekspasi (a + b + c + d) memiliki koefesie-koefesie : a + b + c + d yag diwakili oleh piamida dega eleme pada tiap titik sudutya. Ketiga, ekspasi (a + b + c + d) memiliki koefesie-koefesie : a + ab + ac + ad + b + bc + bd + c + cd + d yag diwakili oleh piamida dega kofiguasi sebagai beikut. Telihat bahwa koefesie-koefesie pada tiap usuk sama, yaitu yag meupaka bais ke- dai segitiga pascal da koefesiekoefesie pada tiap bidag piamida uga sama: yag meupaka bilaga segitiga bais ke- dai piamida pascal. Lagkah-lagkah meetuka kofiguasi koefesie dai ekspasi (a + b + c + d), pada dasaya sama dega lagkah-lagkah meetuka kofiguasi koefesie dai ekspasi tiomial.
Cotoh ekspasi (a + b + c + d). Koefesie-koefesie tiap usuk piamida uit utuk ekspasi (a + b + c + d) adalah yag meupaka bais ke-5 dai segitiga pascal.. Piamida uit utuk ekspasi (a + b + c + d) dibetuk dai piamida pascal utuk ekspasi (a + b + c) dega koefesiekoefesie pada segitiga alas adalah koefesie dai ekspasi (a + b + c), yaitu:. Kalikalah koefesie-koefesie pada tiap segitiga uit dai piamida pascal secaa betuuta dega: sehigga dipeoleh piamida uit utuk ekspasi (a + b + c). Hubuga ataa segitiga Pascal da piamida Pascal dituukka oleh gamba. x xx x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx xx Caa I Caa II Gamba. Meetuka Koefesie dai ekspasi (a + b + c + d) 7
) Atua Pegguaa Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c + d). Atua dai pegguaa piamida pascal utuk ekspasi (a + b + c + d) dapat diuaika sebagai beikut. a) Bilaga petama (pucak piamida) adalah koefesie dai a dega pagkat tetiggi, yaitu, b) Bilaga-bilaga pada lapis ke- adalah koefesie-koefesie dai pekalia ataa a dega pagkat tuu tigkat dai lapis sebelumya da vaiabel lai b, c da d sedemikia sehigga deaat tiap suku = (pagkat a + pagkat b + pagkat c + pagkat d = ), c) Pada segitiga lapis ke-, bilaga petama (pucak) dai segitiga lapis ke- adalah koefesiekoefesie dai pekalia ataa a dega pagkat - da vaiabel b dega pagkat, sedagka koefesie pada bais ke- dai lapis ke- adalah koefesiekoefesie dai pekalia ataa vaiabel a dega pagkat tetap (-) dai suku sebelumya da vaiabel b dega pagkat tuu tigkat dai sebelumya seta vaiabel c dega pagkat aik tigkat dai sebelumya. Catata: - Dalam bais pagkat a tetap da pagkat b tetap dai suku sebelumya, pagkat c tuu seta pagkat d aik tigkat dai suku sebelumya sedemikia sehigga deaat tiap suku = - dalam lapis pagkat dai a sama. a b c d a,b c,d a,b c,d a - b c d a,b c,d a - b c d a - b c d a b c d a b c d a b c d a,b a,b a,b c,d c,d c,d Gamba. Atua utuk Meetuka Ekspasi (a + b + c + d) ) Fomula Umum dai Ekspasi (a + b + c + d). Utuk meetuka fomula umum dai ekspasi (a + b + c + d) aka ditiau kembali poses yag diuaika sebelumya, yaitu ) meetuka kofiguasi koefesiekoefesieya da ) megguaka koefesie-koefesie tesebut utuk ekspasi (a + b + c + d). Dega megguaka kombiasi maka kofiguasi koefesie-koefesie dai 8
9 ekspasi (a + b + c + d) dapat ditulis sebagai beikut. Dega megguaka atua tesebut maka fomula umum dai ekspasi (a + b + c + d) dapat diumuska sebagai beikut. (a + b + c + d) = [ a ] + [ a - b + ( a c + a - d) + [ a -b + ( a -bc + a bd) + ( a - c + a -cd + a - d )] + + [ a - b + ( a - b - c + a - b - d ) + ( a - b - c + a - b - cd + a - b - d ) + + ( a - b - c + a - b - c d + a - b - c d + + m - - m - - - - - -
a - b - c m d m + + a - b - c d + a - b - d ) + + ( a - c + a - c d + a - c d + + a - c d + + a - c d + a - d )] + + [ b + ( b -c + b -d ) + ( b -c + b -cd + b - d ) + + ( b c + b c d + b c d + + b c d + + b - d ) + ( c + c d + c d + + c d + + d )] Betuk umum suku-suku dega koefesie-koefesie pada segitiga lapis ke- dai piamida Pascal dapat ditulis sebagai beikut. Suku-suku pada segitiga ke- = [ a - b + ( a - b - c + a - b - d ) + ( a - b - c + a - b - cd + a - b - d ) + + ( a - b - c + a - b - c d + a - b - c d + + a - b - m c m d m + + a - b - c d + a - b - d ) + + ( a - c + a - c d + a - c d + + a - c d + + a - c d + a - d )] Atau Suku-suku pada segitiga ke- = a b c m d m mm = a m b c m d m m Kaea begeak dai maka umus umum utuk ekpasi (a + b + c + d) sepeti dituukka umus. (a + b + c + d) = = a b m c m d m m. () c. Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c + d + e) Betuk geometi dai kofiguasi koefesie-koefesie dai ekspasi 5 suku dapat dilihat pada lampia, yag meupaka pegembaga dai segitiga pascal uga. Dega demikia kofiguasi koefesiekoefesie dai ekspasi dega suku, suku, da 5 suku atau lebih dapat diwakili oleh bilagabilaga yag membetuk piamida pascal. Dega bepedoma pada fomula umum dai ekspasi suku, da suku maka fomula/umus umum dai ekspasi 5 suku dapat ditulis sepeti dituukka umus.
(a + b + c + d + e) = a b m m m c m m d m s e s s s. () d. Ekspasi Poliomial (a + a + a + + a k ) Dega megacu pada metode yag telah diuaika sebelumya, maka umus umum utuk ekspasi polyomial dega k suku yag bebeda dapat ditetuka. Misalka suku-suku tesebut: a, a, a,, a k dega k bilaga asli, bilaga cacah, maka umus umum dai ekspasi poliomial dituukka oleh umus 5. (a +a +a + +a k) = a a a i i a i i i i i k k a k k k k a k k k. (5) utuk i =,,,, k-, k bilaga asli da bilaga cacah. Simpula da Saa Bedasaka uaia pada pembahasa, maka betuk umum dai ekspasi polyomial dapat disedehaaka sebagai beikut. Tabel. Ragkuma Hasil Pegembaga Bayak Betuk Betuk Fomula/Rumus umum suku ekspasi Geometis (a + b) Segitiga Pascal (lampia ) a -k b k k k (a+b+c) Piamida Pascal a b c (lampia ) (a+b+c+d) Piamida Pascal a b deivatif (lampia ) c m d m mm 5 (a+b+c+d+e) Piamida Pascal deivatif (lampia ) a b m m c m m m d m s e s s s k (a +a +a + + Piamida a k) Pascal a (k-) deivatif a a i i a i i i i i k k a k k k k a k k k
DAFTAR PUSTAKA Naga, Dali S. 98. Behitug Seaah da Pegembagaya. Jakata: PT Gamedia. Posametie, Alfed S. da Jay Stepelme. 99. Teachig Secoday School Mathematics Techiques ad Eichmet Uits Thid Editio. Meil Publishig Compay Columbus. Tetag Peulis: I Waya Pua Astawa. Lahi di Selumbug taggal Jauai 98. Pedidika yag peah ditempuh S Pedidika Matematika IKIP Negei Sigaaa da S Pedidika matematika di Pascasaaa Udiksha Sigaaa. Betugas di SMK Negei Abag, Kaagasem, Bali seak tahu sampai sekaag. Aktif sebagai ketua MGMP Matematika Kabupate Kaagasem.
Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b) = = = = =
Piamida Pascal utuk Ekspasi (a + b + c) = = = = =
Piamida Pascal Deevatif utuk Ekspasi (a + b + c + d) = = = = = 5
Piamida Pascal Deevatif utuk Ekspasi (a + b + c + d + e) = = = = =