BAB LANDASAN TEORI Pada bab ii aka dibahas megeai eori-eori dasar yag berhubuga dega ivesasi, persamaa diferesial sokasik da simulasi yag mejadi ladasa berpikir uuk mempermudah dalam pembahasa pada bab berikuya.. Ivesasi Ivesasi pada dasarya adalah komime aas sejumlah daa aau sumber daya laiya yag dilakuka pada saa ii, dega ujua memperoleh sejumlah keuuga di masa yag aka daag (E. Tadelili, 00). Pihak-pihak yag melakuka ivesasi disebu ivesor. Hampir semua ivesasi megadug usur keidakpasia da mempuyai risiko megalami kerugia pada waku melakuka ivesasi. Tujua ivesor dalam berivesasi adalah memaksimalka reur dega memiimalka risiko ivesasi yag dierimaya.. Reur da Risiko Suau ivesasi yag mempuyai risiko yag iggi seharusya memberika reur (igka pegembalia) yag diharapka juga lebih iggi. Reur merupaka suau fakor yag membua ivesor berivesasi da meerima ilai pegembalia/ imbal-hasil aas ivesasi yag dilakuka. Meuru Fabozzi (995), risiko merupaka kerugia yag dihadapi oleh para ivesor. Risiko dapa juga didefiisika sebagai kemugkia perbedaa aara reur yag dierima dega reur yag diharapka. Semaki besar kemugkia perbedaaya, berari semaki besar risiko ivesasi ersebu (E. Tadelili, 00). Risiko adalah sebuah peluag dimaa hasil yag sesugguhya bisa berbeda dega hasil yag diharapka aau kemugkia ilai yag hilag aau Uiversias Sumaera Uara
7 diperoleh yag dapa diukur. Risiko berbeda dega keidakpasia yag idak dapa diukur seperi igka kepuasa erhadap suau beda, jasa maupu pelayaa (Aaroga da Pakari, 006)..3 Porofolio Porofolio umumya diarika sebagai kumpula sejumlah ivesasi yag dimiliki perseoraga aau perusahaa. Aspek pokok eori porofolio adalah kosep risiko yag erkai pada ase yag berada dalam suau porofolio (E. Tadelili, 00). Harry M. Markowiz (95), seorag yag perama kali megembagka eori pemiliha porofolio meyaaka bahwa sebagia besar ivesor ermasuk dalam risk averer (meghidari risiko). Hal ii berari ivesor aka selalu berusaha uuk meghidari risiko sehigga ivesor mecoba megalokasika kekayaaya ke berbagai porofolio uuk meghasilka keuuga yag opimal selama jagka waku ereu (holdig period). Seelah iu ivesor aka mejual ivesasiya pada akhir masa ereu. Salah sau cara meuruka risiko dalam ivesasi adalah dega melakuka diversifikasi. Diversifikasi adalah kegiaa membeuk da memasukka semua kelas ase ke dalam porofolio sedemikia sehigga risiko dapa dimiimalka apa meguragi reur yag diharapka. Umumya asease keuaga dibeuk mejadi sau porofolio yag diamaka porofolio ivesasi. Porofolio ivesasi merupaka kumpula ivesasi yag dibeuk uuk memeuhi suau sasara umum ivesasi dimaa fokus uama uuk meeuka porofolio opimal (Zamli Zubir, 0). Teori porofolio membahas bagaimaa melakuka pemiliha porofolio dari sekia bayak kelas ase sera memaksimalka reur yag diharapka pada igka risiko ereu yag bersedia diaggug ivesor. Dega kaa lai, eori porofolio membahas bagaimaa cara membeuk porofolio yag opimal. Uiversias Sumaera Uara
8 Ada iga kosep dasar yag perlu dikeahui sebagai uuk memahami pembeuka porofolio opimal, yaiu:. Porofolio efisie da porofolio opimal Pada dasarya maajeme porofolio erdiri dari 3 akifias uama, yaiu: pembuaa kepuusa alokasi asse, peeua proporsi daa yag aka diivesasika pada masig-masig kelas asse, da pemiliha asse-asse dari seiap kelas yag elah dipilih. Dalam membeuk porofolio, ivesor selalu igi memaksimalka reur yag diharapka dega igka risiko ereu yag bersedia diaggugya aau mecari porofolio yag meawarka risiko eredah dega igka reur ereu. Porofolio efisie adalah porofolio yag meyediaka reur maksimal bagi ivesor dega igka resiko ereu aau porofolio yag meawarka resiko eredah dega igka reur ereu. Sedagka porofolio opimal adalah porofolio yag dipilih ivesor dari sekia bayak piliha yag ada pada porofolio efisie. Pemiliha porofolio opimal didasarka pada preferesi ivesor erhadap reur yag diharapka dari resiko.. Ase berisiko da ase ak berisiko Ivesasi berdasarka sifa ase yag diaamka digologka ke dalam dua jeis yaiu ivesasi pada ase berisiko da ivesasi pada ase idak berisiko. Ase berisiko adalah ase-ase yag igka reur di masa depaya masih megadug keidakpasia sedagka ase idak berisiko adalah ase yag igka reur di masa depaya umumya sudah bisa dipasika saa ii. Pada ulisa ii, ivesasi pada ase berisiko adalah meaamka uag di saham da ivesasi pada ase idak berisiko adalah meabug uag di bak. Dalam berivesasi, ivesor memilih megivesasika kekayaaya pada berbagai ase, baik pada ase berisiko maupu ase idak risiko aaupu kombiasi dari kedua ase ersebu. Piliha ivesor pada kedua ase ersebu aka ergaug dari padaga ivesor erhadap risiko. Semaki ivesor megidari risiko, maka piliha ivesor cederug megivesasika kekayaaya lebih bayak pada ase-ase idak berisiko. Uiversias Sumaera Uara
9 3. Fugsi uilias Secara umum, uilias megukur besarya kepuasa yag dirasaka dari sebuah objek. Ukura ii diyaaka dalam ideks uilias (uiliy idex). Jadi dapa disimpulka bahwa peeua ideks uilias dipegaruhi oleh karakerisik idividu. Pemiliha porofolio uuk model uilias yag diharapka dilakuka dega megaalisis uilias dari seiap hasil yag mugki diperoleh ivesor. Objek yag dijadika baha pembahasa dari fugsi uilias yag diharapka adalah kekayaa (wealh) sehigga fugsi uilias merupaka fugsi kekayaa yag dilambagka dega U(w). Piliha ivesasi pada ase berisiko didorog oleh adaya premium yag diilai sebadig dega risiko yag dihadapi. Ivesor haya memperimbagka erhadap piliha ivesasi di bebas risiko da ivesasi yag memiliki risk premium posiif. Risk premium adalah selisih aara raaraa reur ivesasi berisiko dega raa-raa reur ivesasi idak berisiko sehigga fugsi uilias merupaka fugsi keuuga pada porofolio. Pada kasus ivesor yag selalu berusaha meghidari risiko erdapa berbagai macam fugsi uilias yaiu: (a) Uilias Kuadraik (Quadraic Uiliy) (b) Uilias Ekspoesial (Ekspoesial Uiliy) (c) Uilias Pagka (Power Uiliy).4 Turua Defiisi.4.. Turua fugsi f dari x aau f(x) adalah ' f f ( x h) f ( x) ( x). h Selajuya jika U da V adalah fugsi-fugsi dari x yag dapa didiferesialka d dv du maka ( UV ) U V.... (.) dx dx dx Uiversias Sumaera Uara
0 Teorema.4. (Verbeg, Purcell da Rigdo, 00) Misalka y = f(u) da u = g(x). Jika g erdiferesiasika di u = g(x), maka fugsi komposi, f g yag didefiisika oleh ( f g)( x) f ( g( x)) didiferesialka di x sehigga ( f g) ' ( x) D f ( g( x)) x, aka f ' ( g( x)) g' ( x)... (.) Defiisi.4.3. Turua Parsial Z f ( x, y) suau fugsi dega variabel x da y dikaaka urua pasial. Jika x berubah eapi y eap maka urua parsial erhadap x adalah Z f ( x x, y) f ( x, y) f ( x, y)... (.3) lim x x 0 x x. Jika y berubah eapi x eap maka urua parsial erhadap y adalah Z f ( x, y y) f ( x, y) f ( x, y) lim y y 0 y y... (.4) Adaika Z f ( x, y) fugsi koiu pada variabel x da y dega urua parsial erhadap x adalah Z da urua parsial ke y adalah Z x y (Karoo, 994). Jika x, y merupaka fugsi yag dapa didiferesialka dega x g( ), y h( ) pada suau variabel maka Z merupaka fugsi dari da dari Z dega memperhaika Z disebu urua oal Z Z x Z y x y.... (.5).5 Iegral Iegral merupaka kebalika dari diferesial aau ai diferesial. Iegral ada dua jeis yaiu. Iegral ak eu yaiu iegral yag idak memiliki baas-baas iegral. Uiversias Sumaera Uara
Defiisi.5.. Fugsi F disebu ai urua dari fugsi f dioasika dega A(f) aau F( x) dx bila F' ( x) f ( x). Lebih legkap diuliska sebagai beriku: Jika d F( x) c df( x) F' ( x) maka ' F ( x) dx df( x) F( x) c, dimaa c.. Iegral eu yag diambil pada suau daerah aau ierval ereu. Defiisi.5.. Suau fugsi f(x) yag koiu pada ierval a x b maka b a f ( x) dx lim f ( x ) x k k k... (.6a) b a b df( x) dx F( x) F( b) F( a) a... (.6b) Defiisi.5.3. Jika F(x) = U(x).V(x) fugsi yag koiu pada ierval [a, b] b b b maka U( x) dv ( x) df( x) dx V ( x) du ( x) a a a... (.7a) b aau U( x) dv ( x) F( b) F( a) V ( x) du ( x) a b a... (.7b) Selai dari kedua jeis iegral ersebu erdapa juga iegral parsial. Di dalam diferesial dikeahui bahwa jika U da V adalah fugsi-fugsi yag dapa didiferesialka maka d( UV ) Udv Vdu apabila kedua ruas diiegralka diperoleh... (.8) UV UdV VdU UdV UV VdU... (.9) Iegral parsial yag serig juga dikeal dega iegral by par memiliki sifa umum sebagai beriku a. Peraa dalam memilih dv diuamaka yag lebih mudah diiegralka. b. VdU sebaikya idak lebih suli dari pada UdV..6 Pediferesiala Iegral Teorema.6. (Verbeg, Purcell da Rigdo, 00) Jika f koiu pada selag eruup [a, b] da jika x adalah variabel yag x merupaka sebuah iik dalam [a, b] maka Dx f ( ) d f ( x). a Uiversias Sumaera Uara
x Buki. Misalka G( x) f ( ) d aka dibukika G ' ( x) f ( x). a xh x xh dega h > 0 da m adalah G( x h) G( x) f ( ) d f ( ) d f ( ) d a a a ilai miimum sera M adalah ilai maksimum f pada selag [x, x+h] maka m f () M xh xh xh m d f ( ) d M d a a a xh mh f ( ) d M h a m h G( x h) G( x) M h G( x h) G( x) m M h G( x h) G( x) lim f( x) h0 h G ' ( x) f ( x) Beuk pediferesiala iegral dapa dirumuska sebagai beriku d f ( s, ) d f ( s, ) ds f ( 0, ) ds... (.0) 0 0.7 Persamaa Diferesial Liier.7. Permulaa Persamaa Diferesial Persamaa diferesial adalah suau persamaa yag didalamya erdapa uruaurua yag merupaka hubuga aara variabel bebas da variabel ak bebasya sera variabel urua erhadap variabel ak bebas dalam berbagai orde. Secara simbol diulis: di maa x = variabel bebas. y = variabel ak bebas. F x, y', y'',..., y 0... (.) Uiversias Sumaera Uara
y', y'',..., y = urua-urua y erhadap x. Suau derivaif aau urua eriggi yag erdapa dalam suau persamaa diferesial merupaka orde dari suau persamaa diferesial sedagka degree (deraja) suau persamaa diferesial adalah pagka eriggi dari urua eriggi yag erdapa dalam suau persamaa diferesial. Peyelesaia umum dari suau persamaa diferesial adalah suau peyelesaia yag didalamya erdapa kosaa sebarag, diulis dega F( x, y, c) 0 ; c adalah kosaa Peyelesaia khusus (pariculir soluio) adalah suau peyelesaia yag didalamya sudah dieuka kosaa sebarag mejadi kosaa absolu diulis dega F( x, y, co ) 0. Jika erdapa variabel bebas yag uggal, urua merupaka urua biasa maka persamaaya disebu persamaa diferesial biasa sedagka jika erdapa dua aau lebih variabel bebas da uruaya adalah urua parsial maka persamaya disebu persamaa diferesial parsial (Karoo, 994). 3.7. Persamaa Diferesial Liier Orde Sau Persamaa diferesial liier orde sau diulis dalam beuk F x y y,, ' 0 aau '. Peyelesaia umumya adalah y ( x, c) y F( x, y) di maa peyelesaiaya megadug suau kosaa c. Bila diberika syara awal x x0 da y y0 maka kosaa c dapa dicari misalya c c0. Peyelesaia aau jawaba uuk c c 0 diamaka jawaba khusus dalam beuk y ( x, c0 ) (Karoo, 994)..7.3 Persamaa Diferesial Liier Orde Beuk umum persamaa diferesial liier orde adalah P y P y P y P y Q... (.) 0... Uiversias Sumaera Uara
di maa P0 0 da Q 0 P, P,..., P adalah kosaa. Q adalah fugsi. Uuk meyederhaaka da memudahka perhiuga persamaa diferesial ersebu dapa diguaka operaor D dimaa mejadi ( P D P D P D... P ) y Q. 0 4 d D selajuya dapa diulis dx Suau persamaa differesial liier orde dega keofisie kosa disebu homoge apabila Q = 0 sehigga beukya mejadi dapa juga diulis ( P D P D P D... P ) y 0... (.3) 0 P0 D P D P D... P 0... (.4) dapa juga difakorka mejadi ( D m )( D m )...( D m )( D m) 0dimaa m, m... m, m merupaka akar karakerisik dari persamaa (.3) (Karoo, 994)..8 Probabilias Probabilias aau peluag secara klasik dapa diarika sebagai suau ukura eag igka kemugkia suau perisiwa (eve) aka erjadi di masa medaag. Oleh karea iu diperluka suau pegamaa. Proses pegamaa ersebu diamaka suau percobaa. Hasil dari suau percobaa diamaka hasil (oucames) aau iik sampel. Himpua yag berisi semua hasil yag mugki dari suau percobaa disebu dega ruag sampel. Ruag sampel serig dioasika dega S aau Ω. Sedagka kejadia aau eve adalah himpua bagia dari ruag sampel (Sudjaa, 005). Uiversias Sumaera Uara
5.9 Sifa-sifa Probabilias Defiisi.9. Misalka Ω adalah ruag sampel da A adalah suau kejadia pada ruag sampel Ω. () Jika A = maka P(A) = 0. () Nilai probabilias kejadia A, yaiu P(A) berkisar dari 0 sampai PA (3) Jumlah ilai probabilias semua hasil dari suau percobaa aau P(Ω)=. 0 ( )..0 Variabel Acak da Disribusi Probabilias.0. Variabel Acak Uuk meggambarka hasil-hasil percobaa sebagai ilai-ilai umerik secara lebih sederhaa, maka diguaka variabel acak. Variabel acak biasaya meghubugka ilai-ilai umerik dega seiap kemugkia hasil percobaa. Nilai umerik ersebu bersifa diskri (hasil hiuga) da bersifa koiu (hasil pegukura, oleh kareaya variabel acak dapa dikelompokka mejadi:. Variabel Acak Diskri Variabel acak diskri haya dapa megambil ilai-ilai ereu yag erpisah, yag umumya dihasilka dari peghiuga suau objek. Syara yag harus dipeuhi uuk fugsi probabilias diskri: (i) Px ( ) 0 aau 0 Px ( ) i (ii) Px ( ) i Defiisi.0. Nilai harapa (expeced value) variabel acak diskri adalah raa-raa erimbag seluruh kemugkia hasil di maa peimbagya adalah ilai probabilias yag dihubugka dega seiap hasil (oucome). Ekspekasi aau ilai harapa dapa dirumuska dega E( X ) x. P( x ) x i i i= E( X ) x. P( x ) x. P( x )... x. P( x )... (.5) aau x Uiversias Sumaera Uara
6 di maa x i = ilai ke-i dari variabel acak X Px ( i ) = probabilias erjadiya xi Varias dari Variabel Acak diskri X yag dioasika dega Var[x] dieuka dega rumus: Var[ x] E[ x - E( x)] E( x ) -[ E( x)] x aau... (.6). Variabel Acak Koiu Jika megukur sesuau seperi lebar ruaga, iggi bada, aau bera bada seseorag, maka variabel yag dihasilka adalah variabel acak koiu. Hasil pegukura ersebu mugki aka berbeda-beda ergaug pada siapa yag melakuka pegukura da igka keeliia yag diguaka. Oleh karea hasil pegukura idak bisa seakura hasil perhiuga, maka ilai hasil pegukura bisa bervariasi dalam suau selag ilai ereu. Misalya jarak aara Meda da Pemaag Siaar dapa 7 km, 7,6 km, 8 km da seerusya ergaug pada keeliia ala ukur aau si pegukur. percobaa. Beriku diberika beberapa cooh variabel koiu dari suau Cooh.0.. Variabel Koiu Percobaa Membagu proyek perkaora baru seelah bula Isi bool miuma jadi (maximum = 600 ml) Peimbaga 0 pake kemasa (maximum = kg) Kemugkia Nilai-ilai Variabel Acak Variabel Acak Persease proyek yag diselesaika 0 x 00 Jumlah millilier 0 x 600 Bera sebuah pake kemasa (kg) 0 x Uiversias Sumaera Uara
7.0. Disribusi Probabilias Variabel Acak Koiu Disribusi probabilias variabel acak koiu diyaaka dega fugsi f(x) da serig disebu fugsi kepadaa (desiy fucio) aau fugsi kepadaa probabilias. Nilai f(x) bisa lebih besar dari. Syara yag harus dipeuhi oleh fugsi kepadaa probabilias : (i) f(x) 0 (ii) f ( x) dx di maa f(x) dx = P[x X (x + dx)], yaiu probabilias bahwa ilai X erleak pada ierval x da x + dx. Defiisi.0.3. Beberapa defiisi megeai variabel acak koiu. Fugsi Probabilias Kumulaif Variabel Acak Koiu : F( x) P( X x) f ( x) dx... (.7) Nilai-ilai x dalam rumus ii harus koiu aau dalam suau ierval.. Ekspekasi aau mea uuk variabel acak koiu X dieuka dega rumus : E( x) x. f ( x) dx... (.8) Da ekspekasi uuk x adalah sebuah fugsi (x = g(x)) dieuka dega rumus : E(g( x)) g( x). f ( x) dx... (.9) 3. Varias dari Variabel Acak Koiu X yag dioasika dega Var[x] dieuka dega rumus: Var[ x] E[ x - E( x)] E( x ) -[ E( x)] x x aau... (.0) Salah sau beuk disribusi dari disribusi variabel acak yag aka dibahas didalam ulisa ii adalah disribusi ormal. Uiversias Sumaera Uara
8. Disribusi Normal Disribusi ormal merupaka disribusi koiu yag palig peig dalam bidag saisik karea dapa mewakili kumpula daa observasi yag erjadi dalam alam semesa, idusri, maupu peeliia. Disribusi ormal serig dikeal sebagai disribusi Gauss. Variabel acak x yag mempreseasika disribusi ormal disebu variabel acak ormal, yag disribusiya bergaug pada dua parameer, yaiu mea () da deviasi sadar (). Fugsiya dioasika sebagai N(x ; ; ). Defiisi.. Fugsi kepadaa (desiy fucio) dari variabel acak x dega mea da varias adalah : di maa x N( x; ; ) f ( x). e, x = 3,459... e =,788...... (.) = simpaga baku = = raa-raa x x = variabel koiu. Model Sokasik.. Proses Sokasik Defiisi.. Proses Sokasik adalah suau kumpula variabel acak X, T, dega T adalah himpua parameer waku. Jadi dapa dikaaka bahwa proses sokasik merupaka keluarga fugsi waku. Jika T erhiug maka dikaaka proses sokasik waku diskri da jika T koiu maka dikaaka proses sokasik waku koiu. Proses sokasik waku koiu { X ; T} dikaaka mempuyai keaika idepede jika uuk semua,,,..., 3, variabel radom Uiversias Sumaera Uara
X, X, X..., X idepede. Proses dikaaka mempuyai keaika sasioer, 3 jika X( s) X mempuyai disribusi yag sama uuk semua. Cooh.. maka X X p q dega p da q adalah masig-masig variabel acak yag merupaka jumlaha p da q adalah kumpula variabel acak sehigga X merupaka proses sokasik. 9.. Daa Dere Waku Daa dere waku merupaka sekumpula observasi yag eruru dalam waku dega jarak ierval sama (Box da Jekis, 970). Daa dere waku disebu proses sokasik dikareaka daa salig berkaia dalam reag waku yag sama (Wei, 006). Saa ii daa dere waku keuaga (fiacial prices) dapa diperoleh dega mudah, misalya harga saham da ilai kurs sehigga dapa dibagu model peluag erbaik yag dapa diguaka uuk memprediksi harga/ilai di masa yag aka daag. Daa dari harga ase meghasilka dere waku. Dere waku adalah proses sokasik yag megguaka waku ieger didalam prosesya. Pemodela porofolio dapa dimulai dega medefiisika imbal hasil (reur) da volailias (volailiy) sebagai saisik. Disribusi reur da volailias yag epa dapa memberi gambara perilaku daa dere waku. Pemodela reur pada dasarya adalah pemodela volailias. Proses aau model sokasik uuk harga idak dapa dibagu dega mudah. a. Model Sokasik Reur Pada awalya, sejumlah + ilai ase yag harus dikeahui baik melalui publikasi fiasial aau daabase kompuer. Harga-harga ersebu kemudia diguaka uuk meghiug sejumlah reur (igka keuuga yag diperoleh dari akiba melakuka ivesasi) yag dimajemukka secara koiu sebagai beriku: Uiversias Sumaera Uara
R V 0... (.) V Di maa V da V meoasika ilai ase pada waku ke- da -. Proses sokasik * + adalah barisa reur acak dega disribusi probabilias yag dieuka oleh vekor parameer. Model sokasik uuk reur dapa diuliska sebagai beriku: R... (.b) di maa : Volailias harga : Proses wieer berdisribusi ormal Sedagka Rae of Reur adalah igka pegembalia aau igka buga yag dierima ivesor aas ivesasi apa amorisasi uuk meghiug igka pegembalia aas ivesasi. Tiggi redahya igka keuuga yag dierima porofolio dipegaruhi oleh igka keuuga ivesasi idak berisiko (risk free rae) da risk premiu dari ivesasi berisiko dega ujua uuk meguragi risiko pada ase porofolio yag dapa diulis dalam persamaa sebagai beriku: Rp Rf Risk Premium... (.3) di maa R p : Rae of Reur. R f : Risk Free Rae. (Joh Hull, 003) b. Model Sokasik Volailias Volailias adalah besarya ilai flukuasi sebuah ase. Volailias adalah variasi/sadar deviasi bersyara da serig diarika sebagai suau ukura yag meyaaka sebara daa relaif erhadap meaya. Volailias meyaaka risiko da merupaka ukura risiko palig sederhaa da seiap ukura risiko adalah fugsi dari volailias. Semaki besar volailias ase, maka semaki besar kemugkia megalami keuuga aau kerugia. Nilai volailias berada pada Uiversias Sumaera Uara
ierval posiif yaiu aara 0 sampai dega ak erhigga 0. Nilai volailias yag iggi meujukka bahwa ilai ase berubah dega saga cepa. Salah sau meode uuk megesimasi volailias adalah aalisis yag berdasarka ilai-ilai ase masa lalu kemudia diperoleh sejumlah reur (igka keuuga yag diperoleh dari akiba melakuka ivesasi) yag dimajemukka secara koiu da diperoleh esimasi variasya sebagai beriku: l R r... (.4) Di maa R adalah reur majemuk secara koiu da r meoasika raa-raa dari log reur (Joh Hull, 003)...3 Sifa Markov Defiisi..3 Sifa Markov adalah sifa ilai harapa suau variabel radom ke- I dari suau proses sokasik X i dega syara semua ilai variabel radom yag sebelumya dikeahui haya bergaug pada ilai variabel radom ke- i- aau X i eapi ilai harapa ersebu idak harus sama dega ilai variabel radom ke- i-. Sifa Markov dioasika dega E( X i X, X,..., X i ) E( X i X i ).... (.5).3 Proses Wieer (Gerak brow Baku).3. Sejarah Gerak Brow Pada ahu 87, ahli Boai berama Rober Brow megguaka mikroskop megamai pergeraka yag mearik dari serbuk buga yag erlaru dalam suau caira di maa parikel-parikel di dalam serbuk buga esebu ampak bergerak Uiversias Sumaera Uara
acak. Brow meemuka fakor-fakor peig yag mempegaruhi geraka parikel ersebu, eapi idak megeri peyebab parikel-parikel berkelakua seperi iu. Oleh kareaya, geraka parikel yag acak ii diamai sebagai gerak Brow uuk meghargai koribusi Brow. Pejelasa gerak acak aau gerak Brow ii secara maemais perama kali berhasil dirumuska oleh Thorvald Thiele pada ahu 880. Kemudia pada ahu 900 maemaikawa Pracis berama Louis Bachelier meulis esis dokorya yag berjudul Teori Spekulasi, yag merupaka aalisis maemais perama erhadap pasar saham. Di sisi lai, Bachelier juga meyiggug persoala gerak Brow yag dikaika dega pemodela pasar, yag sama-sama ampak acak. Sedagka masalah pada saa iu adalah, para ilmuwa masih idak bisa meemuka keerkaia aara rumusa maemais dari kosep keeracaka dega sumber peyebab gerak Brow, karea sumber gerak Brow iu sediri masih idak dikeahui. Permasalaha ii akhirya dipecahka oleh Alber Eisei pada 905 di dalam 3 makalahya. Hasil peeliia Eisei ii bersama dega peeliia laiya pada ahu 906 oleh ilmuwa Poladia berama Maria Smoluchowski mejadi solusi pejelasa erhadap gerak Brow yag dapa dierima higga saa ii. Peeliia erhadap gerak Brow ii mejadi salah sau oggak dimulaiya pegembaga kosep maemais uuk keeracaka sera eori probabilias..3.. Symmeric Radom Walk Sebuah koi dilempar aau di-oss berkali-kali da hasilya merupaka variabel acak X j dega j,,... uuk bila ω j=h X j( j). Hasil pelempara aara - bila ω j=t koi perama dega pelempara koi selajuya adalah salig bebas sehigga dapa diasumsika bahwa X, X,... salig bebas da variabel acak X j memiliki sifa-sifa sebagai beriku: P( M ) P( B). Oleh defiisi,. E[ X j ]. P( H) ( ). P(T). ( ). 0 Uiversias Sumaera Uara
. var[ X j ] P( H) ( ) P(T).. 3. Fugsi Pembagki Mome dari X j adalah X j ( u) ux j E e u u e P( H ) e P( T ) u u e. e.. Defiisika Mk : X0 X X... X k aau M proses k k 0 M k k 0. M k k X j dega X 0 0 j0 3 sehigga aka disebu sebagai symmeric radom walk. Symmeric radom walk memiliki beberapa sifa sebagai beriku: k k E M k E X j E X j 0 j j. Var M k... (.6) k Var X j 0... (.7) j 3. Ikreme dari M k adalah salig bebas..3.3 Scaled Symmeric Radom Walk Misalka adalah bilaga bula posiif dega symmeric radom walk W ( ) () adalah k aau k. Defiisi scaled () W () M M k... (.8) Teorema.3.4 Uuk 0 da, disribusi dari ( W ) () aka koverge ke disribusi ormal dega mea 0 da varias. ( ) Buki. Fugsi pembagki mome uuk W () M adalah ( u k ) Uiversias Sumaera Uara
4 ( ) uw () k( u) E e u. M E e j j E e u u u X X X E e. e.. e u k( u) e e u X u u u log k( u) log e e Adaika x maka diperoleh ux ux log e e lim log k( u) lim k x x u ux u ux e e lim x ux ux e e x u ux u ux e e lim lim x ux ux x e e x u ux u ux e e lim x x u ux u ux e e lim log ( ) lim k u k x log k( u) u u Jadi aka diperoleh k( u) e. Uiversias Sumaera Uara
Ii adalah fugsi pembagki mome dari variabel acak yag berdisribusi ormal dega mea 0 da varias. Uuk, proses 5 ( W ) () aka koverge mejadi proses W () yag memeuhi beberapa sifa-sifa. Selajuya proses ii aka dioasika dega yag serig sebagai proses Wieer. W Defiisi.3.5 Proses Wieer adalah suau proses sokasik variabel acak koiu (coiuous-ime sochasic process) beriku : () W0 0 W, < x yag memeuhi sifa-sifa () W berdisribusi ormal N(0,) ariya memiliki mea 0 da Varias. (3) W W, W,..., W W 3 W salig idepede uuk ( ) ( ) 3....4 Persamaa Diferesial Sokasik Persamaa Diferesial Sokasik (PDS) adalah suau persamaa diferesial yag salah sau aau lebih ilai-ilai parameerya adalah proses sokasik (sochasic processes) da meghasilka solusi sokasik berupa sebuah model. Persamaa ii merupaka modifikasi dari Persamaa Diferesial Biasa yag variabel aau parameerya acak da idak pasi (Oksedal, 003). Persamaa Diferesial Sokasik diuliska dalam beuk sebagai beriku ( ) ( ), X0 x0... (.9) di maa : proses Sokasik : proses Wieer baku (berdisribusi N(0,)) : jagka waku ivesasi ( ) : suku deermiisik aau serig disebu koefisie drif ( ) : suku sokasik aau serig disebu koefisie diffusio Uiversias Sumaera Uara
6 Pada beuk (.9), koefisie drif berfugsi uuk memodelka kecederuga domia pada grafik solusi suau PDS aau sebagai peeu arah dari solusi suau PDS sedagka koefisie diffusio merepreseasika flukuasi dari kurva da proses Wieer merepreseasika oise / gaggua pada sisem. Persamaa Diferesial Sokasik juga merupaka persamaa iegral sokasik yag erdiri dari iegral biasa (iegral Riema-Seljess) da iegral sokasik (iegral Io). Persamaa Diferesial Sokasik biasaya diguaka uuk model feomea yag beragam seperi flukuasi harga saham (Harao, 03).5 Lemma Io Lemma Io adalah meode yag diguaka uuk mecari solusi iegral sokasik. Lemma Io adalah aalogi dari aura raai yag diemui dalam urua biasa pada persamaa diferesial biasa. Uuk memahami aura raai pada fugsi sokasik erlebih dahulu dipahami megeai aura raai uuk fugsi deermiisik yag elah dibahas pada bagia.4. Misalka f da g fugsi deermiisik yag diferesiabel di x maka aura raai uuk diferesiasiya adalah ' f ( g( x)) f ' ( g( x)) g' ( x)... (.30) Persamaa (.30) diulis dalam beuk diferesial mejadi d( f ( g)) f '( g) dg yag maa fugsi ersebu juga diferesiabel dalam biasa diulis sebagai uraia Taylor f g( ) dg( ) f ( g( )) f ' ( g( )) dg( ) f " ( g( )) dg( )...... (.3) disii dg( ) g( d) g( ) adalah keaika dari g di [, +d]. Orde dua da orde yag lebih iggi dari ekspasi aylor ii dapa diabaika uuk d yag kecil. Uraia aylor (.3) dierapka uuk kasus yag lebih umum. Misalka f (, X ) memiliki urua parsial yag koiu palig sediki orde dua maka uraia aylor (.3) mejadi f d,x,x,x,x,x d f f d f dx f d f,x ddx f,x ( dx ),... (.3) Uiversias Sumaera Uara
di maa fi(, X ) f ( x, x), i =,,... (3.33) xi x, x X da fij(, X ) f ( x, x), i, j =,.... (3.34) xi xj x, x X Persamaa (.3) dapa diulis mejadi df (, X ) f (, X ) d f (, X ) dx (, X ) d X f (, X ) ddx (, X ) dx X X Misalka persamaa diferesial sokasik berbeuk 7... (.35) ( ) ( )... (.36) Dega mesubiusika (.35) ke persamaa (.36) dapa diperoleh df (, X ) f (, X ) d f (, X )( a(, X ) d b(, X ) dw ) X f (, X ) (, ) ( (, ) d f X d a X d X b(, X ) dw ) (, X )( a(, X ) d b(, X ) dw ) aau dapa diulis mejadi X df (, X ) f (, X ) d a(, X ) f (, X ) d X b(, X ) f (, X ) dw (, X ) d X a X f X d b X f X dw (, ) (, ) (, ) (, ) X X (, X ) a(, X ) d a(, X ) b(, X ) ddw b(, X ) d W X... (.37)... (.38) Dega megabaika suku dega orde yag lebih iggi, persamaa (.38) mejadi df (, X ) f (, X ) d a(, X ) f (, X ) d X b(, X ) f (, X ) dw Karea dw X X dw X b(, X ) (, ) d maka persamaa (.39) mejadi... (.39) Uiversias Sumaera Uara
aau df (, X ) f (, X ) d a(, X ) f (, X ) d X b(, X ) f (, X ) dw b(, X ) (, X ) d X X 8... (.40) df (, X ) f (, X ) a(, X ) f (, X ) X... (.4) b(, X ) (, X ) (, ) (, ) d b X f X dw X X Persamaa (.4) kemudia dikeal dega Lemma Io yag diulis secara legkap sebagai beriku: Lemma.5. (X. S. Li, 006) Misalka X memeuhi persamaa diferesial sokasik pada persamaa (.35) da f (, X ) adalah suau fugsi yag memiliki urua parsial yag koiu palig sediki orde dua da dapa diuruka sebayak dua kali maka df (, X ) f (, X ) a(, X ) f (, X ) X b(, X ) (, X ) (, ) (, ) d b X f X dw. X X.6 Solusi Persamaa Diferesial Sokasik Persamaa (.8) dapa diuliska ke dalam beuk persamaa iegral sebagai beriku,, Solusi dari X X X a s X ds b s X dw 0 s s s 0 0, s<... (.4) dapa diperoleh dega megguaka lemma Io seperi pada subbab.4. Beriku diberika cooh uuk meeuka persamaa diferesial sokasik. Cooh.6. Suau model dari ivesasi dari peaama suau saham adalah dx X d X dw.... (.43) Uiversias Sumaera Uara
9 Dega dx adalah perubaha harga saham, X adalah jumlah uag yag diperoleh ivesasi pada saham, adalah raa-raa rae of reur (RoR) da adalah volailias harga saham. Rae of reur dihiug dega rumus RoR D P P P 0 00%... (.44) 0 dega D adalah devide, P 0 adalah harga saham saa pembelia da P adalah harga saham saa pejuala. Misalka f (, X ) l X sehigga f (, X ) 0, f (, X ), f (, X ) X X X X Dega megguaka Lemma.4. diperoleh... (.45) d(l X ) 0 X X d X dw X X X... (.46) Dega megiegralka persamaa (.46) diperoleh d(l X ) 0 X X. d X dw X 0 0 X X 0... (.47) Dari persamaa (.47) dapa diperoleh hasil sebagai beriku l X l X 0 W... (.48) X l X 0 W... (.49) X X 0 W e... (.50) Sehigga solusi dari persamaa diferesial sokasik model ivesasi pada saham uuk cooh.6. adalah 0 W X X e.... (.5) Uiversias Sumaera Uara
30.7 Teori Korol Opimal Teori korol opimal uuk sisem yag berbeuk sokasik dega keadaa sisemya berbeuk persamaa diferesial sokasik seperi persamaa (.8) dega memua suau parameer yag megaur sisem aau korol u yag memiimumka aau memaksimumka fugsi keuuga (idex performace) T J (, x, u) E F( s, x, u) K( T, x)... (.5) Idex performace merupaka ekspekasi sebuah fugsi karea dalam sisem yag berbeuk sokasik maka haya dapa diambil ekspekasi dari suau ilai. Dalam eori korol opimal ii erdapa ilai miimum (mi) aau ilai maksimum (max) yag disebu dega value fucio yag dilambagka dega V (, x ). Value fucio ersebu harus harus memeuhi persamaa Hamilo- Jacobi-Bellma yaiu suau persamaa yag memberika ilai opimal (value fucio) pada suau sisem diamik dega fugsi keuuga (idex performace) sebagai beriku J x u aau V x J x u V(, x) mi (,, ) 0 (, ) max (,, ) 0... (.53) Berdasarka persamaa diferesial sokasik seperi pada persamaa (.8) dega fugsi keuuga pada persamaa (.5), ilai opimal pada persamaa (.53) dapa diulis mejadi T V (, x) max E F( s, x, u) ds K( T, x)... (.54) Dega kodisi akhir V(T, x) K( T, x) sehigga persamaa (.54) berubah mejadi T V (, x) max E F( s, x, u) ds V (T, x)... (.55) Misalka T d sehigga dapa diperoleh dere aylor uuk V(T, x) V( d, X d ) dega X x 0 pada saa 0. Dere Taylor V ( d, X d ) sebagai beriku Uiversias Sumaera Uara
3 V ( d, X ) V (, X ) V (, X ) d V (, X ) dx d X V (, X ) (, ) d V X ddx X V (, X ) dx X... (.56) Dega mesubsiusika persamaa (.4) ke persamaa (.56) da megabaika suku dega orde yag lebih iggi diperoleh V ( d, Xd ) V (, X ) V (, X ) d V (, X ) a, X, ud b, X, udw X V (, X ) da, X, ud b, X, udw X V (, X ) a, X, ud b, X, udw X Karea dw d sehigga diperoleh V d, X V (, X ) V (, X ) d d,, (, ),, a X u V X d b X u V (, X ) dw X X b, X, u V (, X ) d x Persamaa (.57) keika X x 0 pada saa 0dapa diulis mejadi V d, Xd V (, x) V (, x) d a, x, u V (, x) d b, x, u V (, x) dw x x b, x, u V (, x) d x Karea... (.57)... (.58)... (.59) V ( T, x) V d, X d sehigga jika persamaa (.59) disubsiusika ke persamaa (.53) diperoleh Uiversias Sumaera Uara
3 T V (, x) max E F( s, x, u) ds V (, x) V (, x) d a, x, u V(, x) d b, x, u V (, x) dw x x b, x, u V( x, ) d x... Persamaa (.60) dapa diulis ke dalam beuk 0 max E F(, x, u) d V (, x) d a, x, u V (, x) d x b x,, u V (, x) dw b, x, u V (, x) d x x (.60)... (.6) Dega membagi persamaa (.60) dega d da meyelesaika iegral dega eorema ilai raa-raa maka diperoleh V (, x) max F(, x, u) V (, x) a, x, u V (, x) b, x, u V (, x) x x aau... (.6) a, x b, x V x x x V (, x) max F(, x, u), u, u (, )... (.63) Misalka L merupaka operaor liier yag berbeuk Maka persamaa (.63) mejadi L a x u b x u x x,,,, V(, x) max F(, x, u) LV (, x)... (.64) Persamaa (.64) diaas adalah persamaa Hamilo-Jacobi-Bellma (HJB). Persamaa HJB ii diguaka uuk meeuka ilai opimal V (, x ) yag belum dikeauhi ilaiya. Apabila ilai V (, x ) dikeahui maka korol u dapa dieuka. Uiversias Sumaera Uara
33.8 Simulasi Simulasi adalah suau meodologi uuk melaksaaka percobaa dega megguaka model dari suau sisem yaa (P. Siagia, 987). Meuru Hasa (00), simulasi merupaka suau model pegambila kepuusa dega mecooh aau memperguaka gambara sebearya dari suau sisem kehidupa duia yaa apa harus megalamiya pada keadaa yag sesugguhya. Khosevis (994) medefiisika simulasi sebagai pedekaa eksperimeal. Keerbaasa meode aalisis dalam megaasi sisem diamis yag kompleks membua simulasi sebagai salah sau aleraif yag baik uuk diguaka. Model aaliik saga bergua bagi kehidupa sehari-hari, aka eapi erdapa beberapa keerbaasa aara lai, yaiu :. Model aaliik idak mampu meggambarka suau sisem pada masa lalu da masa medaag melalui pembagia waku. Model aaliik haya memberika peyelesaia secara meyeluruh, suau jawab yag mugki uggal da opimal eapi idak meggambarka suau prosedur operasioal uuk masa lebih sigka dari masa perecaaa. Misalya, peyelesaia persoala program liier dega masa perecaaa sau ahu, idak meggambarka prosedur operasioal uuk masa bula demi bula, miggu demi miggu, aau hari demi hari.. Model maemaika yag kovesioal serig idak mampu meyajika sisem yaa yag lebih besar da rumi (kompleks). Sehigga sukar uuk membagu model aaliik uuk sisem yaa yag demikia. 3. Model aaliik erbaas pemakaiaya dalam hal hal yag idak pasi da aspek diamis (fakor waku) dari persoala maajeme. Berdasarka hal di aas, maka kosep simulasi da pegguaa model simulasi merupaka solusi erhadap keidakmampua dari model aaliik. Beberapa kelebiha simulasi adalah sebagai beriku :. Simulasi dapa memberi solusi bila model aaliik gagal melakukaya.. Model simulasi lebih realisis erhadap sisem yaa karea memerluka asumsi yag lebih sediki. Misalya, eggag waku dalam model persediaa idak perlu harus deermiisik. Uiversias Sumaera Uara
34 3. Dalam bayak hal, simulasi lebih murah dari percobaaya sediri. 4. Uuk sejumlah proses dimesi, simulasi memberika peyelidika yag lagsug da erperici dalam periode waku khusus. 5. Simulasi dapa diguaka uuk maksud pedidika. Model simulasi juga memiliki beberapa kekuraga aara lai yaiu :. Simulasi bukalah presisi da juga buka suau proses opimisasi. Simulasi idak meghasilka solusi, eapi ia meghasilka cara uuk meilai solusi ermasuk solusi opimal.. Model simulasi yag baik da efekif saga mahal da membuuhka waku yag lama dibadigka dega model aaliik. 3. Tidak semua siuasi dapa diilai melalui simulasi kecuali siuasi yag memua keidakpasia (P. Siagia, 987). Model-model simulasi dapa diklasifikasika dega beberapa cara. Salah sau pegelompokaya adalah :. Model simulasi sais adalah represeasi sisem pada waku-waku ereu aau model yag diguaka uuk mempreseasika sisem dimaa waku idak mempuyai peraa. Model simulasi diamis adalah represeasi sisem sepajag pergaia waku ke waku. Coohya simulasi Moe Carlo.. Model simulasi deermiisik adalah model simulasi yag idak megadug kompoe yag sifaya probabilisik (radom) da oupu elah dapa dieuka keika sejumlah ipu dalam hubuga ereu dimasukka. Model simulasi sokasik adalah model simulasi yag megadug ipu-ipu probabilisik (radom) da oupu yag dihasilka pu sifaya radom. Coohya simulasi persamaa diferesial sokasik. 3. Model simulasi koiu adalah model simulasi dimaa sae (saus) dari sisem berubah secara koiu karea berubahya waku (chage sae variable). Coohya simulasi populasi peduduk. Model simulasi diskri adalah model suau sisem dimaa perubaha sae erjadi pada sauasaua waku yag diskri sebagai hasil suau kejadia (eve) ereu (discree chage sae variables). Coohya simulasi aria Uiversias Sumaera Uara