MODL PNYBARAN PNYAKIT MNULAR DNGAN TRANSMISI VRTIKAL Usman Pagalay Jurusan Matematka, Fakultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger (UIN) Maulana Malk Ibrahm Malang e-mal: usmanpagalay@yahoo.co.d Abstract The dynamcs of many epdemc models for nfectous dseases that spread n a sngle host populaton demonstrate a threshold phenomenon. If the basc reproducton number R s below unty, the dsease free equlbrum P s globally stable n the feasble regon and the dsease always des out. If R > 1, a unque endemc equlbrum P s globally asymptotcally stable n the nteror of the feasble regon and the dsease wll persst at the endemc equlbrum f t s ntally present. In ths paper ths threshold phenomenon s establshed for two epdemc models of SIR type usng two recent approaches to the global-stablty problem. Key words: pdemc models, endemc equlbrum, latent perod global stablty. 1. Pendahuluan Penyakt Menular danggap sebaga penyakt yang serus dan korbannya mencapa,5 Mlar orang dseluruh duna, khususnya pada daerah trops. Rata-rata kematan yang ternfeks penyakt n berksar antara 4%.. Meskpun hampr semua penyakt Menular n terjad pada daerah trops. Beberapa peneltan menunjukkan bahwa penyakt Menular mungkn saja terjad d daerah dngn. Untuk mengontrol penyakt Menular secara efektf, kta akan memaham dnamka penyebaran penyakt dan mempertmbangkan semua hal yang terkat secara detal dan menggunakan model Matematka dengan bantuan program computer.. Model Matematka Pada tulsan n, kta menganggap model SIR yang memlk angka kelahran yang bersfat ekponensal dan dasumskan bahwa penyakt menyebar melalu arah (transms) yatu transms horzontal dan transms vertkal. b-pb-qbl rs b-pb-qbl λis ε λi S I R bs b bi br GAMBAR 1. Alur dagram antar kompartemen Dasumskan bahwa penyaktnya tdak fatal (α=), tngkat kelahran dan kematan sama dan dnotaskan b. oleh karena tu, total populasnya (N) konstan, yatu N = S + + I + R = 1, dan maka dar tu angka kelahran Asl A + bn = b. Pada transms vertkal, kta asumskan bahwa pecahan p dan q pada turunan dar bagan exposed dan nfecton, menghaslkan bagan. konsekuensnya perubahan kelahran pada kelas (exposed) dberkan oleh persamaan pb + qbi sehngga perubahan kelahran pada bagan S (suscepsble) dberkan oleh persamaan b pb qbi dengan 5
Usman Pagalay p 1dan q 1. Pada vaksnas percacaran kta asumskan bahwa semua ndvdu yang rentang terhadap penyakt, dber vaksnas dengan nla tetap r, dan vaksnas tdak memlk efek pada ndvdu yang ternveks. Jka r =, maka tdak ada vaksnas yang dperhtungkan. Transfer dagram akan dperlhatkan pada sstem persamaan dfferensal berkut: S' = b λs pb qb bs rs ' = λs + pb + qb ( ε + b) (1.1) = ε ( γ + b) R' = γ br + rs Dalam analsa dnamk, kompartemen removed tdak berpengaruh sehngga dapat dtuls: S' = b λs pb qb bs rs ' = λs + pb + qb ( ε + b) (1.) = ε ( γ + b) 3 Notas doman adalah = {( S,, ) R.: S + + 1}. Dnamka dar (1.) dtentu-kan oleh teor Basc Reproducton Number yang dmodfkas menjad : λε b R = ( b + ε)( b + γ ) bp( b + γ ) bqε b + r (1.3) jka R 1, maka penyakt akan hlang dan kesembangannya adalah P = { b /( b + r),,}. Jka R > 1 maka kesembangan endemc P * = { S*, *, *} dengan S* = 1/R. Berkut adalah hasl yang dapat dbuktkan sebaga proposs. Pandang sstem persaman berkut S' = A ds λs ' = λs ( ε + d) ' = ε ( γ + a + d) Dgunakan sebuah fungs Lyapunov L = ε + ( ε + b pb). Bukt: J Matrks jacoban J1 = untuk persamaan (1.) dengan sebuah solus umum x {S(t),(t),(t)} adalah λ b r pb λs qb J1 = λ ε λ pb b S ε λ b (1.4) dan untuk nla J adalah berdasarkan rumus untuk mencar J adalah a11 + a a3 a13 J = a3 a11 + a33 a1 a + 31 a1 a a33 Maka dar persamaan (1.4) kta dapatkan untuk J nya adalah λ b r+ pb ε λs qb λs+ qb J = ε λ λ b r pb λ pb ε b λ (1.5) 6 Volume 1 No. 1 November 9
Model Penyebaran Penyakt Menular dengan Transms Vertkal Defnskan fungs 1 f 1 B = Pf P + P P x dmana a1 (1 α) (,, ) PS = a (1.6) dan 1 < a 1 < 1+ λ c /( λ + b), c adalah konstan dan, jkaε pb a = ε 1, jkaε < pb pb (1.7) B11 B1 sehngga dapat dtuls dalam bentuk B = dengan B1 B ( λs + qb) I ( λs + qb) B11 = λ ε b r pb B, 1 = a1,, ε 1 (1 a ) B = 1 a ε 1 a dan, ' λ γ b r + a pb (1 a ) pb B = a [ a pb] ε (1 ) ' ' λ + ε γ b + (1 a ) pb 1 a yang dapat dsederhanakan menjad ' λ γ b r + a pb (1 a ) pb ' λ ε γ b + (1 a ) pb 1 gunakan a b / dar q = lm sup sup μ ( B( x( s, x))) ds. t xo K t jka r = kemudan R mengurang parameter buka R (p,q) untuk sebuah model SIR b dengan tanpa vaksnas. jka R = R ( p, q), maka hubungan n sebenarnya b + r menjelaskan bahwa vaksnas rendah sehnggsa nla dasar reproduksnya juga rendah. λ ε Jka r = p = q =, maka dberkan R =. Ddalam batasan tersebut ( ε + b)( γ + b) berlaku ε, sehngga R memberkan dasar reproduks blangan untuk sebuah model SIR. t Volume 1 No. 1 November 9 7
Usman Pagalay 3. Hasl Numerk Dberkan Nla d=,8; λ =,4;A=,16;ε =,3;γ =a=. GAMBAR. Perlaku S (t) (Merah) pada har pertama terlhat turun dan kemudan cenderung tetap, dengan nla awal.8; Perlaku (t) (hjau) pada har pertama terlhat nak dan kemudan cenderung tetap dengan nla awal.; Perlaku I (t) (bru) pada har pertama terlhat Nak dan kemudan cenderung tetap dengan nla awal.1. Ketga grafk tersebut menuju ttk equlbrum. 4. Kesmpulan Jka λ dan ε membesar maka R juga membesar. Artnya dalam mengontrol penyakt menular, perlu dperhatkan nla λ dan ε. Daftar Pustaka Anderson, R.M. and May, R.M., (199), Infectous Dseases of Humans Dynamcs and Control, Oxford Unversty Press,Oxford. Anderson, R.M. and May, R.M., Populaton bology of nfectous dseases I, 18(179) Nature pp.361-367. Busenberg, S. and Cooke, K., (1993), Vertcally Transmtted Dseases, Bomathematcs, Vol.3, Sprnger-Verlag, Berln. Coppel, W.A., (1965), Stablty and Asymptotc Behavor of Dfferental quatons, Health, Boston. steva, L. and Vargas, C., (199), A model for dengue dsease wth varable human populaton, J. Math. Bol., 3-8, Pp.-4. Hale, J.K., (1969), Ordnary Dfferental quatons, John Wley & Sons, New York. Hethcote, H.W., and S.A., Levn Perodcty n epdemologcal models n Appled Mathematcal cology, L, Gross and S.A. Levneds Sprnger, New York, pp.193-11. Hethcote, H.W., Stech, H.W., and Van den Dressche, P., (1981), Perodcty and stablty n epdemc models a survey n Dfferental quatons and Applcatons n cology pdemcs and Populaton Problems, K.L.Cook ed Academc Press, New York, pp.65-85. L, M.Y. and Muldowney, J.S., (1995), Global stablty for the SIR model n epdemology, Math.Bosc., 15, pp.155-164. 8 Volume 1 No. 1 November 9
Model Penyebaran Penyakt Menular dengan Transms Vertkal L, M.Y., Graef, J.R., Wang, L.C., and Karsa, J., (1999), Global dynamcs of a SIR model wth a varyng total populaton sze, Math. Bosc., 16, pp.191-13. L, M.Y., Smth, H.L., and Wang, L., Global stablty of an SIR model wth vertcal transmsson, SIAM. J. Appl.Math., to appear. Lampran Program Maple untuk melhat Matrks pelnearan dar sstem > restart:wth(plots):wth(lnalg): > ds:=b-lambda**s-p*b*-q*b*-b*s-r*s; d:=lambda**s+p*b*+q*b*l-(epslon+b)*; d:=epslon*-(lambda+b)*; ds : = b λs pb qb bs rs d : = λs + pb + qbl ( ε + b) d : = ε ( λ+ b) > R[]:=(lambda*epslon)/((b+epslon)*(b+lambda)- b*p*(b+lambda)-b*q*epslon)*b/(b+r); : λεb R = (( ε + b)( λ+ b) bp( λ+ b) bqε)( b+ r) > j1:=jacoban([ds,d,d],[s,,]); λ b r pb λs qb j1: = λ ε λ pb b S ε λ b dengan menggunakan rumus untuk mencar J, maka ddapat nla j sebaga berkut : > j:=matrx(3,3,[[-lambda*-b-r+p*b-epslon-b, lambda*s+q*b,-(-lambda*s-q*b)],[epslon,-lambda*-b-r+ (-lambda-b,-p*b],[-,lambda*,p*b-epslon-b+(-lambdab)]]); λ b r+ pb ε λs qb λs+ qb j: = ε λ λ b r pb λ pb ε b λ > P(S,,)=Matrx(3,3,[[a[1],,],[,((1-a[])*/),], [,a[]*/,/]]); a1 (1 α) (,, ): PS = a > B=Matrx(,[[B[11],B[1]],[B[1],B[]]]); B11 B1 B = B1 B > B[11]:=-lambda*-epslon-*b-r-p*b; > B[1]:=a[1]*[(lambda*S+q*b)*I/,(lambda*S+q*b)*/]; > B[1]:=[1/a[1]]*matrx([[(1a[])*epslon*/], [a[]*epslon*/]]); Volume 1 No. 1 November 9 9
Usman Pagalay > B[]:=Matrx(,,[[e/-I/-lambda*-gamma-*b-r+a[]*pb, -(1-a[])*p*b],[lambda*+a[]*[epslon-(a-a[])*p*b]/ (1-a[]),e/-I/-epslon-gamma-*b+(1-a[])*p*b]]); B : = λ ε b r pb 11 ( λs + qb) I ( λs + qb) B1 : = a1,, (1 a) ε 1 B1 : = a1 aε e I λ γ b r+ apb (1 a) pb B : = a[ ε ( a a) pb] e I λ+ ε γ b+ (1 a ) pb 1 a 3 Volume 1 No. 1 November 9