TEORI ANTRIAN Tori atria mrupaka studi matmatis mgai atria atau waitig lis yag di dalamya disdiaka bbrapa altratif modl matmatika yag dapat diguaka utuk mtuka bbrapa karaktristik da optimasi dalam pgambila kputusa suatu sistm atria. A. Dfiisi da Usur-usur Dasar Modl Atria Dfiisi Sistm Atria. Sistm atria adalah himpua plagga, playa, da suatu atura yag mgatur kdataga para plagga da playaaya. Sistm atria mrupaka pross klahira-kmatia dga suatu populasi yag trdiri atas para plagga yag sdag muggu playaa atau yag sdag dilayai. Klahira trjadi jika sorag plagga mmasuki fasilitas playaa, sdagka kmatia trjadi jika plagga miggalka fasilitas playaa trsbut. Kadaa sistm adalah jumlah plagga dalam suatu fasilitas playaa. Pross atria adalah suatu pross yag brhubuga dga kdataga plagga k suatu sistm atria, kmudia muggu dalam atria higga playa mmilih plagga ssuai dga disipli playaa, da akhirya plagga miggalka sistm atria stlah slsai playaa. Sistm Atria Sumbr pmaggila Plagga Atria Playaa Playaa slsai Gambar Pross atria pada suatu sistm atria Usur-usur Dasar Modl Atria Suatu sistm atria brgatug pada tujuh faktor yaitu :. Pola Kdataga adalah bayakya kdataga plagga slama priod waktu trttu. Plagga dapat datag sara idividu maupu klompok. Namu, jika tidak disbutka sara khusus maka kdataga trjadi sara idividu. Kdataga dapat bragam pada suatu priod waktu trttu, amu dapat juga brsifat aak di maa kdataga plagga tidak brgatug pada waktu. Jika kdataga brsifat aak maka prlu dittuka distribusi probabilitas waktu atar kdatagaya. Pola kdataga dapat diirika olh distribusi probabilitas waktu atar kdataga atau probabilitas jumlah plagga yag datag pada sistm atria. Waktu atar kdataga adalah waktu atara dua kdataga yag bruruta pada suatu fasilitas playaa.. Pola Kprgia adalah bayakya kprgia plagga slama priod waktu trttu. Pola kprgia biasaya diirika olh waktu playaa, yaitu waktu yag dibutuhka olh sorag playa utuk mlayai sorag plagga. Waktu playaa dapat brsifat dtrmiistik atau brupa suatu variabl aak dga distribusi pluag trttu. 3. Raaga Saraa Playaa atau dsai saraa playaa brkaita rat dga btuk barisa atria da playaa pada suatu sistm atria. Sbuah saraa playaa mmpuyai jumlah salura (hal) da jumlah tahap (phas) playaa trttu. Salura (hal) adalah jumlah playa yag dapat mmbrika playaa kpada plagga pada waktu yag brsamaa, sdagka tahap (phas) adalah jumlah trmial-trmial playaa yag harus dilalui olh plagga sblum playaa diyataka lgkap atau slsai. Raaga saraa playaa trdiri atas mpat maam yag diuraika sbagai brikut.. Satu salura satu tahap (sigl hal sigl phas), artiya saraa playaa mmiliki satu playa da playaa kpada plagga dislsaika dalam satu kali pross playaa. Plagga masuk Playaa (jis ) Plagga Kluar Atria Gambar Dsai saraa playaa satu salura satu tahap 7
8. Bayak salura satu tahap (multihal sigl phas), artiya saraa playaa mmiliki lbih dari satu playa da playaa kpada plagga dislsaika dalam satu kali pross playaa. Dsai ii disbut juga dsai playaa parall. Plagga masuk Playaa (jis,omor ) Plagga Kluar Atria Playaa (jis,omor ) Gambar 3 Dsai saraa playaa bayak salura satu tahap 3. Satu salura bayak tahap (sigl hal multiphas), artiya saraa playaa mmiliki satu playa da playaa kpada plagga blum trslsaika haya dalam satu kali pross playaa. Dsai ii disbut juga dsai playaa sri atau tadm. Plagga masuk Atria Playaa (jis ) Playaa (jis ) Gambar 4 Dsai saraa playaa satu salura bayak tahap Plagga Kluar 4. Bayak salura bayak tahap (multihal multiphas), artiya saraa playaa mmiliki lbih dari satu playa da playaa kpada plagga blum trslsaika haya dalam satu kali pross playaa. Dsai ii disbut juga dsai playaa jariga atau atria twork. Plagga masuk Playaa (jis,omor ) Playaa (jis,omor ) Plagga Kluar Atria Playaa (jis,omor ) Playaa (jis,omor ) Gambar 5 Dsai saraa playaa bayak salura bayak tahap 4. Disipli Playaa adalah kbijaka yag mgatur ara mmilih plagga yag aka dilayai dari suatu atria. Disipli playaa yag biasa ditrapka dalam khidupa shari-hari yaki sbagai brikut:. First Com First Srvd (FCFS) atau First I First Out (FIFO), artiya playaa didahuluka kpada plagga yag lbih awal datag atau mmpuyai omor atria lbih kil.. Last Com First Srvd (LCFS), artiya playaa didahuluka kpada plagga yag lbih akhir datag. 3. Srvi I Radom Ordr (SIRO), artiya playaa dilakuka kpada plagga dga pmiliha sara aak. Atria prioritas (priority quu), artiya playaa dibrika kpada plagga yag mmpuyai kptiga atau prioritas yag sagat tiggi. Trdapat dua maam pratura dalam atria prioritas yaitu disipli prmtif (prmtiv disipli) yag ditulis PRD da disipli o-prmtif (o-prmtiv disipli) yag ditulis NPD. Disipli prmtif brlaku ktika plagga dga prioritas lbih tiggi mmasuki sistm maka plagga trsbut lagsug dapat dilayai mskipu plagga yag mmpuyai prioritas yag lbih rdah brada dalam pross playaa. Disipli o-prmtif brlaku ktika plagga dga prioritas lbih tiggi mmasuki sistm, baru aka dilayai stlah sbuah playaa yag sdag brlagsug trslsaika. 5. Kapasitas Sistm adalah jumlah maksimum plagga, baik plagga yag sdag brada dalam playaa maupu dalam atria, yag dapat ditampug olh fasilitas playaa pada saat yag sama. Suatu sistm atria yag tidak mmbatasi jumlah plagga dalam fasilitas playaaya disbut sistm brkapasitas tak brhigga, sdagka suatu sistm yag mmbatasi jumlah plagga dalam fasilitas playaaya disbut sistm brkapasitas brhigga. 6. Ukura Sumbr Pmaggila adalah bayakya populasi yag mmbutuhka playaa dalam suatu sistm atria. Ukura sumbr pmaggila dapat trbatas maupu tak trbatas. Sumbr pmaggila trbatas trjadi ktika bayakya plagga dalam sistm mmpgaruhi laju kdataga plagga baru. 7. Prilaku Mausia mrupaka prilaku-prilaku yag mmpgaruhi suatu sistm atria ktika mausia mmpuyai pra dalam sistm sbagai playa atau plagga. Playa yag brupa mausia dapat bkrja pat maupu lambat ssuai dga kmampuaya shigga mmpgaruhi lamaya waktu
9 tuggu. Slai itu, playa juga dapat mmprpat laju playaa ktika trjadi atria yag sagat pajag. Jika trdapat dua atau lbih jalur atria maka plagga yag brupa mausia dapat brpidah dari jalur yag satu k jalur yag lai, yag dikal dga istilah joky habit. Jika plagga mlihat atria yag trlalu pajag ktika aka mmasuki sistm maka plagga yag sabar ttap mmasuki sistm da brgabug dga atria. Namu dmikia, plagga yag tidak sabar dapat molak utuk mmasuki sistm atria (balkig). Plagga yag sudah brada dalam sistm atria, yag buka mrupaka atria lagsug, dapat miggalka barisa atria utuk smtara waktu, bahka dapat mmbatalka atria (rgig) kara barisa masih trlalu pajag. Prilaku-prilaku mausia trsbut, baik prilaku plagga maupu playa, diasumsika tidak trjadi dalam suatu sistm atria jika tidak disbutka sara khusus. B. Notasi Atria Notasi baku utuk mmodlka suatu sistm atria prtama kali dikmukaka olh D. G. Kdall dalam btuk a / b /, da dikal sbagai otasi Kdall. Namu, A. M. L mambahka simbol d da shigga mjadi a / b / / d / yag disbut otasi Kdall-L. Notasi Kdall-L trsbut prlu ditambah dga simbol f. Shigga, karaktristik suatu atria dapat diotasika dalam format baku (a / b / ) : ( d / / f ). Notasi a sampai f brturut-turut myataka distribusi waktu atar kdataga, distribusi waktu playaa, jumlah hal playaa, disipli playaa, kapasitas sistm, da ukura sumbr pmaggila. Notasi a sampai f dapat digati dga simbol-simbol yag disajika dalam Tabl. Tabl Simbol-simbol pggati otasi a sampai f pada otasi Kdall-L Notasi Simbol Ktraga a da b M Markov, kdataga atau kprgia brdistribusi Poisso (waktu atar kdataga atau waktu playaa brdistribusi ksposial) D Dtrmiistik, waktu atar kdataga atau waktu playaa kosta atau dtrmiistik E k Erlag, waktu atar kdataga atau waktu playaa brdistribusi Erlag GI Gral Idpdt, distribusi idpd umum dari kdataga atau waktu atar kdataga G Gral, distribusi umum dari kprgia atau waktu playaa d FCFS/FIFO First Com First Srvd/First I First Out LCFS Last Com First Srvd SIRO Srvi I Radom Ordr GD Gral Disipli NPD No-prmtiv disipli PRD Prmtiv disipli,, da f,,..., C. Pross Kdataga da Kprgia Pross kdataga da kprgia dalam suatu sistm atria mrupaka pross klahira da kmatia (birth-dath prosss). Klahira trjadi jika sorag plagga mmasuki sistm atria da kmatia trjadi jika plagga miggalka sistm atria trsbut. Pross klahira da kmatia mrupaka pross pjumlaha dalam suatu sistm di maa kadaa sistm slalu mghasilka bilaga bulat tak gatif. Kadaa sistm pada saat t didfiisika sbagai slisih atara bayakya klahira (kdataga) da kmatia (kprgia) pada saat t, diotasika dga N(t), yaitu bayakya plagga yag brada dalam sistm pada saat t. Misal, bayakya kdataga plagga pada saat t diotasika dga X(t) da bayakya kprgia pada saat t diotasika dga Y(t), maka bayakya plagga yag brada dalam sistm pada saat t adalah N(t) X(t) Y(t). Sdagka pluag trdapat plagga dalam sistm atria pada saat t diotasika dga P(N(t) ) atau P (t). Pross kdataga da kprgia dalam suatu atria mmiliki asumsi-asumsi sbagai brikut.. Pluag trjadi satu kdataga pada itrval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ X ( t t) X ( t) ] t o( t), dga : bayakya plagga dalam sistm atria λ : laju kdataga tiap satua waktu jika trdapat plagga dalam sistm Δt : pajag itrval waktu o( t) o(δt): suatu fugsi yag mmuhi lim. t ( t)
. Pluag tidak trjadi kdataga pada itrval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ X ( t t) X ( t) ] λ Δt + o(δt). 3. Pluag trjadi satu kprgia pada itrval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ Y( t t) Y( t) ] µ Δt + o(δt), dga µ : laju kprgia tiap satua waktu jika trdapat plagga dalam sistm. 4. Pluag tidak trjadi kprgia pada itrval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ Y( t t) Y( t) ] µ Δt + o(δt). 5. Pluag trjadi lbih dari satu kdataga da kprgia pada itrval waktu [t, t + Δt] adalah o(δt). 6. Kdataga da kprgia mrupaka kjadia-kjadia yag salig bbas. Brdasarka Asumsi 6, kdataga da kprgia mrupaka kjadia-kjadia yag salig bbas, shigga kjadia yag trjadi pada itrval waktu trttu tidak mmpgaruhi kjadia pada itrval waktu sblumya atau kjadia pada itrval waktu stlahya. Pross kdataga da kprgia dalam suatu sistm atria dapat ditujukka pada Gambar 6.... - +... µ µ µ µ + Gambar 6 Pross kdataga da kprgia pada sistm atria Brdasarka Gambar 6, jika trdapat ( > ) plagga dalam sistm pada waktu (t + Δt) maka kjadiakjadia salig asig yag mugki trjadi dapat ditujukka pada Tabl. Tabl Bayakya plagga saat t, bayakya kdataga slama Δt, da bayakya kprgia slama Δt utuk tiga kjadia jika N(t +Δt) ( > ) Kjadia N(t) X(t + Δt) X(t) Y(t + Δt) Y(t) I II + III - Ktraga: N(t) : bayakya plagga dalam sistm pada saat t N(t +Δt) : bayakya plagga dalam sistm pada saat t + Δt X(t + Δt) X(t) : bayakya kdataga plagga slama Δt Y(t + Δt) Y(t) : bayakya kprgia plagga slama Δt Slai tiga kjadia yag ditujukka pada Tabl, trdapat kjadia (IV) yaitu kadaa sistm pada saat t kurag dari ( ) atau lbih dari ( + ) srta jumlah kdataga da kprgia lbih bsar dari. Namu murut Asumsi 5, pluag kjadia ii brilai o(δt). Murut Asumsi 6, kdataga da kprgia mrupaka kjadia-kjadia yag salig bbas, shigga pluag dari masig-masig kjadia trsbut adalah sbagai brikut. P(Kjadia I) P((N(t) ) ( X ( t t) X ( t) ) ( Y( t t) Y( t) )) ( λ Δt + o(δt)) ( µ Δt + o(δt)) P(N(t) ) ( (λ + µ )Δt + o(δt)) P (t) P(Kjadia II) P(( N( t) ) ( X( t t) X ( t) ) ( Y( t t) Yt ( ) )) ( λ + Δt + o(δt)) (µ + Δt + o(δt)) P( N( t) ) (µ + Δt + o(δt)) P + (t) P(Kjadia III) P(( N( t) ) ( X( t t) X ( t) ) ( Y( t t) Yt ( ) )) (λ Δt + o(δt)) ( µ Δt + o(δt)) P(( N( t) ) (λ Δt + o(δt)) P (t) P(Kjadia IV) o(δt) (Ssuai Asumsi 5) Slajutya aka dibahas ttag pluag trdapat ( > ) plagga dalam sistm pada waktu (t + Δt). Pluag trdapat ( > ) plagga dalam sistm pada waktu (t + Δt) dapat diprolh dga mjumlahka kmpat kjadia salig asig di atas, shigga diprolh
P (t + Δt) P(Kjadia I) + P(Kjadia II) + P(Kjadia III) + P(Kjadia IV) ( (λ + µ )Δt + o(δt)) P (t) + (µ + Δt + o(δt)) P + (t) + (λ Δt + o(δt)) P (t) + o(δt) P (t) λ Δt P (t) µ Δt P (t) + µ + Δt P + (t) + λ Δt P (t) + o(δt) () Slajutya masig-masig ruas pada Prsamaa () dikuragi P (t) da dibagi Δt shigga diprolh P( t t) P( t) o( t) λ P (t) µ P (t) + µ + P + (t) + λ P (t) + t t o( t) λ P (t) (λ + µ ) P (t) + µ + P + (t) + t Kmudia dihitug ilai limit dari masig-masig ruas utuk t, shigga mjadi P ( t t) P ( t) o( t) lim lim P ( t) ( ) P ( t) P ( t) t t t t dp( t) λ P (t) (λ + µ ) P (t) + µ + P + (t) () dp Prsamaa () haya brlaku utuk >, maka dga ara yag sama, aka dittuka ( t). Brdasarka Gambar 6, jika trdapat plagga dalam sistm pada waktu (t + Δt) maka kjadiakjadia salig asig yag mugki trjadi ditujukka pada Tabl 3. Tabl 3 Bayakya plagga saat t, bayakya kdataga slama Δt, da bayakya kprgia slama Δt utuk dua kjadia jika N(t +Δt) Kjadia N(t) X(t + Δt) X(t) Y(t + Δt) Y(t) I II Ktraga: N(t) : bayakya plagga di dalam sistm pada saat t N(t +Δt) : bayakya plagga di dalam sistm pada saat t + Δt X(t + Δt) X(t) : bayakya kdataga plagga slama Δt Y(t + Δt) Y(t) : bayakya kprgia plagga slama Δt Slai dua kjadia yag ditujukka pada Tabl 3, trdapat kjadia (III) yaitu kadaa sistm pada saat t lbih dari satu srta jumlah kdataga da kprgia juga lbih bsar dari satu. Namu murut Asumsi 5, pluag kjadia ii brilai o(δt). Pluag dari masig-masig kjadia trsbut adalah sbagai brikut. P(Kjadia I) P((N(t) ) (X(t + Δt X(t) ) (Y(t + Δt) Y(t) ) ( λ Δt + o(δt)) () P((N(t) ) ( λ Δt + o(δt)) P (t) P(Kjadia II) P((N(t) ) (X(t + Δt X(t) ) (Y(t + Δt) Y(t) ) ( λ Δt + o(δt)) (µ Δt + o(δt)) P((N(t) ) (µ Δt + o(δt)) P (t) P(Kjadia III) o(δt) (Ssuai Asumsi 5) Pluag trdapat plagga dalam sistm pada waktu (t + Δt) dapat diprolh dga mjumlahka ktiga kjadia salig asig di atas sbagai brikut. P (t + Δt) P(Kjadia I) + P(Kjadia II) + P(Kjadia III) ( λ Δt + o(δt)) P (t) + (µ Δt + o(δt)) P (t) + o(δt) P (t) λ Δt P (t) + µ Δt P (t) + o(δt) (3) Slajutya, masig-masig ruas pada Prsamaa (3) dikuragi P (t) da dibagi Δt srta dihitug ilai limitya utuk Δt, shigga P( t t) P( t) o( t) λ P (t) + µ P (t) + t t P( t t) P( t) o( t) lim lim P ( t) P ( t) t t t t dp( t) λ P (t) + µ P (t) (4)
D. Distribusi Kdataga Distribusi kdataga brhubuga dga pluag trdapat kdataga palagga dalam suatu sistm atria pada itrval waktu trttu. Kdataga yag dimaksud dalam pmbahasa ii adalah kdataga muri, yaitu kdataga tapa disrtai kprgia, maka laju kprgia µ,. Diasumsika bahwa laju kdataga tidak trgatug pada bayakya plagga yag brada dalam sistm, shigga λ λ,. Pluag trdapat ( ) kdataga pada waktu t dapat diprolh dga msubstitusika µ da λ λ k Prsamaa () da Prsamaa (4) sbagai brikut. dp( t) P() t (5) dp( t) P ( ) ( ), t P t (6) Prsamaa (5) dapat diyataka sbagai prsamaa diffrsial liar ord I dga P(x) λ da Q(x). Maka, pylsaiaya adalah P (t) λt. Diasumsika bahwa pross klahira muri dimulai (t ) pada saat sistm mmiliki ol plagga ( ), maka pluag trdapat ol plagga dalam sistm pada saat t (ditulis P ()) yaki. Jika > maka P (). Hal ii dapat dituliska sbagai brikut., P () (7), Dga dmikia, P () λ, da diprolh ilai. Olh kara itu, didapatka P (t) λt (8) Prsamaa (6) dapat diyataka sbagai prsamaa diffrsial liar ord I dga P(x) λ da Q(x) λp (t). Shigga pylsaiaya adalah P (t) P () t t t P () t Utuk ilai diprolh t t t P (t) P () t (9) Prsamaa (8) disubstitusika k Prsamaa (9) maka didapatka t t t t P (t) λt + λt λt () Brdasarka Prsamaa (7), didapatka P () λ + λ.. λ Shigga diprolh ilai. Kara ilai, maka Prsamaa () mjadi P (t) λt λt () t t t Utuk ilai, maka P (t) P () t () Prsamaa () disubstitusika k Prsamaa () mjadi P (t) t t t t t t t t t. (.). ( t) t (3) Brdasarka Prsamaa (7), diprolh P (). Shigga diprolh ilai. ( t) t Kara, maka Prsamaa (3) mjadi P (t) (4) Dga iduksi matmatika, dapat dibuktika bahwa pylsaia umum dari Prsamaa (5) da Prsamaa (6) adalah sbagai brikut. P (t) ( t ) t (5)! Lagkah-lagkah pmbuktiaya sbagai brikut.. Prsamaa () yaitu P (t) λt λt mmbuktika bahwa Prsamaa (5) mrupaka pylsaia Prsamaa (6) utuk.. Diasumsika Prsamaa (5) mrupaka pylsaia Prsamaa (6) utuk k, maka P k (t) k ( t) t. k! 3. Aka dibuktika bahwa Prsamaa (5) mrupaka pylsaia Prsamaa (6) utuk k +. dpk Prsamaa (6) dga k + adalah ( t) Pk( t) Pk ( t) (6) Asumsi disubstitusika k Prsamaa (6) shigga mjadi k dpk ( t) k t t P! () k t (7) k
Prsamaa (7) mrupaka prsamaa diffrsial liar ord I dga P(x) λ da Q(x) shigga pylsaiaya adalah k k k t t P k + (t) t t k t t t k! k! k k t t k t t ( t) t ( k )! ( k )! Brdasarka (7), maka P k + () (.) ( k )! k... Diprolh ilai. ( ) Kara, maka (8) mjadi P k + (t) k t t ( k )! Prsamaa (9) mrupaka pylsaia (6) utuk k + da mmuhi (5). t k! 3 k k t, Jadi, P (t) ( t ) t mrupaka solusi umum dari Prsamaa (5) da Prsamaa (6). Dga dmikia,! dapat disimpulka bahwa kdataga plagga brdistribusi Poisso. Torma. Jika kdataga plagga brdistribusi Poisso maka waktu atar kdataga plagga brdistribusi ksposial. Bukti: Brdasarka uraia di dpa, kdataga plagga brdistribusi Poisso. Misal, T ( > ) adalah waktu atara ( ) kdataga sampai kdataga. Barisa {T,, 3, 4,...} mrupaka barisa waktu atar kdataga yag salig asig da salig bbas. Ambil T yag mrupaka waktu atara sistm atria kosog ( ) da kdataga prtama. Aka ditujukka bahwa T brdistribusi ksposial. Ambil t < T, maka bayakya kdataga pada waktu t adalah ol, artiya P (T > t) P(tidak ada kdataga slama waktu t) P (t) () Brdasarka Prsamaa (8), P (t) -λt dga λ myataka laju kdataga rata-rata, maka fugsi distribusi kumulatif dari T dga t adalah F(t) P(T t) P(T > t) P (t) -λt () Brdasarka Dfiisi 6, Prsamaa () mrupaka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi ksposial t, t yag sara umum ditulis F(t)., t df() t t Shigga fugsi dsitas pluag dari T utuk t adalah f(t) () Brdasarka Dfiisi 5, T mrupaka pubah aak yag brdistribusi ksposial dga paramtr λ. Ssuai dga asumsi bahwa barisa waktu atar kdataga pada sistm atria adalah salig bbas, maka pmbuktia di atas juga brlaku utuk {T }, >. Jadi, trbukti bahwa waktu atar kdataga brdistribusi ksposial. E. Distribusi Kprgia Distribusi kprgia brhubuga dga pluag trdapat kprgia palagga dalam suatu sistm atria pada itrval waktu trttu. Kprgia yag dimaksud dalam pmbahasa ii adalah kprgia muri, yaitu kprgia yag tapa disrtai kdataga, shigga laju kdataga λ,. Diasumsika bahwa laju kprgia tidak trgatug pada bayakya plagga yag brada dalam sistm, shigga µ µ,. Pluag trdapat ( ) kprgia slama waktu t dapat diprolh dga msubstitusika λ da µ µ k Prsamaa () da Prsamaa (4) sbagai brikut. dp( t) P( t) P ( t), (3) P ( t), Jika jumlah plagga dalam sistm atria slama t adalah sbayak N, maka P + (t), N. dp Shigga utuk N brlaku ( t) -µp (t) (4) dp Sdagka utuk < < N brlaku ( t) -µp (t) + µp + (t) (5) Brdasarka Dfiisi 9, maka Prsamaa (4) da Prsamaa (5) mrupaka btuk prsamaa diffrsial liar ord I. Pylsaia Prsamaa (4) adalah P (t) -µt, N (6) (8) (9)
4 Diasumsika bahwa pross kmatia muri dimulai (t ) pada saat sistm mmiliki N plagga dalam sistm, maka pluag trdapat N plagga dalam sistm pada kodisi awal (t ) diotasika dga P(N() N) P N () adalah. Jika < N maka P (). Hal ii dapat dituliska sbagai brikut., N P () (7), N Dga dmikia, P N () -µ., da diprolh ilai. Olh kara itu, P N (t) -µt (8) Pylsaia Prsamaa (5) adalah P (t) -µt + µ -µt t P () t, < < N (9) Utuk N, maka P N (t) -µt + µ -µt t P N () t (3) Prsamaa (8) disubstitusika k Prsamaa (3) shigga P N (t) -µt + µ -µt t t -µt + µt -µt (3) Ssuai dga Prsamaa (7), maka P N () -µ. + µ.. -µ.. Shigga, diprolh ilai. Kara, maka Prsamaa (3) mjadi P N (t) µt -µt (3) Utuk ilai N, maka P N (t) -µt + µ -µt t P () N t (33) Prsamaa (3) disubstitusika k Prsamaa (33) shigga P N (t) -µt + µ -µt t t t -µt + µ -µt t -µt ( t) t + (34) Ssuai dga Prsamaa (7), maka P N () -µ. (.). +. Shigga, diprolh ilai. ( t) t Kara, maka Prsamaa (34) mjadi P N (t) (35) Sama sprti halya distribusi kdataga, dapat dibuktika dga iduksi matmatika bahwa pylsaia umum dari P (t) yag mrupaka probabilitas trdapat kprgia plagga slama waktu t adalah sbagai brikut. P (t) ( ) t t, N (36)! Olh kara itu, dapat disimpulka bahwa kprgia plagga brdistribusi Poisso. Torma 3. Jika kprgia plagga brdistribusi Poisso maka waktu playaa plagga brdistribusi ksposial. Bukti: Brdasarka uraia di atas, kprgia plagga brdistribusi Poisso. Misal, kadaa awal suatu sistm atria sbayak N plagga. Misalka T ( > ) adalah waktu playaa kpada plagga k-, shigga barisa {T }, > mrupaka barisa dari waktu playaa yag salig asig da salig bbas. Ambil T yag mrupaka waktu playaa kpada plagga prtama. Aka ditujukka bahwa T brdistribusi ksposial. Jika t < T maka bayakya playaa pada waktu t adalah ol, artiya P (T > t) P (tidak ada playaa slama waktu t) P N (t) (37) Brdasarka Prsamaa (8), P N (t) -µt dga µ myataka laju playaa rata-rata, maka fugsi distribusi kumulatif dari T dga t adalah F(t) P(T t) P(T > t) P N (t) -µt (38) Brdasarka Dfiisi 6, Prsamaa (38) mrupaka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi ksposial. Shigga fugsi dsitas pluag dari T utuk t adalah df() t f(t) µ -µt (39) Brdasarka Dfiisi 5, T mrupaka pubah aak yag brdistribusi ksposial dga paramtr µ. Ssuai dga asumsi bahwa barisa waktu playaa pada sistm atria adalah salig bbas, maka pmbuktia di atas juga brlaku utuk {T }, >. Jadi, trbukti bahwa waktu playaa brdistribusi ksposial. F. Pross Kdataga da Kprgia Stady Stat Kodisi stady stat yaitu kadaa sistm yag tidak trgatug pada kadaa awal maupu waktu yag tlah dilalui. Jika suatu sistm atria tlah mapai kodisi stady stat maka pluag trdapat plagga dp dalam sistm pada waktu t (P (t)) tidak trgatug pada waktu. Kodisi stady stat trjadi ktika ( t) da lim P ( t) P, shigga P (t) P utuk smua t, artiya P tidak trgatug pada waktu. t
5 Pross kdataga da kprgia pada Subbab sblumya mghasilka Prsamaa () da Prsamaa (4). Dalam kodisi stady stat, Prsamaa () da Prsamaa (4) disubstitusika dga dp( t) da P (t) P, shigga diprolh ( ) P ( ) P P, P P P, atau P P, P P (4) ( ) Utuk, maka P P P (4) Slajutya Prsamaa (4) dga disubstitusika k Prsamaa (4), shigga diprolh ( ) P P P P P P (4) ( ) Utuk, maka P3 P P 3 3 (43) Jika Prsamaa (4) da Prsamaa (4) dga disubstitusika k Prsamaa (43), diprolh P3 P P P P P 3 3 3 3 3 (44) Aka dibuktika mgguaka iduksi matmatika bahwa pluag trdapat plagga dalam kadaa stady stat P (t) adalah sbagai brikut.... i P P P... i i (45) Lagkah-lagkah pmbuktia dari Prsamaa (45) adalah sbagai brikut.. Tlah dibuktika pada Prsamaa (4) bahwa Prsamaa (45) brlaku utuk. kk.... Diasumsika bahwa utuk k, maka P k + P. k k... 3. Aka dibuktika bahwa Prsamaa (45) brlaku utuk k +. Brdasarka Prsamaa (4), utuk k + maka ( k k ) k ( k k ) kk... k k k... P k + Pk Pk P P k k k k k... k kk... k k k... k kk... kk k... k k k... P P P kk k... kkk... k k k... Trbukti Prsamaa (45) brlaku utuk k +. Jadi, Prsamaa (45) myataka pluag trdapat plagga dalam kadaa stady stat (P ), >. Slajutya aka diari P yag mrupaka pluag stady stat trdapat ol plagga dalam suatu sistm atria. Brdasarka Dfiisi, P(S), dga S adalah jumlah total suatu pluag. Dapat ditulis... shigga P P P... Dga dmikia, diprolh P...... Jadi, probabilitas trdapat plagga dalam kadaa stady stat (P ), > adalah... i P P P dga P... i i...... G. Modl Atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) P, Modl Atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) mrupaka salah satu modl atria yag potasiaya brdasarka pada otasi Kdall-L. Pada modl atria ii, M myataka kdataga da kprgia brdistribusi Poisso, kuival dga waktu atar kdataga da waktu playaa brdistribusi (46) (47)
6 ksposial, myataka jumlah hal playaa, disipli playaa FCFS, kapasitas sistm tak trbatas, da ukura sumbr pmaggila tak trbatas. Modl atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) mmpuyai kdataga brdistribusi Poisso da waktu playaa brdistribusi ksposial. Olh kara itu, pross dalam sistm ii ssuai dga pross klahira da kmatia (birth dath prosss) yag tlah dibahas pada Subbab sblumya. Shigga λ λ,, artiya laju kdataga slalu kosta da tidak trgatug pada bayakya plagga yag brada dalam sistm. Jumlah hal playaa pada sistm atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) adalah playa. Jika jumlah plagga yag brada dalam sistm adalah ( ) maka sbayak playa brada dalam kodisi sibuk dga laju playaa pr playa adalah μ. Shigga laju playaa rata-rata sluruh playa μ T μ. Namu, jika jumlah plagga yag brada dalam sistm adalah sbayak ( ) maka sbayak ( ) playa brada dalam kodisi sibuk. Shigga laju playaa rata-rata sluruh playa adalah μ T μ. Sara umum dapat ditulis sbagai brikut. λ λ, (48), T (49), Brdasarka Prsamaa (48) da Prsamaa (49), pross kdataga da kprgia pada modl atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) dapat disajika pada Gambar 7.... - +... µ µ µ µ Gambar 7 Pross kdataga da kprgia pada modl ( M / M / ) : ( FCFS / / ) Probabilitas trdapat plagga dalam sistm atria sdrhaa pada kadaa stady stat mghasilka Prsamaa (45) da Prsamaa (46). Pada modl atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ), probabilitas stady stat trdapat, > plagga dapat diprolh dga msubstitusika Prsamaa (48) da Prsamaa.49) k Prsamaa (45), maka Utuk <, diprolh... P P i P P... P i i! i utuk, diprolh P P...... P i i T...... P sbayak ( ) T! P yag mrupaka probabilitas trdapat ol plagga dalam kadaa stady stat dapat diprolh dga msubstitusika Prsamaa (48) da Prsamaa (49) k Prsamaa (46). P......!! Misal,, maka P............!! Brdasarka Dfiisi 8, Prsamaa (5) mjadi P!! P (5) (5) (5) dga (53)!!
7 Brdasarka uraia di atas, dapat disimpulka bahwa probabilitas stady stat trdapat ( > ) plagga pada modl atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) adalah P P,! P,! Dga P, (55)!! Probabilitas dalam kadaa stady stat ii aka diguaka dalam mtuka ukura kfktifa sistm. H. Ukura Kfktifa Modl Atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) Dfiisi.. Jika S(x) adalah jumlah sbuah drt pagkat pada itrval I {x - < x < } shigga S(x) ds( x) x + x + x + x 3 +... dga x brada pada itrval I trsbut, maka brlaku dx x x Dfiisi.. Bayakya plagga dalam sistm atria adalah hasil pjumlaha atara bayakya plagga dalam atria da bayakya plagga yag sdag dalam pross playaa. Dfiisi.. Waktu muggu dalam sistm atria adalah jumlah atara waktu muggu dalam atria da waktu playaa. Ukura kfktifa sistm atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) dapat dittuka dga mgguaka probabilitas stady stat trdapat, palagga yag brada dalam sistm (P ) pada Prsamaa (54) da Prsamaa (55). Ukura kfktifa sistm ii diguaka utuk mgaalisis situasi sistm atria dga tujua utuk mraag sistm yag optimal. Ukura kfktifa sistm dalam kodisi stady stat mliputi kspktasi jumlah plagga dalam atria (L q ), kspktasi jumlah plagga dalam sistm (L s ), kspktasi waktu muggu dalam atria (W q ), kspktasi waktu muggu dalam sistm (W s ), da kspktasi jumlah playa yag sibuk ().. Ekspktasi jumlah plagga dalam atria (L q ) Brdasarka Dfiisi, bayakya plagga dalam atria adalah slisih atara bayakya plagga dalam sistm atria da bayakya plagga yag sdag dalam pross playaa. Jika bayakya plagga dalam sistm adalah da bayakya plagga yag sdag dalam pross playaa adalah sbayak jumlah playaya, yaitu maka kspktasi jumlah plagga dalam atria (L q ) adalah sbagai brikut. L q P ( ) P (56) Jika Prsamaa (54) disubstitusika k Prsamaa (56) maka diprolh L q ( ) P! P! ( ) P ( )! P d! (57) d Murut Dfiisi 8, Prsamaa (57) mjadi P d P L q!, P d! ( )! Dga dmikia, kspktasi jumlah plagga dalam atria (L q ) adalah d dx x (54)
L q P ( )!, dga 8 (58). Ekspktasi waktu muggu dalam atria (W q ) Sblum mmbahas lbih lajut, brikut dibrika rumus Littl yag myataka hubuga atara L s da W s srta L q da W q. L s λ ff W s (59) L q λ ff W q (6) dga λ ff mrupaka laju kdataga fktif dalam sistm da diyataka dga λ ff P (6) Waktu muggu dalam suatu atria artiya waktu yag diprluka olh sorag plagga sjak mmasuki atria higga mdapat playaa, amu tidak trmasuk waktu playaa. Ekspktasi waktu muggu dapat dittuka dga mgguaka rumus Littl pada Prsamaa (59). Brdasarka Prsamaa (48), pada modl atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) brlaku λ λ,, shigga diprolh laju kdataga fktif sbagai brikut. λ ff P P P λ. λ (6) L q Shigga, Prsamaa (59) mjadi W q (63) Jika Prsamaa (58) disubstitusika k Prsamaa (63) maka didapatka kspktasi waktu muggu dalam atria sbagai brikut. P W q ( )! P ( )!, (64) 3. Ekspktasi waktu muggu dalam sistm (W s ) Waktu muggu dalam sistm atria artiya waktu yag diprluka olh sorag plagga sjak mmasuki atria higga playaa yag dibrika kpadaya slsai. Brdasarka Dfiisi, dapat diyataka prsamaa brikut. Waktu muggu dalam sistm waktu muggu dalam atria + waktu playaa Jika laju playaa pr satua waktu adalah µ maka waktu playaa utuk sorag plagga adalah satua waktu. Shigga prsamaa di atas mjadi W s W q + (65) Slajutya Prsamaa (64) disubstitusika k Prsamaa (65), maka diprolh kspktasi waktu muggu dalam sistm atria sbagai brikut. P W s + ( )!, (66) 4. Ekspktasi jumlah plagga dalam sistm (L s ) Brdasarka Dfiisi, bayakya plagga dalam sistm artiya hasil pjumlaha atara bayakya plagga dalam atria da bayakya plagga yag sdag dalam pross playaa. Ekspktasi jumlah plagga dalam sistm dapat dittuka dga mgguaka rumus Littl pada Prsamaa (6). Brdasarka Prsamaa (6), diprolh L s λw s (67) Jika Prsamaa (66) disubstitusika k Prsamaa (67) maka diprolh kspktasi jumlah plagga dalam sistm sbagai brikut. P L s λ ( )! P ( )!
P ( )! P ( )! 9, (68) Jika Prsamaa (58) disubtitusi k Prsamaa (68) maka diprolh hubuga atara L q da L s sbagai brikut, L s ρ + L q, (69) 5. Ekspktasi jumlah playa yag sibuk () Bayakya playa yag sibuk adalah slisih atara bayakya plagga yag brada dalam sistm da bayakya plagga yag brada dalam atria. Dga dmikia, bayakya playa yag sibuk adalah L s L q (7) Jika Prsamaa (69) disubstitusika k Prsamaa (7) maka diprolh ρ (7) Sdagka prstas pmafaata suatu saraa playaa dga hal playaa adalah sbagai brikut. Prstas pmafaata % % (7) Jika kspktasi jumlah playa yag sibuk diyataka dga Prsamaa (7) maka kspktasi jumlah playa yag mgaggur atau tidak sdag mlayai plagga adalah bayakya playa dikuragi jumlah playa yag sibuk da dapat diyataka sbagai brikut. Playa yag mgaggur (kosog) (73) Akibatya, prstas waktu kosog para playa atau saraa playaa yaki sbagai brikut. X % % % %, dga (74) I. Modl Tigkat Aspirasi Modl kputusa atria mrupaka suatu modl yag brtujua mmiimumka biaya total yag brkaita dga suatu sistm atria. Olh kara itu, kputusa yag diambil mlalui modl kputusa ii diharapka dapat ditrapka da mampu mgoptimalka sistm atria trsbut. Sifat dari situasi atria mmpgaruhi pmiliha modl kputusa yag aka diguaka. Olh kara itu, situasi atria dapat digologka k dalam tiga katgori brikut.. Sistm mausia, yaitu sistm atria yag plagga da playaya mausia. Misalya: sistm atria di Bak.. Sistm smiotomatis, yaitu sistm atria yag plagga atau playaya mausia. Misalya: sistm playaa ATM (Automati Tllr Mahi), dga plagga mausia da playa brupa ATM. 3. Sistm otomatis, yaitu sistm atria yag plagga da playaya buka mausia. Misalya: data yag muggu diolah olh suatu program komputr, dga plagga brupa data da playa brupa program. Ada dua maam modl kputusa atria yag dapat diguaka utuk mgoptimalka suatu sistm atria, yaitu modl biaya da modl tigkat aspirasi. Modl biaya dapat dipilih utuk mgoptimalka sistm dga mmprkiraka paramtr-paramtr biaya trlbih dahulu. Smaki tpat ptua paramtrparamtr biaya, smaki optimal raaga saraa playaa yag dihasilka. Namu, tidak smua paramtr biaya dalam sistm atria dapat diprkiraka dga mudah, misalya biaya muggu plagga pada suatu bak. Modl tigkat aspirasi mrupaka suatu modl yag brtujua myimbagka aspirasi plagga da playa dalam suatu sistm atria. Modl ii sara lagsug mmafaatka karaktristik yag trdapat dalam sistm dga tujua mraag sistm atria yag optimal. Optimalitas diapai jika tigkat aspirasi plagga da playa dipuhi. Tigkat aspirasi yaitu batas atas dari ilai-ilai yag salig brttaga, yag dittuka olh pgambil kputusa. Prapa modl tigkat aspirasi utuk mtuka jumlah playa yag optimum mmiliki dua paramtr yag brttaga yaitu:. kspktasi waktu muggu dalam sistm (W s ), sbagai aspirasi plagga,. prstas waktu kosog para playa (X), sbagai aspirasi playa. Brdasarka paramtr W s da X yag salig brttaga, jumlah playa tlah optimum jika mmuhi prsyarata brikut.
W s α (75) da X β (76) Dga α : batas atas dari W s β : batas atas dari X Pylsaia masalah ii juga dapat dittuka dga ara mggambar W s da X sbagai fugsi dari sprti ditujukka pada Gambar 8. Itrval ilai yag ditrima W s W s X X β α C Gambar 8 Itrval ilai yag ditrima Dga mmpatka α da β pada grafik, dapat dittuka kisara optimal yag mmuhi kdua batasa trsbut. Jika Prsamaa (75) da Prsamaa (76) tidak dipuhi sara simulta maka salah satu atau kdua batasa prlu diloggarka sblum kputusa diambil. Tori Pdukug Aka diari pluag trdapat plagga dalam suatu sistm atria pada saat t. Namu sblumya, dibrika bbrapa dfiisi yag aka diguaka pada pmbahasa slajutya. Dfiisi. Kjadia A, A,..., A k dikataka kjadia-kjadia yag salig asig jika A i A j Ø, i j. Dfiisi. Pada sbuah probaa, A, A, A 3,... adalah kjadia-kjadia yag mugki pada ruag sampl S. Fugsi pluag mrupaka fugsi yag mgawaka stiap kjadia A dga bilaga ral P(A) da P(A) disbut pluag kjadia A jika mmuhi kttua brikut. P(A) ;. P(S) ; 3. Jika A, A, A 3,... adalah kjadia-kjadia yag salig asig maka P( A A A3...) P( A ) P( A ) P( A3 )... Dfiisi 3. Kjadia A da B dikataka salig bbas jika da haya jika P(A B) P(A)P(B). Jika kjadia A da B tidak mmuhi kodisi trsbut maka disbut kjadia brgatug. Dfiisi 4. Suatu variabl aak diskrt T dikataka brdistribusi Poisso dga paramtr λ > jika k mmpuyai fugsi dsitas pluag brbtuk P(T k), dga k. k! Dfiisi 5. Suatu variabl aak kotiu T dikataka brdistribusi ksposial dga paramtr λ > jika mmpuyai fugsi dsitas pluag brbtuk t, ( t ) f(t), ( t ). Dfiisi 6. Suatu variabl aak kotiu T brdistribusi ksposial dga paramtr λ > jika fugsi distribusi kumulatifya yaitu t, t P(T t)., t < Dfiisi 7. Turua fugsi f adalah fugsi f yag ilaiya pada sbarag bilaga t adalah f ( t t) f ( t) f '( t) lim, asal ilai limitya ada. t t a Dfiisi 8. Jika < x < maka ax, dga. x dy Dfiisi 9. Prsamaa diffrsial ord I yag dapat diyataka sbagai P( x) y Q( x) disbut prsamaa dx diffrsial liar da mmpuyai pylsaia: P( x) dx P( x) dx P( x) dx y Q( x) dx.