Perumusan Fungsi Green Sistem Osilator Harmonik dengan Menggunakan Metode Integral Lintasan (Path Integral)

Transkripsi

1 Prumusa Fugsi Gr Sistm Osilator Harmoik dga Mgguaka Mtod Itgral Litasa (Path Itgral) Sutisa Abstrat: Th path itgral is a mthod that oft usd i th uatum problms alulatio. For xampl; th alulatio of uatum systm rgy that has omplx pottial form. Th mthod givs mor asily tha prturbatio mthod. Th mthod is also usd to driv Gr futio, whih usually usd Fourir trasformatio. Th Gr futio has widly appliatio i uatum physis, si it usd to omput solutio of ihomog diffrtial uatio as Shrodigr uatio. I th partil physis, th Gr futio usd as propagator i Fyma s diagram. Cosidrig th importa of Gr futio, ad th powrfull of path itgral mthod, i th papr, th mthod usd to driv th formula of Gr futio for uatum harmoi osillator systm. Th systm has widly appliatio to giv mor iformatio of physial phoma, for xampl, th atomi vibratio i solid stat. Th rsult was also ompard with Fourir trasformatio mthod ad both giv th sam rsult as hopd. Kywords: Gr futio, harmoi osillator, path itgral mthod PENDAHULUAN Fugsi Gr mrupaka salah satu mtod ptig dalam fisika, baik dalam tijaua klasik maupu tijaua kuatum. Sara umum fugsi Gr diguaka utuk mgkostruksi solusi prsamaa difrsial tak homog, misalya prsamaa Shrodigr. Sdagka dalam kuatum rlativistik (tori mda kuatum), fugsi Gr adalah suatu kuatitas yag myataka kspktasi dari prkalia oprator-oprator mda dalam waktu yag trurut (Ismail, :). Di dalam fisika partikl, fugsi Gr pada umumya juga diguaka sbagai propagator di dalam diagram Fyma (Rydr, H. L., 985). Cara yag biasa diguaka utuk mrumuska fugsi Gr adalah dga mgguaka trasformasi Fourir. Ttapi mtod ii kurag ssuai jika ditrapka k dalam masalah-masalah dalam mkaika kuatum yag komplks. Cara laiya adalah dga mgguaka mtod itgral litasa. Itgral litasa mrupaka salah satu mtod yag bayak diguaka utuk mylsaika brbagai problm kuatum. Bbrapa kutuga dari Staf Pgajar urusa Fisika, FMIPA, Uivrsitas mbr. 65

2 66 ural Fisika FLUX, Vol. 6 No., Pbruari 9 (65 77) pgguaa mtod itgral litasa adalah (Gross, 993):. Itgral litasa dapat diguaka utuk mdapatka solusi-solusi sara ksak da umrik dari tori mda itraksi kuat (dimaa tori prturbasi tidak dapat mgrjakaya).. Itgral litasa mydiaka ara yag mudah dalam prhituga kuatisasi da ksprsi-ksprsi fugsi Gr yag brkaita rat dga amplitudo dalam pross fisika sprti pristiwa hambura da pluruha partikl. 3. Itgral litasa mmiliki kragka krja yag lbih umum sara toritik. 4. Lbih jauh, hubuga yag rat atara mkaika statistik da mkaika kuatum, atau tori mda statistik da tori mda kuatum trlihat sdrhaa dga mgguaka itgral litasa. Dari uraia di atas, mgigat ptigya praa fugsi Gr da sifat powrfull dari mtod itgral litasa, maka dalam papr ii mtod trsbut aka diguaka utuk mrumuska fugsi Gr dari sistm osilator harmoik kuatum. Sistm ii mmiliki aplikasi yag luas dalam mmbahas brbagai foma fisis. Misalya di dalam fisika atom, vibrasi atom di dalam molkul da zat padat dapat dihampiri dga grak osilator harmoik. Sdagka di dalam fisika iti potsial rata-rata uklo di dalam iti juga srig dihampiri dga potsial harmoik. Slajutya osilator harmoik sdrhaa mrupaka sbuah modl yag bayak diguaka sbagai modl pata dari sistm dga potsial yag lbih komplks. Mskipu osilasi di alam yag kita jumpai adalah grak osilasi trdam (dampd) atau trpaksa (ford) amu simpaga kilya trhadap titik kstimbaga dapat sagat akurat dihampiri dga osilator harmoik sdrhaa (Pak P., 4). Sbagai pmbadig hasil yag diprolh, aka dihitug juga fugsi Gr dga mgguaka mtod trasformasi Fourir. METODOLOGI Pmbahasa dalam papr ii dilakuka dga pata mtod tortik. Sara garis bsar, lagkah-lagkah yag dilakuka adalah sbagai brikut: prtama mari solusi fugsi Gr dga

3 Sutisa, Prumusa Fugsi Gr mgguaka mtod trasformasi Fourir, dga mula-mula mdfiisika gaya kstral k dalam ruag momtum. Dari dfiisi gaya kstral ii, kmudia diguaka utuk mari solusi umum dari prsamaa grak osilator harmoik dga mgguaka trasformasi Fourir, yag slajutya diguaka utuk mrumuska fugsi Gr dari sistm yag ditijau. Kdua adalah mrumuska fugsi Gr dga mgguaka mtod itgral litasa, dga mula-mula mdfiisika fugsi Gr sara umum, kmudia mysuaika itgral litasa yag tlah ada dga fugsi Gr trsbut. Lagkah trakhir adalah mrapka fugsi Gr trsbut utuk mghitug rgi dari sistm osilator harmoik. mtod trasformasi Fourir, dimulai dga muliska prsamaa grak dari sistm yag ditijau (osilator harmoik) t m m,... () Dimaa m adalah massa partikl, ω frkwsi sudut, koordiat umum da t adalah sumbr gaya kstral. Dga mgasumsika t sbagai hasil dari suatu trasformasi Fourir maka dapat dituliska (dalam ruag momtum) k ikt t... () dimaa k adalah bilaga glombag. Nilai t harus muju ol utuk t yag bsar, shigga t da turua prtamaya aka mati ol utuk t yag bsar. HASIL DAN PEMBAHASAN Purua Fugsi Gr dga Mgguaka Mtod Trasformasi Fourir Utuk mylsaika fugsi Gr dga mgguaka k d m t Substitusi prsamaa () k prsamaa (), maka diprolh: ikt k m m atau ikt m t ikt,... (3) dga prmisala k ikt t... (4a) maka prsamaa (3) dapat ditulis mjadi:

4 68 ural Fisika FLUX, Vol. 6 No., Pbruari 9 (65 77) t d ikt k m m k.... (4b) Itgral suku prtama prsamaa (4b) mmbrika d m ikt t ikt d ikt d d ik d ikt. Shigga prsamaa (4b) dapat ditulis mjadi: k imk d m ikt k mk m k atau k k.,... (5) k... (6a) k m m dga mgguaka sifat trasformasi Fourir maka dari prsamaa (4a) dapat kita dituliska t k ikt, yag dga msubtitusika k prsamaa (6a) aka didapatka t k k m m ikt.(6b) Dga mgguaka dfiisi dari k pada prsamaa (), prsamaa (6b) aka mjadi t, ' ', G t ik k m m ikt... (7a) dimaa G t ik t t ' ik t, mk m m k.... (7b) adalah fugsi Gr utuk sistm osilator harmoik. Purua Fugsi Gr dga Mtod Itgral Litasa Fugsi Gr dirlasika dga amplitudo utuk pross fisika sprti hambura da pross pluruha. Dalam mkaika kuatum fugsi Gr sara umum diksprsika olh prsamaa di bawah ii (Rydr, H. L., 985) t t,..., t Tˆ ˆ t ˆ t... ˆ t G,, dga Tˆ myataka prkalia uruta waktu (tim ordrd produt). Utuk mrumuska fugsi Gr ii, mula-mula harus mmbuat itgral litasa dalam btuk rprstasi Hisbrg. Oprator ˆ t adalah oprator Hisbrg, yag dikaitka dga oprator Shrodigr ˆ olh t iht iht. Kadaa ig dari oprator Hisbrg adalah t, t ; ˆ, t, t, da hubugaya dga kadaa ig

5 Sutisa, Prumusa Fugsi Gr bbas waktu adalah iht, t. Kmudia itgral litasa dapat ditulis sbagai brikut K iht ' ', T, D.... (8) Dga itgral litasa ii atiya aka diari fugsi -titik (two poit futio) G t,t, yaitu fugsi yag divalusi atara dua titik yag brata. Lagkah prtama yag dilakuka adalah muliska fugsi -titik sbagai brikut (Rydr, H. L., 985), T T ˆ t ˆ t, '... (9) Kmudia aka dipilih suatu mtod utuk mtuka kotribusi vakum pada tigkat awal da akhir (tapa sumbr kstral). mjadi: Utuk t t, prsamaa (9) ', T Tˆ ˆ t ˆ t, ', T Tˆ ˆ t ˆ t d d ', T d d, t ', T, t, t, t t, ˆ t, t, t, t, t, t, t,., Masig-masig lm prsamaa ii mrupaka suatu itgral litasa, shigga dapat ditulis mjadi: ', T T ', T, t ˆ t ˆ t, dd D D, t, t, t, D... () Prsamaa () trdiri dari bbrapa ksprsi itgral litasa, prtama prubaha posisi awal k posisi, kdua prubaha posisi k, da yag ktiga ', T Tˆ( ˆ adalah prubaha posisi k '. Slajutya kita dapat mgkombiasika tiga itgral litasa ii shigga prsamaa ditulis mjadi: ', T t ˆ t ), t t t t, () dapat D... () Slajutya utuk smua waktu dapat ditulis mjadi: ', T, T T ˆ t ˆ t...ˆ t, D t t... t... () ',

6 7 ural Fisika FLUX, Vol. 6 No., Pbruari 9 (65 77) Utuk mdapatka lm vakum-k-vakum, dilakuka dga ara mmprluas tigkat ', T da, dalam btuk fugsi ig Hamiltoia. Da jika kita buat itrval waktu mjadi sagat kil, maka kotribusi utuk sluruh tigkat laiya aka hilag sara rlatif k tigkat dasar. Shigga didapatka ', T, T, T, T D.. (3) ˆ Dimaa agka madaka fugsi glombag suatu kadaa dasar/groud stat. Utuk mghitug fugsi Gr, dilakuka dga mambahka Tt ˆ t... ˆ ˆ t k lm prsamaa (3) yag brkaita dga faktor t t... ˆ dalam itgralya, shigga itgral litasa aka mjadi: ˆ t ˆ t... ˆ t, T D t t... t, T T Dari prsamaa ii, ksprsi sblah kiri tidak ssuai dga dfiisi fugsi Gr sprti apa yag diigika kara,t G... (4) t ˆˆ ˆ ˆ, t,..., t T t t... t, T Tˆ ˆ t ˆ t... ˆ t D, T t t Utuk khadira sumbr kstral t propagator dapat ditulis mjadi: K D i S D t t... (6) Prsamaa di atas mgadug sumbr kstral t shigga D... tigkataya brbda. Olh kara itu tigkata ii harus dilmiasi, shigga fugsi Gr dapat dituliska mjadi:, T t., T... (5) dapat dituliska sbagai itgral fugsioal Z Z sbagai brikut D i S D ika dioprasika i i t t t... (7) Z dga, aka mmbrika

7 Sutisa, Prumusa Fugsi Gr... 7 i i t t Z Z D D t t D, T ˆ, T t i S D, T, T t t ˆ t Da turua kali itgral fugsioal trhadap sumbr kstral utuk kadaa bbas i t... t Z D t... D sumbr j tryata iik dga fugsi Gr prsamaa (5), yaitu sbagai brikut: t Tˆ t... ˆ t.... (8) Dalam prsamaa di atas, fugsioal Z diamaka sbagai fugsioal pmbagkit utuk fugsi Gr, kara fugsioal Z dapat mmbagkitka sluruh fugsi Gr utuk kadaa vakum. Utuk mghitug Z, mula-mula uji umrator prsamaa (7) di bawah ii t t N D.... (9) Dga S adalah aksi osilator m m harmoik yag dirumuska sbagai brikut: S o m m, Shigga prsamaa (9) mjadi N D txp m m... () Kmudia mlakuka itgral litasa trhadap variabl baru (dimaa t t ' t, da adalah solusi klasik) sbagai brikut: t m t ' t m t ' t t ' t

8 7 ural Fisika FLUX, Vol. 6 No., Pbruari 9 (65 77) m m ' t m t t m t ' t m t ' t t ' t t m ' t. Kara suku kdua ruas kaa prsamaa ii mgadug t da ' t sbagai brikut:, maka dapat dituliska m t ' t m t ' t t ' t m t m t t ' t. Kara prsamaa ii mmuhi prsamaa grak osilator harmoik (), maka ilaiya aka mjadi ol, sprti di bawah ii, m t m t t ' t ' t Slajutya prsamaa () dapat ditulis sbagai brikut: N D xp m m ' E D y xp m ' m ' Dalam prsamaa ii itgral trhadap variabl adalah kosta (kara bbas dari ) sbut saja C, shigga umrator dapat dituliska: dimaa S N C, m m m m. Dga mgigat prsamaa grak osilator harmoik adalah m m, maka t t m ' m S. t t... () Dga mguaka kyataa bahwa t adalah ssuai dga prsamaa grak osilator harmoik. Solusi prsamaa grak ii bisa diyataka dalam btuk fugsi Gr, utuk ii ambil G t, yag mrupaka solusi dari d m t, t G.. () Dari prsamaa ii dapat dituliska ' G t,... (3)

9 Sutisa, Prumusa Fugsi Gr Dga msubtitusi prsamaa (3) k dalam prsamaa (), maka aka diprolh S t ' Gt,. Shigga umrator mjadi N C xp ' t G t, (4) Dga mmbagi umrator ii dga C maka aka didapatka fugsioal pmbagkit brikut: Z sbagai Z xp ' t Gt,..(5) Utuk mrumuska fugsi Gr dari prsamaa (5), dilakuka dga mrubah prsamaa () mjadi: m atau d G t, t ' t t ', ' t t G t,... (6) d m da dga mgguaka traformasi Fourir dalam ruag momtum, maka fugsi Gr osilator harmoik mjadi: dga G t t ' ik tt, m k. ik t t ' t ' mk m ' m k ikt t, G t ikt t m k '.(7) Kara di dalam ruag momtum ikt t ' t d da k, da dari prsamaa (7) ii trlihat bahwa oprator difrsial d mmpuyai ilai ig k. Dapat dilihat bahwa fugsi Gr yag didapat dga trasformasi Fourir sama dga fugsi Gr yag dirumuska dga mtod itgral litasa. Prapa Fugsi Gr utuk Mghitug Ergi Sistm Osilator Harmoik Tijau prsamaa grak osilator harmoik sdrhaa prsamaa (), dga solusi umumya adalah sbagai brikut: G t, t ' ' t ' ', Kmudia dga mgvaluasi G t, ii, maka dapat dituliska

10 74 ural Fisika FLUX, Vol. 6 No., Pbruari 9 (65 77) G t, t ' dimaa m ikt t ' k k k k (8) k da k. Kmudia utuk mmprmudah pgrjaa itgral ii mula-mula mijau prsamaa (8) sbagai darah dari suatu itgral prmukaa dalam bidag-k. Kotur yag ssuai, misalka dilablka I m C m t ' k k k k K ' i i K k K k K ik t i ik tt m K K ik sbagai C yaitu suatu litasa spajag akss ral dari K samapai +K yag brbtuk stgah ligkara yag brjari-jari K. Gambar mujukka t, sdagka jika t, aka ditujukka olh kotur trtutup stgah bidag atasya yag dirumuska sbagai brikut: ik t t ' k k k k i d... (9) Gambar. Kotur yag diguaka utuk mgvaluasi fugsi Gr utuk sistm osilator harmoik. Dalam btuk prtama pada sblah kaa prsamaa ii, itgral diambil spajag akss ral, sdagka btuk kdua diambil itgral spajag stgah ligkara dga jari-jari K, yag i i maa k K da ik d, da divaluasi mulai dari sampai. Dari prsamaa (9) didapatka mi Lim K C ik t t ' k k k k ik t ik t i. k k k k Dga mmasukka ilai k da k, didapatka si I m Kara t. K, btuk prtama pada sblah kaa

11 Sutisa, Prumusa Fugsi Gr prsamaa (9) tidak lai mjadi G t, prsamaa (8), shigga si t Gt,... (3) m si t Gt, Lim R, (3) m K Da solusi umumya aka mjadi: dimaa t si t ' t, t K i ik tt ' m i R ik d i i m K k K k dimaa t adalah kodisi awal yag K dipakai. ika dimisalka btuk Ttapi itgral ii mghilag kara sumbr kstral adalah: K, olh kara itu t si t t, G t,, t. (3) Skar m yag dimulai pada saat t, da Sigularitas dalam koturya, shigga, t,, G t. Kmudia dapat dirigkas, sistm diasumsika aka brhti pada posisi kstimbaga pada t, maka prsamaa (33) mjadi t t t ' sit t t si m m dimaa ta, dga dalam kuadra prtama atau dalam kuadra kdua. sbagai atata bahwa kodisi batas, dipuhi., Ktika waktu mjadi sagat bsar, maka didapatka solusi grak dari osilator harmoik yaitu sbagai brikut: t t... (35) m si Dari hasil ii dapat dihitug rgi akhir dari sistm sbagai brikut: E T V m KESIMPULAN m m Fugsi Gr mrupaka suatu mtod utuk mgkotruksi solusi prsamaa dfrsial tak homog. Dari pmbahasa yag tlah dikrjaka bahwasaya fugsi Gr dapat dituruka dga mgguaka dua mtod yaitu mtod trasformasi Fourir da mtod itgral litasa. Prumusa

12 76 ural Fisika FLUX, Vol. 6 No., Pbruari 9 (65 77) fugsi Gr dga mgguaka mtod trasformasi Fourir adalah diawali dga mdfiisika gaya kstral k dalam ruag momtum, dari dfiisi ii, diari solusi dari prsamaa grak osilator harmoik dga mgguaka trasformasi fourir da sifat-sifat itgral. Da slajutya mari solusi umum prsamaa grak osilator harmoik yag didapat slajutya mdfiisika fugsi Grya. Sdagka prumusa fugsi Gr dga mgguaka mtod itgral litasa adalah dimulai dga mdfiisika fugsi Gr sara umum dalam mkaika kuatum. Kmudia mysuaika itgral litasa yag tlah ada dga fugsi Gr trsbut da mari itgral fugsioalya. Dga mgguaka itgral litasa ii, diprolh rumusa fugsi Gr dalam mkaika kuatum. Dari pmbahasa juga trlihat bahwa rumusa fugsi Gr yag diprolh kdua mtod adalah sama yaitu sbagai brikut: m k iktt ', G t. DAFTAR PUSTAKA Arthur, Bisr Kosp Fisika Modr. Erlagga: akarta Boas, L. Mary Mathmatial Mthods I Th Physial Sis, d Editio. Nw York : oh Wily & So. B. Borals, iky.. Fyma s Path Itgral Formulatio : A Short Itrodutio. MSU-Iliga Istitut of Thology : Iliga City Gasiorowiz, S Quatum Physis. Sigapor: oh Wily & Sos. I. Grir, W., Rihar, Fild Quatizatio. Brli: Sprigr-Vrlag. Ismail.. Propagator Photo utuk Kodisi Gaug Fok- Shwigr higga Ord-. Badug: urusa Fisika Fakultas Matmatika da Ilmu Pgtahua Alam Istitut Tkologi Badug. Rsik, Halliday Fisika Uivrsitas ilid I. Erlagga : akarta Rydr, H. Lwis Quatum Fild Thory. Nw York: Cambridg Uivrsity Prss. Sakita, B. 98. Quatum Thory Of May-Variabl Systms ad Fild. Nw York: World Sitifi. Sakurai, Modr Quatum Mhais. Califoria: Th Bjami/Cummigs Publishig Compay, I. Mlo Park, W. Brya, Frdrik. 97. Mathmatis Of Classial Ad Quatum Physis. Davr Publiatio : Nw York.

13 Sutisa, Prumusa Fugsi Gr Yariv, Amo. 98. A Itrodutio to Thory ad Appliatio of Quatum Mhais. oh Wily ad Sos, I : Nw York. 7s_futi adiaga.htm