MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari-
Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, )
Pengertian Turunan Parsial Laimna perhitungan perubahan suhu per satuan panjang dilakukan di setiap titik (,), 0 dan 0, jika limitna ada, maka (, ) (, lim ) 0 (1a) (, ) (, lim ) 0 (1b) dan Menatakan perubahan suhu per satuan panjang di setiap titik dalam arah, dan
Pengertian Turunan Parsial adalah turunan ungsi (,) terhadap dengan memperlakukan sebagai suatu tetapan, ang disebut turunan parsial ungsi (,) terhadap adalah turunan ungsi (,) terhadap dengan memperlakukan sebagai suatu tetapan, ang disebut turunan parsial ungsi (,) terhadap Lambang lain = (,) = (,)
Pengertian Turunan Parsial Turunan parsial (1a) dan (1b) umumna juga merupakan ungsi dari dan, maka jika diturunkan lebih lanjut, disebut turunan parsial kedua.
Contoh 1 Misalkan (,)= sin (). Maka.., cos( ) cos( ) cos( ) sin cos( ) cos sin( ) cos( ) cos sin( ) ( cos( )) sin
Contoh Tinjau pers. Gas ideal PV = nrt, dengan P,V, dan T berturut-turut adalah tekanan, volume dan suhu gas ideal; sedangkan n adalah jumlah mol gas, dan R suatu tetapan isika, aitu tetapan gas semesta (universal). Berikut kita akan menganggap n tetap. Jika kita pecahkan bagi P, diperoleh: nrt P P V T nr V dan P V nrt V Jika kita pecahkan bagi V, diperoleh: nrt V nr V P T P V P nrt P P T T V V P nr P V nr nrt P Sehingga 1 nrt PV
Dierensial Total Yang lalu : perubahan ungsi (,) terhadap pertambahan salah satu variabelna, atau. Permasalahan : bagaimanakah perubahan ungsi (,) bila dan keduana bertambah secara bebas?? Misalkan ungsi (,) mempunai turunan parsial di (,). Pertambahan ungsi (,) jika bertambah menjadi +, dan menjadi +, adalah = ( +, + ) (,) Jika ditambahkan dan dikurangkan (, + ) di ruas kanan, diperoleh : = [ ( +, + ) (, + )] + [(, + ) (,)] (*) Pertambahan dalam ungsi (, + ) dengan mempertahankan + tetap
Dierensial Total Teorema nilai rata-rata kalkulus Jika () memiliki turunan () pada setiap titik dalam selang [ -, + ], maka [(+ )-()]= (ξ) Dengan ξ = + ( 0 < < 1 ) sebuah titik dalam selang [ -, + ]. Dengan demikian, [ ( +, + ) (, + )] = ( + 1, + ) dengan 0 < 1 < 1 Dengan cara ang sama, untuk suku kedua pers.(*), menghasilkan [(, + ) (,)] = (, + ) dengan 0 < < 1
Dierensial Total Jika turunan parsial (,) dan (,) kontinu di (,), maka ( + 1, + ) = (,) + ε 1 (, + ) = (,) + ε dengan lim ε 1 = 0 dan lim ε = 0, bila dan menuju nol. Pers.(*) teralihkan menjadi : = (,) + (,) + ε 1 + ε Dengan mengambil limit 0 dan 0, diperoleh turunan total ungsi (,) : d d d Untuk (,,,... ), turunan totalna d d d d...
Contoh 3 Hitunglah dierensial total ungsi pada contoh 1 (,)= sin (). Jawab. = cos () dan = - cos () Sehingga turunan totalna : d = ( cos () )d + ( - cos ()d
Contoh 4 (1) Percepatan gravitasi g dapat ditentukan dari panjang l dan periode T bandul matematis ; rumusna adalah g = 4π l/t. Tentukanlah kesalahan relati terbesar dalam perhitungan g jika kesalahan relati dalam pengukuran l adalah 5 % dan T, %. Solusi : Kesalahan relati dalam pengukuran l adalah kesalahan sebenarna dalam pengukuran l dibagi dengan panjang terukur l. Karena kita dapat mengukur l lebih besar atau kecil daripada l sesungguhna, maka kesalahan relati terbesar dl/l mungkin -0,05 atau 0,05. Begitupula dt/t terbesar adalah 0,0. Bagaimana dengan dg/g???
Contoh 4 () g = 4π l/t ln g = ln(4π ) + ln l ln T atau dg g dl l dt T Menurut ketidaksamaan segitiga : dg g dl l dt T maka, kesalahan relati terbesar dg/g adalah dg/g = 0,05 + (0,0) = 0,09
Aturan Berantai (1) = (, ) : persamaan permukaan S dalam ruang. Jika variabel dan berubah sepanjang kurva C sebarang, dengan persamaan parameterna : = (s), dan = (s) s sebagai parameter maka = ((s), (s)) = (s) Sehingga sepanjang kurva C d d d d ds, ds d ds, ds d ds ds d ds d ds d ds
Aturan Berantai () Kasus khusus : = (, ) ; = () ; bebas d d ds ds Secara umum untuk n > variabel, = (,,,... ) dengan = ( u, v, w,... ) = ( u, v, w,... ) = ( u, v, w,... ) d d d d...
Aturan Berantai (3) Karena masing-masing variabel,,,... adalah juga ungsi dari u, v, w,..., maka :... dw w dv v du u d... dw w dv v du u d... dw w dv v du u d Sehingga, turunan total ungsi (,,,...) adalah......... dv v v v du u u u d
Contoh 5 Jika = + ln, dengan = u + v, = u v, dan = u, tentukanlah v dan u, Solusi : u u u u =( + )(1) + ( ln )(1) + (-/)() = 4 + ln / v v v v = ( + )(v) + ( ln )(-v) + (-/)(0) = 4v + v ln
Fungsi Implisit Bentuk eksplisit, = () Bentuk implisit, φ(, ) = 0, d/d =??? d d d d d ( / ) asalkan 0 ( / ) Secara geometris, ungsi implisit φ(, ) = 0 menatakan sebuah kurva pada bidang, dan d/d menatakan kemiringan garis singgungna di titik dimana 0
Contoh 6 Tentukanlah kemiringan garis singgung pada kurva + 4 + 7 =3 di titik (1, -1) Solusi : φ(, ) = ( + 4 + 7-3 ) = 0 Turunan parsial φ(, ) terhadap dan : ( 4 7) ( 4 4) Kemiringan kurva di titik (1, -1 ) adalah : ( / ) ( 4 7) d d ( / ) (4 4) (1, 1) 13/8
Fungsi Implisit (> variabel) Untuk ungsi implisit dalam tiga atau lebih variabel,,,..., aitu φ(,,,... ) = 0, d d d d... 0 Jika 0, pemecahan bagi d : d d d... /( / ) d d ( / ) ( / ) d d ( / ) ( / )
Contoh 7 Tentukan d / d dan d / d dari persamaan + + - 1 =0 Solusi : φ(,, ) = + + - 1 =0 Dengan demikian : d d d d Jika = 0, sepanjang lingkaran + = 1, kedua turunan parsial ini takterdiinisikan.
PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (1) Hukum Pertama Termodinamika Jika pada sebuah sistem ang berinteraksi secara termal dengan lingkungan melakukan usaha terhadap lingkungan sebesar δw, maka sistem tersebut akan mengalami pertambahan energi dalam du, dan menerima atau melepas kalor sebanak δq, menurut hubungan δq = du + δw δq dan δw untuk membedakan bahwa pertambahan kalor, dan usaha bergantung pada jenis proses, sedangkan du menatakan dierensial total energi dalam sistem. Untuk sistem gas, keadaan sistem ditentukan P,V, dan T melalui pers. Keadaan F(P, V, T) = 0 Gas ideal : PV = nrt dan umumna U (T, V), sedangkan δw = P dv
PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA () Hukum Termodinamika Kedua Bagi proses irreversibel (terbalikkan ), kalor δq = TdS, dengan S adalah entropi Hukum pertama termodinamika : T ds = du + P dv, atau du = - TdS + P dv Tampak bahwa U = U(S, V) U du S U ds dv V U T S U P V V S U S U V T V P S V U S S U V T V P S Relasi Mawell besaranbesaran termodinamika
PENERAPAN DALAM TERMODINAMIKA (3) Dengan cara ang sama, tunjukkan relasi Mawell berikut: T P V S ; S V P T ; S P V T