2 II LADASA EORI Untuk membuat model optimasi penadwalan bus ransakarta diperlukan pemahaman beberapa teori. erikut ini akan dibahas satu per satu. 2.1 Penadwalan 2.1.1 Definisi Penadwalan Penadwalan merupakan proses pengorganisasian, pemilihan, dan penetapan penggunaan sumberdaya dalam rangka melaksanakan semua aktivitas yang diperlukan untuk menghasilkan output yang diinginkan pada saat yang telah direncanakan, dengan pembatas waktu dan hubungan antaraktivitas dan sumberdaya tertentu. (Morton & Pentico 1993) 2.1.2 uuan Penadwalan eberapa tuuan penadwalan yang penting yaitu: 1. meningkatkan utilitas atau kegunaan sumberdaya, 2. mengurangi total waktu proses seluruh pekeraan (makespan), 3. mengurangi rata-rata banyaknya pekeraan yang menunggu untuk diproses oleh suatu sumberdaya, 4. meminimumkan keterlambatan pemenuhan suatu ob. (edworth & ailey 1986) 2.1.3 Kriteria Optimalitas Penadwalan Pemilihan kriteria optimalitas merupakan tahap di mana seseorang harus memilih output yang diinginkan oleh pengambil keputusan dalam pelaksanaan penadwalan produksi. Secara umum, kriteria optimalitas dalam proses penadwalan dapat dikelompokkan menadi tiga bagian. 1. erkaitan dengan waktu eberapa kriteria yang terkait dengan waktu ialah minimasi rata-rata flow time minimasi makespan, dan minimasi tardiness, 2. erkaitan dengan biaya Kriteria ini lebih menekankan pada unsur biaya, dan kurang atau bahkan tidak memperhatikan kriteria waktu yang ada sehingga dengan suatu penadwalan produksi tertentu diharapkan ongkos yang minimal. 3. Kriteria gabungan eberapa kriteria optimalitas dapat digabungkan dan dapat dikombinasikan sehingga menadi multi kriteria. (Heizer & Render 2010) 2.2 us Rapid ransit (R) Sistem R merupakan sistem transportasi publik yang digunakan sebagai sistem transportasi menuu transportasi berkelanutan. R merupakan moda angkutan yang berorientasi pada layanan pelanggan dengan mengombinasikan stasiun, kendaraan, perencanaan, dan elemen-elemen sistem transportasi yang canggih ke dalam sebuah sistem yang terpadu dan memiliki satu identitas unik. (IDP 2007) Ciri-ciri utama sistem R meliputi: 1. alur bus terpisah, 2. naik dan turun kendaraan yang cepat, 3. stasiun dan terminal yang bersih, aman, dan nyaman, 4. penarikan ongkos sebelum berangkat yang efisien, 5. penandaan yang elas dan mudah dikenali, 6. tampilan informasi yang serta merta (real time). (Wright 2003) 2.3 ransakarta LU (adan Layanan Umum ransakarta) ialah lembaga yang dibentuk oleh pemerintah Provinsi DKI Jakarta untuk mengelola layanan angkutan umum massal dengan menggunakan moda bus. Pembangunan R merupakan salah satu strategi dari Pola ransportasi Makro (PM) untuk meningkatkan pelayanan dan penyediaan asa transportasi yang aman, terpadu, tertib, lancar, nyaman, ekonomis, efisien, efektif dan terangkau oleh masyarakat. R yang difasilitasi dengan alur, armada bus dan infrastruktur yang dibangun khusus, sistem tiket elektronik yang saat ini dioperasikan di Koridor 1-3 serta keramahan petugas ialah layanan yang diberikan kepada masyarakat untuk dapat menggunakan angkutan umum yang lebih baik. Kini masyarakat mempunyai alternatif angkutan umum yang memberikan kemudahan menangkau seluruh wilayah Jakarta dengan pelayanan yang berbeda dibandingkan dengan angkutan umum lainnya. Sistem ransakarta usway terdiri dari sarana dan prasarana yang memadai, sistem operasi dan pengendalian bus yang efektif,
3 sistem tiket yang terkomputerisasi, sistem pengamanan yang handal dan petugas yang terlatih. Mulai dari perencanaan, pembangunan dan pengelolaan sistem ransakarta dilakukan oleh Pemerintah Daerah DKI Jakarta, sementara kegiatan operasional bus, operasional tiket dan kegiatan penunang lainnya dilaksanakan bekerasama dengan pihak operator yaitu : P Jakarta Epress rans, P rans atavia, P Jakarta rans Metropolitan, P Jakarta Mega rans, P Prima Jasa Perdana Raya Utama dan P Eka Sari Lorena ransport, sehingga pemerintah (LU) hanya membayar biaya per kilometer kepada operator bus yang menangani di setiap koridornya. ransakarta usway memiliki 141 halte di sepanang sepuluh koridor busway dengan ketinggian platform 110 centimeter dari tinggi permukaan alan agar tersedia akses yang rata dengan bus. Setiap halte busway dilengkapi dengan akses untuk pealan kaki yang terhubung dengan embatan penyeberangan orang, yang dirancang khusus untuk mempermudah pengguna layanan busway. Sarana dan prasarana yang tersedia di halte antara lain loket pembelian tiket dan pintu barrier sebagai alan masuk dan alan keluar bagi pengguna asa layanan. Selain itu disediakan fasilitas tempat sampah, informasi rute dan pintu otomatis untuk memberikan kenyamanan dan keamanan saat menunggu di halte. Saat ini banyaknya armada bus adalah 426 unit dan dioperasikan berdasarkan rencana operasi yang teradwal di 10 koridor. us yang diberangkatkan pada titik awal diatur sesuai dengan waktu yang telah ditentukan baik pada am sibuk maupun am tidak sibuk. Selain rute Koridor 1 dan 8, untuk meningkatkan pelayanan dan mengurangi kepadatan penumpang di halte transit, maka LU menambah rute-rute langsung yang berdasarkan pada sistem aringan dan dapat diakses penumpang sesuai dengan tuuan peralanannya. 2.4 Pemrograman Linear Pemrograman linear (PL) atau linear programming merupakan metode penyelesaian masalah pengoptimuman dengan tuuan yang diinginkan terhadap kendala tertentu. Model PL meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear. Salah satunya dapat menadi metode penyelesaian dalam masalah pengoptimuman penadwalan R. Pemrograman linear terdiri atas tiga (3) komponen utama, yaitu: a. variabel keputusan yang telah ditentukan, b. tuuan pengoptimuman yang akan dibutuhkan baik maksimisasi maupun minimisasi, c. kendala untuk menentukan solusi yang memenuhi. (aha 2007) Definisi 1 (entuk Standar PL) Suatu PL dikatakan berbentuk standar ika berbentuk: min z = c terhadap A = b (1) 0 dengan dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n yang disebut uga sebagai matriks kendala. (ash & Sofer 1996) Pemrograman linear (PL) ialah suatu masalah optimisasi yang memenuhi kendala sebagai berikut: a. tuuan masalah tersebut ialah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari seumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi obektif, b. nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear, c. ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel i, pembatasan tanda menentukan i harus taknegatif ( i 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign). 2.4.1 Solusi Pemrograman Linear Untuk menyelesaikan suatu masalah pemrograman linear (PL), metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimal. Metode simpleks dikembangkan oleh Dantzig pada tahun 1947. Metode simpleks merupakan metode yang umum digunakan untuk menyelesaikan masalah pemrograman linear, yaitu berupa metode berulang (iteratif) dimana dalam setiap pengulangan (iterasi) berkaitan dengan satu pemecahan dasar (solusi basis). Pada PL (1), vektor yang memenuhi kendala A=b disebut sebagai solusi fisibel dari PL (1). Misalkan matriks A dapat
4 dinyatakan sebagai A=( ), dengan ialah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Matriks disebut matriks basis PL (1). Jika vektor dapat dinyatakan sebagai vektor =, dengan ialah vektor variabel basis dan ialah vektor nonbasis, maka A = b dapat dinyatakan Sebagai ( ) A = (2) = + = b. Karena ialah matriks taksingular, maka memiliki invers, sehingga dari (2) dapat dinyatakan sebagai : -1-1 = b (3) Kemudian, fungsi obektifnya berubah menadi: min z = c +c Definisi 2 (Solusi asis) Solusi basis ialah solusi PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n m sama dengan nol dan nilai untuk penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m. Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel n m sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa variabel m atau seenisnya, kolom-kolom untuk sisa dari variabel m adalah bebas linear. Definisi 3 (Solusi Fisibel asis) Solusi fisibel basis ialah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya taknegatif. Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan dalam Contoh 1. Contoh 1 Misalkan diberikan PL berikut : min z = 21 4 2, terhadap 21 + 2 + 3 = 5, 1 + 22 + 4 = 7, 1 + 5 = 9,,,,, 0. (4) 1 2 3 4 5 Dari PL tersebut didapatkan : 2 1 1 0 0 5 A= 1 2 0 1 0, b= 7. 1 0 0 0 1 9 Misalkan dipilih X = ( 1 2 3 ) dan X = ( 4 5 ), maka matriks basis 2 1 1 0 0 1-1 = 1 2 0, = 0 1/2 1/2, 1 0 0 1 1/2 3/2 0 0 = 1 0 0 1 c = ( 2 4 0), c = (0 0) Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh = (0 0), -1 = b= (9 8 15), -1 z =c b = 50. (5) Solusi (5) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada PL (4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (5) yaitu, bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (5) uga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. Definisi 4 (Daerah Fisibel) Daerah fisibel untuk PL ialah himpunan bilangan yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Definisi 5 (Solusi Optimal) Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal pada PL ialah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi obektif paling besar, sedangkan untuk masalah minimisasi, solusi optimal ialah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi obektif terkecil. 2.5 Pemrograman Linear Integer Pemrograman Linear Integer (PLI) ialah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer,
5 maka disebut mied integer linear programming (MILP). Semua variabel dalam PLI harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI. (Garfinkel & emhauser 1972) Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear) Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut relaksasi-pl merupakan suatu pemprograman linear yang diperoleh dari suatu PLI dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya. Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi obektif relaksasi-pl lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi obektif PLI, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi obektif relaksasi-pl lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi obektif PLI. 2.6 Metode ranch and ound Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI digunakan software LIGO 11.0 yaitu program untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer dengan lebih cepat, mudah, dan lebih efisien. Software LIGO 11.0 menggunakan metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah PLI. Prinsip dasar metode branch and bound ialah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-pl dengan membuat subproblemsubproblem. Daerah fisibel suatu pemrograman linear ialah daerah yang memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah pemrograman linear. 1. ranch ranching (pencabangan) ialah proses membagi permasalahan menadi subproblemsubproblem yang mungkin mengarah ke solusi. 2. ound ounding (pembatasan) ialah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi. Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-pl dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-plnya kemudian diselesaikan. Winston (2004) menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi obektif optimum untuk PLI nilai fungsi obektif optimum untuk relaksasi-pl, sehingga nilai fungsi obektif optimum relaksasi-pl merupakan batas atas bagi nilai fungsi obektif optimum untuk masalah PLI. Diungkapkan pula dalam Winston (2004) untuk masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi obektif optimum untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi obektif optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh ika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi obektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer. Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) ika terdapat situasi sebagai berikut. 1. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk PLI. 2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi obektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi obektifnya menadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi) nilai fungsi obektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. isa adi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah PLI. 3. ilai fungsi obektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi (untuk masalah maksimisasi) batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi. erikut ini ialah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound. Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi obektif (solusi) PLI yang optimum. Pada awalnya ditetapkan z = dan i = 0. Langkah 1 Subproblem PL (i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diperiksa.
6 Subproblem PL (i) diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. X 2 a) Jika PL (i) terukur, batas bawah z diperbarui ika solusi PLI yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, subproblem baru i dipilih dan Langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan. b) Jika PL (i) tidak terukur, proses dilanutkan ke Langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL (i). Daerah fisibel X 1 Langkah 2 Dipilih salah satu variabel dengan nilai * optimumnya ialah yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL (i). idang * * < < + 1 dipecah menadi dua * * * subproblem, yaitu dan + 1, * dengan didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan *. Jika PL (i) masih tidak terukur, maka kembali ke Langkah 1. (aha 1996) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut. Contoh 2 Misalkan diberikan PLI berikut: Gambar 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk relaksasi-pl dari PLI (6). Langkah berikutnya ialah memartisi daerah fisibel relaksasi-pl menadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (non-integer). Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalnya dipilih 2 sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-pl diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu: Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala 2 1; Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala 2 2; Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2. X 2 maksimumkan z = 3 1 +5 2, dengan kendala 1 +3 2 15, 5 1 +6 2 64, 1, 2 0, (6) 1, 2 integer. Solusi optimum relaksasi-pl dari masalah PLI (6) ialah 1 = 11,33, 2 = 1,2 dan z = 40,11 (detail pengitungan dapat dilihat pada Lampiran 1). atas atas nilai optimum fungsi obektif masalah ini ialah z = 40,11. Daerah fisibel relaksasi-pl masalah PLI (6) ditunukkan pada Gambar 1 (daerah yang diarsir) sedangkan titik-titik merupakan solusi fisibel masalah PLI (6). Subproblem 3 Subproblem 2 Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3. X 1 Setiap titik (solusi) fisibel dari PLI (6) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh 2. Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk
7 Subproblem 2 ini ialah 1 =11,6, 2 = 1 dan z = 39,8 (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1). Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 2 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 2 atas 1, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu: Subproblem 4: Subproblem 2 ditambah kendala 1 11; Subproblem 5: Subproblem 2 ditambah kendala 1 12. Saat ini subproblem yang belum diselesaikan ialah Subproblem 3, 4, dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya dengan aturan LIFO (last in first out). Dengan adanya aturan ini berarti dipilih Subproblem 4 atau Subproblem 5. Subproblem 4 menghasilkan kandidat solusi optimal 1 = 11, 2 = 1 dan z = 38 yang berupa integer (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1), sehingga kandidat solusi optimal dari PLI (6) ialah dari subproblem 4. ilai z baru merupakan batas bawah baru bagi nilai optimal PLI (6). Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5, yang kemudian menghasilkan solusi optimal 1 = 12, 2 = 0,67 dan z = 39,33 (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1). Karena 2 = 0,67 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan atas 2, sehingga diperoleh: Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah kendala 2 0; Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah kendala 2 1. Selanutnya berdasarkan aturan LIFO, dipilih Subproblem 6. Subproblem yang dipilih menghasilkan solusi optimal 1 = 12,8, 2 = 0, dan z = 38, 4 (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1). Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 6 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 6 atas 1, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu: Subproblem 8: Subproblem 6 ditambah kendala 1 12 ; Subproblem 9: Subproblem 6 ditambah kendala 1 13. Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan, yaitu Subproblem 8, 9, dan 3. erdasarkan aturan LIFO, dipilih Subproblem 8. Subproblem yang dipilih menghasilkan kandidat solusi optimal 1 = 12, 2 = 0 dan z = 36 (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1). ilai solusi optimal Subproblem 8 masih lebih kecil ika dibandingkan dengan nilai obektif pada Subproblem 4, maka kandidat solusi optimal dari PLI (6) tetap dari Subproblem 4. ersisa tiga buah subproblem yaitu, Subproblem 9, 7, dan 3. Dengan aturan LIFO dipilih Subproblem 9 lalu Subproblem 7. Karena Subproblem 9 dan 7 takfisibel (detail penghitungan dapat dilihat pada Lampiran 1), maka Subproblem 9 dan 7 tidak dapat menghasilkan solusi optimal; yang tersisa hanya Subproblem 3. Dari tiga kandidat solusi optimal, yaitu solusi dari Subproblem 3, 4 dan 8, akan dipilih satu di antaranya untuk menadi solusi optimum masalah PLI (6). Solusi optimum pada PLI (6) ialah solusi Subproblem 4 dengan 1 = 11, 2 = 1 dan z = 38, karena Subproblem 4 memiliki nilai z lebih baik daripada nilai z Subproblem 3 & 8. Pohon pencabangan yang menunukkan proses penyelesaian masalah PLI (6) secara keseluruhan ditunukkan pada Gambar 3.