PENJADWALAN DENGAN TEKNIK SISIPAN (INSERTION TECHNIQUE) IR. DINI WAHYUNI, MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Sumatera Utara

Transkripsi

1 PENJADWALAN DENGAN TEKNIK SISIPAN (INSERTION TECHNIQUE) IR. DINI WAHYUNI, MT. Fakultas Teknik Jurusan Teknik Industri Universitas Sumatera Utara. Konsep Penadwalan Penadwalan dapat didefinisikan sebagai pengalokasian sumber daya dalam angka waktu tertentu untuk melakukan serangkaian tugas (Baker, 974). Menurut Morton (993), penadwalan adalah proses pengorganisasian, pemilihan, dan penentuan waktu penggunaan sumber-sumber untuk mengerakan semua aktivitas yang diperlukan yang memenuhi kendala aktivitas dan sumber daya. Menurut Baker (974) yang uga sealan dengan Morton (993), terdapat dua enis kendala yang seringkali ditemukan dalam masalah penadwalan, yaitu: Keterbatasan teknologi urutan pengeraan ob atau routing (kendala aktivitas) Batas kapasitas sumberdaya yang tersedia (kendala sumberdaya) Dapat dikatakan bahwa solusi terhadap masalah penadwalan adalah setiap solusi yang fisibel pada daerah yang memenuhi kedua kendala tersebut (feasible region). Dengan demikian, pemecahan masalah penadwalan paling tidak harus menawab dua bentuk pertanyaan: Sumber daya mana yang akan dialokasikan untuk mengerakan operasi Kapan setiap operasi dimulai dan selesai. Aktivitas penadwalan pada dasarnya dapat dibedakan menadi lima tingkatan (Morton, 993), yaitu: ) long-range planning, yang berkaitan dengan antara lain ekspansi, tata letak, dan perancangan pabrik (horison waktu 2 sampai 5 tahun) 2) middle-range planning, yang berkaitan dengan antara lain logistik (horison waktu - 2 tahun) 3) short-range planning, yang berkaitan dengan antara lain rencana kebutuhan (horison waktu 3-6 bulan) 4) penadwalan, yang berkaitan dengan antara lain routing pada ob shop, penyeimbangan lini perakitan, dan penentuan ukuran batch (horison waktu 2-6 minggu) 5) penadwalan reaktif/kontrol, yang berkaitan dengan antara lain situasi darurat seperti berhentinya mesin, dan keterlambatan bahan (horison waktu - 3 hari). 2. Performansi Jadwal Terdapat tiga tuuan pembuatan keputusan yang umum dalam penadwalan dan ketiganya menunukkan ukuran dasar performansi adwal, yaitu (Baker, 974): Pemanfaatan sumber daya yang efisien: minimum maksimum saat selesai, C max (makespan). Respon yang cepat terhadap permintaan konsumen: minimum rata-rata saat selesai (completion time), C, minimum rata-rata waktu tinggal (flow time), F, atau minimum rata-rata waktu tunggu (waiting time), W. Sesuai dengan batas waktu yang ditentukan: minimum rata-rata keterlambatan (tardiness), T, minimum maksimum keterlambatan,, dan minimum umlah ob yang terlambat, NT (the number of tardy obs). Definisi ukuran-ukuran performansi tersebut adalah (Baker, 974): Saat selesai (completion time), C : menunukkan saat selesai pemrosesan ob atau C = r + W + t T max 2002 digitized by USU digital library

2 dengan r menyatakan saat siap ob, W adalah waktu tunggu ob, dan t menyatakan waktu proses ob. Waktu tinggal (flow time), F : menunukkan lamanya ob berada dalam sistem atau F = C r yang menunukkan selang waktu antara saat siap (yang diasumsikan pada saat datang) ob sampai ob keluar dari sistem (yang diasumsikan sama dengan saat selesai). Waktu tinggal merupakan ukuran respon sistem terhadap permintaan konsumen dan berkaitan dengan masalah biaya work in process (Morton, 993). Lateness, L : menunukkan perbedaan antara saat selesai dengan due date (mengukur kesesuaian antara adwal dengan due date yang diberikan) atau L = C d Tardiness, T atau posistive lateness: menunukkan keterlambatan yang teradi atau T L = max(, 0) Earliness, E atau negative lateness: menunukkan kondisi ob selesai lebih awal dari due date atau E = max( L, 0) Ukuran performansi lainnya adalah berkaitan dengan ongkos, seperti lamanya mesin menganggur, lamanya ob menunggu, ataupun ongkos karena teradinya ob lateness. 3. Pendekatan Penadwalan Terdapat dua pendekatan dasar yang digunakan dalam merancang algoritma penadwalan, yaitu pendekatan penadwalan mau (forward scheduling) dan pendekatan penadwalan mundur (backward scheduling). Pada penadwalan mau, ob diadwalkan dari saat datang, atau saat siap atau saat nol (time zero) dan bergerak mau menuu ke arah due date. Sedangkan pada penadwalan mundur, ob diadwalkan mundur mulai dari due date menuu ke arah saat nol. Pada penadwalan mau, meskipun adwal yang dihasilkan selalu layak, tetapi tidak menamin ob tidak mengalami keterlambatan. Sedangkan pada penadwalan mundur, meskipun saat selesai ob bisa tepat pada saat due date tetapi adwal yang dihasilkan bisa tidak layak, yaitu ika saat mulai ob lebih awal dari saat datang ob (atau saat nol). Kombinasi dari dua penadwalan di atas menghasilkan penadwalan kompromi (compromized scheduling) dan penadwalan paksa (forced scheduling). Penadwalan kompromi ini dilakukan dua tahap (Santoso, 994). Tahap pertama adalah menadwalkan ob dengan penadwalan mau sehingga diperoleh saat selesai ob. Pada tahap kedua, ob diadwalkan dengan penadwalan mundur dimulai dari saat selesai ob yang diperoleh dari hasil tahap pertama. Menurut Santoso (994), ika terdapat sumber daya yang terpaksa hanya dapat digunakan pada interval waktu tertentu, maka penadwalan paksa sesuai untuk diterapkan. Pada penadwalan paksa, operasi-operasi yang dikerakan pada sumber daya yang terbatas harus diadwalkan terlebih dahulu. Sedangkan operasi yang mendahuluinya diadwalkan dengan penadwalan mundur, dan operasi sesudahnya dengan penadwalan mau. 4. Penadwalan Job Shop Secara fisik, tata letak peralatan yang bertipe ob shop ditandai dengan pengelompokan peralatan yang memiliki fungsi yang sama di area yang sama 2002 digitized by USU digital library 2

3 (Fogarty, 99). Penadwalan adalah pengaturan saat mulai dan saat selesai ob dan seringkali meliputi waktu kapan order datang dan meninggalkan lantai pabrik. Dalam penadwalan ob shop, ika ada n ob yang akan diproses dalam m mesin maka ada (n!) m set adwal, namun tidak semua adwal tersebut layak digunakan. Sebuah adwal dikatakan layak ika memenuhi kriteria sebagai berikut (Fogarty, 99): urutan pengeraan operasi (routing) dalam suatu ob tidak dilanggar tidak teradi overlap waktu pengeraan operasi Jadwal-adwal yang layak tersebut dapat dikasifikasikan menadi (Jatmiko, 995):. Set adwal semi aktif (SA) Kumpulan adwal dimana tidak satu pun operasi dapat dikerakan lebih awal tanpa mengubah susunan beberapa operasi pada mesin. 2. Set adwal aktif (A) Kumpulan adwal dimana tidak satu operasi pun dapat dipindahkan lebih awal tanpa menunda operasi lain. 3. Set adwal non delay (ND) Kumpulan adwal dimana tidak satu pun mesin dibiarkan menganggur ika pada saat yang sama terdapat operasi yang membutuhkan mesin tersebut. 4. Set adwal optimal (O) Kumpulan adwal dimana tidak terdapat adwal lain yang memiliki tingkat preferensi lebih tinggi dari set adwal optimal. Dalam suatu adwal dapat dilakukan local left shift yaitu pergeseran operasi ke kiri (lebih awal) tanpa mengubah susunan operasi pada mesin, serta global left shift yaitu pergeseran lebih awal dengan mengubah susunan operasi tanpa menunda operasi lain. 2. Penadwalan dengan Teknik Sisipan Masalah ob shop dengan setup time dapat diformulasikan sebagai berikut: n ob dibagi menadi g kelompok; yaitu G,G 2,,G g. Setiap ob memiliki routing tersendiri dan diasumsikan setiap ob diproses paling banyak sekali pada setiap mesin. Waktu yang diperlukan untuk memproses operasi ob i pada mesin adalah t i. Setup time, s h 0, diberikan untuk kelompok G h (h=,2,,g) pada mesin (=,2,,m). Setup dikerakan pada mesin sebelum ob pertama dari suatu kelompok mulai diproses di mesin, dan bila sebuah ob harus diproses sesudah ob dari kelompok lain. Setup dapat dimulai sebelum ob tiba di mesin yang bersangkutan. Pemrosesan sebuah ob pada mesin tertentu dapat dimulai bila: mesin telah selesai memproses ob yang dikerakan sebelumnya, dan ika diperlukan, setup harus sudah dilakukan, dan pemrosesan ob tersebut di mesin sebelumnya telah selesai. Penelitian Sotskov et al. (999) mempertimbangkan fungsi tuuan yang didasarkan pada saat selesai C i, yaitu minimisasi makespan C max dan minimisasi umlah terbobot saat selesai Σw i C i pada penadwalan mau, dengan w i adalah bobot yang diberikan untuk ob i. Dalam hal ini adwal dideskripsikan sebagai urutan operasi pada setiap mesin dan pemrosesan setiap operasi dimulai sesegera mungkin. Sedangkan pada penadwalan mundur, fungsi tuuan sudah mempertimbangkan due date dengan meminimasi penalti tardiness dan earliness, yaitu minimisasi Σw i (C i -d i ) 2. Dalam penelitian ini, saat datang r i 0, diberikan ke masing-masing ob, yang berarti pemrosesan operasi pertama dari setiap ob i tidak dapat dimulai sebelum saat r i. Saat datang diasumsikan diketahui digitized by USU digital library 3

4 Untuk menggambarkan solusi parsial dalam penadwalan mau digunakan digraph D=(V,E), dimana V menggambarkan set operasi (i,) dan E menggambarkan routing. Digraph D dengan lengkap menggambarkan urutan pengeraan operasi. Sebagai contoh dapat dilihat pada uraian berikut ini. Misal terdapat 6 buah ob (n=6) dan 3 buah mesin (m=3). Routing masingmasing ob adalah sebagai berikut: q =(,3,2) q 2 =(3,2,) q 3 =(,3,2) q 4 =(,2,3) q 5 =(,3,2) q 6 =(2,,3) Kombinasi dari routing dan urutan pengeraan ob di mesin digambarkan dalam digraph D=(V,E) dalam Gambar 2.. Busur horizontal menggambarkan routing dan busur vertikal menggambarkan urutan pengeraan ob di mesin. Dari Gambar 2. urutan ob adalah: p = (,3,2,5,4,6) p 2 = (6,2,,3,4,5) p 3 = (2,,3,5,6,4) dengan p menggambarkan urutan ob di mesin. Jadwal yang ditunukkan dalam Gambar adalah fisibel untuk masalah ob shop karena semua routing dipenuhi dan digraph tidak berisi siklus.,,2,3 2, 2,2 2,3 3, 3,2 3,3 4, 4,2 4,3 5, 5,2 5,3 6, 6,2 6,3 Gambar. Digraph D = (V,E) Representasi adwal dapat berupa rank matriks A dari digraph D=(V,E), yaitu matriks yang elemennya adalah umlah maksimal verteks pada lintasan yang menuu ke verteks (i,). Penggambaran ini dapat uga digunakan untuk adwal parsial dimana hanya sebagian operasi terdapat dalam matriks. Dalam contoh pada Gambar diasumsikan ada 3 kelompok ob yaitu G ={,2,3}, G 2 ={4,5} dan G 3 ={6}. Matriks A dari contoh ini adalah: A = digitized by USU digital library 4

5 Sedangkan waktu proses T (baris menunukkan ob dan kolom menunukkan mesin) dan waktu setup S (baris menunukkan kelompok dan kolom menunukkan mesin) adalah sebagai berikut: T = S = Gambar 2 menunukkan adwal yang diberikan matriks A dengan menggunakan Gantt Chart. Terlihat bahwa C =C 2 =23, C 3 =27, C 4 =67, C 5 =66 dan C 6 =60. Sehingga diperoleh nilai fungsi tuuan C max =67 dan ΣC i =267. m m m Keterangan: =setup Gambar 2.Gantt Chart Jadwal n =proses (n menunukkan nomor ob) Diasumsikan bahwa rank matriks A untuk sebuah adwal parsial telah ditentukan. Berdasarkan order penyisipan yang dipilih, operasi (i,) harus disisipkan segera pada semua posisi yang mungkin di mesin. Matriks hasil sesudah penyisipan operasi (i,) haruslah uga berupa rank matriks, semua routing dipenuhi dan semua precedence relation yang sebelumnya telah ada diantara operasi tertentu tetap valid. Diasumsikan bahwa pada mesin sekumpulan operasi telah diurutkan. Anggota kolom pada matriks A adalah k, k 2,,k u dengan k <k 2 < <k u dan diasumsikan bahwa a ih, =k h untuk h u, sehingga penyisipan berikut harus dipertimbangkan:. Proses ob i sebagai ob pertama pada mesin : Tentukan a i { a iv operasi i v } = max (, ) mendahului operasi (i, ) + modifikasi anggota lainnya pada kolom (operasi yang sudah diurutkan pada mesin ) dan anggota matriks yang berhubungan dengan semua operasi yang telah diurutkan di mesin. Jika modifikasi ini menyebabkan modifikasi uga terhadap a i maka penyisipan operasi (i,) yang telah dilakukan tidak fisibel. 2. Proses ob i sebagai ob ke-l pada mesin (2 l u+). Tentukan: { { } } a i = max max a iv operasi (i, v) mendahului operasi (i, ); k l digitized by USU digital library 5

6 Kemudian fisibilitas adwal parsial diui analog dengan cara yang disebutkan di atas. Sehingga, semua operasi yang dimiliki kolom memiliki anggota lebih besar dari k l dan operasi yang mengikutinya uga harus menadi successor dari operasi yang disisipkan. Jika hal ini uga menyebabkan teradinya siklus dalam digraph, maka penyisipan tersebut tidak fisibel. Sebagai ilustrasi, digunakan routing pada contoh di atas dan adwal parsial digambarkan dalam matriks berikut: A = Misalkan operasi (,2) akan disisipkan berikut ini. Routing Job adalah q =(,3,2). Matriks A l berikut menggambarkan matriks bila ob i disisipkan pada posisi l dalam urutan pengeraan ob di mesin A = A 2 = A 3 = A 4 = Jika pada mesin 2 Job diproses pertama sekali, diperoleh a 2 =5 karena operasi (,2) adalah successor langsung dari operasi (,3). Sekarang semua operasi sisa pada mesin 2 dan semua successornya harus uga menadi successor operasi (,2). Oleh karena itu dilakukan modifikasi terhadap nilai yang berkaitan dengan A dimulai dari nilai yang paling kecil. Sehingga diperoleh matriks A dengan a 62=6, a 6=7, a 5=a 63=8 dan akan diperoleh a 3=9, yang kontradiksi dengan routing Job. Karenanya pemrosesan Job sebagai ob pertama di mesin 2 tidak menghasilkan adwal parsial yang fisibel. Penyisipan pada posisi lainnya (matriks A 2 sampai dengan A 4 ) menghasilkan adwal parsial yang fisibel. A. Penyisipan Operasi pada Penadwalan Mundur 2002 digitized by USU digital library 6

7 Pada penadwalan mundur, nilai fungsi tuuan bergantung pada saat selesai operasi terakhir suatu ob. Berbeda dengan penadwalan mau, pada penadwalan mundur operasi tidak perlu dimulai sesegera mungkin. Setelah menadwalkan operasi terakhir sebuah ob, maka diadwalkan semua operasi sisa (non last) dari ob tersebut sedekat mungkin dengan due date. Hal tersebut adalah untuk menyisakan sebanyak mungkin waktu untuk memproses operasi-operasi pertama dari ob yang masih belum diadwalkan, yaitu untuk menghindari operasi yang sudah diadwalkan harus mengalami pergeseran ke kanan. Berikut ini digambarkan sebuah adwal parsial dalam matriks C=[c i ] yang merupakan saat selesai operasi yang telah diadwalkan, dimana c i adalah saat selesai ob i pada mesin. Untuk menggambarkan penyisipan yang telah dimodifikasi, dibedakan penyisipan operasi terakhir sebuah ob dan penyisipan yang bukan operasi terakhir (non last operation). Berikut ini digambarkan penyisipan operasi terakhir ob i. Diasumsikan bahwa operasi ini harus dilakukan pada mesin dan k, k 2,, k u adalah ob yang telah diadwalkan pada mesin. Bila penyisipan ob i di mesin pada posisi h+ dengan h> (yaitu diantara operasi (k h, ) dan (k h+, ), periksa apakah: c ih, + f.s gn[i], +t i d i () dipenuhi, dimana f= ika ob i h dan i memiliki kelompok ob berbeda dan f=0 bila berasal dari kelompok yang sama, dan gn[i] menggambarkan indeks kelompok yang dimiliki ob i. Jika pertidaksamaan () dipenuhi, maka saat selesai tercepat ob i yang diurutkan pada posisi h+ di mesin tidak lebih kecil dari due datenya. Dalam kasus ini (disebut late insertion) ob i diadwalkan secara langsung sesudah predecessor k h. Hal ini menyebabkan pergeseran ke kanan beberapa operasi (k h+,),,(k u,) dan sucessornya. Jika pertidaksamaan () tidak dipenuhi (disebut early insertion), ob i diadwalkan pada mesin sebelum ob (k h+,) sedekat mungkin dengan due date d i pada mesin tersebut tanpa menunda memulai operasi (k h+,). Hal ini dapat menyebabkan pergeseran ke kiri beberapa operasi (k h,),, (k,) dan predecessornya. Prosedur tersebut secara analog diterapkan ika ob i diurutkan pada posisi pertama di mesin. Operasi yang bukan terakhir disisipkan pada posisi yang mungkin dalam urutan yang dimulai dari kanan. Untuk mengurangi alternatif penyisipan, maka hasil penyisipan pertama segera diterima bila penyisipan tersebut tidak menambah nilai fungsi tuuan. Untuk menggambarkan algoritma sisipan dengan penadwalan mundur diberikan contoh berikut. Terdapat n=5, m=3 dan ob dibagi menadi 3 kelompok, yaitu G ={,2,3}, G 2 ={4} dan G 3 ={5}. Diasumsikan bahwa Job dan 3 memiliki routing yang sama yaitu q =q 3 =(,2,3) dan Job 2, 4 dan 5 memiliki routing: q 2 =q 4 =q 5 =(2,,3). Fungsi tuuan adalah minimisasi F= w i (C i -d i ) 2. Waktu setup dan waktu proses adalah sebagai berikut: S = 3 4 T = digitized by USU digital library 7

8 Data saat datang, bobot dan due date masing-masing ob ditunukkan dalam Tabel. Tabel. Saat datang, bobot dan due date ob i ob r i w i d i Dari Tabel. di atas diperoleh nilai saat paling awal mulai operasi (i,) dengan mempertimbangkan hanya data ob i dan setup kelompok R'= Penyisipan dilakukan secara mundur berdasarkan bobot ob yang tidak menaik. Job 5 adalah ob yang pertama sekali diadwalkan dan secara berturut diperoleh saat selesai c 53 =30, c 5 =29 dan c 52 =24. Berikutnya disisipkan Job 3. Operasi (3,3) dapat diurutkan sebelum atau sesudah operasi (5,3) C = Pada matriks C operasi (3,3) dikerakan mendahului operasi (5,3). Sedangkan dalam matriks C 2 operasi (3,3) dikerakan sesudah operasi (5,3). Matriks C 2 adalah: C 2 = dengan F(C )=320 dan F(C 2 )=5. Sehingga C 2 dipilih sebagai basis penadwalan selanutnya. Kemudian disisipkan operasi lainnya dari Job 3, dan diperoleh adwal parsial berikut: C 3 = dengan F(C 3 )=5. Penyisipan operasi terakhir Job 4 menghasilkan: 2002 digitized by USU digital library 8

9 C 4 = C 6 = C 5 = dimana pada C 4 Job 4 dikerakan sesudah Job 5 dan 3, pada C 5 Job 4 dikerakan sesudah Job 5 dan sebelum Job 3, sedangkan pada C 6 Job 4 dikerakan mendahului Job 5 dan 3, dengan F(C 4 )=26, F(C 5 )=62 dan F(C 6 )=489, sehingga dipilih C 4, berarti pengeraan Job 4 dilakukan sesudah pengeraan Job 5 dan Job 3. Sekarang dilakukan penyisipan operasi sisa pada Job 4, semua operasi dari Job 2 dan operasi terakhir Job, sehingga diperoleh adwal parsial berikut dengan F(C 7 )= C 7 = Jadwal parsial di atas ditunukkan dalam gantt chart seperti terlihat pada Gambar 3. m m m Gambar 3. Jadwal parsial sebelum operasi (,2) diadwalkan Untuk menyisipkan operasi (,2), perlu dipertimbangkan penyisipan pada posisi dan 2 (tidak diperlukan setup bila Job disisipkan sebelum Job 3). Bila disisipkan pada posisi pertama (operasi (,2) disisipkan di depan operasi (5,2)), maka diperoleh adwal parsial C 8 (dalam bentuk gantt chart ditunukkan pada 2002 digitized by USU digital library 9

10 Gambar 4, sedangkan untuk penyisipan di posisi kedua diperoleh adwal parsial C 9 (ditunukkan dalam gantt chart pada Gambar C 8 = C 9 = Dengan F(C 8 )=939 dan F(C 9 ) =768. Operasi (,3) telah digeser ke kanan pada C 8 sebanyak unit karena d =25. Penyisipan operasi (,) pada C 9 tidak merubah nilai fungsi tuuan. m m m Gambar 4. Operasi (,2) disisipkan di posisi pertama m m m Gambar 5. Operasi (,2) disisipkan di posisi kedua B. Penyisipan Operasi Secara Paralel Algoritma sisipan dapat diperbaiki dengan memasukkan prosedur pencarian seperti beam search ataupun branch and bound. Penelitian Sotskov et al. (999) memberikan bentuk pendekatan berbeda. Untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dari penyisipan operasi, direkomendasikan untuk menyisipkan beberapa operasi secara paralel yaitu dalam satu langkah seumlah operasi secara serentak disisipkan kedalam adwal parsial. Hal ini berarti dalam satu langkah pengaruh penyisipan k operasi baru sekaligus dievaluasi digitized by USU digital library 0