PENJADWALAN DOKTER KAMAR DARURAT DI RSCM MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER RATNA RATU ALIT

Transkripsi

1 PENJADWALAN DOKTER KAMAR DARURAT DI RSCM MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER RATNA RATU ALIT DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 2011

2 ABSTRACT RATNA RATU ALIT. Scheduling of Emergency Room s Physicians at RSCM Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and TONI BAKHTIAR. At an emergency unit of a hospital are generally posted several physicians for 24 hours for each and every day. The management unit of an emergency room usually has to deal with schedulling problem of physicians with time constraint of availability. This scheduling problem can be modeled as an integer linear programming (ILP) problem. ILP is an optimization problem with linear objective function, linear constraints, and integer variables. Scheduling problem is formulated in an optimization model, where the objective function is to minimize the operational cost of emergency room with the following constraints: (i) the time availability of physicians, (ii) the balanced work load for every physicians, (iii) holiday and dayoff determination of each physician. This paper discusses the schedulling of an emergency room s physicians problem in the form of ILP, with a case study at Emergency Unit of Cipto Mangunkusumo Hospital (RSCM), Jakarta. The model is solved using Lingo 8.0 software. The solution obtained using ILP scheduling method is found to be more balanced than the corresponding solution using conventional method.

3 ABSTRAK RATNA RATU ALIT. Penjadwalan Dokter Kamar Darurat di RSCM Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan TONI BAKHTIAR. Unit Gawat Darurat dari suatu rumah sakit pada umumnya dijaga oleh beberapa dokter selama 24 jam setiap hari. Pengelola kamar darurat biasanya menghadapi permasalahan penjadwalan dokter dengan kendala ketersediaan waktu yang dimiliki oleh para dokter. Permasalahan penjadwalan dokter kamar darurat ini dapat dimodelkan sebagai masalah pemrograman linear integer (PLI). PLI adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel yang integer. Pemodelan masalah penjadwalan ini dirumuskan dengan fungsi objektif yang meminimumkan biaya yang dikeluarkan pengelola kamar darurat dengan kendala: (i) tersedianya dokter jaga pada setiap harinya, (ii) beban kerja setiap dokter diharapkan seimbang, (iii) dapat menerima aspirasi setiap dokter dalam menetapkan hari libur. Tulisan ini akan membahas formulasi masalah penjadwalan dokter kamar darurat dalam bentuk PLI dengan mengambil kasus di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo, Jakarta. Selanjutnya, model diselesaikan dengan bantuan software Lingo 8.0. Dengan menggunakan metode ILP penjadwalan yang didapatkan lebih seimbang dibandingkan dengan metode konvensional.

4 PENJADWALAN DOKTER KAMAR DARURAT DI RSCM MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER RATNA RATU ALIT Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

5 Judul : Penjadwalan Dokter Kamar Darurat di RSCM Menggunakan Pemrograman Linear Integer Nama : Ratna Ratu Alit NRP : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. NIP Mengetahui: Ketua Departemen, Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Allah SWT atas Kuasa dan Karunia-Nya terhadap ciptaan-nya. 2. Keluargaku tercinta : Ayah dan Mamah yang selalu memberikan doa, motivasi dan kasih sayang, Mbak Widi, Mbak Intan dan Kukuh atas dukungan dan nasehatnasehatnya. 3. Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku dosen pembimbing I, terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini. 4. Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc. selaku dosen pembimbing II, terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya. 5. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji, terima kasih atas semua ilmu dan sarannya. 6. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan. 7. Staf Departemen Matematika: Bu Susi, Bu Ade, Mas Bono, Mas Deni, Pak Yono, dan Mas Heri, terima kasih atas doa dan semangatnya. 8. Agung Surya Permadi dan keluarga, terima kasih atas ilmu, saran, doa, dukungan, waktu, dan segala dukungannya. 9. Teman-teman Math 43 : Sunarsih, Emta, Ace, Resti, Margie, Wina, Kris, Neni, Ibel, SR, Dwi S., Nanu, Nurul, Ega, Vera, Putri, Aini, Supri, Sofyan, Tami, Wira, Adi, Dandi, Ucok, Andrew, Nobo, nidya, Gandi, Apri, Nene, Nia, Suci, Arum, Irsyad, dan temanteman 43 lainnya, terima kasih atas kenangannya bersama kalian dan dukungannya. 10. Teman-teman Math 41 dan 42 : kak Bima, kak Niken, kak Obi, kak Riyu, kak Bange, kak Ayeb, kak Moko, kak Fachri dan teman-teman lainnya terima kasih atas ilmu dan dukungannya. 11. Teman-teman Math 44 dan 45 : Ayung, Melon, Fani, Rofi, Aze, Ndep, Rachma, Denda, Dora,Ima, Yuyun, Eka, Pepi, Nurul, dan teman-teman lainnya, terima kasih atas dukungannya. 12. Teman-teman UKM KSR PMI Unit I IPB : Pak Bintoro, Via, Imah, Rahmah, Ika, Ani, Nia, Mbak Ayu, Mbak Ningrum dan Mbak Ningsih, kak Alwan, kak Iqbal, kak Burhan, kak Dalung, kak Aswad, kak Ahmad, kak Indah, Yuda, Rocky, Ardi, dan teman-teman lainnya, terima kasih atas pengalamannya yang berharga. 13. Teman-teman Bimbel Real Education Center : kak Jali, kak Moko, Pupil, kak Eyi, Umam, Finata, Ali, Ade, Irfan, Gonggo, Hardono, Nia, Ria, Elisabet, Resty, Maya, Maryam, dan teman-teman yang lainnya, terima kasih atas dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Februari 2011 Ratna Ratu Alit

7 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 16 November 1989 sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, anak dari pasangan Ahmad Radi dan Siti Maryam. Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Pulo Gebang 07 Pagi. Tahun 2003 penulis lulus dari SLTPN 138 Jakarta. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 44 Jakarta dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis memilih Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di dalam berbagai kegiatan mahasiswa yaitu sebagai anggota Korp Sukarela (KSR) PMI Unit I IPB periode , sebagai ketua divisi pendidikan dan pelatihan KSR PMI Unit I IPB sekaligus ketua kesekretariatan GUMATIKA periode , sebagai anggota sosial, informasi dan komunikasi GUMATIKA periode , sebagai anggota badan penasehat organisasi KSR PMI Unit I IPB periode Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara antara lain Pesta Sains Nasional 2007, 2008 dan 2009, Masa Perkenalan Departemen 2008 dan 2009, Ketua bakti sosial GUMATIKA 2008, Ketua KSR EXHIBITION 2008.

8 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... viii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... ix I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan... 1 II. LANDASAN TEORI 2.1 Pemrograman Linear Pemrograman Linear Integer Metode Branch and Bound... 3 III. PEMODELAN 3.1 Deskripsi Masalah Formulasi Masalah... 7 IV. STUDI KASUS... 8 V. SIMPULAN DAN SARAN 5.1 SIMPULAN SARAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

9 DAFTAR TABEL Halaman 1 Penjadwalan dokter kamar darurat pada deskripsi masalah Daftar shift dalam satu hari di RSCM Daftar hari dan shift yang tidak diinginkan dokter di RSCM Perbandingan hasil penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI Perbandingan metode penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI Jadwal jaga RSCM bulan September Jadwal jaga RSCM bulan September 2010 setelah menggunakan PLI Jadwal Jaga Individu Dokter Kamar Darurat Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo bulan September Jadwal Jaga Individu Dokter Kamar Darurat Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo bulan September 2010 setelah Menggunakan PLI DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk relaksasi-pl dari PLI (9) Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem Seluruh pencabangan metode Branch-and-Bound pada penyelesaian masalah PLI Contoh viii

10 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Solusi subproblem-subproblem untuk Contoh Jadwal jaga dokter kamar darurat di RSCM Syntax dan hasil komputasi program Lingo 8.0 untuk masalah penjadwalan dokter kamar darurat di RSCM Jadwal jaga individu dokter kamar darurat di RSCM ix

11 1 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Kamar darurat (Emergency Room/ER) adalah tempat yang sangat penting peranannya pada rumah sakit. Aktivitas yang cukup padat mengharuskan kamar darurat selalu dijaga oleh dokter setiap hari. Pada awalnya para dokter di kamar darurat bertugas selama 24 jam penuh setiap hari, sehingga mereka selalu merasa jenuh dan sangat letih. Oleh karena itu, pengelola kamar darurat menyarankan supaya dokter bertugas hanya beberapa jam saja dalam satu hari supaya mereka dapat beristirahat setelah bertugas. Kamar darurat yang harus selalu dijaga selama 24 jam dan dokter yang bertugas beberapa jam dalam satu hari, mengakibatkan perlunya suatu sistem penjadwalan untuk para dokter. Dewasa ini, sistem penjadwalan dokter kamar darurat adalah sistem penjadwalan pershift, di mana dokter yang bertugas beberapa jam dalam satu hari kemudian akan digantikan dengan dokter lainnya untuk melengkapi jam yang tersisa di hari yang sama dan akan berlanjut sampai hari berikutnya. Kamar darurat biasanya dijaga oleh beberapa dokter. Dokter-dokter tersebut bertugas sesuai dengan tugasnya masingmasing, tetapi kebanyakan kamar darurat dijaga hanya oleh satu dokter dengan maksud untuk meminimumkan pengeluaran dan mengoptimalkan dokter yang ada. Biasanya dokter yang telah dijadwalkan sering menukar hari kerja dengan dokter lain, sehingga kamar darurat kesulitan dalam menetapkan jadwal untuk setiap dokter. Oleh karena itu, keterbatasan dokter yang menjaga dan keinginan dokter yang berbeda-beda untuk bertugas merupakan masalah bagi penjadwalan kamar darurat, sedangkan pengelola kamar darurat menginginkan kenyamanan dan keteraturan dokter dalam bertugas. Permasalahan penjadwalan dokter kamar darurat ini akan dimodelkan sebagai masalah Pemrograman Linear Integer (PLI). PLI adalah masalah optimisasi dengan fungsi objektif dan kendala yang linear serta variabel yang integer. Model penjadwalan dokter kamar darurat diperoleh dengan beberapa modifikasi berdasarkan pada jurnal yang berjudul Schedulling Emergency Room Physicians ditulis oleh Michael W. Carter dan Sophie D. Lapierre tahun Tujuan Tujuan dari karya ilmiah ini adalah memodelkan masalah penjadwalan dokter kamar darurat dalam bentuk PLI, serta menentukan penjadwalan dokter kamar darurat yang memberikan kenyamanan dokter. II LANDASAN TEORI Untuk membuat model penjadwalan dokter kamar darurat diperlukan pemahaman teori Pemrograman Linear (PL) atau Linear Programming (LP), Pemrograman Linear Integer (PLI) atau Integer Linear Programming (ILP), dan metode branch-andbound. 2.1 Pemrograman Linear Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear. Definisi 1 (Fungsi Linear) Suatu fungsi f dalam variabel-variabel,,, adalah suatu fungsi linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta,,,, f dapat ditulis sebagai f(,,, ) = (Winston 2004) Sebagai contoh, f(, ) = 5 +7 merupakan fungsi linear, sementara f(, ) = bukan fungsi linear. Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear) Untuk sembarang fungsi linear f dan sembarang bilangan c, pertidaksamaan f(,,, ) dan f(,,, ) adalah pertidaksamaan linear, sedangkan suatu persamaan f(,,, )= merupakan persamaan linear. (Winston 2004) Pemrograman linear (PL) adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi hal-hal berikut: a. Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

12 2 b. Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear. c. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel, pembatasan tanda menentukan harus tak-negatif ( 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign). (Winston 2004) Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3 (Bentuk Standar PL) Misalkan diberikan suatu PL dengan m kendala dan n variabel (dilambangkan dengan,,, ). Bentuk standar dari PL tersebut adalah: max z = (atau min) s. t = (1) = (2) = (3) 0,( =1,2,..., ) Jika didefinisikan:, =, A = =, maka kendala pada (1), (2), dan (3) dapat ditulis dengan sistem persamaan Ax = b. (4) (Winston 2004) Solusi Pemrograman Linear Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimum bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947 (Winston 2004), dan dalam perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar. Pada masalah PL (4), vektor x yang memenuhi kendala = disebut solusi PL (4). Misalkan matriks A dinyatakan sebagai A = (B N), dengan B adalah matriks taksingular berukuran m m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m (n m) yang elemenelemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis untuk PL (4). Misalkan x dinyatakan sebagai vektor x =, dengan adalah vektor variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis, maka = dapat dinyatakan sebagai : =( ) = B + N = b. (5) Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (5) dapat dinyatakan sebagai: = N (6) Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi: min z = + Definisi 4 (Daerah Fisibel) (Winston 2004) Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. (Winston 2004) Definisi 5 (Solusi Basis) Solusi basis adalah solusi pada PL yang didapatkan dengan mengatur variabel n m sama dengan nol dan nilai untuk penyelesaiannya adalah dari sisa variabel m. Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel n m sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa variabel m atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari variabel m merupakan bebas linear. (Winston 2004) Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis) Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya taknegatif. (Winston 2004) Definisi 7 (Solusi Optimum) Untuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. (Winston 2004) Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis diberikan dalam Contoh 1.

13 3 Contoh 1 Misalkan diberikan PL berikut: min z = 2 3 dengan kendala +2 + = =2 2 + =3,,,, 0. (7) Dari PL tersebut diperoleh: A = , b = Misalkan dipilih: =( ) dan =( ). Sehingga diperoleh: B =, 0 0 = 0 1 1, N = 1 0, 0 1 =( ), =( ), =(0 0), = = 5. (8) = = 21. Solusi (8) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (7) dan kolomkolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (8), yaitu B bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (8) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. 2.2 Pemrograman Linear Integer Pemrograman linear integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). PLI dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI. (Garfinkel & Nemhauser 1972) Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear) Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut relaksasi-pl merupakan suatu pemprograman linear yang diperoleh dari suatu PLI dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya. Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-pl lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-pl lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI. (Winston 2004) 2.3 Metode Branch-and-Bound Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI digunakan software LINGO 8.0, yaitu sebuah program yang dirancang untuk menentukan solusi model linear, nonlinear, dan optimisasi integer. Software LINGO 8.0 ini menggunakan metode branch-and-bound untuk menyelesaikan masalah PLI. Prinsip dasar metode branch-and-bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-pl dengan membuat subproblemsubproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritma branch-and-bound. 1. Branch Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblemsubproblem yang mungkin mengarah ke solusi. 2. Bound Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi. Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-pl dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-plnya kemudian diselesaikan. Winston (2004) menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum untuk PLI nilai fungsi objektif optimum untuk relaksasi-pl, sehingga nilai fungsi objektif optimum relaksasi-pl merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI. Diungkapkan pula dalam Winston (2004) untuk masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk suatu kandidat solusi

14 4 merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer. Sebelummya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut: a. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk PLI. b. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi) nilai fungsi objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah PLI. c. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu (untuk masalah maksimisasi), maka subproblem ini dapat dieliminasi. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound. Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) PLI yang optimum. Pada awalnya ditetapkan z = dan i = 0. Langkah 1 Subproblem PL (i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diperiksa. Subproblem PL (i) diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. a) Jika PL (i) terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi PLI yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan. b) Jika PL (i) tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL (i). Langkah 2 Dipilih salah satu variabel x j di mana nilai optimumnya adalah x j * yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL (i). Bidang +1 dipecah menjadi dua subproblem, yaitu dan +1, Dengan [ ] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan x * j. Jika PL (i) masih tidak terukur, maka kembali ke Langkah 1. (Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut. Contoh 2 Misalkan diberikan PLI berikut: maksimumkan z = 4 +6 dengan kendala , 0 dan integer (9) Solusi optimum relaksasi-pl dari masalah PLI (9) adalah = 4, = 2.6, dan z = 31.6 (lihat pada Lampiran 1). Batas atas nilai optimum fungsi objektif masalah ini adalah z = Daerah fisibel masalah (9) ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (9). Daerah = 4 = 2.6 Gambar 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk relaksasi-pl dari PLI (9). Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel relaksasi-pl menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (tak-integer). Dipilih sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-pl diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu: Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala 2, Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala 3, Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.

15 5 Subproblem 3 Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala 3, Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala 4, Subproblem 2 Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3. Setiap titik (solusi) fisibel dari PLI (9) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh. Kemudian dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk Subproblem 2 ini adalah = 4, = 2, dan z = 28 (lihat Lampiran 1). Semua variabel bernilai integer maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari Subproblem 2 menjadi batas bawah dari solusi PLI. Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi optimum untuk Subproblem 3 adalah = 3,3, = 3, dan z = 31,3 (lihat Lampiran 1). Karena nilai z pada Subproblem 3 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka ada kemungkinan nilai z pada Subproblem 3 lebih optimum. Oleh karena itu, dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni: Selanjutnya diselesaikan masalah Subproblem 4 dan Subproblem 5 satu per satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran 1 pada Subproblem 5), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimum. Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah = 3, = 3.2, dan z = 31.2 (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4). Karena nilai z pada Subproblem 4 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka dipilih pencabangan Subproblem 4 pada, sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu: Subproblem 6: Subproblem 4 ditambah kendala 3, Subproblem 7: Subproblem 4 ditambah kendala 4, Penyelesaian Subproblem 6 menghasilkan solusi optimum = 3, = 3, dan z = 30 (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 6). Semua variabel bernilai integer maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 6. Solusi dari Subproblem 6 menjadi batas bawah yang baru dari solusi PLI. Solusi optimum dari Subproblem 7 adalah = 1,6, = 4, dan z = 30.6 (Lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 7). Karena solusi optimum Subproblem 7 lebih kecil atau sama dengan solusi optimum Subproblem 6 yaitu 30, maka tidak perlu lagi dilakukan pencabangan. Dengan demikian, solusi optimum pada PLI (9) adalah solusi optimum dari Subproblem 6. Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah PLI (9) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.

16 6 Subproblem 1 =4, =2.6,dan = Subproblem 2 Subproblem 3 =4, =2,dan =28 =3.3, =3,dan = Subproblem 4 Subproblem 5 =3, =3.2,dan =31.2 Solusi takfisibel 3 4 Subproblem 6 Subproblem 7 =3, =3,dan =30 =1.6, =3,dan =30.6 Gambar 3 Seluruh pencabangan metode Branch-and-Bound pada penyelesaian masalah PLI Contoh 2. III PEMODELAN 3.1 Deskripsi Masalah Untuk mendeskripsikan masalah penjadwalan dokter kamar darurat di rumah sakit, pertama kalinya adalah harus diketahui berapa banyak dokter yang bertugas pada kamar darurat tersebut. Kemudian berapa banyak shift yang mereka tetapkan setiap harinya, dan bagaimana waktu liburan panjang dan hari libur diatur untuk para dokter. Banyaknya dokter kamar darurat bergantung pada keperluan kamar darurat itu sendiri. Rumah sakit yang cukup sibuk aktivitasnya biasanya memerlukan dokter yang banyak. Dalam bertugas dokter dibantu oleh beberapa calon dokter atau disebut dengan asisten dokter untuk meringankan tugas dokter. Dokter secara normal bertugas selama 48 jam per minggu. Dokter boleh menambah atau mengurangi jumlah jam tersebut sesuai dengan kesepakatan dokter dan pengelola kamar darurat. Dokter kamar darurat pada umumnya merupakan dokter yang bertugas sebagai dokter keluarga atau dokter spesialis di rumah sakit yang mereka tempati dan beberapa dari mereka secara pribadi membuka klinik. Oleh karena itu, selama mereka tidak bertugas, mereka dapat mengisi waktu dengan beristirahat atau melakukan aktivitas lain di rumah sakit dan klinik yang mereka punya. Pada kondisi tertentu suatu rumah sakit memiliki aturan di mana secara individu, dokter boleh memilih jadwal yang mereka inginkan. Sebagai contoh, permintaan libur pada hari atau jam tertentu dikarenakan kepentingan pribadi, hari raya, atau karena hal yang lainnya. Pada umumnya rumah sakit membolehkan dokter yang menginginkan hari libur dapat menukar hari kerjanya dengan hari kerja dokter yang lain, sesuai dengan kesepakatan mereka. Oleh karena itu, penjadwalan pada kamar darurat tidak mudah dilakukan karena bergantung pada kondisi keinginan dari para dokter dan keterbatasan yang dimiliki oleh kamar darurat. Berikut ini adalah gambaran dari suatu penjadwalan dokter kamar darurat, dengan empat orang dokter (D1, D2, D3, dan D4) yang bertugas di kamar darurat tersebut dan setiap dokter secara normal bertugas selama 48 jam per minggu. Dengan jumlah hari sebesar tujuh hari, pengelola kamar darurat menginginkan terdapat dua shift dalam satu hari yaitu shift 1 pada jam , shift 2

17 7 pada jam , dan tiap shift dalam satu hari maksimal hanya satu orang dokter saja yang bertugas kecuali pada hari minggu dalam satu shift terdapat dua orang dokter. Supaya terjadi pemerataan untuk semua dokter, pengelola kamar darurat menginginkan dokternya bertugas maksimal selama empat hari berturut-turut. Dokter yang tidak bertugas dapat beristirahat atau melakukan aktivitas lain. Kemudian supaya tidak terjadi kecemburuan di antara sesama dokter, pengelola kamar darurat mengharuskan semua dokter untuk bertugas di kedua shift tersebut minimal pernah mengerjakan dua shift 1 dan dua shift 2. Penjadwalan dokter kamar darurat dari permasalahan di atas adalah sebagai berikut: Tabel 1 Penjadwalan dokter kamar darurat pada deskripsi masalah. Hari SN SL RB KM JM SB MG D D D D Formulasi Masalah Model penjadwalan kamar darurat bergantung pada apa yang diinginkan pengelola kamar darurat dan dokter. Selanjutnya, penjadwalan kamar darurat dapat diformulasikan dalam bentuk PLI. Model penjadwalan pada karya ilmiah ini menggunakan empat parameter utama sebagai penyusun jadwal, yaitu: 1. Periode, yaitu banyaknya hari yang digunakan pengelola kamar darurat dalam menjadwalkan dokternya. 2. Hari, yaitu hari yang diinginkan pengelola kamar darurat untuk menjadwalkan dokter. Misalkan dokter bekerja pada hari ke-j (j = 1, 2,, J). 3. Shift, yaitu jumlah shift yang diinginkan rumah sakit dalam satu hari. Misalkan dokter bekerja pada shift ke-i (i = 1, 2,, I). 4. Dokter, yaitu orang yang bertugas di dalam kamar darurat. Misalkan dokter ke-k (k = 1, 2,, K). Variabel-variabel yang digunakan dalam model penjadwalan kamar darurat ini adalah: : biaya yang diberikan pengelola kamar darurat untuk dokter ke-k yang bertugas pada hari ke-j di shift ke-i. : banyaknya dokter yang harus tersedia pada hari ke-j di shift ke-i. : maksimal hari dokter bertugas secara berturut-turut dalam satu periode. : minimal hari dokter bertugas secara berturut-turut dalam satu periode. : banyaknya shift yang harus dipenuhi oleh setiap dokter ke-k dalam satu periode. : banyaknya shift yang dipenuhi oleh dokter ke-k pada shift ke-i. Selain itu, diperlukan pula pendefinisian suatu variabel keputusan: = 1 ; jika dokter-k bertugas pada hari ke-j di shift ke-i 0 ; selainnya Fungsi objektif dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya yang dikeluarkan oleh pengelola kamar darurat sehingga dimodelkan sebagai berikut: minimumkan dengan kendala-kendala sebagai berikut : 1. Sebanyak dokter harus selalu tersedia pada hari ke-j di shift ke-i. =,,. 2. Setiap dokter bertugas banyaknya satu shift dalam satu hari. 1,,. Jika seorang dokter bertugas pada shift terakhir (shift I), maka dokter tersebut tidak boleh bertugas pada shift awal (shift 1) di hari berikutnya.,, +,, 1,,. 3. Setiap dokter maksimal bertugas selama hari berturut-turut dalam satu periode jadwal., untuk =1,,. 4. Setiap dokter minimal bertugas selama hari berturut-turut dalam satu periode jadwal., untuk =1,,. 5. Setiap dokter paling sedikit bertugas sebanyak N k shift dalam satu periode jadwal.,. 6. Setiap dokter ke-k yang bertugas pada shift ke-i minimal telah mengerjakan sebanyak shift dalam satu periode jadwal. Hal ini dimaksudkan supaya tidak terjadi kecemburuan antar-dokter.

18 8,,. 7. Setiap dokter dapat meminta hari libur yang mereka inginkan sesuai dengan kesepakatan pengelola kamar darurat, yaitu ingin =0, untuk dokter k yang tidak bertugas pada hari ke j di shift ke i. 8. Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu, 0,1 ;,,. IV STUDI KASUS DAN PENYELESAIANNYA Studi kasus yang diambil dalam penelitian ini adalah menentukan penjadwalan dokter kamar darurat di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo (RSCM), Jakarta. Di rumah sakit tersebut kamar darurat selalu terbuka untuk umum selama 24 jam setiap hari. Penjadwalan di RSCM masih dilakukan secara manual yaitu sesuai dengan kebutuhan dan kemampuan tenaga dokternya, namun dengan demikian dokter sudah cukup puas karena dokter dibebaskan untuk menukar hari kerja dengan dokter lain. Bagi pengelola kamar darurat RSCM ini merupakan suatu masalah karena adanya ketidakpastian dokter yang menjaga setiap hari. Oleh karena itu, penjadwalan di RSCM dilakukan setiap sebulan sekali, sehingga setiap bulan pengelola kamar darurat RSCM dapat mengatasi keinginan-keinginan dokter yang tidak bisa hadir pada saat yang diinginkan dan mengurangi terjadinya pertukaran di antara dokter. Misalkan kita membahas penjadwalan pada bulan September Data awal penjadwalan pada bulan September 2010 di RSCM dicantumkan pada Lampiran 2. Pada bulan September 2010 terdapat 30 hari masa kerja di kamar darurat. Saat ini jumlah dokter yang ditugaskan di kamar darurat RSCM adalah 24 orang, yaitu D1, D2, D3,, D24. Pengelola kamar darurat RSCM menetapkan tiap shift adalah 8 jam, sehingga dalam satu hari terdapat tiga shift : Tabel 2 Daftar shift dalam satu hari di RSCM Shift Waktu (WIB) Kebanyakan dokter yang bertugas di RSCM adalah dokter keluarga dan sudah mempunyai klinik tersendiri di luar RSCM. Pengelola kamar darurat RSCM membatasi tugas mereka, di mana setiap dokter bertugas selama 72 jam atau sebanyak 9 shift tiap bulannya. Keadaan kamar darurat bergantung pada jumlah pasien yang masuk, semakin banyak pasien maka semakin sibuk pula keadaannya dan sebaliknya. Berdasarkan pengamatan yang dilakukan oleh RSCM, pada hari Jumat, Sabtu dan Minggu kamar darurat selalu sibuk, hal ini mungkin saja disebabkan karena setiap akhir pekan pasti orang-orang lebih banyak beraktivitas diluar dari kebiasaannya seharihari. Oleh karena itu, kamar darurat yang biasanya di tempatkan dua orang dokter untuk menjaga, tetapi khusus untuk hari Jumat, Sabtu dan Minggu ditempatkan tiga orang dokter yang menjaga. Setiap dokter ditempatkan secara merata di semua shift. Masalah sebenarnya dari penjadwalan di RSCM adalah ingin mengurangi adanya pertukaran yang dilakukan para dokter pada jadwal yang telah ditetapkan. Namun, pengelola kamar darurat RSCM membatasi keinginan mereka supaya tidak terjadi kecemburuan di antara para dokter. Dokter dapat memilih hari libur yang diinginkan karena alasan tertentu sebanyak 4 shift dalam satu bulan. Pada bulan September 2010 terdapat hari Raya Idul Fitri, maka dikhususkan bagi yang muslim diliburkan pada hari Jum at tanggal 10 September di shift 1 dan shift 2 dan bagi muslim laki-laki diliburkan pada semua hari Jumat di shift 2. Berikut ini adalah daftar hari dan shift yang tidak diinginkan dokter di RSCM, selain dari hari Jumat tanggal 10 September 2010 di shift 1 dan shift 2. Tabel 3 No. Daftar hari dan shift yang tidak diinginkan dokter di RSCM Kode Dokter 1 D1*)**) 2 D2*)**) Tanggal shift ,2,3 9, ,26 2

19 9 3 D3*)**) 4 D4*)**) 5 D5*)**) 6 D6*) 7 D7 8 D8*)**) 9 D9*)**) 10 D10 11 D11*)**) 12 D12 13 D13 14 D14*)**) 15 D15*)**) 16 D16*)**) 17 D17 18 D18 19 D19*) 20 D20*)**) 21 D21 10, ,2 10, ,3 9, , , ,3 5, , , , ,2,3 3, , ,29, , , , , , , , , ,19, , , , , , , 2, D D23*)**) 24 D24*)**) *) 27 1, , ,12 3 9, ,30 3 Diliburkan pada hari Jumat tanggal 10 September 2010 pada shift 1 dan 2 **) Diliburkan setiap hari Jumat pada shift 2 Dari studi kasus di atas, formulasi model PLI-nya adalah sebagai berikut: minimumkan Terhadap fungsi kendala sebagai berikut: 1. Sebanyak dokter harus selalu tersedia pada hari ke-j di shift ke-i. =,,. Untuk = Pekan Shift Hari SN SL RB KM JM SB MG Setiap dokter bertugas banyaknya satu shift dalam satu hari. 1,,. Jika seorang dokter bertugas pada shift terakhir (shift 3), maka dokter tersebut tidak boleh bertugas pada shift awal (shift 1) di hari berikutnya.,, +,, 1,,. 3. Setiap dokter maksimal bertugas selama hari berturut-turut dalam satu periode jadwal. Untuk kasus di RSCM digunakan = 9. 9,

20 10 untuk =1,, 9, 4. Setiap dokter minimal bertugas selama hari berturut-turut dalam satu periode jadwal. Untuk kasus di RSCM digunakan = 1. 1, untuk =1,,, 5. Setiap dokter ke-k paling sedikit bertugas sebanyak N k shift dalam satu periode jadwal. Untuk kasus di RSCM digunakan k = 9. 9,. 6. Setiap dokter ke-k yang bertugas pada shift ke-i minimal telah mengerjakan sebanyak shift dalam satu periode jadwal. Hal ini dimaksudkan supaya tidak terjadi kecemburuan antar-dokter. 3,,. Untuk = 3, 7. Setiap dokter dapat meminta hari libur yang mereka inginkan sesuai dengan kesepakatan pengelola kamar darurat. Kebijakan pada RSCM adalah pada hari Jumat tanggal 10 September 2010 shift 1 dan 2 semua dokter muslim diliburkan, dan pada setiap hari Jumat shift 2 dokter muslim laki-laki diliburkan. Selain itu semua dokter boleh memilih 4 shift untuk libur. Berikut ini adalah contoh formulasinya: =0 untuk semua shift ke-1 dan 2 pada hari ke-10 serta dokter ke-1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 19, 20, 23, dan 24. =0 untuk semua shift ke-2 pada hari ke-3, 10, 17, dan 23 serta dokter ke-1, 2, 3, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 16, 20, 23, dan Semua variabel keputusan bernilai nol atau satu. 0,1 ;,,, Penyelesaian masalah penjadwalan kamar darurat bagi para dokter di RSCM pada karya ilmiah ini dilakukan dengan bantuan software LINGO 8.0 menggunakan metode branchand-bound. Syntax program dan hasil komputasi dicantumkan pada Lampiran 3. Solusi yang didapat adalah solusi optimal dengan nilai fungsi objektifnya adalah 216 yang didapatkan pada iterasi ke 3920 pada waktu ke detik dengan menggunakan Notebook TravelMate 2420, Acer, 1.6 Ghz dengan RAM 1GB. Hasil komputasi tidak semua dicantumkan, dikarenakan terlalu banyak. Hasil yang dicantumkan hanya untuk x yang bernilai satu saja. Tabel penjadwalan yang terbentuk untuk RSCM dicantumkan pada Lampiran 2 dan tabel jadwal individu dokter kamar darurat RSCM dicantumkan di Lampiran 4. Perbandingan hasil penjadwalan bulan September 2010 antara metode konvensional (yang dilakukan selama ini) dengan metode PLI diberikan pada tabel 4 berikut. Tabel 4 Perbandingan hasil penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI. Kode Metode Konvensional Metode PLI Dokter Shift 1 Shift 2 shift 3 N k Shift 1 Shift 2 shift 3 N k D D D D D D D D D D D D D D D D D D

21 11 D D D D D D Total 216 Total 216 Dari hasil yang didapatkan bisa dilihat penjadwalan Konvenional tidak terlalu baik karena banyaknya jumlah shift yang dikerjakan oleh dokter dalam satu periodenya tidak seimbang, sedangkan dengan menggunakan PLI lebih terlihat seimbang karena banyaknya shift yang dikerjakan oleh setiap dokter seimbang. Berdasarkan pada cara untuk menyelesaikan masalah penjadwalan dokter kamar darurat, berikut ini adalah perbandingan antara menyelesaikan jadwal dengan metode konvensional dengan metode PLI. Tabel 5 Perbandingan metode penjadwalan antara metode konvensional dengan metode PLI Metode Konvensional Penjadwalan dilakukan secara manual Proses mendapatkan solusinya lebih lama Solusi kurang konsisten Perubahan kendala mengakibatkan kesulitan Metode Pemrograman Penjadwalan dilakukan dengan meng-input data Proses mendapatkan solusinya relatif cepat Solusi pasti konsisten jika syarat dipenuhi Perubahan kendala, tidak menimbulkan kesulitan yang berarti V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Dalam penulisan karya ilmiah ini telah diperlihatkan penyelesaian dari masalah penjadwalam kamar darurat bagi para dokter yang bertujuan untuk menentukan penjadwalan yang dengan mengurangi ketidaknyamanan dokter di dalam kamar darurat serta mengurangi terjadinya pertukaran hari kerja yang dilakukan oleh para dokter. Masalah ini dipandang sebagai masalah 0-1 PLI. Penyelesaian masalah ini menggunakan bantuan software LINGO 8.0. dengan metode branch-and-bound. Penjadwalan yang diinginkan sangat bergantung pada permintaan hari libur dari tiap dokter. Penentuan penjadwalan dengan menggunakan PLI sangat fleksibel, di mana pengguna dapat dengan mudah menambahkan data maupun kendala-kendala baru supaya tercipta penjadwalan yang lebih baik lagi. 5.2 Saran Pada penulisan karya ilmiah ini dilakukan penelitian secara langsung dengan mempelajari karakeristiknya di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo, Jakarta. Akan lebih baik lagi dilakukan penelitian di rumah sakit yang berbeda dan daerah yang berbeda, sehingga dapat dibandingkan dari masingmasing karakteristik setiap rumah sakitnya dengan metode yang berbeda. Selain itu, dapat pula melakukan modifikasi pada formulasi masalah untuk kasus lain sehingga didapatkan model yang lebih sempurna.

22 12 DAFTAR PUSTAKA Carter MW, Lapierre SD Scheduling Emergency Room Physicians. Health Care Management Science 4: Garfinkel, R. S. & G. L. Nemhauser Integer Programming. John Willey & Sons, New York.. Taha, H. A Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Drs. Daniel Wirajaya. Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research. Winston, W. L Operations Research Applications and Algorithms 4 th ed. Duxbury, New York.

23 LAMPIRAN 13

24 14 Lampiran 1 Solusi subproblem-subproblem untuk Contoh 2. Subproblem 1 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; X1 >= 0; X2 >= 0; Global optimal solution found at iteration:5 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price Subproblem 2 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; x2 <= 2; X1 >= 0; X2 >= 0; Global optimal solution found at iteration:2 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price Subproblem 3 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; x2 >= 3; X1 >= 0; X2 >= 0; Global optimal solution found at iteration:4 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price Subproblem 4 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; x2 >= 3; x1 <= 3; X1 >= 0; X2 >= 0; Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price Subproblem 5 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; x2 >= 3; x1 >= 4; X1 >= 0; X2 >= 0; No feasible solution found Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price Subproblem 6 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; x2 >= 3; x2 <= 3; x1 <= 3; X1 >= 0; X2 >= 0; Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price Subproblem 7 MAX = 4 * X1 + 6 * X2;!SUBJECT TO; 3 * X1 + 5 * X2 <= 25; 2 * X1 <= 8; 3 * X2 <= 12; x2 >= 4; x2 >= 3; x1 <= 3; X1 >= 0; X2 >= 0; Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or SurPLus Dual Price

25 15 Lampiran 2 Jadwal Jaga Dokter Kamar Darurat di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo Tabel 6 Jadwal Jaga RSCM bulan September 2010 HARI TGL PAGI / SHIFT 1 SIANG / SHIFT 2 MALAM / SHIFT 3 RABU 1 D1/D24 D7/D16 D5/D17 KAMIS 2 D2/D1 D4/D10 D6/D5 JUMAT 3 D3/D23/D2 D22/D15/D6 D12/D18/D20 SABTU 4 D7/D22/D3 D6/D5/D11 D13/D23/D24 MINGGU 5 D8/D21/D4 D1 /D14 /D12 D5/D2 /D6 SENIN 6 D9 /D20 D12/D13 D7/D6 SELASA 7 D12/D5 D14 /D24 D15/D8 RABU 8 D16/D19 D24 /D23 D4/D10 KAMIS 9 D15/D6 D2 /D22 D4/D12 JUMAT 10 D3 /D18/D7 D5/D21/D20 D19 /D14 /D16 SABTU 11 D7/D17/D8 D16/D2 /D1 D19 /D18/D20 MINGGU 12 D8 /D16/D9 D21/D2 /3 D14 /D22/D23 SENIN 13 D9 /D15 D20 /D4 D6/D24 SELASA 14 D12/D10 D3 /D5 D21/D22 RABU 15 D22/D14 D10/D6 D5/D20 KAMIS 16 D8 /D11 D23/D9 D17/D18 JUMAT 17 D3 /D14 /D12 D11/D9 /D13 D1 /D16/D8 SABTU 18 D7/D13/D1 D16/D14 /D15 D4/D12/D10 MINGGU 19 D8 /D24/D2 D19 /D20 /D22 D21/D17/D6 SENIN 20 D9 /D23 D18/D24 D2 /D4 SELASA 21 D12/D3 D1 /D13 D21/D2 RABU 22 D9 /D22 D2 /D15 D10/D1 KAMIS 23 D15 /D4 D10 /D23 D8 /D3 JUMAT 24 D3 /D21/D5 D17/D24 /D1 D18/D10 /D7 SABTU 25 D7/D20 /D6 D23/D15/D3 D19 /D9 /D11 MINGGU 26 D8 /D19 /D7 D22/D4/D6 D24 /D13/D15 SENIN 27 D9 /D18 D4/D8 D20 /D17 SELASA 28 D12/D8 D6/D10 D2 /D19 RABU 29 D9 /D17 D8 /D12 D16/D21 KAMIS 30 D5/ D9 D12/ D14 Jadwal Jaga Dokter Kamar Darurat di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo setelah Menggunakan PLI Tabel 7 Jadwal Jaga RSCM bulan September 2010 setelah Menggunakan PLI D16/D23 HARI TGL PAGI / SHIFT 1 SIANG / SHIFT 2 MALAM / SHIFT 3 RABU 1 D11 / D14 D13 / D21 D18 / D24 KAMIS 2 D8 / D13 D3 / D18 D14 / D21 JUMAT 3 D1 / D8 / D15 D7 / D10 / D18 D5 / D13 / D21 SABTU 4 D14 / D19 / D23 D9 / D10 / D13 D5 / D11 / D17

26 16 MINGGU 5 D3 / D15 / D21 D9 / D13 / D24 D4 / D10 / D23 SENIN 6 D7 / D14 D9 / D23 D3 / D16 SELASA 7 D5 / D7 D2 / D14 D1 / D23 RABU 8 D5 / D19 D14 / D17 D6 / D8 KAMIS 9 D1 / D23 D18 / D20 D9 / D24 JUMAT 10 D17 / D18 / D21 D7 / D12 / D22 D1 / D6 / D10 SABTU 11 D12 / D22 / D24 D1 / D5 / D10 D16 / D19 / D20 MINGGU 12 D5 / D9 / D10 D19 / D21 / D23 D2 / D3 / D11 SENIN 13 D9 / D19 D1 / D2 D16 / D24 SELASA 14 D9 / D10 D3 / D8 D1 / D19 RABU 15 D13 / D24 D11 / D16 D15 / D23 KAMIS 16 D3 / D11 D15 / D23 D14 / D18 JUMAT 17 D1 / D3 / D15 D17 / D19 / D21 D4 / D7 / D14 SABTU 18 D6 / D8 / D24 D11 / D14 / D15 D3 / D10 / D12 MINGGU 19 D2 / D16 / D23 D3 / D8 / D15 D6 / D9 / D12 SENIN 20 D2 / D20 D12 / D24 D7 / D19 SELASA 21 D6 / D12 D11 / D16 D2 / D13 RABU 22 D7 / D22 D12 / D19 D8 / D21 KAMIS 23 D2 / D7 D6 / D16 D4 / D22 JUMAT 24 D12 / D13 / D21 D6 / D7 / D17 D5 / D15/ D20 SABTU 25 D10 / D16 / D18 D4 / D5 / D20 D2 / D8 / D15 MINGGU 26 D4 / D18 / D20 D1 / D22 / D24 D12 / D13 / D17 SENIN 27 D4 / D16 D2 / D20 D18 / D22 SELASA 28 D11 / D20 D4 / D22 D7 / D17 RABU 29 D6 / D22 D4 / D8 D9 / D11 KAMIS 30 D4 / D17 D5 / D6 D20 / D22

27 17 Lampiran 3 Syntax dan Hasil Komputasi Program LINGO 8.0 untuk Masalah Penjadwalan Dokter Kamar Darurat di Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo Berikut ini akan diperlihatkan syntax masalah penjadwalan Rumah Sakit Cipto Mangunkusumo. model: sets: SHIFT/1..3/; DAY/1..30/; DOKTER/1..24/; LINK1(SHIFT,DAY):C; LINK2(SHIFT,DOKTER):Nik; endsets data: Wmax = 9; Wmin = 1; N = 9; Nik = ; C= ; enddata!fungsi Objektif; MIN=@SUM(SHIFT(i):@SUM(DAY(j):@SUM(DOKTER(k): 1 * X(i,j,k))));!KENDALA[1] Sebanyak Cij dokter harus selalu tersedia pada hari ke j di shift ke Setiap dokter bertugas banyaknya satu shift dalam satu seorang dokter bertugas pada shift terakhir (shift 3), maka dokter tersebut tidak boleh bertugas pada shift awal (shift 1) di @FOR(DOKTER(k):X(3,15,k)+X(1,16,k)<=1);!KENDALA[3]Setiap dokter maksimal bertugas selama hari berturut-turut dalam satu periode n#le#30- Wmax:@FOR(DOKTER(k):@SUM(DAY(j) j#le#n+wmax:@sum(shift(i):x(i,j,k)))<=wmax));!kendala[4]dokter Setiap dokter minimal bertugas selama hari berturut-turut dalam satu periode n#le#30- Wmax:@FOR(DOKTER(k):@SUM(DAY(j) j#le#n+wmax:@sum(shift(i):x(i,j,k)))>=wmin));!kendala[5] Setiap dokter paling sedikit bertugas sebanyak N k shift dalam satu periode N k );!KENDALA[6] Dokter Setiap dokter k pada shift ke i minimal telah mengerjakan sebanyak shift dalam satu periode Nik(i,k)));!KENDALA[7] Setiap dokter dapat meminta hari libur yang mereka inginkan sesuai dengan kesepakatan pengelola kamar darurat. Kebijakan pada RSCM adalah pada hari Jumat tanggal 10 September 2010 shift 1 dan 2, dokter muslim diliburkan

28 18 dan pada setiap hari Jumat shift 2 dokter muslim laki-laki diliburkan. Selain itu semua dokter boleh memilih 4 shift untuk libur; X(1,10,1)=0; X(2,10,1)=0; X(3,9,1) =0; X(3,12,1)=0; X(1,12,1)=0; X(2,12,1)=0; X(2,3,1) =0; X(2,17,1)=0; X(2,24,1)=0; X(1,10,2)=0; X(2,10,2)=0; X(2,3,2) =0; X(2,17,2)=0; X(2,24,2)=0; X(3,9,2) =0; X(3,10,2)=0; X(2,19,2)=0; X(2,26,2)=0; X(1,10,3)=0; X(2,10,3)=0; X(2,3,3) =0; X(2,17,3)=0; X(2,24,3)=0; X(3,10,3)=0; X(3,11,3)=0; X(2,11,3)=0; X(1,11,3)=0; X(1,10,4)=0; X(2,10,4)=0; X(2,3,4) =0; X(2,17,4)=0; X(2,24,4)=0; X(3,10,4)=0; X(2,19,4)=0; X(3,11,4)=0; X(3,19,4)=0; X(1,10,5)=0; X(2,10,5)=0; X(2,3,5) =0; X(2,17,5)=0; X(2,24,5)=0; X(3,9,5) =0; X(2,26,5)=0; X(3,10,5)=0; X(2,27,5)=0; X(1,10,6)=0; X(2,10,6)=0; X(1,11,6)=0; X(2,11,6)=0; X(1,12,6)=0; X(3,11,6)=0; X(2,5,7) =0; X(2,19,7)=0; X(3,12,7)=0; X(3,26,7)=0; X(1,10,8)=0; X(2,10,8)=0; X(2,3,8) =0; X(2,17,8)=0; X(2,24,8)=0; X(2,11,8)=0; X(3,11,8)=0; X(2,25,8)=0; X(3,30,8)=0; X(1,10,9)=0; X(2,10,9)=0; X(2,3,9) =0; X(2,17,9)=0; X(2,24,9)=0; X(3,10,9)=0; X(3,11,9)=0; X(1,11,9)=0; X(2,11,9)=0; X(1,3,10)=0; X(1,10,10)=0; X(2,17,10)=0; X(2,24,10)=0; X(1,10,11)=0; X(2,10,11)=0; X(2,3,11) =0; X(2,17,11)=0; X(2,24,11)=0; X(3,10,11)=0; X(2,27,11)=0; X(2,29,11)=0; X(2,30,11)=0; X(3,11,12)=0; X(1,22,12)=0; X(1,23,12)=0; X(2,30,12)=0; X(1,5,13) =0; X(1,10,13)=0; X(3,7,13) =0; X(2,26,13)=0; X(1,10,14)=0; X(2,10,14)=0; X(2,3,14) =0; X(2,17,14)=0; X(2,24,14)=0; X(1,11,14)=0; X(2,25,14)=0; X(1,24,14)=0; X(2,30,14)=0; X(1,10,15)=0; X(2,10,15)=0; X(2,3,15) =0; X(2,17,15)=0; X(2,24,15)=0; X(1,19,15)=0; X(2,21,15)=0; X(1,12,15)=0; X(2,29,15)=0; X(1,10,16)=0; X(2,10,16)=0; X(2,3,16) =0; X(2,17,16)=0; X(2,24,16)=0; X(2,11,16)=0; X(2,16,16)=0; X(3,27,16)=0; X(3,25,16)=0; X(2,12,17)=0; X(2,19,17)=0; X(2,26,17)=0; X(3,30,17)=0; X(3,15,18)=0; X(3,22,18)=0; X(1,27,18)=0; X(2,29,18)=0; X(1,10,19)=0; X(2,10,19)=0; X(1,21,19)=0; X(2,21,19)=0; X(1,27,19)=0; X(2,27,19)=0; X(1,10,20)=0; X(2,10,20)=0; X(2,3,20) =0; X(2,17,20)=0; X(2,24,20)=0; X(1,11,20)=0; X(2,11,20)=0; X(1,18,20)=0; X(2,18,20)=0; X(1,25,21)=0; X(2,25,21)=0; X(3,25,21)=0; X(1,26,21)=0; X(3,26,22)=0; X(1,27,22)=0; X(2,27,22)=0; X(2,30,22)=0; X(1,10,23)=0; X(2,10,23)=0; X(2,3,23) =0; X(2,17,23)=0; X(2,24,23)=0; X(2,9,23) =0; X(3,10,23)=0; X(2,18,23)=0; X(3,12,23)=0; X(1,10,24)=0; X(2,10,24)=0; X(2,3,24) =0; X(2,17,24)=0; X(2,24,24)=0; X(1,9,24) =0; X(3,10,24)=0; X(1,27,24)=0; X(3,30,24)=0;!KENDALA[8] Semua variabel keputusan bernilai nol atau Hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut; (Tidak semua hasil ditampilkan, hanya untuk variabel bernilai 1 saja yang ditampilkan) Global optimal solution found at iteration: 3920 Objective value: Variable Value Reduced Cost X( 1, 12, 10) WMAX X( 1, 13, 9) WMIN X( 1, 13, 19) NK X( 1, 14, 9) X( 1, 1, 11) X( 1, 14, 10) X( 1, 1, 14) X( 1, 15, 13) X( 1, 2, 8) X( 1, 15, 24) X( 1, 2, 13) X( 1, 16, 3) X( 1, 3, 1) X ( 1, 16, 11) X( 1, 3, 8) X( 1, 17, 1) X( 1, 3, 15) X( 1, 17, 3) X( 1, 4, 14) X( 1, 17, 15) X( 1, 4, 19) X( 1, 18, 6) X( 1, 4, 23) X( 1, 18, 8) X( 1, 5, 3) X( 1, 18, 24) X( 1, 5, X( 1, 19, 2) X( 1, 5, 21) X( 1, 19, 16) X( 1, 6, 7) X( 1, 19, 23) X( 1, 6, 14) X( 1, 20, 2) X( 1, 7, 5) X( 1, 20, 20) X( 1, 7, 7) X( 1, 21, 6) X( 1, 8, 5) X( 1, 21, 12) X( 1, 8, 19) X( 1, 22, 17) X( 1, 9, 1) X( 1, 22, 22) X( 1, 9, 23) X( 1, 23, 2) X( 1, 10, 17) X( 1, 23, 7) X( 1, 10, 18) X( 1, 24, 12) X( 1, 10, 21) X( 1, 24, 13) X( 1, 11, 12) X( 1, 24, 21) X( 1, 11, 22) X( 1, 25, 10) X( 1, 11, 24) X( 1, 25, 16) X( 1, 12, 5) X( 1, 25, 18) X( 1, 12, 9) X( 1, 26, 4)

29 19 X( 1, 26, 18) X( 2, 27, 2) X( 1, 26, 20) X( 2, 27, 20) X( 1, 27, 4) X( 2, 28, 4) X( 1, 27, 16) X( 2, 28, 22) X( 1, 28, 11) X( 2, 29, 4) X( 1, 28, 20) X( 2, 29, 8) X( 1, 29, 6) X( 2, 30, 5) X( 1, 29, 22) X( 2, 30, 6) X( 1, 30, 4) X( 3, 1, 18) X( 1, 30, 17) X( 3, 1, 24) X( 2, 1, 13) X( 3, 2, 14) X( 2, 1, 21) X( 3, 2, 21) X( 2, 2, 3) X( 3, 3, 5) X( 2, 2, 18) X( 3, 3, 13) X( 2, 3, 7) X( 3, 3, 21) X( 2, 3, 10) X( 3, 4, 5) X( 2, 3, 18) X( 3, 4, 11) X( 2, 4, 9) X( 3, 4, 17) X( 2, 4, 10) X( 3, 5, 4) X( 2, 4, 13) X( 3, 5, 10) X( 2, 5, 9) X( 3, 5, 23) X( 2, 5, 13) X( 3, 6, 3) X( 2, 5, 24) X( 3, 6, 16) X( 2, 6, 9) X( 3, 7, 1) X( 2, 6, 23) X( 3, 7, 23) X( 2, 7, 2) X( 3, 8, 6) X( 2, 7, 14) X( 3, 8, 8) X( 2, 8, 14) X( 3, 9, 9) X( 2, 8, 17) X( 3, 9, 24) X( 2, 9, 18) X( 3, 10, 1) X( 2, 9, 20) X( 3, 10, 6) X( 2, 10, 7) X( 3, 10, 10) X( 2, 10, 12) X( 3, 11, 16) X( 2, 10, 22) X( 3, 11, 19) X( 2, 11, 1) X( 3, 11, 20) X( 2, 11, 5) X( 3, 12, 2) X( 2, 11, 10) X( 3, 12, 3) X( 2, 12, 19) X( 3, 12, 11) X( 2, 12, 21) X( 3, 13, 16) X( 2, 12, 23) X( 3, 13, 24) X( 2, 13, 1) X( 3, 14, 1) X( 2, 13, 2) X( 3, 14, 19) X( 2, 14, 3) X( 3, 15, 15) X( 2, 14, 8) X( 3, 15, 23) X( 2, 15, 11) X( 3, 16, 14) X( 2, 15, 16) X( 3, 16, 18) X( 2, 16, 15) X( 3, 17, 4) X( 2, 16, 23) X( 3, 17, 7) X( 2, 17, 17) X( 3, 17, 14) X( 2, 17, 19) X( 3, 18, 3) X( 2, 17, 21) X( 3, 18, 10) X( 2, 18, 11) X( 3, 18, 12) X( 2, 18, 14) X( 3, 19, 6) X( 2, 18, 15) X( 3, 19, 9) X( 2, 19, 3) X( 3, 19, 12) X( 2, 19, 8) X( 3, 20, 7) X( 2, 19, 15) X( 3, 20, 19) X( 2, 20, 12) X( 3, 21, 2) X( 2, 20, 24) X( 3, 21, 13) X( 2, 21, 11) X( 3, 22, 8) X( 2, 21, 16) X( 3, 22, 21) X( 2, 22, 12) X( 3, 23, 4) X( 2, 22, 19) X( 3, 23, 22) X( 2, 23, 6) X( 3, 24, 5) X( 2, 23, 16) X( 3, 24, 15) X( 2, 24, 6) X( 3, 24, 20) X( 2, 24, 7) X( 3, 25, 2) X( 2, 24, 17) X( 3, 25, 8) X( 2, 25, 4) X( 3, 25, 15) X( 2, 25, 5) X( 3, 26, 12) X( 2, 25, 20) X( 3, 26, 13) X( 2, 26, 1) X( 3, 26, 17) X( 2, 26, 22) X( 3, 27, 18) X( 2, 26, 24) X( 3, 27, 22)

30 20 X( 3, 28, 7) X( 3, 28, 17) X( 3, 29, 9) X( 3, 29, 11) X( 3, 30, 20) X( 3, 30, 22) Row Slack or Surplus Dual Price