BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 0 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Obek Kaian.. Universitas Terbuka Universitas Terbuka (UT) yang diresmikan oleh Presiden RI pada tanggal 4 September 984 sebagai universitas negeri yang ke-45 dengan Keputusan Presiden Nomor 4 Tahun 984, merupakan perguruan tinggi negeri di Indonesia yang sepenuhnya menerapkan Pendidikan Terbuka dan Jarak Jauh (PTJJ) (Tim ISO-UT 007). Sebagai konsekuensi dari sistem PTJJ ini, UT memiliki sistem organisasi yang berbeda dengan institusi pendidikan tinggi tatap muka. Perbedaan mendasar adalah dibentuknya Unit Program Belaar Jarak Jauh (UPBJJ)-UT yang tersebar di 37 kota di seluruh Indonesia. UPBJJ-UT berfungsi untuk memudahkan mahasiswa berhubungan dengan UT dalam rangka registrasi, layanan bahan aar & belaar, dan layanan uian. Gambar Peta lokasi 37 UPBJJ-UT di Indonesia. Perbedaan lainnya adalah dalam hal bahan aar dan pengelolaan belaar. Sesuai karakteristik PTJJ, UT menggunakan media belaar berupa bahan aar cetak (buku) dan bahan aar noncetak (misalnya audio-visual, komputer) untuk menyampaikan pelaaran. Namun sampai saat ini, UT masih mengutamakan

2 5 penggunaan bahan aar cetak. Bahan aar noncetak, misalnya kaset audio, CD, video dan tutorial via internet uga dikembangkan meskipun intensitas penggunaannya belum tinggi. Bahan aar noncetak ini hanya digunakan sebagai pelengkap, dan belum dikembangkan sebagai bagian yang terpadu dari satu mata kuliah (Andriani dalam Belawati et al. 999).. Pengelolaan Bahan Aar Pengelolaan bahan aar di Kantor Pusat UT meliputi kegiatan penyiapan master bahan aar, produksi bahan aar, dan pengiriman bahan aar. Bahan aar (BA) UT terdiri atas BA cetak dan BA noncetak. Seluruh mata kuliah UT dilengkapi dengan BA cetak yang merupakan BA utama (Tim Simintas-UT 004). Secara struktural, pengelolaan BA UT meliputi :. Persiapan BA cetak menadi master BA yang dilaksanakan oleh Pusat Pengembangan Bahan Aar Cetak (PPBAC). Master BA tersebut kemudian dicetak di perusahaan percetakan subkontrak.. Produksi BA noncetak yang dilaksanakan oleh Pusat Pengembangan Bahan Aar Non Cetak (PPBANC). 3. Penyimpanan BA cetak dan BA noncetak (kaset audio, CD) di gudang Kantor Pusat UT sebelum dikirim ke UPBJJ-UT. 4. Pengiriman BA oleh perusahaan pengiriman subkontrak (Tim ISO-UT 007)...3 Distribusi Fisik Menurut Kotler et al. (00), tuuan distribusi fisik adalah membawa barang yang tepat ke tempat yang tepat pada waktu yang tepat dengan biaya paling kecil. Biaya paling kecil berarti transportasi murah, persediaan rendah dan umlah gudang sedikit. Untuk mencapai tuuannya produsen produk dan asa fisik harus memutuskan cara terbaik untuk menyimpan dan memindahkan barang dan asanya ke pasar tuuan. Oleh sebab itu produsen perlu menyewa asa dari perusahaan distribusi fisik (perusahaan pergudangan dan transportasi) untuk

3 6 membantu tugas tersebut. Produsen memahami bahwa efektivitas distribusi fisik akan berpengaruh besar terhadap kepuasan pelanggan dan biaya perusahaan. Distribusi fisik dapat menadi efektif ika sistem distribusi fisik sesuai dengan tuuan. Penentuan sistem distribusi fisik akan mengarah pada biaya berikut: dengan D T D = T + FW + VW + S () = total biaya distribusi dari sistem yang diaukan = total biaya pengiriman dari sistem yang diaukan FW = total biaya tetap pergudangan (fied warehouse) dari sistem yang diaukan VW = total biaya variabel pergudangan (variable warehouse) (termasuk S persediaan) dari sistem yang diaukan = total biaya kerugian penualan karena rata-rata keterlambatan pengiriman di bawah sistem yang diaukan. (Kotler et al. 00).. Masalah Lokasi Fasilitas (Facility Location Problems) Masalah lokasi fasilitas merupakan masalah yang sangat kompleks dan masalah ini sangat terkait dengan masalah sistem distribusi fisik. Tuuan utama dari masalah lokasi fasilitas sama dengan masalah sistem distribusi fisik yaitu meminimalkan biaya distribusi. Beberapa contoh masalah lokasi fasilitas adalah : Masalah.. (Nemhauser 999) Tuuan masalah ini adalah menentukan lokasi fasilitas dan kemudian menempatkan konsumen yang dilayani oleh fasilitas tersebut sehingga meminimalkan total biayanya. Diberikan N {,,, n} digunakan dan I {,,, m} = sebagai himpunan lokasi fasilitas yang potensial = sebagai himpunan konsumen. Fasilitas akan ditempatkan pada dengan biaya c untuk N. Total biaya yang memenuhi permintaan konsumen i dari fasilitas adalah h i. Diberikan variabel biner yaitu = ika fasilitas ditempatkan pada dan = 0 ika lainnya. Misalkan fasilitas ditempatkan pada yang mempunyai

4 3 7 kapasitas u dan konsumen i mempunyai permintaan b i. Jika y i merupakan umlah barang yang dikirim dari fasilitas ke konsumen i, maka kendala yang dihadapi adalah :. Setiap permintaan konsumen harus dipenuhi yi = bi untuk i I N (). Konsumen i tidak dapat dilayani dari kecuali fasilitas ditempatkan di, yi u 0 untuk N (3) i I mn 0,, y R +. dengan { } n i Masalah lokasi fasilitas berkapasitas (capacitated facility location) ini merupakan masalah mied integer programming, dengan fungsi obektifnya adalah : (4) Minimumkan c + hi yi N i I N Masalah.. : Masalah Beer Belge (Rardin 998) Tuuan Beer Belge adalah meminimalkan biaya distribusi bir di Belgia yang memenuhi kebutuhan 4000 konsumennya dari 7 depot yang dimilikinya. Agar tuuan tersebut terpenuhi, Beer Belge mengalokasikan konsumennya menadi 650 daerah konsumen. Jadi, masalah yang harus diselesaikan adalah menentukan lokasi depot dan menentukan banyaknya pengiriman yang diperlukan untuk daerah-daerah konsumen tersebut. Didefinisikan : i = indeks depot ( i =,,,7 ) = indeks daerah konsumen ( =,,,650 ) h = koordinat sumbu pada pusat daerah konsumen k = koordinat sumbu y pada pusat daerah konsumen d = banyaknya pengiriman per tahun ke daerah konsumen i = koordinat sumbu depot i y i = koordinat sumbu y depot i w i = banyaknya pengiriman per tahun dari depot i ke daerah konsumen

5 4 8 Diasumsikan bahwa biaya pengiriman dari depot i ke daerah konsumen proporsional terhadap arak (euclidean) depot i ke daerah konsumen, sehingga model Beer Belge disusun sebagai berikut : (5) i= = Minimumkan wi ( i h ) + ( yi k ) (total biaya pengiriman) terhadap 7 wi = d,,,,650 i= = (banyaknya pengiriman) (6) w 0, i =,,,7 ; =,,,650. (7) i.3 Review Riset yang Relevan Gunnarson et al. (006) meneliti tentang masalah distribusi di Sodra Cell AB, Scandivania. Masalah distribusi ini mengkombinasikan masalah lokasi fasilitas dan VRP (Vehicle Routing Problem). Tuuan akhir dari masalah ini adalah meminimalkan biaya distribusi dan memenuhi permintaan 300 konsumen, baik dalam maupun luar negeri (seluruh Eropa). Masalah lokasi fasilitas yang dihadapi adalah menentukan terminal yang akan digunakan, yaitu terminal pelabuhan atau terminal dalam pulau. Dalam hal VRP, disusun tiga rute berdasarkan karakteristik benua Eropa yaitu rute A, rute B dan spot vessel. Masalah ini dibentuk menadi model linear mied integer programming (linear MIP), yang kemudian diselesaikan dengan metode heuristic dan disimulasikan dengan solver CPLEX 7.0. Permasalahan nyata berkaitan dengan permintaan konsumen yang tidak pasti diteliti Aghezzaf (005). Dalam penelitiannya, terlebih dahulu Aghezzaf mengembangkan model lokasi gudang dan perencanaan kapasitas gudang pada supply chain yang memiliki permintaan konsumen pasti. Formula yang digunakan berupa linear MIP. Model tersebut kemudian diperluas menadi model lokasi gudang dan perencanaan kapasitas gudang pada supply chain yang memiliki permintaan konsumen tidak pasti. Metode yang digunakan untuk menentukan ketakpastian permintaan adalah konsep optimasi robust yang dikombinasikan dengan metode relaksasi Langrange.

6 5 9 Kedua masalah di atas merupakan masalah lokasi fasilitas yang menggunakan formula linear MIP. Dalam Lee (007), masalah lokasi fasilitas merupakan salah satu aplikasi linear MIP dan nonlinear MIP. Lee meneliti tentang hasil simulasi model lokasi fasilitas tak berkapasitas (uncapacitated facility location) yang berupa linear MIP dan nonlinear MIP. Formula linear MIP dan nonlinear MIP dibandingkan dengan menggunakan strong forcing constraint dan weak forcing constraint. Kedua model tersebut kemudian disimulasikan menggunakan solver BONMIN (Basic Open-source Nonlinear Mied INteger programming)..4 Landasan Teori Untuk membuat model dari masalah lokasi fasilitas diperlukan beberapa pemahaman teori seperti Linear Programming (LP), Mied Integer Programming (MIP), Nonlinear Programming (NLP), metode Penalty dan metode Branch and Bound. Berikut ulasan teori tersebut :.4. Linear Programming Masalah Linear Programming (LP) adalah suatu masalah yang memaksimalkan (atau meminimalkan) suatu fungsi linear terhadap seumlah terhingga kendala linear (Chvatal 983). Model LP meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap kendala linear (Nash & Sofer 996). berikut : Suatu LP mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai Definisi. (Bentuk standar suatu LP) Suatu LP didefinisikan mempunyai bentuk standar : Minimumkan T z = c terhadap A = b 0 (8) dengan dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matriks berukuran m n yang disebut sebagai matriks kendala (Nash & Sofer 996).

7 0 6 LP dalam bentuk standar di atas dapat diselesaikan dengan metode simpleks. Metode simpleks merupakan salah satu metode yang dapat menghasilkan solusi optimum. Metode ini mulai dikembangkan oleh Dantzig tahun 947. Dalam perkembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan LP, yaitu berupa metode iteratif untuk menyelesaikan masalah LP dalam bentuk standar (Nash & Sofer 996). Misalkan LP (8) akan diselesaikan dengan metode simpleks, maka asumsikan masalah LP (8) tidak degenerate (menurun) (Nash & Sofer 996). Pada LP (8), vektor yang memenuhi kendala A = b disebut sebagai solusi fisibel dari LP (8). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A = ( B N ), dengan B adalah matriks yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks yang elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala (Nash & Sofer 996). Jika vektor dapat dinyatakan sebagai vektor B = N, dengan B adalah vektor variabel basis dan N adalah vektor variabel nonbasis, maka A = b dapat dinyatakan sebagai B A = ( B N) = B + N = b B N N Karena B adalah matriks nonsingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (9) B dapat dinyatakan sebagai B = B b B N (0) (Nash & Sofer 996). N (9) Definisi. (Solusi Basis) Solusi dari suatu LP disebut solusi basis ika :. Solusi tersebut memenuhi kendala pada LP. Kolom-kolom dari matriks koefisien kendala yang berpadanan dengan komponen nonzero adalah bebas linier (Nash & Sofer 996).

8 7 Definisi.3 (Solusi Basis Fisibel) Vektor disebut solusi basis fisibel ika merupakan solusi basis dan 0 (Nash & Sofer 996). berikut : Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh Contoh. : Misalkan diberikan LP berikut : Minimumkan z = terhadap = = 3 + = 5 3,, 3, 4, 5 0 () Dari LP tersebut didapatkan 0 0 A = 0 0, b = Misalkan dipilih T = ( ) dan = ( ) B N maka matriks basis 0 0 B = Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh = B b = ( 3 3) T dan ( ) B T 0 0 T. () N = Solusi () merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada LP () dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen nonzero dari () yaitu B adalah bebas linier. Solusi ()

9 8 uga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol..4. Mied Integer Programming Dalam Nemhauser (999), linear Mied Integer Programming (MIP) dinyatakan sebagai : dengan Maksimumkan { :, n p c + hy A + Gy b +, y + } Z R (3) n Z + adalah himpunan vektor bilangan bulat tak negatif berdimensi-n, adalah himpunan vektor bilangan real tak negatif berdimensi-p dan = {,,, n} dan y = { y, y,, y p} p R + adalah variabel. Diberikan data ( c, h, A, G, b ) dengan c vektor berdimensi n, h vektor berdimensi p, A matriks berukuran m n, G matrik berukuran m p dan b vektor berdimensi m. Masalah ini dinyatakan MIP karena variabel berupa vektor bilangan bulat dan variabel y berupa vektor bilangan real. Masalah linear integer programming dinyatakan dengan : n Maksimumkan { :, + } c A b Z (4) yaitu masalah linear MIP yang hanya mempunyai variabel berupa vektor bilangan bulat. Pada beberapa model, variabel bilangan bulat dinyatakan pada batasan nilai 0 dan, sehingga variabel dalam masalah MIP tersebut dinyatakan sebagai n B, n B adalah himpunan vektor biner berdimensi-n. Masalah linear programming (LP) dinyatakan dengan : p Maksimumkan { :, + } hy Gy b y R (5) yaitu masalah linear MIP yang hanya mempunyai variabel y berupa vektor bilangan real. Definisi.4 (Linear Programming Relaksasi) Linear Programming relaksasi (LP-relaksasi) merupakan LP yang diperoleh dari suatu integer programming (IP) dengan menghilangkan kendala integer pada setiap variabelnya (Hiller & Liebermen 990).

10 Nonlinear Programming Masalah Nonlinear Programming (NLP) adalah suatu masalah yang memaksimalkan (atau meminimalkan) suatu fungsi nonlinear terhadap seumlah terhingga kendala linear atau nonlinear. Model NLP meliputi pengoptimuman suatu fungsi nonlinear terhadap kendala linear atau nonlinear (Nash & Sofer 996). Bentuk umum NLP adalah : Minimumkan f ( ) terhadap ( ) 0, g = i ξ i i ( ) 0, g i ζ (6) dengan ξ adalah himpunan indeks dari kendala berupa persamaan, dan ζ adalah himpunan indeks dari kendala berupa pertidaksamaan (Nash & Sofer 996). Fungsi nonlinear dikategorikan menadi dua fungsi yaitu fungsi conve dan fungsi concave. Fungsi linear merupakan fungsi conve dan fungsi concave. Fungsi conve Fungsi f dinyatakan sebagai conve ika garis lurus dari dua titik yang berubah-ubah berada tepat pada grafik atau di atas grafik tersebut. Suatu fungsi disebut strictly conve ika garis lurus antara dua titik selalu di atas grafik. Gambar Ilustrasi grafik fungsi conve.

11 30 4 Definisi.5 (fungsi conve satu variabel) Suatu fungsi f disebut conve ika dan hanya ika untuk setiap = (, ) dan untuk setiap λ, 0 λ (( λ ) λ ) ( λ ) ( ) λ ( ), f + f + f. (7) Menurut fungsi diferensial, definisi di atas ekuivalen dengan pernyataan untuk semua maka f conve ika f ( ) 0 ( Daellenbach et al. 983). Definisi.6 (fungsi conve multivariabel) Menurut fungsi diferensial terhadap dua variabel dan y, definisi di atas ekuivalen dengan pernyataan f 0, 0 f dan f f ( f ) 0 yy (Daellenbach et al. 983). (8) yy y Fungsi concave Suatu fungsi f dinyatakan sebagai concave ika garis lurus dari setiap dua titik berada tepat pada grafik atau di bawah grafik tersebut. Gambar 3 Ilustrasi grafik fungsi concave.

12 5 3 Definisi.7 (fungsi concave satu variabel) Suatu fungsi f disebut concave ika dan hanya ika untuk setiap = (, ) dan untuk setiap λ, 0 λ atau f (( λ ) λ ) ( λ ) ( ) λ ( ), f + f + f (9) adalah conve. Menurut fungsi diferensial, definisi di atas ekuivalen dengan pernyataan untuk semua maka f concave ika f ( ) 0 (Daellenbach et al. 983). Definisi.8 (fungsi concave multivariabel) Untuk fungsi f terhadap dua variabel dan y, maka menurut fungsi diferensial dinyatakan bahwa fungsi concave adalah f 0, 0 f dan f f ( f ) 0 yy (Daellenbach et al. 983). (0) yy y Secara umum, fungsi diferensial untuk lebih dari dua variabel dinyatakan dalam bentuk matriks Hessian ( n n), yang bersifat positif semidefinit untuk fungsi conve dan negatif semidefinit untuk fungsi concave (Daellenbach et al. 983). Definisi.9 (Global Optima) (Daellenbach et al. 983) Fungsi conve Fungsi concave Global minimum Pada satu titik stationer ika ada, ika tidak ada titik stationer Pada salah satu titik uung grafik maka pada salah satu titik uung grafik Global maksimum Pada salah satu titik uung grafik Pada satu titik stationer ika ada, ika tidak ada titik stationer maka pada salah satu titik uung grafik

13 Metode Penalty Nonlinear Programming (NLP) berkendala dapat dikonversikan menadi deret NLP tak berkendala dengan metode Penalty. Metode Penalty ini merupakan salah satu Sequential Unconstrained Minimization/Maimization Technique (SUMT) atau teknik meminimalkan/memaksimalkan deret tak berkendala. Metode Penalty menghilangkan NLP berkendala dan mensubstitusikan bentuk baru untuk menghukum ketakfisibelan fungsi obektifnya dalam bentuk : Minimumkan F ( ) f ( ) µ p ( ) = + i () i dengan µ adalah pengali penalty positif dan memenuhi p i ( ) (Rardin 999). = 0 ika memenuhi kendala i > 0 selainnya p i merupakan fungsi yang Untuk nilai-nilai µ yang besar, solusi dari persamaan () adalah akan memiliki p ( ) maka p ( ) 0 i yang dekat nol, dengan kata lain untuk setiap nilai µ i i (Bronson 997). i Jika metode Penalty digunakan untuk NLP berkendala, maka pengali µ seharusnya dimulai dengan nilai yang relatif kecil yang nilainya lebih besar dari 0 dan selalu meningkat dalam proses komputasinya (Rardin 999). Definisi.9 Jika nilai optimal * pada masalah penalty tak berkendala uga bernilai fisibel dalam model berkendala, maka nilai * optimal dalam NLP (Rardin 999). Jadi menurut definisinya, bentuk fungsi penalty pada persamaan () harus sama dengan 0 untuk setiap nilai yang fisibel dari NLP berkendala. Hal ini menunukkan bahwa optimisasi masalah penalty tak berkendala meliputi solusi optimal untuk model aslinya.

14 Metode Branch and Bound Metode Branch and Bound dikembangkan oleh A. Land dan G. Doig pada tahun 960 untuk masalah linear MIP dan linear Integer Programming (IP) (Taha 003). Metode ini sering dipakai dalam program komputer untuk aplikasi masalah riset operasi yang dibuat oleh perusahaan software. Keunggulan metode Branch and Bound terletak pada tingkat efektivitasnya dalam memecahkan masalah dengan hasil yang akurat (Taha 99). Prinsip dasar metode Branch and Bound adalah membagi daerah fisibel dari masalah LP-relaksasi dengan cara membuat subproblem-subproblem baru sehingga masalah linear IP terpecahkan. Daerah fisibel suatu LP adalah daerah yang memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah LP. Berikut adalah langkah-langkah dalam metode Branch and Bound untuk masalah maksimisasi (Taha 003). Langkah 0 Tentukan batas bawah awal pada nilai obektif linear IP optimum adalah z =. Misalkan i = 0. Langkah (Pengukuran/Pembatasan) Pilih LP i sebagai subproblem berikutnya untuk diselesaikan. LP i dikatakan terukur ika menggunakan salah satu dari ketiga kondisi berikut :. Nilai z optimal dari LP i tidak dapat menghasilkan nilai obektif yang lebih baik daripada batas bawah yang diberikan. LP i menghasilkan solusi integer fisibel yang lebih baik daripada batas bawah yang diberikan 3. LP i tidak mempunyai solusi fisibel. Selesaikan LP i dan coba ukur bagian masalah itu dengan kondisi yang sesuai. Pada penyelesaian LP i akan timbul kasus berikut : a. Jika LP i terukur dan solusi yang lebih baik diperoleh maka perbarui batas bawah z. Jika semua subproblem telah terukur, hentikan. Linear IP optimum dihimpun dengan batas bawah yang diberikan, ika ada. Jika tidak, lakukan i = i + dan ulangi langkah.

15 8 34 b. Jika LP i tidak terukur, lanutkan ke langkah untuk melakukan pencabangan LP i. Langkah (Pencabangan) Pilih salah satu variabel, yang nilai optimum * dalam solusi LP i tidak integer. Eliminasi bidang * < < * + dengan membuat dua subproblem LP yang berkaitan dengan : < * dan > * + Lakukan i = i + dan lanutkan ke langkah. ( * *). didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan Untuk memudahkan pemahaman metode Branch and Bound diberikan contoh sebagai berikut : Contoh. : (Taha 003) Misalkan diberikan linear IP sebagai berikut : Maksimumkan z = terhadap , 0 dan integer () Solusi linear IP di atas diperlihatkan oleh titik-titik pada gambar berikut = 3.75, =.5, z = Gambar 4 Daerah fisibel IP.

16 9 35 Dari gambar di atas solusi optimum dari LP-relaksasi (LP 0 ) adalah = 3.75, =.5 dan z = Solusi optimum tersebut tidak memenuhi persyaratan integer. Berdasarkan algoritma Branch and Bound subproblem yang baru harus dibuat. Pilih variabel yang optimum secara sembarang yang tidak memenuhi persyaratan integer, misalnya = Amati bahwa bidang ( 3 < < 4 ) bukan daerah fisibel bagi masalah linear IP. Oleh karena itu, eliminasi bidang tersebut dan ganti ruang LP 0 semula dengan dua ruang LP yaitu LP dan LP yang didefinisikan sebagai berikut:. Ruang LP = ruang LP 0 + ( 3). Ruang LP = ruang LP 0 + ( 4 ) Gambar berikut memperlihatkan ruang LP dan LP LP LP Gambar 5 LP dan LP dalam grafik. Dari gambar di atas karena batasan baru 3 dan 4 tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, maka LP dan LP harus ditangani sebagai dua LP yang berbeda. Linear IP optimum akan berada di LP atau LP. Selesaikan masalah LP dan LP satu per satu. Misalkan LP dipilih pertama kali untuk diselesaikan, yaitu :

17 36 0 Maksimumkan z = terhadap , 0 dan integer (3) Dengan menyelesaikan LP di atas maka akan dihasilkan solusi optimum yang baru yaitu : = 3, = dan z = 3 (4) Karena LP sudah terukur, tidak perlu dilakukan pencabangan di LP. Persamaan (4) diadikan kandidat solusi bagi masalah IP. Sekarang akan dipecahkan LP, yaitu : Maksimumkan z = terhadap , 0 dan integer (5) Solusi dari (5) adalah sebagai berikut : = 4, = 0.83 dan z = 3.33 (6) Perhatikan (6), LP tidak terukur akibatnya pencabangan harus dilakukan lagi. Karena bernilai integer, pilih untuk membuat pencabangan yang baru. Gambar 6 adalah hasil pencabangan yang dilakukan dengan menggunakan metode Branch and Bound, penghitungan nilai-nilai variabel dilakukan dengan menggunakan Lingo 8.0 dan dapat dilihat pada Lampiran.

18 37 LP 0 = 3.75, =.5 dan z = LP =, = dan z = 3 3 LP =, = 0.83 dan z = LP 3 = 4.50, = 0 dan z =.50 LP 4 Tidak ada solusi fisibel 4 5 LP 5 =, = 0 dan z = 0 4 LP 6 Tidak ada solusi fisibel Gambar 6 Pencabangan yang dilakukan metode Branch and Bound untuk menemukan solusi IP. Pada Gambar 6 terlihat bahwa solusi LP dan LP 5 adalah kandidat solusi untuk (). Namun karena nilai z untuk LP lebih besar dari LP 5 maka solusi LP adalah solusi untuk ().