BAB III PEMBAHASAN. digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN Pada bab ini akan dijelaskan tentang konsep dasar metode kuadrat terkecil yang digunakan untuk membentuk fungsi tujuan dari masalah pemrograman nonlinear dan langkah-langkah penyelesaiannya menggunakan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior (metode penalty). Selanjutnya akan dipaparkan penerapan model nonlinear pada rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang beserta penyelesaiannya dengan kedua metode tersebut. A. Pembentukan Fungsi Tujuan dengan Metode Kuadrat Terkecil Masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah masalah pemrograman nonlinear, sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk berupa fungsi nonlinear yang dalam hal ini berupa fungsi kuadrat, yaitu fungsi dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah dua. Fungsi kuadrat memiliki satu nilai titik ekstrim yaitu maksimum atau minimum, sedangkan fungsi kubik memiliki sebuah titik belok, yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya dan mungkin pula memiliki satu atau dua titik ekstrim. Karena fungsi kubik belum tentu memiliki titik ekstrim, maka dipilihlah fungsi kuadrat yang sudah pasti memiliki satu titik ekstrim. Metode kuadrat terkecil merupakan metode penaksiran parameter yang meminimalkan jumlah kuadrat sisa (galat). Penaksiran pada metode ini memiliki sifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) (Asti, 2015 : 6). Oleh karena itu dipilih metode kuadrat terkecil untuk menentukan parameter pada fungsi kuadrat. 44

2 Model yang diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil adalah sebagai berikut (3.1a) Dimana adalah parameter dan adalah sisa (galat). Menurut Setijo Bismo (2008), fungsi kuadrat atau fungsi parabola mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut : (3.1b) Dari Persamaan (3.1a) dan (3.1b) diperoleh model fungsi kuadrat yang akan diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil, yaitu (3.1c) Metode kuadrat terkecil disini digunakan untuk mencari nilai-nilai tetapan, dan berdasarkan set data yang diberikan, (dimisalkan banyaknya data = ), yaitu dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa ( dari Persamaan (3.1) berikut Selanjutnya diturunkan terhadap, dan dengan syarat optimumnya adalah Jika diturunkan terhadap, maka diperoleh 45

3 (3.2a) Jika diturunkan terhadap, maka diperoleh (3.2b) Jika diturunkan terhadap, maka diperoleh 46

4 (3.2c) Persamaan (3.2) disebut persamaan normal. Apabila ditulis kedalam bentuk matriks Persamaan (3.2) akan menjadi Selanjutnya nilai, dan dapat ditaksir dengan menggunakan rumus B. Penyelesaian Masalah Nonlinear 1. Pemrograman Kuadratik dengan Metode Wolfe Pemrograman Kuadratik menyelesaikan masalah pemrograman nonlinear dengan mentransformasikannya menjadi masalah pemrograman linear menggunakan syarat Kuhn Tucker. Persamaan baru yang didapat dari syarat 47

5 Kuhn Tucker dicari solusi optimalnya dengan simpleks metode wolfe. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut (Yuni, 2015) a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari syarat Kuhn Tucker yang diperoleh. b. Mengidentifikasi complementary slackness sesuai Sifat 2.1. c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak memiliki variabel basis. d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan. e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode wolfe. Untuk menjamin bahwa solusi akhir (variabel buatan bernilai nol) memenuhi kondisi complementary slackness, metode wolfe memiliki modifikasi untuk pilihan variabel simpleks yang masuk menjadi basis, yaitu 1) dari kondisi Kuhn Tucker dan variabel keputusan tidak bisa menjadi variabel basis secara bersamaan. 2) Variabel surplus atau variabel slack dari kendala ke-i dan dari kondisi Kuhn Tucker tidak boleh kedua-duanya menjadi variabel basis. Syarat basis diatas bersesuaian dengan complementary slackness dari pemrograman kuadratik. Jadi, apabila simpleks dikerjakan dengan cara biasa tanpa menggunakan syarat basis diatas maka pada hasil 48

6 tabel optimal akan ada complementary slackness yang tidak terpenuhi. f. Mensubstitusikan hasil dari tabel optimum ke dalam fungsi tujuan awal (nonlinear) untuk didapatkan solusi optimum. Jika dalam tabel optimum terdapat variabel buatan maka dapat disubstitusikan ke fungsi tujuan linear. Begitu pula untuk variabel slack, surplus, buatan ataupun maka dapat disubstitusikan ke bentuk kanonik yang telah dibentuk di awal. Untuk menambah pemahaman, maka diberikan ilustrasi penyelesaian pemrograman kuadratik dengan metode wolfe melalui contoh berikut : Contoh 3.1 : Memaksimumkan (3.3) dengan kendala (3.4a) (3,4b) (3.4c) Langkah - langkah penyelesaian Persamaan (3.3) dan (3.4) dengan pemrograman kuadratik metode wolfe adalah sebagai berikut : a. Membentuk kondisi Kuhn Tucker dari fungsi tujuan dan fungsi kendala yang telah dimiliki. Berdasarkan Persamaan (3.3) dan (3.4) maka ditentukan bentuk kanoniknya yaitu : (3.5a) 49

7 (3.5b) (3.5c) (3.5d) b. Mengidentifikasi complementary slackness yang ada. Diperhatikan bahwa Persamaan (3.5) merupakan kondisi complementary slackness, sehingga mengakibatkan : c. Menambahkan variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn Tucker yang tidak memiliki variabel basis. Berdasarkan Persamaan (3.5), hanya Persamaan (3.5c) dan (3.5d) yang memiliki variabel basis. Pada Persamaan (3.5a) dan (3.5b) perlu ditambah variabel buatan sehingga bentuk kanoniknya menjadi : (3.6a) (3.6b) (3.6c) (3.6d) d. Membuat fungsi tujuan baru yang linear yaitu fungsi tujuan untuk meminimalkan jumlah nilai variabel buatan. Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk Contoh 3.1 adalah Meminimumkan (3.7) 50

8 dengan kendala (3.6a) (3.6b) (3.6c) (3.6d) Semua variabel non negatif. e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan menggunakan metode wolfe. Pada proses iterasi, semua koefisien ongkos variabel non basis diganti dengan 0. (Winston, 2003 : 687) Tabel 3. 1 Tabel simpleks dengan metode wolfe / Semua koefisien dari setiap kendala kondisi Kuhn Tucker dimasukkan ke dalam tabel. Nilai pada baris didapat dari jumlah hasil perkalian antara koefisien tiap kolom dengan nilai berada di baris yang sama. Untuk menentukan nilai-nilai yang maka dipilih dari baris. Variabel dengan nilai terbesar (kasus minimisasi) menjadi pembagi dari yang selanjutnya diisikan kekolom. 51

9 Nilai pada adalah yang paling besar, maka semua nilai pada kolom dibagi dengan nilai pada kolom variabel sehingga didapatkan nilai seperti dijelaskan pada Tabel 3.2. Tabel 3. 2 Iterasi pertama metode wolfe / , Karena nilai terkecil adalah maka keluar dan masuk menjadi variabel basis dengan koefisien ongkos 0. Selanjutnya proses iterasi dilanjutkan hingga diperoleh tabel optimum seperti Tabel 3.3. Tabel 3. 3 Tabel optimum metode wolfe / ,25 0-0,25 0 0, , ,25 0 0,25 0-0, , Karena nilai maka iterasi berhenti, dan tabel dinyatakan optimum. Dari tabel optimum tersebut diperoleh nilai variabel dan. Selain itu juga didapatkan nilai variabel dan serta nilai minimum. Kemudian untuk 52

10 mengetahui nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel-variabel tersebut disubstitusikan kedalam fungsi tujuan awal yaitu. Sehingga penyelesaian optimal dari Contoh 3.1 adalah 10,125. Secara umum, penyelesaian pemrograman kuadratik metode Wolfe dapat digambarkan dalam Gambar 3.1 Fungsi Tujuan Non Linear Kondisi Kuhn Tucker Fungsi Linear Simpleks Metode Wolfe Tabel Optimum Gambar 3. 1 Bagan Langkah Penyelesian Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe 2. Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) Metode fungsi penalti eksterior pada prinsipnya adalah mentransformasikan masalah nonlinear berkendala menjadi masalah tidak berkendala sedemikian sehingga penyelesaiannya dicari secara numerik. Masalah berkendala diubah ke masalah tanpa kendala dengan cara menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada fungsi tujuan. Proses pencarian solusi pada metode penalty dimulai dari luar daerah layak, oleh karena itu disebut dengan metode fungsi penalti eksterior. 53

11 Berikut adalah langkah penyelesaian metode fungsi penalti eksterior a. Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala b. Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala, dengan 1) adalah fungsi tujuan masalah berkendala 2) adalah parameter penalti 3) Fungsi penalti 4) adalah fungsi kendala pertidaksamaan 5) adalah fungsi kendala persamaan 6) adalah bilangan bulat positif c. Menentukan penyelesaian dari masalah minimalkan, yakni. Menurut syarat perlu keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala, titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol. d. Menyelidiki apakah nilai optimal yang dicapai merupakan titik minimum atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala. Secara umum, penyelesaian metode fungsi penalti eksterior dapat digambarkan dalam Gambar 3.2 Fungsi Tujuan Non Linear Berkendala Metode Penalty Fungsi Tujuan Nonlinear Tak Berkendala Solusi Optimal Gambar 3. 2 Bagan Langkah Penyelesaian Metode Penalty 54

12 C. Penerapan Model Nonlinear pada Rata-Rata Produksi Tanaman Pangan di Kota Magelang Pada subab ini akan dijelaskan langkah pembentukan model non linear untuk rata-rata produksi tanaman pangan menggunakan metode kuadrat terkecil yang perhitungannya diselesaikan dengan bantuan software matlab. Kemudian model yang diperoleh akan diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe dan metode fungsi penalti eksterior. Gambar 3.3 adalah alur penelitian dalam tugas akhir ini Data Produksi Tanaman Pangan Pembentukan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil Solusi Optimal dengan Pemrograman Kuadratik dibandingkan Solusi Optimal dengan Metode Penalty diperoleh nilai optimal luas panen tanaman pangan Gambar 3. 3 Alur Pembentukan Model dan Penyelesaian Model Non Linear 55

13 1. Pembentukan Model Salah satu sektor penopang utama pertumbuhan ekonomi yang masih sangat besar adalah sektor pertanian. Setiap tahun, permintaan terhadap produksi pertanian selalu meningkat, khususnya kebutuhan bahan pangan. Kebutuhan bahan pangan masyarakat bertumpu pada padi dan palawija. Oleh karena itu produksi padi dan palawija menjadi pemasok utama dalam pemenuhan kebutuhan pangan. Di kota Magelang, jenis tanaman pangan yang diproduksi setiap tahunnya selalu berubah ubah. Jenis-jenis tanaman yang diproduksi yaitu padi, jagung, ketela pohon, ketela rambat, kacang tanah, dan kedelai. Namun menurut data dari buku Magelang Dalam Angka, dari tahun 1994 hingga tahun 2014 jenis tanaman pangan yang paling banyak diproduksi yaitu padi, ketela pohon, dan jagung maka dipilihlah ketiga jenis tanaman tersebut. Dalam buku Kota Magelang Dalam Angka yang diterbitkan oleh Badan Pusat Statistik Kota Magelang, tabel yang menyajikan informasi mengenai luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi tanaman pangan ada pada bab pertanian. Data luas tanam, luas panen, dan rata-rata produksi padi, ketela pohon, serta jagung dari tahun 1994 sampai tahun 2014 disajikan pada Tabel

14 Tabel 3. 4 Data Luas Tanam, Luas Panen, dan Rata-rata Produksi Padi, Ketela Pohon dan Jagung tahun Padi Sawah Ketela Pohon Jagung Tahun LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) LT (Ha) LP (Ha) RRP (kw) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Keterangan LT : Luas Tanam LP : Luas Panen RRP : Rata-Rata Produksi Menurut BPS Provinsi Jawa Tengah (2013) luas panen adalah luas tanaman yang dipungut hasilnya setelah tanaman tersebut cukup umur termasuk tanaman yang gagal panen. Sedangkan rata-rata produksi atau hasil per hektar merupakan produksi setiap jenis komoditas per luas panen dalam satuan hektar. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), data pada Tabel 3.4 dapat dibentuk fungsi tujuan berupa fungsi nonlinear. 57

15 a. Membentuk Fungsi Tujuan Fungsi tujuan dari permasalaan ini dibentuk dari rata rata produksi yang diartikan sebagai hasil panen per hektar yang dihitung beratnya dalam satuan kwintal. Sedangkan luas panen diasumsikan sebagai banyaknya tanaman yang dipungut hasilnya setelah cukup umur termasuk yang gagal panen. Karena tidak memungkinkan untuk menghitung tanaman satu persatu, maka jumlah tanaman dianggap setara dengan luas tanaman yang dihitung dalam satuan hektar. Rata-rata produksi tanaman pangan total merupakan jumlahan dari ratarata produksi tanaman padi, ketela pohon, dan jagung. Sehingga fungsi tujuan yang akan dibentuk dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung. (3.8) Adapun variabel yang digunakan adalah sebagai berikut = data Luas Panen Padi ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Ketela Pohon ke - dalam satuan ha = data Luas Panen Jagung ke - dalam satuan ha = data Rata Rata Produksi ke - dalam satuan kw = 1,2,..., ; = banyaknya data = parameter fungsi tujuan 58

16 Berdasarkan Persamaan (3.8) maka dapat dibentuk fungsi rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah (3.9) Untuk menentukan parameter fungsi tujuan pada Persamaan (3.9), digunakan metode kuadrat terkecil seperti pada Persamaan (3.2) yaitu dengan menyelesaikan sistem persamaan linear berikut (3.10) Dimana Solusi dari Persamaan (3.10) diperoleh dengan (3.11) Berikut ini akan dicari fungsi tujuan dari masing-masing tanaman pangan yaitu, padi, ketela pohon dan jagung menggunakan metode kuadrat terkecil dengan bantuan software Matlab untuk selanjutnya dibentuk fungsi tujuan bersama. 59

17 1) Fungsi Tujuan Tanaman Padi Langkah-langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi padi ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datax.dat b) Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTX c) Ketikkan MKTX pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut >> MKTX m = 21 n = 2 A = 1.0e+12 * Y = 1.0e+08 * beta = Gambar 3. 4 Tampilan Output MKTX pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.4 didapatkan fungsi tujuan tanaman padi, yaitu (3.12) 60

18 2) Fungsi Tujuan Tanaman Ketela Pohon Langkah-langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama datay.dat b) Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTY c) Ketikkan MKTY pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut >> MKTY m = 21 n = 2 A = Y = 1.0e+05 * beta = Gambar 3. 5 Tampilan Output MKTY pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.5 didapatkan fungsi tujuan tanaman ketela pohon, yaitu (3.13) 61

19 3) Fungsi Tujuan Tanaman Jagung Langkah-langkah untuk menentukan nilai parameter fungsi tujuan menggunakan bantuan software Matlab adalah sebagai berikut a) Masukkan data luas panen dan rata-rata produksi ketela pohon ke software Matlab. Ketikkan pada script file kemudian simpan dengan nama dataz.dat b) Ketikkan pada script-file pemrograman untuk mendapatkan parameter fungsi tujuan, simpan dengan nama MKTZ c) Ketikkan MKTZ pada command window, tekan enter d) Muncul hasil pada command window seperti berikut >> MKTZ m = 14 n = 2 A = Y = 1.0e+04 * beta = Gambar 3. 6 Tampilan Output MKTZ pada Command Window Berdasarkan hasil pada Gambar 3.6 didapatkan fungsi tujuan tanaman jagung, yaitu (3.14) 62

20 Fungsi tujuan pada masalah ini adalah mengoptimalkan rata-rata produksi tanaman pangan yang terbentuk dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung, sehingga berdasarkan Persamaan (3.12), (3.13) dan (3.14) diperoleh fungsi tujuan bersama yaitu memaksimumkan (3.15) Sebelum Persamaan (3.15) diselesaikan, alangkah lebih baiknya apabila diselidiki terlebih dahulu apakah fungsi tujuan tersebut valid atau tidak. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan oleh Vina (2013), untuk membuktikan bahwa solusi nilai pada fungsi tujuan yang diperoleh dari metode kuadrat terkecil adalah yang terbaik ada dua cara, yaitu dengan melihat nilai error dan conditional number-nya. Cara yang pertama yaitu dengan melihat nilai errornya. Nilai variabel, dan pada Tabel 3.4 disubstitusikan ke Persamaan (3.15). Kemudian dihitung selisih nilai dari jumlahan rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung yang ada pada Tabel 3.4 dengan hasil perhitungan. Tabel 3.5 merupakan hasil perhitungan selisih nilai beserta errornya. 63

21 Tabel 3. 5 Hasil Perhitungan Selisih Nilai dan Errornya Luas Panen Padi Ketela Pohon Jagung Rata-Rata Produksi Padi Ketela Pohon Jagung Data Aktual Hasil Perhitungan Selisih Error ,83 125, ,59 200,16 8,43 4% ,68 121, ,56 292,45 98,89 51% ,04 132,11 27,14 211,29 322,33 111,04 53% ,8 132,86 22,86 207,52 161,38 46,14 22% ,82 153,3 26,66 231,78 183,65 48,13 21% ,81 172, ,28 305,84 55,56 22% , ,51 92,22 76,29 45% ,35 168,57 25,05 246,97 169,94 77,03 31% ,79 139,33-192,12 246,91 54,79 29% ,81 139, ,19 160,62 51,57 24% , ,4 142,74 49,66 26% , ,64 160,70 56,94 26% , ,62 127,52 65,10 34% , ,51 77,58 116,93 60% , ,56 104,74 114,82 52% , ,5 258,17 198,76 59,41 23% , ,75 212,02 47,73 18% , ,25 143,23 192,84 49,61 35% , ,96-208,668 77,51 131,16 63% ,5 73,33-131,83 77,51 54,32 41% , ,18 59,69 68,49 53% Rata-Rata Error 35% Berdasarkan Tabel 3.5, rata-rata errornya cukup besar, yaitu 35%. Akan tetapi masih ada cara kedua, yaitu dengan melihat conditional number-nya. Conditional number dari invers matriks dengan melihat norm matriks didefinisikan sebagai berikut Conditional number digunakan untuk mengukur kesalahan yang mungkin terjadi pada input dan output. Error relatif untuk invers matriks A 64

22 tergantung dari nilai conditional number, sehingga conditional number tidak boleh terlalu besar (Vina,2013). Jika nilai conditional number < , maka nilai dinyatakan terbaik (Anderson dalam Vina, 2013). Berikut adalah hasil perhitungan conditional number dengan bantuan software Matlab, yaitu dengan perintah cond() (script terlampir). Tabel 3. 6 Tabel Nilai Conditional Number Padi, Ketela Pohon, dan Jagung Padi Ketela Pohon Jagung Jumlah Conditional Number 716, , , ,8552 Berdasarkan Tabel 3.6, nilai conditional number < , maka nilai pada fungsi tujuan dinyatakan terbaik. Jadi Persamaan (3.15) merupakan fungsi pendekatan yang terbaik. b. Membentuk Fungsi Kendala Pada permasalahan ini kendalanya yaitu luas panen tidak boleh lebih dari luas tanam maksimum. Sehingga menurut data pada Tabel 3.4, fungsi kendala pada masalah ini adalah (3.16a) (3.16b) (3.16c) (3.16d) Jadi model matematika untuk rata-rata produksi tanaman pangan di kota Magelang adalah model nonlinear dengan fungsi tujuannya Persamaan (3.15) dan fungsi kendalanya Persamaan (3.16). 65

23 2. Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik Metode Wolfe Sebelum diselesaikan dengan pemrograman kuadratik metode wolfe, Persamaan (3.15) dan (3.16) akan diidentifikasi ke dalam bentuk umum dari masalah pemrograman kuadratik. Berdasarkan Persamaan (2.38), maka Persamaan (3.15) dapat ditulis dengan, dan, Jadi diperoleh dengan kendalanya yaitu Persamaan (3.15) dan (3.16) sudah sesuai dengan bentuk umum masalah pemrograman kuadratik. Selanjutnya, akan dilihat apakah Persaman (3.15) dan (3.16) merupakan fungsi konveks atau konkaf, yaitu dengan melihat 66

24 turunan parsialnya. Diperoleh turunan parsial kedua dari Persamaan (3.15) adalah sebagai berikut dan turunan pertama dari Persaman (3.16) adalah sebagai berikut Karena, maka berdasarkan Teorema 2.1 fungsi merupakan fungsi konkaf. Sedangkan Definisi 2.2 dan Teorema 2.4 fungsi, maka menurut merupakan fungsi konveks. Karena fungsi konkaf dan konveks maka digunakan syarat Karush Kuhn Tucker sebagai syarat perlu dan cukup untuk mencapai nilai optimal. Oleh karena itu Persamaan (3.15) dapat diselesaikan dengan pemrograman 67

25 kuadratik metode wolfe. Adapun langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut a. Membentuk Kondisi Kuhn-Tucker Berdasarkan Teorema 2.7, maka pada Persamaan (3.15) dapat ditentukan syarat Kuhn-Tuckernya yaitu 1) (3.17a) (3.17b) (3.17c) 2) (3.18a) (3.18b) (3.18c) 3) ( (3.19a) (3.19b) (3.19c) 4) (3.20) 5) (3.21) Berdasarkan Persamaan (3.16a), (3.16b), dan (3.16c) maka diperoleh (3.22a) (3.22b) (3.22c) Bentuk Persamaan (3.22) dapat dijadikan bentuk kanonik sehingga menjadi 68

26 (3.23a) (3.23b) (3.23c) Setelah mengidentifikasi syarat Kuhn Tucker, maka kondisi Kuhn Tucker untuk Persamaan (3.16) yaitu (3.17a) (3.17b) (3.17c) (3.23a) (3.23b) (3.23c) b. Mengidentifikasi complementary slackness Berdasarkan Persamaan (3.18) dan (3.23), Persamaan (3.17) dan (3.19) dan sifat complementary slackness pada pemrograman kuadratik, maka kondisi complementary slackness untuk Persamaan (3.15) adalah c. Menambah variabel buatan untuk setiap kondisi Kuhn-Tucker yang tidak memiliki variabel basis Persamaan (3.17) tidak memiliki variabel basis sehingga ditambahkan variabel buatan sehingga bentuknya menjadi (3.24a) 69

27 (3.24b) (3.24c) d. Menentukan fungsi tujuan baru yang linear Bentuk fungsi tujuan baru yang linear untuk masalah rata-rata produksi padi, ketela pohon, dan jagung adalah Meminimumkan (3.25) dengan kendala (3.24a) (3.24b) (3.24c) (3.23a) (3.23b) (3.23c) Semua variabel non negatif e. Melakukan proses iterasi simpleks dengan metode wolfe Setelah didapatkan fungsi tujuan dan kendala baru, yaitu Persamaan (3.23) (3.25) dibuatlah tabel simpleks lalu dilakukan perhitungannya. Perhitungan iterasi simplek menggunakan bantuan excel, berikut adalah tampilan tabel optimum. 70

28 Gambar 3. 7 Tampilan tabel optimum simplek metode wolfe Berdasarkan Gambar 3.13 diperoleh hasil,,,,, dan. Kemudian untuk mendapatkan nilai maksimum yang dicari maka nilai variabel, dan disubstitusikan ke Persamaan (3.15) yang merupakan fungsi tujuan awal yaitu 2. Penyelesaian dengan Metode Fungsi Penalti Eksterior (Metode Penalty) Metode penalty digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear tak berkendala. Persamaan (3.15) merupakan masalah nonlinear dengan kendala Persamaan (3.16). Oleh karena itu, Persamaan (3.15) dan (3.16) dapat diselesaikan dengan metode penalty. 71

29 Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut a. Mengecek kekontinuan fungsi tujuan dan fungsi kendala Akan dibuktikan terlebih dahulu adalah fungsi yang kontinu. Berdasarkan Definisi 2.3 dan Definisi 2.4, suatu fungsi dikatakan kontinu di jika yang berarti untuk setiap yang diberikan terdapat sedemikian sehingga jika maka. Atau dengan kata lain fungsi tersebut memiliki turunan seperti yang tertera pada Teorema 2.2. Berikut ini akan dicari turunan pertama dari fungsi. Karena,,, ada, maka adalah fungsi yang kontinu. b. Membentuk fungsi tujuan untuk masalah optimasi tidak berkendala sesuai bentuk umum masalah fungsi penalti pada Persamaan (2.40). Masalah optimisasi Persamaan (3.15) dan (3.16), diubah ke dalam masalah optimisasi tanpa kendala menggunakan metode penalty dengan membentuk fungsi dan memilih (karena 2 merupakan bilangan positif terkecil yang mengakibatkan fungsi penalti tetap termuat dalam fungsi tujuan baru setelah diturunkan), sehingga menjadi 72

30 Maka diperoleh masalah fungsi penalti eksterior yaitu Meminimumkan (3.26) c. Menentukan penyelesaian dari masalah meminimalkan, yakni. Titik optimal akan dicapai jika, maka (3.27a) (3.27b) (3.27c) Karena tujuan masalah fungsi penalti adalah meminimalkan maka Persamaan (3.27) dapat ditulis (3.28a) (3.28b) (3.28c) Dari Persamaan (3.28) diperoleh 73

31 d. Menyelidiki apakah nilai dan merupakan nilai minimum atau maksimum berdasarkan syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa kendala. Matriks Hessian dari Persamaan (3.26) adalah sebagai berikut Akan diselidiki apakah definit positif, negatif, atau tidak definit. Jika dinyatakan dalam bentuk kuadratik, maka Berdasarkan Definisi 2.7, matriks definit negatif. Menurut syarat cukup keoptimalan masalah nonlinear tanpa berkendala jika dan definit negatif, maka merupakan titik maksimum. Jadi nilai maksimum dari untuk, adalah. 74

32 3. Analisa Hasil Penyelesaian dengan Pemrograman Kuadratik dan Metode Penalty Tabel 3. 7 Penyelesaian optimal untuk rata-rata produksi padi, ketela pohon dan jagung metode penalty Luas Panen Padi (ha) Luas Panen Ketela Pohon (ha) Luas Panen Jagung (ha) Rata-rata Produksi Tanaman Pangan (kw) pemrograman kuadratik Menurut Tabel 3.7, pada kasus optimasi rata-rata produksi tanaman padi, ketela pohon dan jagung, penyelesaian dengan pemrograman kuadratik dan metode fungsi penalti eksterior (penalty) mendapatkan hasil yang sama. Oleh karena itu kedua metode tersebut efektif untuk menyelesaikan masalah optimasi rata-rata produksi tanaman pangan. Akan tetapi setiap metode memiliki kelebihan dan kekurangannya masing-masing. Kekurangan pemrograman kuadratik yaitu prosesnya yang panjang sehingga membutuhkan waktu yang lama untuk memperoleh hasilnya. Adapun kelebihannya adalah perhitungannya yang mudah karena menggunakan simpleks dan dapat menggunakan bantuan software WinQSB. Sedangkan metode penalty kekurangannya yaitu apabila penyelesaiannya masih memuat parameter pinalti yaitu, maka membutuhkan metode penyelesaian lebih lanjut seperti metode newton atau metode steepest descent. 75

33 Kelebihannya yaitu proses memperoleh hasil optimal yang cepat apabila parameter penalti sudah tidak ada seperti masalah pada tugas akhir ini. Nilai optimal yang diperoleh sebesar 387,0586 kwintal. Kemudian apabila melihat Tabel 3.4, jumlahan dari rata-rata produksi tanaman padi, ketela pohon dan jagung sejak tahun 1994 hingga 2014 belum pernah mencapai hasil yang optimal. Oleh karena itu, pemerintah dan masyarakat perlu meningkatkan luas panen tanaman pangan di kota Magelang, khususnya tanaman ketela pohon dan jagung yang semakin menurun tiap tahunnya. 76