PENENTUAN RUTE BUS KARYAWAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER ZIL ARIFAH

Transkripsi

1 PENENTUAN RUTE BUS KARYAWAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER ZIL ARIFAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

2 PENENTUAN RUTE BUS KARYAWAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER ZIL ARIFAH G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

3 ABSTRAK ZIL ARIFAH. Penentuan Rute Bus Karyawan Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Dibimbing oleh PRAPTO TRI SUPRIYO dan FARIDA HANUM. Tulisan ini memberikan formulasi masalah penentuan rute bus karyawan menggunakan pemrograman linear integer. Rute setiap bus berawal dan berakhir di suatu tempat (depot) untuk menjemput karyawan melalui beberapa pos. Setiap pos dikunjungi tepat sekali oleh suatu bus dengan memperhatikan kapasitas setiap bus dan jarak tempuh maksimum setiap bus sehingga dapat dipastikan bahwa bus sampai depot (tempat kerja) sebelum jam kerja dimulai. Fungsi objektif masalah ini adalah meminimumkan biaya operasional seluruh bus yang dioperasikan. Biaya operasional setiap bus diasumsikan sepadan dengan biaya perawatan tetap dan biaya penggunaan yang sesuai dengan jarak perjalanan bus tersebut. Pada contoh studi kasus dengan menggunakan data hipotetik dalam karya ilmiah ini, biaya yang paling minimum diperoleh jika digunakan 4 unit bus. Total jarak yang ditempuh oleh keempat unit bus dalam menjemput atau mengantar karyawan adalah 247 km. Total biaya yang harus dikeluarkan untuk biaya operasional bus karyawan per harinya adalah rupiah.

4 ABSTRACT ZIL'ARIFAH. Employee Bus Route Determination Using Integer Linear Programming. Supervised by PRAPTO TRI SUPRIYO and FARIDA HANUM. This paper gives formulation of the problem in determining an employee bus route using integer linear programming. Each bus route begins and ends in one place (depot) to pick some postal employees. Each post will be visited once by a bus according to the capacity and maximum mileage of each bus, so it can be ascertained that the bus arrives before work begins. Objective function of this problem is to minimize operating costs of all of the buses. The result of case study using hypothetical data shows that the minimum cost is obtained when four buses are used. The total distance traveled by the four buses is 247 km with total daily operating costs 894,000 rupiahs.

5 PENENTUAN RUTE BUS KARYAWAN MENGGUNAKAN PEMROGRAMAN LINEAR INTEGER ZIL ARIFAH G Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012

6 Judul Nama NIM : Penentuan Rute Bus Karyawan Menggunakan Pemrograman Linear Integer : Zil Arifah : G Menyetujui, Pembimbing I Pembimbing II Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. NIP Dra. Farida Hanum, M.Si. NIP Mengetahui: Ketua Departemen Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP Tanggal Lulus :

7 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, karunia, izin, dan pertolongan-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Penentuan Rute Bus Karyawan Menggunakan Pemrograman Linear Integer. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk menyelesaikan studi pada Departemen Matematika, Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor. Terima kasih penulis ucapkan kepada: 1. Sang pencipta, Tuhan semesta alam Allah SWT, atas maha karya-nya, 2. Nabi besar Muhammad SAW sebagai penutup para nabi, 3. Bapak dan Ibu tercinta; Drs. Ermasdi dan Brata Graha, atas segala dukungan, motivasi, pembelajaran, masukan, dan segala kasih sayang yang diberikan kepada penulis, juga adikadikku tersayang, Rozaanah, Fauzan Aziman, dan Hanifatul Khairiyah, atas segala kasih sayangnya dan keceriaannya, 4. Bapak Drs. Prapto Tri Supriyo, M. Kom dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si, selaku dosen pembimbing, atas segala kesabaran dan masukan serta doanya selama membimbing penulis, tak lupa kepada Bapak Drs. Siswandi, M. Si selaku penguji yang telah memberikan ilmu, saran, dan doanya, 5. semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan, 6. staf Departemen Matematika: Bapak Yono, Bapak Hery, Bapak Deni, Ibu Ade, Bapak Epul, Bapak Bono dan Ibu Susi atas semangat dan doanya, 7. keluarga besar Ibu Sulastri, Mama El, Mama Af, Etek Am, Om Eri, Etek Pit, Etek Ira, Etek Eda, Etek Nel, Etek Adek, Pa Etek Razak, Pa Etek Am, dan Pa Etek Fadly, 8. keluarga besar Bapak M. Yusuf, terutama Ibu Maemunah, Mamang Sabeni, Bibi Lilis, Uwa Isah, Siska, Syukri, dan Fajar, 9. keluarga besar Bapak Mardani, terutama Ibu Hj. Masna Ulyanah Mardani, Aa Dicky, Mas Risyad, Aa Fikri, Kang Ade, Wildan, dan Algifari, 10. Chandra yang selalu mendampingi serta memberikan semangat, dukungan, dan doanya, 11. Afat yang selalu memberikan semangat, dan doanya, 12. sahabat-sahabatku tersayang yang selalu memberi semangat; Kiky, Warno, Mega, Dhani, dan Aa Dede, atas segala tawa dan tangis, manis dan pahit, suka dan duka selama persahabatan kita, 13. teman-teman mahasiswa angkatan 42: Riyu, Ricken, Agnes, Hikmah, Dian, Titi, Mira, Octa, Rita, Vita, Vera, Gita, Luri, Rima, Hesti, Ayu, Nyoman, Lisda, Ida, Achi, Dewi, Septiwi, Erlin, Eyyi, Hapsari, Jane, Lela, Lina, Mega, Niken, Nola, Nofi, Oby, Ocoy, Pipit, Siti, Tia, Vino, Yuni, Ety, Yudi, Danu, Sapto, Dendi, Ardy, Septian, Awi, Eko, Rendy, Boy, Jawa, Arif, Makinun, Ridwan, Yusep, Bima, Ilyas, Iput, Fachri, Warno, Heri, Acuy, dan Bayu, atas segenap dukungan, suka duka dan keceriaan selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB, 14. kakak-kakak mahasiswa matematika angkatan 40, terutama kak Rusli, atas segala bantuannya dalam mengajarkan Lingo; kakak-kakak mahasiswa angkatan 41, terutama kak Aji, atas bantuannya; adik-adik mahasiswa angkatan 43, terutama Slamet atas bantuannya dan Faizal yang telah bersedia menjadi pembahas, dan adik-adik mahasiswa angkatan 44, 15. keluarga besar BEM FMIPA IPB angkatan dan angkatan , atas segenap dukungan, doa, dorongan semangat, dan warna warni dalam kebersamaan kita, 16. keluarga besar pengurus Gumatika IPB, atas dukungan dan doanya, 17. pembimbing dan asisten pengajar Kumon Taman Yasmin; bu Yani, pak Bambang, mbak Berti, mbak Eka, mbak Era, mbak Sri, mbak Iis, mbak Nining, mbak Mira, mbak Tina, mbak Titi, mbak Oy, Susi, Roby, Mia, Dwi, Wiwi, Eyyi, dan Riska, 18. teman-teman penghuni Maharlika Depan; Vina, Ayu, Veza, Yuyun, Icha, Ninu, Almira dan Isna, 19. semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Penulis menyadari bahwa dalam tulisan ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca. Semoga tulisan ini dapat bermanfaat. Bogor, Februari 2012 Zil Arifah

8 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Batusangkar pada 23 September 1986 dari pasangan Drs. Ermasdi dan Brata Graha. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara. Pada tahun 1999 penulis lulus dari SD Negeri 22 Batusangkar kemudian tahun 2002 lulus dari SLTP Negeri 1 Batusangkar. Tahun 2005 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Padang Panjang dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB). Pada tahun 2006, penulis memilih Mayor Matematika dan Minor Statistika Industri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kegiatan kemahasiswaan, di antaranya pada tahun menjabat sebagai staf Departemen Pengembangan Sumber Daya Mahasiswa dan pada tahun sebagai staf Departemen Sosial Badan Eksekutif Mahasiswa Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BEM FMIPA) IPB. Selain itu, penulis juga terlibat dalam Organisasi Mahasiswa Daerah Ikatan Pelajar Mahasiswa Minang (IPMM) sebagai staf Dewan Penasehat IPMM tahun dan tahun Penulis juga terlibat dalam organisasi Ikatan Mahasiswa Serambi Makkah dan Pagaruyung (IMASEREMPAG) sebagai sekretaris pada tahun dan tahun 2008/2009, serta mengikuti kepanitiaan dari beberapa kegiatan selama rentang waktu Pada tahun 2008 penulis pernah mengajar di SMK IZZATA Depok dan pada tahun 2009 penulis pernah mengajar di SMK Wira Buana Citayam dan asisten PT KIE Indonesia (Kumon).

9 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN viii viii viii I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan 1 II LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Linear dan Pertidaksamaan Linear Pemrograman Linear Pemrograman Integer (Integer Programming) Relaksasi Pemrograman Linear Graf Masalah Path Terpendek Traveling Salesman Problem (TSP) Metode Branch-and-Bound 6 III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH 3.1 Deskripsi Masalah Rute Bus Karyawan Model Masalah Rute Bus Karyawan 9 IV STUDI KASUS 12 V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Saran 15 DAFTAR PUSTAKA 15 LAMPIRAN 16 vii

10 DAFTAR TABEL Halaman 1 Jarak antarpos penjemputan bus karyawan 12 2 Banyaknya karyawan yang dijemput pada setiap pos 13 3 Rute solusi optimal untuk bus Pertama 14 4 Rute solusi optimal untuk bus kedua 14 5 Rute solusi optimal untuk bus ketiga 14 6 Rute solusi optimal untuk bus keempat 14 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Graf G = (V, E) 3 2 Graf G = (V, E) 4 3 Graf berbobot G =(V,A) 4 4 Contoh rute dalam traveling salesman problem (TSP) 5 5 Input dari sebuah VRP 5 6 Solusi yang mungkin dari VRP pada Gambar 5 dengan tiga kendaraan 6 7 Daerah fisibel untuk PL-relaksasi dan IP (2.7) 7 8 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 dari IP (2.7) 8 9 Seluruh pencabangan pada metode branch-and-bound untuk menyelesaikan IP (2.7) 9 10 Perjalanan bus yang berupa subrute Perjalanan bus yang berupa rute Solusi rute perjalanan 14 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Pemrograman Linear dengan Metode Branch-and-Bound Beserta Hasil yang Diperoleh 17 2 Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Rute Bus Karyawan 21 3 Hasil Komputasi Program pada Lingo 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Rute Bus Karyawan 23 viii

11 I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah penentuan rute bus karyawan mendapat perhatian dari para peneliti selama lebih kurang 30 tahun belakangan ini. Masalah optimisasi rute bus karyawan secara matematis termasuk dalam kelas permasalahan yang disebut Vehicle Routing Problem (VRP). Bentuk dasar VRP berkaitan dengan masalah penentuan suatu himpunan rute kendaraan (vehicle) yang melayani suatu himpunan pelanggan. Dalam kehidupan sehari-hari banyak ditemukan terapan VRP, antara lain pendistribusian barang hasil produksi oleh produsen ke konsumen, pengambilan surat dari kotak-kotak pos yang tersebar di seluruh kota, pengantaran dan penjemputan anak sekolah dengan bus sekolah. Karakteristik khusus yang diperhatikan dalam masalah bus karyawan di antaranya, bus tidak kembali ke pos yang sudah dilewatinya setelah melengkapi rute perjalanannya tetapi bus mengakhiri perjalanannya di depot, serta banyaknya karyawan pada setiap bus tidak melebihi kapasitas bus. Tulisan ini akan membahas bagaimana mengoptimalkan biaya yang berhubungan dengan pengangkutan karyawan dengan menggunakan PLI (pemrograman linear integer) sedemikian sehingga kendalakendalanya dipenuhi. Model penentuan rute bus karyawan pada karya ilmiah ini berdasarkan pada artikel berjudul Solving school bus routing problems through integer programming yang ditulis oleh T Bektas dan Seda Elmastas tahun Tujuan Tujuan penulisan ini adalah memodelkan dan menyelesaikan masalah penentuan rute bus karyawan dengan PLI. II LANDASAN TEORI Untuk membuat model penentuan rute bus karyawan dan teknik-teknik pemecahan yang digunakan dalam karya tulis ini, diperlukan pemahaman teori pemrograman linear (PL), Pemrograman Linear Integer (PLI) atau Integer Linear Programming (ILP), dan metode branch-and-bound. 2.1Fungsi Linear dan Pertidaksamaan Linear Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dipahami terkait dengan konsep pemrograman linear. Definisi 1 (Fungsi Linear) Misalkan f ( x, x,..., x ) menyatakan 1 2 n suatu fungsi dalam variabel-variabel x, x,..., x n. Fungsi f ( x, x,..., x ) dikatakan n linear jika dan hanya jika untuk suatu himpunan konstanta c 1, c, fungsi f 2,..., c n dapat dituliskan sebagai f ( x1, x2,..., xn ) = c1x1 + c2 x cn xn. (Winston 2004) Sebagai gambaran, f ( x, x ) = 2x + x merupakan fungsi linear, sementara 2 f ( x, x = x x bukan fungsi linear. 1 2 ) 1 2 Definisi 2 (Pertidaksamaan dan Persamaan Linear) Untuk sembarang fungsi linear f ( x, x,..., x ) dan sembarang bilangan b, 1 2 n pertidaksamaan f ( x dan 1, x2,..., xn ) b f ( x adalah pertidaksamaan 1, x2,..., xn ) b linear; sedangkan f ( x, x,..., x ) = b 1 2 n merupakan persamaan linear. (Winston 2004) 2.2 Pemrograman Linear Menurut Winston (2004), pemrograman linear (PL) adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut. a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

12 2 b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear. c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel x i, pembatasan tanda menentukan x harus taknegatif i ( x i 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign). Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut. Definisi 3 (Bentuk Standar PL) Pemrograman linear min z = c T x terhadap Ax = b x 0 (2.1) dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan x dan c vektor-vektor berukuran n, vektor b berukuran m, dan A matriks berukuran m n yang disebut sebagai matriks kendala, dengan m n. (Nash & Sofer 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n 1. Solusi Pemrograman Linear Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimal bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar. Pada masalah PL (2.1), vektor x yang memenuhi kendala Ax = b disebut solusi PL (2.1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A= ( B N), dengan B adalah matriks berukuran m m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m ( n m) yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks B disebut matriks basis untuk PL (2.1). Misalkan x dapat dinyatakan sebagai xb vektor x =, dengan x B adalah vektor xn x N variabel basis dan adalah vektor variabel nonbasis, maka Ax = b dapat dinyatakan sebagai ( ) x B Ax = B N x N = Bx B + NxN = b. (2.2) Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2.2) x B dapat dinyatakan sebagai: x B = B -1 b B -1 Nx N. (2.3) Definisi 4 (Daerah Fisibel) Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. (Winston 2004) Definisi 5 (Solusi Basis) Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut: i. solusi tersebut memenuhi kendala pesamaan pada PL, ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear. (Nash & Sofer 1996) Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis) Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya taknegatif. (Winston 2004) Definisi 7 (Solusi Optimal) Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. (Winston 2004) Ilustrasi solusi basis dan solusi fisibel basis diberikan dalam Contoh 1. Contoh 1 Misalkan diberikan PL (2.4) berikut: min z = 2x 1 3x 2 terhadap 2x 1 + x 2 + x 3 = 4 Dari PL (2.4) diperoleh: x 1 + 2x 2 + x 4 = 11 (2.4) x 1 + x 5 = 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

13 A = , 11. b = Misalkan dipilih x B T ( x x x ) x ( x x ) T N 1 2 = dan =, maka matriks basisnya adalah B = Dengan menggunakan matriks basis di atas didapatkan T 1 T xn = ( 0 0 ), xb = B b = ( ). (2.5) Solusi (2.5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (2.4) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (2.5), yaitu B, bebas linear. Solusi (2.5) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilainilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol. PL (2.1) dapat dinyatakan dalam bentuk xb dan x N sebagai berikut T T min z = cbxb + cnxn terhadap Bx (2.6) B + NxN = b x 0, dengan c B vektor koefisien variabel basis pada fungsi objektif dan c N vektor koefisien variabel nonbasis pada fungsi objektif. Jika persamaan (2.3) disubstitusikan ke dalam fungsi objektif PL (2.6) maka akan didapat T 1 1 T z = cb( B b B NxN) + cnxn T 1 T T 1 = cb b+ ( c cb Nx ). B N B N (Winston 2004) 2.3 Pemrograman Integer (Integer Programming) pemrograman integer (PI) atau Integer programming (IP) adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP. (Garfinkel & Nemhauser 1972) 2.4 Relaksasi Pemrograman Linear Konsep relaksasi pemrograman linear atau relaksasi-pl diberikan dalam definisi berikut ini. Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear) Pemrograman linear relaksasi atau sering disebut relaksasi-pl merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya. Untuk masalah maksimisasi, nilai optimal fungsi objektif relaksasi-pl lebih besar atau sama dengan nilai optimal fungsi objektif IP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimal fungsi objektif relaksasi-pl lebih kecil atau sama dengan nilai optimal fungsi objektif IP. (Winston 1995) 2.5 Graf Konsep graf yang digunakan dalam karya ilmiah ini meliputi definisi-definisi berikut ini. Definisi 9 (Graf) Suatu graf G adalah pasangan terurut (V, E) dengan V himpunan takkosong dan berhingga yang anggota-anggotanya disebut simpul (node/vertex) dan E merupakan himpunan berhingga garis yang menghubungkan simpul-simpul anggota V yang disebut dengan sisi (edge). Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j dinyatakan dengan {i, j}. (Foulds 1992) Graf seperti disebutkan pada definisi di atas disebut juga graf tak berarah. Ilustrasi graf tak berarah dapat dilihat pada Gambar 1 berikut: G: Gambar 1 Graf G = (V, E) Pada Gambar 1 di atas diperlihatkan bahwa V = {1,2,3,4,5} dan E = {{1, 2},{1, 3},{1, 4},{2, 3},{3, 4},{3, 5}}. Definisi 10 (Graf Berarah) Dalam suatu graf, jika sisi yang menghubungkan simpul-simpulnya berarah 4 5

14 4 maka graf tersebut dinamakan graf berarah (directed graph/digraph). Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j berarah dinyatakan dengan {i, j}. (Foulds 1992) Ilustrasi graf berarah dapat dilihat pada gambar berikut G ' : Gambar 2 Graf G' = ( V, A). Pada Gambar 2 diperlihatkan bahwa V = {1,2,3,4,5} dan A = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2,1), (3, 2), (3, 5), (4, 3)}. Definisi 11 (Walk) Suatu walk pada graf G = (V, E) adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentuk: v1, { v1, v2}, v2, { v2, v3},...,{ vn 1, vn}, vn, atau ditulis dengan ringkas : v1, v2,..., vn atau v1, v2,..., v n. Walk tersebut menghubungkan simpul v 1 dengan simpul v n. (Foulds 1992) Definisi 12 (Path) Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua simpulnya berbeda. (Foulds 1992) Ilustrasi walk dan path diberikan sebagai berikut. Pada graf G yang terdapat dalam Gambar 1, salah satu contoh walk adalah 1, 2,3, 4,3,5, sedangkan 1, 2,3,5 adalah salah satu contoh path. Definisi 13 (Walk Berarah) Walk berarah pada suatu graf berarah G' = ( V, A) adalah suatu barisan terurut simpul dan sisi pada G ' yang berbentuk v0, a1, v1,..., a n, vn, dengan setiap sisi berarah a i menghubungkan simpul-simpul v i-1 dan v i secara berurutan. (Foulds 1992) 4 5 Definisi 14 (Path Berarah) Path berarah pada graf berarah G adalah suatu walk berarah yang semua simpulnya berbeda. (Foulds 1992) Ilustrasi walk dan path berarah diberikan sebagai berikut. Pada graf berarah G ' yang terdapat dalam Gambar 2, contoh walk berarah adalah 1,3, 2,1, 4,3,5, dan contoh path berarah adalah 2,1,4,3,5. Definisi 15 (Graf Berbobot) Suatu graf G = (V, E) atau graf berarah G' = ( V, A) dikatakan berbobot jika terdapat fungsi w: E R atau l : A R (dengan R himpunan bilangan real) yang memberikan bobot pada setiap elemen E atau A. (Foulds 1992) Ilustrasi graf berbobot diberikan dalam Gambar 3. G ' : Gambar 3 Graf berbobot G' = ( V, A). Misalkan diberikan l : A R untuk graf berbobot G' = ( V, A) pada Gambar 3, maka l((4,3)) = 3 atau dapat pula ditulis l4,3 = 3; l2,1 = 1; l1,3 = l3,5 = 0; l3,2 = 2; l = 2. 1, Masalah Path Terpendek Masalah penentuan rute perjalanan dengan biaya minimum merupakan aplikasi dari masalah penentuan path terpendek dalam suatu graf berbobot. Didefinisikan panjang untuk sembarang path berarah dalam suatu network sebagai jumlah biaya semua sisi berarah dalam path tersebut. Dalam masalah ini akan dicari suatu path terpendek, yakni path berarah dari suatu simpul asal ke simpul tujuan dengan panjang terkecil. Dalam bab ini, juga dijelaskan tentang traveling salesman problem (TSP) yang merupakan dasar dari vehicle routing problem (VRP), kemudian akan diperlihatkan

15 5 penggunaan pemrograman linear integer (PLI) untuk mencari solusi dari kasus VRP. 2.7 Traveling Salesman Problem (TSP) Dalam TSP, seorang salesman harus mengunjungi seluruh kota yang ada dan diharuskan kembali ke kota awal pada akhir perjalanannya. Tujuan dari TSP adalah menetukan rute perjalanan yang fisibel sedemikian sehingga jarak tempuh yang melalui rute tersebut minimum. Konsumen Rute Depot Definisi 16 (m-tsp) m-tsp adalah salah satu variasi dari TSP. Dalam m-tsp terdapat m salesman mengunjungi seluruh kota tetapi setiap kota hanya dapat dikunjungi oleh tepat satu salesman saja. Setiap salesman berangkat dari suatu depot dan pada akhir perjalanannya juga harus kembali ke depot tersebut. Tujuan dari m-tsp adalah meminimumkan total jarak dari setiap rute. Masalah m-tsp dikenal juga sebagai vehicle routing problem (VRP). Dalam masalah tersebut, sebuah kota diasosiasikan sebagai konsumen dan tiap kendaraan memiliki kapasitas tertentu. Total jumlah permintaan dalam suatu rute tidak boleh melebihi kapasitas dari kendaraan yang beroperasi. (Larsen 1999) Contoh solusi dari TSP dapat dilihat pada Gambar 4. Gambar 4 Contoh rute dalam traveling salesman problem (TSP). Vehicle Routing Problem (VRP) VRP merupakan masalah pendistribusian setiap kendaraan yang terletak di depot untuk memenuhi permintaan para pelanggan yang tersebar di banyak tempat. Masalah utama dari VRP adalah membuat rute yang fisibel dengan biaya yang rendah untuk setiap kendaraan dengan ketentuan bahwa setiap kendaraan memulai dan mengakhiri perjalanan dari depot. Misalkan V adalah himpunan pelanggan yang harus dilayani. Fungsi objektif dari sebuah VRP adalah mencari sebanyak m buah rute kendaraan dengan total biaya yang minimum sehingga setiap pelanggan di V dikunjungi oleh tepat satu kendaraan. Sebuah rute R i dikatakan fisibel jika setiap pelanggan dikunjungi tepat satu kali oleh sebuah kendaraan. Gambar berikut mencoba menjelaskan input dari sebuah VRP dan solusi yang mungkin terjadi Pelanggan Depot Gambar 5 Input dari sebuah VRP.

16 6 Rute kendaraan Depot Gambar 6 Solusi yang mungkin dari VRP pada Gambar 5 dengan tiga kendaraan. Tujuan dari VRP adalah menentukan sejumlah rute untuk melakukan pengiriman pada setiap konsumen, dengan mengikuti beberapa ketentuan antara lain : 1. setiap rute berawal dan berakhir di depot, 2. setiap konsumen dikunjungi tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan, 3. jumlah permintaan tiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan, 4. meminimumkan biaya perjalanan, (Cordeau et al. 2002) Definisi 17 (Capacitated Vehicle Routing Problem) Capacitated Vehicle Routing Problem (CVRP) merupakan salah satu variasi dari masalah VRP dengan penambahan kendala kapasitas kendaraan. Setiap kendaraan yang melayani konsumen disyaratkan memiliki batasan kapasitas sehingga banyaknya konsumen yang dilayani oleh setiap kendaraan dalam satu rute bergantung pada kapasitas kendaraan. CVRP bertujuan meminimumkan waktu tempuh rute perjalanan kendaraan dalam mendistribusikan barang dari tempat produksi yang dinamakan dengan depot ke sejumlah konsumen dan memenuhi batasan kapasitas. 2.8 Metode Branch-and-Bound Dalam karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI digunakan software LINGO 8.0, yaitu sebuah program yang dirancang untuk menentukan solusi model linear, taklinear, dan optimisasi integer. Software LINGO 8.0 ini menggunakan metode branch-and-bound untuk menyelesaikan masalah PLI. Prinsip dasar metode branch-and-bound adalah memecah daerah fisibel dari masalah relaksasi-pl dengan membuat subproblemsubproblem. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritme branch-and-bound. Branch (Cabang) Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblemsubproblem yang mungkin mengarah ke solusi fisibel. Bound (Batas) Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi. (Taha 1975) Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-pl dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-plnya kemudian diselesaikan. Winston (2004) menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum untuk PLI nilai fungsi objektif optimum untuk relaksasi-pl, sehingga nilai fungsi objektif optimum relaksasi-pl merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI. Diungkapkan pula oleh Winston (2004) untuk

17 7 masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer. Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut: a. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk PLI. b. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi) nilai fungsi objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu, bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah PLI. c. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi batas bawah saat itu (untuk masalah maksimisasi), maka subproblem ini dapat dieliminasi. Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound. Langkah 0 Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) PLI yang optimum. Pada awalnya ditetapkan z = dan i = 0. Langkah 1 Subproblem PL (i) dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem PL (i) diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai. a) Jika PL (i) terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi PLI yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan. b) Jika PL (i) tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan PL (i). Langkah 2 Dipilih salah satu variabel x j dengan nilai optimumnya adalah x * j yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi PL (i). Bidang [x * j ] < x j < [x * j ] + 1 disingkirkan dengan membuat dua subproblem PL yang berkaitan menjadi dua subproblem yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, yaitu x j [x * j ] dan x j [x * j ] + 1, dengan [x * j ] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan x * j. Jika PL (i) masih tidak terukur, maka kembali ke Langkah 1. (Taha 1996) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut. Contoh 3 (Metode Branch-and-Bound) Misalkan diberikan integer programming (IP) berikut: maks z = 5x 1 + 4x 2 terhadap x 1 + x x 1 + 6x 2 45 (2.7) x 1, x 2 0 x 1, x 2 integer. Solusi optimal relaksasi-pl dari masalah IP (2.7) adalah x 1 = 3.75, x 2 = 1.25, dan z = (yang dapat dilihat di Lampiran 1). Batas atas nilai optimal fungsi objektif masalah ini adalah z = Daerah fisibel masalah (2.7) ditunjukkan pada Gambar 7. Gambar 7 Daerah fisibel untuk relaksasi-pl dari IP (2.7). Keterangan : = solusi optimal relaksasi-pl IP (2.7) = titik-titik fisibel bagi IP (2.7) Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel relaksasi-pl menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang bernilai

18 8 pecahan (non-integer). Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalkan dipilih x 1 sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-pl diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu: Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala x1 4; Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala x1 3. Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 8. Subproblem 3 Subproblem 2 Gambar 8 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3 dari IP (2.7). Setiap titik (solusi) fisibel dari IP (2.7) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh x 1. Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimal untuk Subproblem 2 ini adalah x 1 = 4, x 2 = 0.83, dan z = (lihat Lampiran 1). Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 2 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 2 atas x, 2 sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni: Subproblem 4: Subproblem 2 ditambah kendala x2 1; Subproblem 5: Subproblem 2 ditambah kendala x2 0. Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3, 4, dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya dengan aturan LIFO (Last In First Out). Dengan adanya aturan ini berarti dipilih Subproblem 4 atau Subproblem 5. Karena Subproblem 4 takfisibel (lihat pada Lampiran 1), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal, yang tersisa adalah Subproblem 3 dan Subproblem 5. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5, yang kemudian menghasilkan solusi optimal x 1 = 4.5, x 2 = 0, dan z = 22.5 (lihat pada Lampiran 1). Karena x 1 = 4.5 bukan integer, maka dilakukan kembali pencabangan atas x 1, sehingga diperoleh: Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah kendala x1 5; Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah kendala x1 4. Misalkan dipilih Subproblem 6. Ternyata subproblem ini juga takfisibel (lihat pada Lampiran 1), sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal. Dengan demikian subproblem-subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3 dan Subproblem 7. Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 7. Subproblem ini kemudian menghasilkan solusi optimal x1 = 4, x2 = 0, dan z = 20 (lihat pada Lampiran 1). Dapat dilihat bahwa solusi optimal subproblem ini semuanya berupa integer, sehingga merupakan kandidat solusi untuk IP (2.7). Nilai z pada kandidat solusi ini merupakan batas bawah bagi nilai optimal IP. Penyelesaian Subproblem 3 menghasilkan solusi optimal x1 = 3, x2 = 2, dan z = 23 (lihat pada Lampiran 1). Batas bawah yang ditetapkan dari solusi optimal Subproblem 7 terlalu lemah dan tidak lebih baik dari nilai solusi optimal yang dihasilkan oleh Subproblem 3. Dengan demikian, nilai solusi optimal Subproblem 3, yakni z = 23 menjadi batas bawah yang baru. Semua solusi optimal telah berupa integer dan tidak perlu lagi dilakukan pencabangan, sehingga solusi optimal dari Subproblem 3 merupakan solusi optimal IP (2.7), yakni x 1 = 3, x 2 = 2, dan z = 23. Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah IP (2.7) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 9.

19 9 Subproblem 1 x 1 = 3.75, x 2 = 1.25, z = t = 1 Batas atas = x 1 4 x 1 3 t = 2 Subproblem 2 2 x 1 = 4, x 2 = 0.83, z = x 1 = 4, x 2 = 0.83, z = t = 7 x 2 1 x 2 0 Subproblem 3* x1 = 3, x2 = 2, z = 23 Batas bawah = 23 Solusi Optimal t = 3 Subproblem 4 takfisibel Subproblem , 2 0, 22.5 x 1 = 4.5, x 2 = 0, z = 22.5 t = 4 x 1 5 x 1 4 t = 5 Subproblem 6 takfisibel t = 6 Subproblem 7* x1 = 4, x2 = 0, z = 20 Batas bawah = 20 Kandidat Solusi Gambar 9 Seluruh pencabangan pada metode branch-and-bound untuk menyelesaikan IP (2.7). Pada Gambar 9, solusi Subproblem 3 dan Subproblem 7 adalah kandidat solusi terbaik karena semua variabelnya bernilai integer. Namun, karena nilai z untuk Subproblem 3 lebih besar dari Subproblem 7 maka solusi dari Subproblem 3 merupakan solusi optimum untuk masalah IP pada Contoh 3. Tanda (*) pada Subproblem 3 dan Subproblem 7 menyatakan kandidat solusi untuk masalah IP tersebut. III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH 3.1 Deskripsi Masalah Rute Bus Karyawan Masalah rute bus karyawan adalah masalah penentuan rute bus untuk menjemput karyawan dari pos-pos yang sudah ditentukan menuju perusahaan dan mengantarkan karyawan dari perusahaan ke pos-pos, kemudian bus tersebut kembali ke tempat asalnya, yaitu perusahaan (depot), dengan biaya yang minimum sehingga kendala kapasitas atau kendala waktu tempuh terpenuhi. Untuk meminimumkan biaya operasional bus, hal yang harus dipertimbangkan adalah biaya perjalanan setiap bus dan biaya tetap untuk mengirimkan bus. 3.2 Model Masalah Rute Bus Karyawan Dalam model ini, rute untuk menjemput karyawan dari pos-pos menuju perusahaan dan rute untuk mengantarkan karyawan dari perusahaan ke pos-pos, diasumsikan sama karena pos-pos penjemputan dan pengantaran karyawan adalah sama. Masalah penentuan rute bus karyawan sangat berhubungan dengan VRP dan graf. Secara matematis VRP dapat dinyatakan sebagai suatu digraf G = (V, A) dengan V = {0, 1,..., n} adalah himpunan simpul yang menunjukkan pos-pos antar-jemput karyawan dan A={(i, j) i, j V, i j} yaitu himpunan sisi berarah yang menyatakan jalan penghubung antarpos. Pos 0 menunjukkan

20 10 depot, yaitu tempat menyimpan bus yang digunakan untuk mengangkut karyawan dan merupakan tempat dimulainya suatu rute bus. Intermediate node (simpul penghubung) menunjukkan pos ke-i yang dilewati oleh setiap bus untuk menjemput dan mengantarkan karyawan. Misalkan banyaknya bus yang tersedia di depot adalah k dengan kapasitas setiap bus diasumsikan sama, yaitu Q, dan jarak tempuh maksimum setiap bus adalah T. Permasalahannya ialah menentukan rute yang fisibel (yang mungkin dapat dilalui) sehingga biaya dari setiap bus yang melalui rute tersebut adalah minimum. Toth dan Vigo (2002) memformulasikan VRP dalam bentuk ILP dengan tujuan meminimalkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan. Untuk mendefinisikan masalah rute bus karyawan, dimisalkan: Q = kapasitas bus T = jarak tempuh maksimum dari setiap bus V = himpunan pos yang dilalui oleh bus I = himpunan intermediate node (simpul penghubung) k = banyaknya bus yang tersedia f = biaya tetap untuk setiap pengiriman satu bus per hari q i = banyaknya karyawan yang harus dijemput di pos i u i = banyaknya karyawan di bus tepat setelah pos i d ij = jarak tempuh dari pos i ke pos j v i = total panjang perjalanan bus dari depot sampai pada pos i c ij = biaya dari pos i ke pos j α = biaya yang dikeluarkan tiap-tiap bus per kilometer Variabel keputusan : x ij 1 ; jika bus berangkat dari pos i ke pos j = 0 ; jika selainnya Fungsi objektif dari permasalahan ini adalah meminimumkan biaya yang dikeluarkan oleh pengelola bus karyawan. Setiap bus yang dijadwalkan berangkat dari depot ke pos-pos yang sudah ditentukan, akan dikenakan biaya sesuai dengan jauhnya perjalanan bus ditambah dengan biaya tetap untuk semua bus yang dikirim sehingga dimodelkan sebagai berikut: min z = cx + fk. ij ij i V ' j V ' dengan c ij = αd ij dan V = V U {0}. Dalam model ini, yang dipakai hanya rute penjemputan saja karena diasumsikan bahwa rute penjemputan karyawan sama dengan rute pengantaran karyawan. Kendala-kendala : 1. Setiap rute perjalanan bus berawal dari depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan pos 0 menuju pos i x k i I 0i 2. Setiap rute perjalanan bus berakhir di depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan pos i menuju depot x k i I i0 3. Setiap pos hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu bus xij = 1 i I j I, j i xij = 1 j I i I, i j 4. Kendala kapasitas u i u j + Qx ij Q q j (3.1) i j I u i q i, i I (3.2) u i q i x 0i + Qx 0i Q i I (3.3) Variabel x ij dan x ji hanya akan terdefinisi jika q i + q j Q. Jika x ij = 0 maka kendala u i u j + Qx ij Q q j akan menunjukkan bahwa u i + q j Q + u j. Jika x ij = 1 maka kendala tersebut menunjukkan bahwa u j u i + q j. Formulasi (3.1) dan (3.2) memastikan bahwa tidak terdapat subrute pada setiap rute yang terbentuk, karena kapasitas bus sangat mempengaruhi rute yang ada. Formulasi (3.3) menunjukkan kapasitas bus yang dimulai dari depot ke pos pertama dalam rute perjalanannya. Formulasi kendala (4) pada intinya menekankan pada batasan subrute yaitu mengeliminasi subrute supaya tidak terdapat subrute pada rute-rute yang terbentuk yang dikaitkan dengan batasan kapasitas bus. Perjalanan yang memuat suatu subrute merupakan solusi yang tidak fisibel. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika banyaknya karyawan yang dijemput pada pos i dan pos j tidak melebihi kapasitas bus. Ilustrasi : Misalkan diberikan pos 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan dilalui oleh satu bus karyawan,

21 11 dan perjalanan bus yang diberikan seperti gambar berikut: Gambar 10 Perjalanan bus yang berupa subrute. Gambar 10 merupakan subrute yang terdiri atas (1-2-1) dan ( ), dan diasumsikan bahwa pos 1 adalah depot. Pada Gambar 10, nilai x 13 = x 34 = x 45 = x 51 = x 12 = x 21 = 1. Misalkan diambil subrute (1-2-1) dengan q 1 = 0, q 2 = 15, q 3 = 10, q 4 = 21, q 5 = 8, dengan Q = 40. q 3 + q 4 + q 5 = = 39. Sedangkan q 2 = 15, sehingga q 3 + q 4 + q 5 + q 2 = = 54 > 40 (kapasitas bus). Akibatnya dari pos 5, bus harus kembali lagi ke depot untuk menurunkan karyawan terlebih dahulu baru menjemput karyawan lagi. Rute bus seperti ini tidak diinginkan, sehingga harus dieliminasi. Representasi pertaksamaan kendala (4) terhadap sisi berarah dalam subcycle ini adalah : u 1 u 2 + Qx 12 Q q 2 (1) dan u 2 u 1 + Qx 21 Q q 1 (2) sehingga dari (1) dan (2) didapat : Q(x 12 + x 21 ) 2Q q 2 q 1 (3) Hasil (3) bertentangan dengan x 12 = x 21 = 1 yaitu, Q(1 + 1) 2Q q 2 q 1 2Q 2Q q 2 q Berdasarkan hasil di atas perjalanan yang memuat suatu subrute merupakan solusi yang tidak fisibel. Ilustrasi : Misalkan diberikan pos 1, 2, 3, 4, dan 5 yang akan dilalui oleh satu bus karyawan, dan perjalanan bus yang diberikan seperti gambar berikut: Gambar 11 Perjalanan bus yang berupa rute. Dari Gambar 11 diasumsikan bahwa pos 1 merupakan pos pertama dari perjalanan bus (pada akhirnya semua pos akan dikunjungi). Misalkan u i = banyaknya karyawan di bus tepat setelah pos i dan q i = banyaknya karyawan yang harus dijemput di pos i. Sebagai gambaran, akan dipertimbangkan rute yang diperoleh dari Gambar 11, yaitu , kemudian dipilih q 1 = 0, q 2 = 15, q 3 = 10, q 4 = 21, q 5 = 8, dengan Q = 40 sehingga x 13 = x 34 = x 45 = x 52 = x 21 = 1. Dengan pemilihan tersebut akan dibuktikan pertidaksamaan (4) terpenuhi. Pertama, pemilihan tersebut sesuai untuk sebuah sisi berarah dengan x ij = 1. Sebagai contoh, pembatasan untuk x 34 adalah u 3 u x q 4 dengan u 3 = 10 dan u 4 = 31 sehingga x (1) Kedua, pemilihan rute di atas juga memenuhi kendala x ij = 0. Sebagai contoh untuk untuk x 34 adalah u 3 u x q 4 dengan u 3 = 10 dan u 4 = 31 sehingga x (0) Kendala Jarak v i v j + (T d i0 d 0j + d ij ) x ij + (T d i0 d 0j d ji ) x ji T d io d oj i j I v i d 0i x 0i 0, i I v i d 0i x 0i + T x 0i T, i I dengan d 0i + d ij + d j0 T bagi setiap pasangan (i, j). Jika x ij = 1 dan x ji = 0, maka kendala tersebut menunjukkan bahwa v i v j + d ij 0 sehingga v i + d ij v j. Jika x ji = 1 dan x ij = 0, maka kendala ini menunjukkan 5

22 12 bahwa v i v j d ji 0 sehingga v i v j + d ji. Formulasi model pada kendala (5) memastikan bahwa panjang perjalanan bus tidak melebihi jarak tempuh maksimumnya sehingga dapat dipastikan bahwa bus akan kembali ke depot tepat sebelum jam kerja dimulai. Variabel keputusan hanya akan terdefinisi jika jauhnya perjalanan bus yang dimulai dari pos i ke pos j tidak melebihi jarak tempuh maksimum yang ditempuh oleh setiap bus. Jarak sangat menentukan dalam menentukan waktu yang dibutuhkan untuk mengantarkan dan menjemput karyawan ke perusahaan. Semakin jauh jarak yang ditempuh, semakin lama waktu yang dibutuhkan bus dalam menjemput karyawan. Sebaliknya, semakin dekat jarak yang ditempuh, semakin sedikit waktu yang dibutuhkan bus dalam menjemput karyawan. 6. Variabel keputusan x ij adalah integer biner. x ij {0, 1}, i, j V IV STUDI KASUS Studi kasus berikut berdasarkan data hipotetik dengan kendala-kendala sebagai berikut: 1. Setiap pos hanya dikunjungi satu kali oleh satu bus. 2. Setiap bus mengangkut karyawan sesuai dengan batasan kapasitasnya. Setiap bus mempunyai kapasitas maksimum 40 orang. 3. Setiap rute bus berawal dari perusahaan. 4. Setiap rute bus berakhir di perusahaan. 5. Setelah menjemput karyawan dari pos, bus akan meninggalkan pos tersebut. 6. Tidak terdapat subrute pada setiap rute yang ada. 7. Jarak maksimum yang ditempuh oleh setiap bus adalah 100 km. 8. Biaya tetap untuk setiap pengiriman satu bus per hari adalah rupiah. 9. Biaya yang dikeluarkan tiap-tiap bus per kilometer adalah 2000 rupiah. Pengelola bus karyawan tersebut telah melakukan survei ke beberapa tempat yang dianggap strategis untuk dijadikan pos sehingga semua karyawan dapat menjangkau pos tersebut dengan mudah. Pos-pos ini yang nantinya menjadi tempat bus untuk menjemput karyawan. Pos dibagi menjadi: Pos A, Pos B, Pos C, Pos D, Pos E, Pos F, Pos G, Pos H, Pos I, dan Pos J. Setiap pos hanya dikunjungi oleh satu bus. Data jarak antarpos dan jarak dari perusahaan ke setiap pos diberikan pada Tabel 1 (dalam kilometer). Tabel 1 Jarak antarpos penjemputan bus karyawan POS 0 A B C D E F G H I J A B C D E F G H I J

23 13 Tabel 2 Banyaknya karyawan yang dijemput pada setiap pos POS Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i A 10 B 12 C 13 D 14 E 15 F 16 G 17 H 18 I 19 J 20 Formulasi model PLI dari data pada Tabel 1 adalah sebagai berikut: Minimumkan cx + fk. terhadap kendala berikut: 1. Setiap rute perjalanan bus berawal dari depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan pos 0 menuju pos i x k i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Setiap rute perjalanan bus berakhir di depot dengan pembatasan bahwa paling banyak k bus yang meninggalkan node i menuju depot x k 3. i I i I 0i i0 ij ij i V ' j V ' i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Setiap pos hanya dapat dikunjungi tepat satu kali oleh satu bus xij = 1 i I j I, j i xij = 1 j I i I, i j i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Kendala Kapasitas u i u j + Qx ij Q q j i j I u i q i, u i q i x 0i + Qx 0i Q i I i I i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Kendala Jarak v i v j + (T d i0 d 0j + d ij ) x ij + (T d i0 d 0j d ji ) x ji T d io d oj i j I v i d 0i x 0i 0, i I v i d 0i x 0i + T x 0i T, i I i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Variabel keputusan x ij merupakan integer biner. 1 ; jika bus berangkat dari pos i ke pos j xij = 0 ; jika selainnya Model dalam bentuk integer linear programming selanjutnya diselesaikan menggunakan software LINGO 8.0 dengan metode branch and bound (lihat Lampiran 2), sehingga dihasilkan rute kendaraan untuk menjemput dan mengantar karyawan yang meminimumkan total jarak tempuh. Setelah melakukan beberapa kali iterasi dengan mengganti nilai k, biaya yang paling minimum diperoleh jika digunakan 4 unit bus untuk dapat menjemput karyawan dengan rute setiap bus diberikan pada Tabel 3, Tabel 4, Tabel 5, Tabel 6, dan Gambar 12.

24 14 Tabel 3 Rute solusi optimal untuk bus pertama Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i 0 0 C 13 B 12 E Tabel 4 Rute solusi optimal untuk bus kedua Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i 0 0 F 16 D 14 A Tabel 5 Rute solusi optimal untuk bus ketiga Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i 0 0 H 18 J Tabel 6 Rute solusi optimal untuk bus keempat Pos i Banyaknya karyawan yang dijemput di pos i 0 0 I 19 G B C F D Depot (0) E Keterangan : A Bus 1 Bus 2 G J Bus 3 Bus 4 I H Gambar 12 Solusi rute perjalanan. Rute yang dilalui bus pertama berawal dari depot, pos C, pos B, pos E, lalu kembali ke depot dengan total jarak tempuh 60 km dan mengangkut karyawan sejumlah 40 orang. Rute yang dilalui oleh bus kedua adalah meliputi depot, pos F, pos D, pos A, kemudian kembali ke depot dengan total jarak tempuh 69 km dan mengangkut karyawan sejumlah 40 orang. Rute yang dilalui oleh bus ketiga meliputi depot, pos H, pos J, dan kembali ke depot dengan total jarak tempuh 60 km dan mengangkut karyawan sejumlah 38 orang. Sedangkan rute yang dilalui oleh bus keempat meliputi depot, pos I, pos G, dan kembali ke depot dengan total jarak tempuh 58 km dan mengangkut karyawan sejumlah 36 orang. Total jarak yang ditempuh oleh keempat unit bus tersebut dalam menjemput atau mengantar karyawan adalah 247 km. Total biaya yang harus dikeluarkan untuk biaya operasional bus karyawan per harinya adalah rupiah.

25 15 V SIMPULAN DAN SARAN 5.1 Simpulan Dalam karya ilmiah ini telah diperlihatkan masalah penentuan rute bus karyawan. Masalah ini dipandang sebagai masalah PLI dengan fungsi objektif meminimumkan biaya operasional bus. Rute yang diperoleh sangat bergantung pada kapasitas bus dan jarak antarpos penjemputan karyawan. Penentuan rute bus karyawan dengan menggunakan PLI sangat fleksibel, di mana pengguna dapat dengan mudah menambahkan data maupun kendalakendala baru yang diperlukan Saran Tulisan ini dapat dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute bus dengan mempertimbangkan kendala waktu. DAFTAR PUSTAKA Bektas T, Elmastas S Solving school bus routing problems through integer programming. Journal of Operational Research Society 58: Cordeau JF, Gendreau M, Laporte, Potvin JY, Semet F A guide to vehicle routing heuristics. Journal of Operational Research Society 53: Foulds LR Graph Theory Applications. Springer-Verlag, New York. Garfinkel RS, Nemhauser GL Integer Programming. Jo Ghn Wiley & Sons, New York. Larsen J Vehicle routing with times windows [Ph. D Thesis]. Denmark : Department of Mathematical Modelling, University of Denmark. Nash SG, Sofer A Linear and Nonlinear Programming. McGraw- Hill, New York. Taha HA Integer Programming: Theory, Applications, and Computations. Academic Press, New York. Taha HA Pengantar Riset Operasi. Alih Bahasa: Daniel Wirajaya. Binarupa Aksara, Jakarta. Terjemahan dari: Operations Research. Toth P, Vigo D An overview of vehicle routing problems. Di dalam: Toth P, Vigo D, editor. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam. Hlm Winston WL Introduction to Mathematical Programming 2 nd ed. Duxbury, New York. Winston WL Operations Research Applications and Algorithms 4 th ed. Duxbury, New York.

26 LAMPIRAN

27 17 Lampiran 1. Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Pemrograman Linear dengan Metode Branch-and-Bound Beserta Hasil yang Diperoleh 1) PL relaksasi masalah (2.7) max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1>=0; x2>=0; Hasil yang diperoleh : Global optimal solution found at iteration: 4 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X ) Subproblem 2: max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1>=4; x2>=0; Row Slack or Surplus Dual Price Hasil yang diperoleh : Global optimal solution found at iteration: 5 Objective value: ) Subproblem 4 : max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1>=4; x2>=1; Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or Surplus Dual Price

28 18 hasil yang diperoleh: takfisibel, sebagaimana ditunjukkan di bawah ini 4) Subproblem 5: max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1>=4; x2<=0; Hasil yang diperoleh : Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or Surplus Dual Price

29 19 5) Subproblem 6: max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1>=5; x2<=0; hasil yang diperoleh: takfisibel, sebagaimana ditunjukkan di bawah ini 6) Subproblem 7: max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1<=4; x1>=4; x2<=0;

30 20 Hasil yang diperoleh : Global optimal solution found at iteration: 2 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or Surplus Dual Price ) Subproblem 3: max=5*x1+4*x2; x1+x2<=5; 10*x1+6*x2<=45; x1<=3; x2>=0; Hasil yang diperoleh : Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: Variable Value Reduced Cost X X Row Slack or Surplus Dual Price

31 21 Lampiran 2. Syntax Program LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Rute Bus Karyawan SETS: NODE/1..11/:KRWN,CAP,V; LINK(NODE,NODE):DIST,X,C; ENDSETS DATA: DIST = ; KRWN= ; ALPHA = 2000;F = ;K = 4 ;T = 100;Q= 40; ENDDATA MAX I#NE#J:C(I,J)*X(I,J))+ I#NE#J:C(I,J) = ALPHA * DIST(I,J));!KENDALA!SETIAP RUTE BERAWAL DAN BERAKHIR DI I#EQ#1:@SUM(NODE(J) J#GT#1 : J#EQ#1:@SUM(NODE(I) I#GT#1 : X(I,J))<=K);!SETIAP POS HANYA DAPAT DIKUNJUNGI TEPAT SATU KALI OLEH SATU I#GT#1:@SUM(NODE(J) I#NE#J: J#GT#1:@SUM(NODE(I) J#NE#I: I#GT#1 #AND# J#GT#1 #AND# I#NE#J:CAP(I)-CAP(J)+Q*X(I,J)<=Q- KRWN(J));

32 I#GT#1 : CAP(I) >= I#EQ#1 #AND# J#GT#1 : CAP(I)- I #NE# J : KRWN(I)+ KRWN(J)<=Q I#GT#1 #AND# J#GT#1 #AND# I#NE#J: V(I)-V(J)+(T-DIST(I,1)- DIST(1,I)+DIST(I,J))*X(I,J)+(T-DIST(I,1)-DIST(1,I)-DIST(J,I))*X(J,I)<=T- I#GT#1 I#GT#1 I#GT#1 #AND# J#GT#1 #AND# I#NE#J:DIST(1,J)+DIST(I,J)+DIST(I,1)<=T); END

33 23 Lampiran 3 Hasil Komputasi Program pada LINGO 8.0 untuk Menyelesaikan Masalah Bus Karyawan Global optimal solution found at iteration: Objective value: Variable Value Reduced Cost ALPHA F K T Q KRWN( 1) KRWN( 2) KRWN( 3) KRWN( 4) KRWN( 5) KRWN( 6) KRWN( 7) KRWN( 8) KRWN( 9) KRWN( 10) KRWN( 11) CAP( 1)