III MODEL PENJADWALAN

Transkripsi

1 3 Ax = B N x B x = Bx B + Nx N = b. (5) N Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (5) x B dapat dinyatakan sebagai: x B = B 1 b B 1 Nx N. (6) Kemudian fungsi objektifnya berubah menjadi: min z = c T B x B c T N x N. Definisi 4 (Daerah Fisibel) Daerah fisibel dari suatu PL adalah himpuan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut. Definisi 5 (Solusi Basis) Misalkan terdapat sistem Ax = b yang terdiri atas m persamaan linear dan n variabel (diasumsikan n m). Solusi basis pada sistem Ax = b tersebut diperoleh dengan memberi nilai n m variabel sama dengan nol dan menyelesaikan nilai yang menyisakan m variabel. Asumsi pengaturan n m variabel sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk m variabel yang tersisa atau sejenisnya, dan kolom-kolom untuk sisa dari m variabel merupakan bebas linear. Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis) Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya tak negatif. Definisi 7 (Solusi Optimum) Untuk masalah maksimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimum suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil. 2.2 Mixed Integer Programming Pemrograman linear dengan sebagian variabel yang harus digunakan berupa bilangan bulat (integer) disebut mixed integer programming. Jika semua variabel yang digunakan harus berupa integer maka disebut pure integer programming. III MODEL PENJADWALAN 3.1 Penggunaan Ruang Operasi Sebagian besar rumah sakit mengklasifikasikan pasien berdasarkan proses operasional dan spesialisasi pengobatan. Klasifikasi pasien berdasarkan proses operasional meliputi pasien darurat, pasien rawat inap, dan pasien rawat jalan. Berdasarkan spesialisasi pengobatan terdapat pasien luka bakar, pasien jantung, pasien trauma, pasien syaraf, dan sebagainya. Rumah sakit menganalisis dan mendiskusikan proses pelayanan yang diberikan kepada pasien (antara lain rencana dan jadwal pembedahan) berdasarkan klasifikasi tersebut. Ruang operasi dapat dibedakan menjadi dua, yaitu ruang operasi darurat dan ruang operasi biasa. Rumah sakit biasanya hanya memiliki sedikit ruang operasi darurat dan lainnya merupakan ruang operasi biasa. Ruang operasi darurat hanya digunakan untuk pasien darurat yang memerlukan pembedahan. Biasanya operasi semua spesialisasi pengobatan dapat dilakukan di ruang ini, sedangkan ruang operasi biasa digunakan pada spesialisasi pengobatan tertentu. Meskipun ruang operasi biasa digunakan pada kasus operasi nondarurat (misalnya pada pasien rawat inap dan pasien rawat jalan), pada keadaan khusus ruang operasi tersebut juga dapat digunakan operasi terhadap pasien darurat. Hal ini dapat terjadi dalam situasi di mana pasien darurat mendapatkan prioritas lebih utama untuk mendapat perawatan di ruang operasi biasa dari pada pasien nondarurat. Di banyak rumah sakit, perencanaan dan penjadwalan operasi dilaksanakan sebagai berikut. Setiap minggu atau setiap bulan, bagian perencanaan operasi atau badan lain yang dibentuk oleh rumah sakit, mengeluarkan jadwal penggunaan ruang operasi, atau juga disebut sebagai block time schedule, yang mengalokasikan penggunaan ruang operasi untuk operasi darurat dan nondarurat. Satu blok waktu setara dengan satu hari kerja seorang staf ruang operasi. Setiap sebelum hari kerja, dokter akan menentukan pasien rawat inap yang akan menjalani operasi pada hari berikutnya. Ketika membuat keputusan ini, mereka juga akan melihat jadwal operasi pasien rawat jalan untuk hari berikutnya karena hal ini telah dijadwalkan pada beberapa hari sebelumnya. Selain itu mereka juga mempertimbangkan 3

2 4 banyaknya kamar yang secara khusus dialokasikan pada hari itu sesuai dengan urutan dan juga tingkat prioritas permintaan operasi dari pasien rawat inap. Biasanya, hanya sedikit tempat operasi yang dialokasikan untuk pasien rawat jalan dan sisanya disediakan untuk pasien rawat inap. Selama hari kerja, ahli bedah akan berusaha untuk melaksanakan operasi sesuai dengan jadwal yang telah ditentukan. Selain itu, permintaan operasi darurat muncul hampir setiap hari dan ahli bedah akan berusaha melakukan operasi pada pasien darurat tersebut karena berada pada keadaan yang kritis. Biasanya pasien darurat akan dikirim ke ruang operasi darurat selama ruang operasi masih tersedia. Jika saat diperlukan ruang operasi darurat sudah penuh, maka pasien darurat tersebut akan dibawa ke salah satu ruang operasi biasa di mana operasi akan dilakukan. Akibatnya, beberapa jadwal operasi pasien rawat inap dan rawat jalan mungkin harus ditunda atau dijadwalkan ulang. Pelaksanaan operasi yang sesuai dengan jadwal akan memudahkan ahli bedah dalam bekerja, karena setiap operasi tentu memerlukan beberapa persiapan yang meliputi peralatan operasi, prosedur operasi, dan ahli bedah yang akan melaksanakan operasi tersebut. Jika jadwal operasi mengalami perubahan maka akan terjadi perubahan kegiatan operasi berikutnya. Oleh karena itu kualitas dari jadwal operasi merupakan hal yang sangat penting dalam mengukur kinerja operasional yang berkaitan dengan operasi terhadap pasien. 3.2 Model Model dalam karya ilmiah ini sebagian besar didasarkan pada Blake dan Donald (2002) yang telah mengembangkan model integer programming untuk menjadwalkan ruang operasi. Dalam karya ilmiah ini pemodelan dilakukan untuk menentukan jadwal penggunaan ruang operasi yang dapat meminimumkan masa tinggal pasien rawat inap di rumah sakit. Jika masa tinggal pasien rawat inap di rumah sakit minimum, maka biaya yang ditanggung oleh pasien selama menjalani perawatan di rumah sakit juga minimum. Output yang dihasilkan dalam model karya ilmiah ini meliputi: jadwal penggunaan ruang operasi berdasarkan spesialisasi pengobatan, jadwal penggunaan ruang operasi darurat, jadwal penundaan operasi terhadap pasien rawat inap dan rawat jalan, dan banyaknya operasi yang dibatalkan Notasi Dalam memodelkan jadwal penggunaan ruang operasi ditentukan notasi-notasi sebagai berikut: I : himpunan jenis ruang operasi biasa berdasarkan perbedaan lokasi dan peralatan spesialisasi pengobatan yang terdapat pada ruang operasi, J : himpunan spesialisasi pengobatan, D : himpunan hari kerja, i : indeks untuk jenis ruang operasi biasa, i I, j : indeks untuk spesialisasi pengobatan, j J, k,l : indeks untuk hari, k,l D, s a i : banyaknya jam kerja per hari, : banyaknya ruang operasi biasa dengan jenis i, e jk : lama waktu permintaan operasi pasien darurat dengan spesialisasi pengobatan j pada hari k (jam), n jk : lama waktu permintaan operasi pasien rawat inap dengan spesialisasi pengobatan j pada hari k (jam), o jk : lama waktu permintaan operasi pasien rawat jalan dengan spesialisasi pengobatan j pada hari k (jam), c jk : jumlah maksimum ruang operasi biasa dengan spesialisasi pengobatan j yang dapat digunakan pada hari k, ditentukan oleh banyaknya ahli bedah dan peralatan yang digunakan dalam pengobatan pada spesialisasi tersebut (unit), ρ kl : besarnya biaya penalti karena penundaan operasi pasien rawat inap dari hari k sampai hari l (rupiah/jam), λ kl : besarnya biaya penalti kerena penundaan operasi pasien rawat jalan dari hari k sampai hari l (rupiah/jam), θ IPT : besarnya biaya penalti terhadap pembatalan operasi bagi pasien rawat inap (rupiah/jam), θ OPT : besarnya biaya penalti terhadap pembatalan operasi bagi pasien rawat jalan (rupiah/jam), β : besarnya biaya penalti karena jam kerja suatu ruang operasi tidak mencukupi permintaan operasi (rupiah/jam), Asumsi Asumsi-asumsi yang diperlukan dalam memodelkan jadwal ruang operasi adalah sebagai berikut: 1 Satu periode penjadwalan penggunaan ruang operasi adalah satu minggu. 4

3 5 2 Pola pelaksanaan operasi pada minggu berikutnya sama dengan minggu-minggu sebelumnya. 3 Tidak ada kerja lembur. 4 Pelaksanaan operasi hanya dilakukan di hari kerja (Senin sampai dengan Jumat), hari ke-1 adalah Senin, hari ke-2 adalah Selasa, hari ke-3 adalah Rabu, hari ke-4 adalah Kamis, dan hari ke-5 adalah Jumat. Lama penundaan operasi dari hari k ke hari l adalah: a) 24 7 jika k = l b) 24 (l k) jika k < l c) 24 (7 k + l) jika k > l Diasumsikan biaya penalti penundaan operasi pasien rawat inap dan rawat jalan adalah sebesar Rp 1,00 per jam, sehingga biaya penalti terhadap penundaan operasi pasien rawat inap adalah: ρ kl = 24 7 jika k = l 24 l k jika k < l 24 7 k + l jika k > l dengan satuan rupiah per jam. Jika k = l atau k > l, hari l menyatakan hari kerja pada minggu berikutnya. Jika k < l, maka hari kerja l berada pada minggu yang sama dengan hari k. Pada kasus k < l, maka tidak akan optimal menunda operasi ke hari (l + 7). Sebagai contoh yang lain, jika pada hari Jumat (hari ke-5) terdapat permintaan operasi dan mengalami penundaan sampai hari Senin minggu berikutnya (hari ke-1), hal ini menunjukkan kasus k > l, dengan ρ 51 = = 72 rupiah/jam. Jika operasi ditunda lebih dari satu minggu, maka operasi tersebut dibatalkan dan memiliki biaya penalti yang besar. 5 Hanya terdapat satu ruang operasi yang digunakan untuk operasi darurat per hari. 6 Permintaan penggunaan ruang operasi diukur dengan lama penggunaan ruang operasi dalam satuan jam. Sebagai contoh, spesialisasi pengobatan j memiliki dua pasien darurat yang memerlukan operasi pada hari Rabu dan rata-rata lamanya operasi darurat setiap pasien adalah 1.6 jam, maka pelaksanaan operasi untuk spesialisasi pengobatan j di hari Rabu atau e j 3 adalah 3.2 jam. 7 Biaya pasien rawat inap di rumah sakit juga bertambah ketika mengalami penundaan pelaksanaan operasi. Karena penggunaan ruang operasi diukur dalam jam, maka biaya tambahan pasien rawat inap dapat dihitung dengan lama waktu menggunakan ruang operasi yang ditunda banyaknya hari penundaan biaya ratarata yang harus ditanggung pasien selama menjalani penundaan operasi. Jika operasi dilaksanakan pada hari saat operasi tersebut diperlukan, maka tidak ada biaya tambahan akibat penundaan, karena biaya yang ditanggung oleh pasien rawat inap yang mengalami penundaan pelaksanaan operasi lebih besar daripada pasien yang tidak mengalami penundaan pelaksanaan operasi. 8 Penundaan pelaksanaan operasi yang dialami pasien rawat jalan juga dikenakan penalti seperti pada kasus pasien rawat inap, dengan besar penaltinya adalah λ kl. Diasumsikan λ kl sama dengan ρ kl. 9 Semua pelaksanaan operasi darurat harus dilaksanakan pada hari operasi tersebut diperlukan dan operasi biasa atau operasi bagi pasien rawat jalan dan rawat inap dapat ditunda. 10 Jika beberapa pelaksanaan operasi pasien nondarurat tidak dapat dilaksanakan pada hari operasi itu diperlukan, maka operasi dapat dilaksanakan pada hari kerja lainnya yang tidak lebih dari tujuh hari setelah operasi itu diperlukan. Jika penundaan operasi melebihi tujuh hari maka operasi tersebut dibatalkan. Pembatalan operasi ini bukan berarti operasi tidak jadi dilaksanakan, akan tetapi operasi akan dilaksanakan di luar hari kerja (lembur) atau pasien akan dirujuk ke rumah sakit lain untuk menjalani operasi tersebut. Terdapat dua biaya penalti terhadap operasi yang dibatalkan. Biaya penalti yang pertama adalah diberikan terhadap operasi pasien rawat inap yang dibatalkan, dinotasikan dengan θ IPT, sedangkan biaya penalti yang kedua adalah diberikan terhadap operasi pasien rawat jalan yang dibatalkan, dinotasikan dengan θ OPT. Untuk mencegah kemungkinan operasi yang dibatalkan maka biaya penalti pada kasus ini dibuat lebih besar dari pada biaya penalti yang lain. Nilai θ IPT dan θ OPT diasumsikan sama, yaitu Setiap operasi terhadap pasien nondarurat (pasien rawat inap dan jalan) hanya dilaksanakan di ruang operasi biasa. 12 Setiap operasi terhadap pasien darurat dapat dilaksanakan di ruang operasi biasa dan ruang operasi darurat. 13 Setiap operasi dengan spesialisasi pengobatan tertentu dilaksanakan di ruang operasi yang sesuai dengan spesialisasi pengobatan tersebut. 5

4 Variabel Keputusan x ijk : banyaknya ruang operasi jenis i yang dialokasikan di spesialisasi pengobatan j pada hari k (unit). y jk : lama waktu pelaksanaan operasi darurat spesialisasi pengobatan j yang harus dilakukan di ruang operasi darurat pada hari k (jam). z jkl : lama waktu pelaksanaan operasi pasien rawat inap pada spesialisasi pengobatan j yang ditunda dari hari k ke hari l (jam). w jkl : lama waktu pelaksanaan operasi pasien rawat jalan pada spesialisasi pengobatan j yang ditunda dari hari k ke hari l (jam). u jk : lama waktu operasi pasien rawat inap pada spesialisasi pengobatan j yang dibatalkan pada hari k (jam). v jk : lama waktu operasi pasien rawat jalan pada spesialisasi pengobatan j yang dibatalkan pada hari k (jam). b jk : lama waktu menganggur dari ruang operasi biasa yang dialokasikan pada spesialisasi pengobatan j di hari k (jam). h : lama waktu menganggur untuk ruang operasi biasa (jam). p j : kelebihan jam ruang operasi pada spesialisasi pengobatan j (jam). q j : kekurangan jam ruang operasi pada spesialisasi pengobatan j (jam) Formulasi Fungsi objektif dalam masalah ini adalah meminimumkan biaya penalti yang disebabkan oleh penundaan operasi pasien rawat inap dan jalan, pembatalan operasi pasien rawat inap dan rawat jalan, dan penalti yang disebabkan jam operasional ruang operasi yang tidak mencukupi permintaan operasi. Fungsi objektif tersebut dimodelkan sebagai berikut: 5 min z i=1 z i ; dengan z 1 = kεd lεd ρ kl jεj z jkl, z 2 = l D λ kl jεj w jkl z 3 = θ IPT jεj kεd u jk, z 4 = θ OPT z 5 = β k D, jεj kεd v jk, jεj q j. Fungsi objektif pada formulasi tersebut mengandung lima jenis biaya penalti. Jenis yang pertama, yaitu z 1, adalah biaya penalti karena penundaan operasi bagi pasien rawat inap. Jenis yang kedua, yaitu z 2, merupakan biaya penalti yang disebabkan oleh penundaan operasi bagi pasien rawat jalan. Untuk keperluan penjadwalan dan pengurutan antrean operasi pasien rawat inap, pihak rumah sakit ingin melaksanakan sejumlah operasi pasien rawat jalan sesuai dengan jadwal yang telah dibuat. Penyimpangan dari pelaksanaan operasi ini akan menyebabkan terjadinya penjadwalan ulang operasi pasien rawat jalan dan secara keseluruhan akan menambah besarnya biaya yang dikeluarkan (misalkan adanya kerja lembur, pasien tidak datang, dan sebagainya). Jenis biaya penalti yang ketiga dan keempat, yaitu z 3 dan z 4, menyatakan biaya penalti yang diakibatkan pembatalan operasi pasien rawat inap dan rawat jalan. Penalti terhadap pembatalan operasi bagi pasien rawat inap dan rawat jalan lebih besar dari pada penalti yang lain. Jenis biaya penalti yang kelima, yaitu z 5, merupakan penalti yang disebabkan oleh kekurangan jam penggunaan setiap ruang operasi biasa. Kendala: Jumlah penggunaan ruang operasi jenis i untuk melayani operasi dengan spesialisasi pengobatan j pada hari ke-k tidak lebih besar dari banyaknya ruang operasi jenis i. j J x ijk a i, j, k. (1) Pelaksanaan operasi di ruang operasi biasa yang digunakan untuk melayani spesialisasi pengobatan j setiap hari ke-k tidak melebihi kapasitas waktu yang ditawarkan ruang operasi tersebut. s i I x ijk e jk y jk + lεd z jlk + w jlk, j, k. (2) Pelaksanaan operasi nondarurat pada spesialisasi pengobatan j hari ke-k harus dilaksanakan pada hari tersebut atau ditunda pada hari kerja yang tidak lebih dari tujuh hari atau jika penundaan lebih dari tujuh hari maka operasi tersebut dibatalkan. s i I x ijk e jk y jk + lεd z jlk + w jlk b jk + lεd z jkl + w jkl + u jk + v jk = n jk + o jk, j, k. (3) Jumlah pelaksanaan operasi spesialisasi pengobatan j bagi pasien rawat inap yang ditunda dari hari k ke hari l, tidak lebih besar dari permintaan operasi dengan spesialisasi 6

5 7 pengobatan j bagi pasien rawat inap pada hari k. l D z jkl n jk, j, k. (4) Jumlah pelaksanaan operasi spesialisasi pengobatan j bagi pasien rawat jalan yang ditunda dari hari k ke hari l, tidak lebih besar dari permintaan operasi dengan spesialisasi pengobatan j bagi pasien rawat jalan pada hari k. l D w jkl o jk, j, k. (5) Jumlah pembatalan operasi pasien rawat inap dengan spesialisasi pengobatan j pada hari ke-k tidak lebih dari total permintaan operasi pasien rawat inap pada hari ke-k. u jk n jk, j, k. (6) Jumlah pembatalan operasi pasien rawat jalan dengan spesialisasi pengobatan j pada hari ke-k tidak lebih dari total permintaan operasi pasien rawat inap pada hari ke-k. v jk o jk, j, k. (7) Pendefinisian h sebagai jumlah jam ruang operasi biasa yang tidak dipakai selama satu minggu. h = j J k D b jk. (8) Pendefinisian p j dan q j yang masingmasing merupakan kelebihan dan kekurangan waktu penggunaan ruang operasi biasa yang ditawarkan. Diberikan jumlah total jam kosong penggunaan ruang operasi biasa dalam satu minggu kemudian membagi dengan proporsi penggunaan ruang operasi spesialisasi pengobatan tertentu dan penggunaan ruang operasi seluruh spesialisasi pengobatan selama satu minggu. b jk h k D n jk +o jk = p j q j, j. k D jεj kεd n jk +o jk (9) Operasi darurat dilaksanakan di ruang operasi darurat selama s jam kerja per hari. j J y jk s, k. (10) Banyaknya ruang operasi jenis i yang digunakan untuk melayani operasi dengan spesialisasi pengobatan j pada hari ke-k tidak lebih dari jumlah maksimum ruang operasi yang dialokasikan untuk melayani operasi dengan spesialisasi pengobatan j pada hari kek. i I x ijk c jk, j, k. (11) Jumlah permintaan operasi darurat dengan spesialisasi pengobatan j pada hari ke-k yang dilaksanakan di ruang operasi darurat tidak melebihi dari seluruh permintaan operasi darurat pada hari tersebut. y jk e jk, j, k. (12) Kendala ketaknegatifan untuk semua variabel keputusan. x ijk, y jk, z jkl, w jkl, u jk, v jk, b jk, h, p j, q j 0, i, j, k, l. (13) Pendefinisian variabel x ijk sebagai suatu integer. x ijk integer, i, j, k. (14) IV STUDI KASUS 4.1 Deskripsi Masalah Untuk memahami permasalahan penjadwalan ruang operasi di rumah sakit menggunakan mixed integer programming, dalam karya ilmiah ini diberikan suatu contoh kasus. Misalkan suatu rumah sakit umum memiliki beberapa layanan spesialisasi pengobatan, yaitu bedah perkemihan (urologi), bedah tulang (ortopedi), bedah tulang belakang, otak dan syaraf, luka bakar, bedah plastik, tumor, dan kanker. Setiap spesialisasi pengobatan ditangani oleh beberapa ahli bedah (lihat Tabel 1). Tabel 1 Layanan spesialisasi pengobatan yang diberikan oleh rumah sakit No Banyaknya Spesialisasi ahli bedah ( j ) (orang) 1 Urologi 3 2 Ortopedi 3 3 Tulang belakang 3 4 Otak dan syaraf 4 5 Luka bakar 2 6 Bedah plastik 2 7 Tumor 3 8 Kanker 3 7