Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114]
Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007 [MA 114]
Permukaan di Ruang (R 3 ) Sebelum belajar tentang fungsi dua peubah, terlebih dahulu kita mengenal permukaan di ruang dan cara membuat sketsa suatu permukaan di ruang (R3). Berikut beberapa fungsi permukaan di ruang, antara lain : Bola, mempunai bentuk umum : Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 + + z = a, a > 0 + = a, berupa lingkaran + z = a, berupa lingkaran + z = a, berupa lingkaran 7/6/007 [MA 114] 3
Gambar Bola Z 7/6/007 [MA 114] 4
Permukaan di Ruang Elipsoida, mempunai bentuk umum a Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 z + + = 1, a, b, c > 0 b c a a z c + + + b z c b = 1, berupa Ellips = 1, berupa Ellips = 1, berupa Ellips 7/6/007 [MA 114] 5
Gambar Ellipsoida Z 7/6/007 [MA 114] 6
Permukaan di R 3 Hiperboloida berdaun satu, mempunai bentuk umum: a z + = 1, a, b, c > 0 b c Jejak di bidang XOY, z = 0 Jejak di bidang XOZ, = 0 Jejak di bidang YOZ, = 0 a a b + b z c z c = 1, berupa Ellips = 1, berupa Hiperbolik = 1, berupa Hiperbolik 7/6/007 [MA 114] 7
Gambar Hiperbolik Berdaun Satu Z 7/6/007 [MA 114] 8
7/6/007 [MA 114] 9 Permukaan Permukaan di di R 3 Hiperboloida berdaun dua, mempunai bentuk umum: 1 c z b a =, a, b, c > 0 1 b a = Jejak di bidang XOY, z = 0, berupa Hiperbolik 1 c z a = Jejak di bidang XOZ, = 0, berupa Hiperbolik 1 c z b = Jejak di bidang YOZ, = 0, tidak ada jejak 1 a c z b = +, maka terdefinisi saat - a atau a Jejak di bidang, = k (konstanta), k > a atau k < - a, berupa ellips
Gambar Hiperbolik Berdaun Dua Z 7/6/007 [MA 114] 10
Permukaan di R 3 Paraboloida eliptik, mempunai bentuk umum: a z + =, a, b, c > 0 b c Paraboloida hiperbolik, mempunai bentuk umum: z =, a, b, c > 0 a b c Kerucut eliptik, mempunai bentuk umum: z + = 0 a b c Bidang, mempunai bentuk umum: A + B + Cz = D 7/6/007 [MA 114] 11
Gambar Z Z Paraboloida Eliptik z Paraboloida Hiperbolik z Kerucut Eliptik Bidang 7/6/007 [MA 114] 1
Latihan: Gambarkan 1. + = 4. = 3. + + 4z = 8, di oktan 1 4. 9 z + 9 + 4 = 36 5. z =4 6. + + z 4z = 3 7/6/007 [MA 114] 13
Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah adalah aturan ang mengaitkan setiap pasangan terurut (,) dengan tepat satu z =f(,) Notasi : f : A R ( A C R ) Contoh: (,) z = f(,) 1. f(,) = + 4. f(,) = 3. f(,) = 1 3 36 + 9 ( ) 4 7/6/007 [MA 114] 14
Daerah Asal (D f ) dan Daerah Nilai (R f ) D f = { (, ) R f (, ) R} R = { f (, ) (, ) } f D f Contoh. Tentukan dan gambarkan D f dari 1. f(,) = + 4 1. f (, ) = 36 9 4 3 3. f (, ) = (1 ) 7/6/007 [MA 114] 15
1. Contoh (Jawab) D f ={(,) R + 4 R} = {(,) R }. 1 = (, ) R 36 9 4 R 3 = {(,) R 36 9 4 0} D f = {(,) R 9 + 4 36} = (, ) R + 1 4 9 3 7/6/007 [MA 114] 16
3. D f Contoh (Jawab) { } (, ) R (1 R = ) = {(,) R (1 ) 0} = {(,) R 0 dan (1 ) 0 atau 0 dan (1 ) 0} = {(,) R 0 dan 1 atau 0 dan 1} 7/6/007 [MA 114] 17
Latihan Tentukan dan Gambarkan D f dari 1. f(,) =. f(,) = + 1 ( ) 4. f(,) = 5. f(,) = 16 ln( + ) ln( + 1) + 1 3. f(,) = 7/6/007 [MA 114] 18
Grafik Fungsi Dua Peubah Grafikna berupa permukaan di ruang z Z=f(,) D f Karena setiap pasangan terurut (,) dipasangkan dengan tepat satu z = f(,), maka setiap garis ang sejajar sb z akan memotong grafik tepat di satu titik. 7/6/007 [MA 114] 19
Contoh Gambarkan Grafik 1. f(,) = + 3 Z z = + 3 z = + 1 1 3 Paraboloida eliptik Z 3. f(,) = 3 z = 3 3 7/6/007 [MA 114] 0
Contoh 3. f(,) = 1 3 36 9 9z = 36 9 4 4 Z 9 + 4 + 9z = 36 z + + = 1 Elipsoida 4 9 4 3 4. f(,) = 16 Z 4 z = 16 + + z = 16 4 Bola 4 7/6/007 [MA 114] 1
Kurva Ketinggian z = f(,) z = k adalah kurva ketinggian. Jadi Kurva ketinggian adalah proeksi perpotongan grafik z = f(,) dengan bidang z =k pada bidang XOY. Contoh: Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(,) = +, k = 0, 1,, 4. f(,) =, k = -, 0,, 4 7/6/007 [MA 114]
Contoh (Jawab) 1. f(,) = +, k = 0, 1,, 4 Untuk k = 0 + = 0 = 0, = 0 Untuk k = 1 + = 1 1 + 1 elips Untuk k = + = + = 1 elips Untuk k = 4 + = 4 + = 1 elips 4 = 1 titik (0, 0) k= k=4 k=1.k=0 7/6/007 [MA 114] 3
Contoh (Jawab). f(,) =, k = -, 0,, 4 Untuk k = - = - = Untuk k = 0 = 0 Untuk k = Untuk k = 4 = = = + = 4 = + 4 parabola parabola parabola parabola k=0 k= k=4 k=- 7/6/007 [MA 114] 4
Latihan Gambarkan kurva ketinggian z = k dari 1. f(,) = /, k = -4, -1, 0, 1, 4. f(,) = +, k = 0, 1, 4, 9 3. f(,) =, k = -4, -1, 0, 1, 4 4. f(,) =, k = 1,, 3, 4 7/6/007 [MA 114] 5
Limit Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi f(,) mempunai limit L untuk (,) mendekati (a,b) ditulis lim (,) (a,b) Jika ε > 0 δ > 0 f (, ) L < ε f (, ) = L ( a) + ( ) < δ 0 < b L+ε L L ε z Z =f(,) berlaku δ (a,b) 7/6/007 [MA 114] 6
Catatan lim (,) (a,b) f (, ) = L ada jika lim (,) (a,b) f (, ) = L untuk sembarang kurva ang melalui (a,b). Artina: Jika terdapat paling sedikit kurva di R ang melalui (a,b) dengan nilai lim (,) (a,b) kurva, maka dikatakan lim f (, ) f (, ) berbeda untuk masing-masing (,) (a,b) tidak ada.. (a,b) 7/6/007 [MA 114] 7
Contoh Buktikan bahwa limit lim (, ) (0,0) + berikut tidak ada Jawab f (, ) = terdefinisi di D f = R {(0,0)} + Di sepanjang garis =0, kecuali =0, maka nilai f adalah.0 f (,0) = = 0 + 0 Limit f(,) mendekati (0,0) sepanjang garis = 0 adalah.0 lim f (,0) = lim = 0 (,0) (0,0) (,0) (0,0) + 0 7/6/007 [MA 114] 8
Contoh (Lanjutan) Di sepanjang garis =, maka nilai f adalah. 1 f (, ) = = + Limit f(,) mendekati (0,0) sepanjang garis = adalah (,. lim f (, ) = lim ) (0,0) (, ) (0,0) + = 1 Karena lim f (,0) lim f (, ) lim (,0) (0,0) (, ) (0,0) + tidak ada (, ) (0,0) maka 7/6/007 [MA 114] 9
Latihan Buktikan bahwa limit berikut tidak ada 1. lim (,) (0,0) +. lim (,) (0,0) 4 + 3 4 + 3. lim (,) (0,0) 6 + 7/6/007 [MA 114] 30
Kekontinuan Definisi: Fungsi dua buah f(,) kontinu dititik (a,b) jika i. f(a,b) terdefinisi ii. lim f (, ) ada iii. Teorema: (,) (a,b) lim (,) (a,b) f (, ) = f (a, b) 1. Polinom dengan m peubah kontinu di R m. Fungsi rasional m peubah f(,) = p(,)/q(,) kontinu pada D f asal q(,) 0 3. Jika g fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f fungsi satu peubah kontinu di g(a,b) maka f0g kontinu di (a,b) didefinisikan f0g (,) = f(g(,)) 7/6/007 [MA 114] 31
Contoh Kekontinuan Selidiki kekontinuan fungsi berikut: 1. f(,) = + 3 ( 4) Kontinu dimana-mana (R ) kecualidiparobola =4. f(,) = cos( 4 + ) Misal g(,) = -4+ (Polinom) g kontinu dimanamana dan h(t) = cos t kontinu di setiap t di R. Maka f(,) = h(g(,)) kontinu di semua (,) di bidang 7/6/007 [MA 114] 3
Turunan Parsial Definisi: Misalkan f(,) adalah fungsi dua peubah dan. 1. Turunan parsial pertama dari f terhadap ( dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (, ) = lim h 0 f ( + h, ) f (, ) h. Turunan parsial pertama dari f terhadap ( dianggap konstan) didefinisikan sebagai berikut f (, ) = lim h 0 f (, + h) f (, ) h 7/6/007 [MA 114] 33
Contoh: Tentukan f dan f 3 1. f (, ) = + 4 3. f (, ) = ln sin t dt Jawab Jawab f (,) = 3 + 4 f (,)=0. ln(sin) 1. ln(sin) f f (,) = ln(sin) (,) = 3 + 8 f (,)=1. ln(sin) 0. ln(sin). f (, ) = cos( + ) f (,) = ln(sin) Jawab f (,) = sin( + ) f (,) = cos( + ) sin( + ) 7/6/007 [MA 114] 34
Latihan Tentukan f dan f 3 1. f (, ) = cos( + ) + sin cos. f (, ) e t dt = 3 3. f (, ) = sin( + ) + cos() Tentukan f, f dan f z 1. f (,, z) = + z + 3z. f (,, z) = cos( z) + 7/6/007 [MA 114] 35
7/6/007 [MA 114] 36 Turunan Turunan Parsial Parsial Kedua Kedua ), ( f f f = = ), ( f f f = = f f f = = ), ( f f f = = ), (
Contoh Tentukan f, f,f, f 1. f(,)= 3 + 3 Jawab f (,) = 3 + 3 f (,) = 3 + 3 f (,) = 3 f (,) = 3 + 6 f (,) = 6 + 6 f (,) = 3 + 6 7/6/007 [MA 114] 37
Contoh. f(,) = sin( ++ 3 ) Jawab f (,) = sin( ++ 3 ) + (+) cos( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+3 ) cos( ++ 3 ) f (,)=(+)cos( ++ 3 )+(4+ )cos( ++ 3 ) (+) sin( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+3 ) cos( ++ 3 ) +( +4)cos( ++ 3 ) (+)(+3 )sin( ++ 3 ) f (,)=(+3 )sin( ++ 3 )+( +9 )sin( ++ 3 ) (+3 ) sin( ++ 3 ) f (,) = sin( ++ 3 )+(+)cos( ++ 3 ) +(4+3 3 )cos( ++ 3 ) (+)(+3 )sin( ++ 3 ) 7/6/007 [MA 114] 38
Latihan Tentukan f, f,f, f 1. f(,) = cos() + e +. f(,) = ln( + + 3 ) 3. f(,) = tan -1 ( /) 4. f(,) =ln( ++ ) 5. f(,) = (-)/() 7/6/007 [MA 114] 39
Arti Geometri Turunan Parsial z (a, b) s Perpotongan bidang = b dengan fungsi permukaan f(,) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(,) terhadap di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu. 7/6/007 [MA 114] 40
Arti Geometri Turunan Pertama () s z (a, b) Perpotongan bidang = a dengan fungsi permukaan f(,) berupa sebuah kurva (lengkungan s) pada permukaan tersebut. Turunan parsial fungsi f(,) terhadap di titik (a,b) merupakan gradien garis singgung terhadap kurva s pada titik (a, b, f(a,b)) dalam arah sejajar sumbu. 7/6/007 [MA 114] 41
Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan 1.36 z= 4 + 9 dengan = 3 di titik (3,,) Jawab: Turunan parsial terhadap adalah z 1 f (, ) = = z Sehingga didapat f ( 3,) = = 1. Bilangan ini adalah menatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (3,,)aitu 1/1. Ini menatakan bahwa garis itu berarah (0,1,1) dan melalui titik (3,,), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah = 3, = + t, z = + t 7/6/007 [MA 114] 4
Soal Cari persamaan parameter garis singgung kurva perpotongan. z = (9 +9-36) dengan bidang =1 di titik (, 1,(3/)) Jawab: Turunan parsial terhadap adalah z 18 9 f (, ) = = = 4 9 + 9 36 9 + 9 36 z Sehingga didapat f (,1) = = 3. Bilangan ini adalah menatakan kemiringan garis singgung untuk kurva tersebut di (,1,(3/))aitu 3/1. Ini menatakan bahwa garis itu berarah (1,0,3) dan melalui titik (,1,(3/)), sehingga persamaan parameter garis singgung kurva tersebut adalah = +t, = 1, z = 3/ + 3 t 7/6/007 [MA 114] 43
Latihan Cari kemiringan garis singgung dan persamaan garis singgung kurva perpotongan 1. 3z = (36-9 -4 ) dengan bidang = 1 di titik (1,, (11/3)). 4z =5 (16- ) dengan bidang =3 di titik (, 3, 5 (3/)) 7/6/007 [MA 114] 44
Vektor Gradien Misalkan fungsi z = f(,) terdefinisi di D R Definisi Vektor gradien dari fungsi z = f(,) di (,) D, didefinisikan sebagai î, ĵ r f (, ) = f (, )î + f (, )ĵ adalah vektor satuan di arah sumbu, positif Notasi lain: grad f(,), del f(,) Definisi Vektor gradien dari fungsi f(,,z) adalah r f (,, z) î, ĵ, kˆ = f (,, z)î + f (,, z)ĵ+ f z (,, z)kˆ adalah vektor satuan di arah sumbu,,z positif 7/6/007 [MA 114] 45
Contoh Tentukan r f (, ) r dan f ( 1, 1) dari f (, ) = e Jawab f (, ) = e + f (, ) = e e Sehingga diperoleh: r f (, ) = e + e r f ( 1, 1) = e ˆi + ( ) ˆ i + e j e ˆj f ( 1, 1) = e + e = e f ( 1, 1) = e ˆ 7/6/007 [MA 114] 46
Latihan r I. Tentukan f dari 1. f (, ) = +. f = + (, ) ln 3. 4. f (, ) = 3 sin ( ) f (, ) = ln( + ) 5. f (,, z) = e z 6. f (,, z) = e sec z II. Tentukan r f di titik ang diberikan 1. f (, ) = di P (,3). 3 f (, ) = ln( + 4 3 ) di P ( 3, 3) 3. f (, ) = di P (, 1) 7/6/007 [MA 114] 47
Aturan Rantai Misalkan =(t) dan = (t) terdeferensialkan di t dan z = f(,) terderensialkan di ((t), (t)) Maka z = f((t), (t)) dapat dideferensialkan di t dan didefinisikan sebagai dz dt z = t z + t Misalkan = (s,t), =(s,t) dan z = f(,), maka () dz z z i = + ds s s ( ii) dz dt z = t z + t 7/6/007 [MA 114] 48
Contoh 1. Misalkan w = 3 dengan = t 3 dan = t, tentukan Jawab: dw dt dw dt = w t + w t = 3 (3t )+3 (t) = t 3 (t ) 3 (3t )+3 (t 3 ) (t ) (t) = t 3. t 6. 3t +3 t 6.t 4. t = 6t 11 +6 t 11 = 1 t 11 7/6/007 [MA 114] 49
Contoh. Misalkan z = 3 dengan = s+7 t dan = 5 s t, dz dz tentukan dan dt ds Jawab: dz z z = + dt t t dz ds = 6. 7 + ( ) 5 s = 4 (s +7t) 50 s t = z s + z s = 6. + ( ) 5 t = 1 (s +7t) 50 s t 7/6/007 [MA 114] 50
Latihan 1. Tentukan dw (dalam t) dt a. w = ; = cos t, = sin t b. w = e sin e sin ; = 3t, = t c. w = sin(z ) ; = t 3, = t, z =t dw. Tentukan (dalam t dan s) dt a. w = ln ; = s/t, = s t e + b. w = ; = s sin t, = t sin s 7/6/007 [MA 114] 51
Turunan Berarah Andaikan f dapat didiferensialkan di (a, b), maka turunan berarah di (a, b) pada arah vektor satuan u = u1 î + u ĵ adalah hasilkali titik antara vektor gradien dengan vektor satuan tersebut. Dengan demikian dapat ditulis : f (p) D u = f (p) u atau D f(a, b) = f (a, b)u 1 + f (a, b)u u Perhatikan bahwa r r r r r f ( p) = f ( p) u = f ( p) u cosθ = f ( p) cosθ D u Sehingga, Turunan berarah akan r bernilai maksimum (θ=0)jika r f (p) u = r f (p) r r f (p) Sebalikna akan minimum jika u = r f (p) 7/6/007 [MA 114] 5
Contoh 1.Tentukan turunan berarah dari f(,) = 4 3 pada titik r P(,1) dalam arah vektor a = 4 ˆi + 3 ˆj Jawab: Drf (,1) = f (,1) u f (,1 u u 1 + ) Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r a r 4ˆi + 3ˆj 4 3 u = r = = ˆi + ˆj a 5 5 5 f (,)= 1 f (, 1)= 1..1 =48 f (,)= 4 3 f (, 1)= 4. 3 =3 Sehingga Drf (,1) = f (,1) u f (,1 u u 1 + ) =48. (4/5) + 3. (3/5) = 88/5 7/6/007 [MA 114] 53
Contoh. Tentukan turunan berarah dari f(,,z) r = sinz pada titik P(1,, π/) dalam arah vektor a = ˆ i + ˆj + kˆ Jawab: π π π π Dr uf ( 1,, ) = f(1,, ) u1 + f(1,, ) u + fz(1,, ) u Vektor u diperoleh dengan menormalkan vektor a r a r ˆi + ˆj + ˆ k 1 u = r = = ˆi + ˆj + kˆ a 9 3 3 3 f (,,z)= sinz f (1,,π/)= sin(π/) = f (,,z)= sinz f (1,, π/)= 1.sin(π/) =1 f z (,,z)= cosz f z (1,, π/)= 1. cos(π/) =0 3 7/6/007 [MA 114] 54
Contoh (Lanjutan) Sehingga π π π π Dr uf ( 1,, ) = f(1,, ) u1 + f(1,, ) u + fz(1,, ) u =. (1/3) + 1. (/3) + 0. (/3) = 4/3 3 7/6/007 [MA 114] 55
Latihan 1. Tentukan turunan berarah fungsi f pada titik P ang diberikan dalam vektor a a. f(,) = ln, P(1, 4), a = -3 i + 3 j b. f(,) = e e, P(0, 0), a = 5 i j c. f(,) = e, P(1, 1), a = i + 3 j d. f(,) = /( ), di P(1, 1) dalam arah ke titik Q(-1,-1) e. f(,,z) = +z, di P(1,1,1) dalam arah ke titik Q(5,-3,3). Tentukan suatu vektor satuan u dalam arah mana f bertambah (dan berkurang)paling cepat di titik P dan berapa laju perubahan dalam arah ini a. f(,) = 3 5, P(, 1) d. f(,) = 1, P( 1,) b. f(,) = e sin, P(5π/6,0) c. f(,) = 4 3, P( 1,1) 7/6/007 [MA 114] 56
Latihan (lanjutan) 3. Misal f (, ) =.Tentukan u r sehingga D,3) 0 + u rf ( = 4. Jika r f (, ) ˆi ˆ 0 0 = j,tentukan u r sehingga D u rf ( 0, 0) = r 4 5. Diketahui D u 3 = ˆi u rf ( 1,) = 5 jika ˆj dan 5 5 r 3 D v 4 = ˆi + v rf ( 1,) = 10 jika ˆj 5 5 a. Tentukan f (1,) dan f (1,) b. Tentukanturunanberarahf di(1,) dalamarahke(0,0) 7/6/007 [MA 114] 57
Bidang Singgung Definisi: Misalkan suatu permukaan S mempunai persamaan F(,,z) = k. Maka bidang singgung dari S pada titik P o (a,b,c) adalah sebuah bidang ang melalui P o dan tegak lurus pada r f (a,b,c) Teorema: Untuk permukaan F(,, z) = k, persamaan bidang singgung di titik (a, b, c) adalah : F (a,b,c) ( a) + F (a,b,c) ( b) + F z (a,b,c) (z c) = 0 Jika permukaan z = f(, ) maka persamaan bidang singgung di (a, b, f(a, b)) adalah : z f(a,b) = f (a,b) ( a) + f (a,b) ( b) 7/6/007 [MA 114] 58
Contoh 1. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan + + z = 3 di titik (1,, 3) Jawab: Misalkan F(,,z) = + + z r f(,, z) = ˆi + ˆj + 4z kˆ r f( 1,,3) = ˆi + 4 ˆj + 1 kˆ Jadi persamaan bidang singgung di (1,, 3) adalah ( 1) + 4( ) + 1 (z 3) = 0 + 4 + 1 z = 46 7/6/007 [MA 114] 59
Contoh (Lanjutan) Jadi persamaan parameter garis normal adalah = 1+t, = + 4t, z = 3 + 1 t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 1 z 3 = = 4 1 7/6/007 [MA 114] 60
Contoh. Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal permukaan z = f(,)= +-3 + di titik (1,, -5) Jawab: f (, ) = + 3 f (, ) = 6 f ( 1,) = + 4 1 = 6 f ( 1,) = 1 = 10 Jadi persamaan bidang singgung di (1,, 3) adalah (z + 5) = 6( 1) 10( ) 6 + 10 + z = 1 7/6/007 [MA 114] 61
Contoh Jadi persamaan parameter garis normal adalah = 1+6t, = + 10t, z = 5 + t Atau bisa ditulis persamaan simetri garis normal 1 6 = 10 = z + 5 1 7/6/007 [MA 114] 6
Latihan 1. Tentukan persamaan bidang singgung dari garis normal permukaan a. + 3z = di titik (-1, -4, 6) b. = e cos z di titik (1, e, 0) c. 1/ + 1/ + z 1/ = 4 di titik (4, 1, 1) d. z= e 3 cos di titik (π/3, 0, -1). Tentukan semua titik pada permukaan z= 8+4 dimana bidang singgungna mendatar 3. Perlihatkan bahwa permukaan +4+z =0 dan + +z 6z+7 =0 saling meninggung di titik (0, -1,). aitu perlihatkan bidang singgungna sama 4. Tentukan sebuah titik pada permukaan + +3z =1 di mana bidang singgungna tegak lurus garis dengan persamaan parameter: =1+t, =3+8t, z= 6t 7/6/007 [MA 114] 63
Maksimum dan Minimum Fungsi Dua Peubah Definisi Misalkan ( 0, 0 ) D f, maka f( 0, 0 ) adalah nilai maksimum global dari f pada D f, jika f( 0, 0 ) f(,), (,) D f f( 0, 0 ) adalah nilai minimum global dari f pada D f, jika f( 0, 0 ) f(,), (,) D f f( 0, 0 ) adalah nilai ekstrim global dari f pada D f, jika ia merupakan nilai maksimum global atau nilai minimum global. Definisi ang sama berlaku dengan kata global diganti dengan lokal, pada (i) dan (ii), kita hana memerlukan bahwa pertidaksamaan berlaku pada N S, dengan N suatu daerah di sekitar ( 0, 0 ). 7/6/007 [MA 114] 64
Di mana nilai ekstrim muncul? Titik di mana kemungkinan terjadina nilai ekstrim disebut titik kritis Titik Kritis ada 3 (tiga), aitu Titik-titik batas D f Titik Stasioner Titik Singular 7/6/007 [MA 114] 65
Uji Nilai Ekstrim Untuk menguji apakah di titik kritis terjadi nilai ekstrim, kita gunakan uji turunan parsial kedua, aitu: Misalkan f(,) mempunai turunan parsial kedua ang kontinu di sekitar ( 0, 0 ), r (, ) 0 dan maka D = D( f 0 0 = ( f (, ) 0, 0) = f (0, 0).f(0, 0) 0 0) 1. f( 0, 0 ) nilai maksimum lokal jika D>0 dan (, ) 0 f 0 0 <. f( 0, 0 ) nilai minimum lokal jika D>0 dan (, ) 0 3. f( 0, 0 ) titik pelana jika D<0 4. Jika D=0, tidak dapat ditarik kesimpulan f 0 0 > 7/6/007 [MA 114] 66
Contoh 1. Tentukan nilai ekstrim dan jenisna, dari Jawab f(,) = 4 +3 f (,) = 8 3 f (,) = 6 f (,) = 4 f (,) = 6 f (,) = 0 Titik kritisna diperoleh dengan menelesaikan persamaan f (,) = 0 dan f (,)=0, aitu 8 3 =0 (4 1)=0 =0, =± ½ 6 =0 = 0 Jadi titik-titik kritisna adalah (0, 0), (½, 0) dan (-½,0) 7/6/007 [MA 114] 67
Contoh (lanjutan) Mengenai jenis titik kritisna, bisa dilihat pada tabel berikut: f f f D Keterangan (0,0) 6 0 1 Titik pelana (½, 0) 4 6 0 4 Titik Minimum (-½, 0) 4 6 0 4 Titik Minimum Jadi nilai minimum lokal = -1/8 dicapai pada (½,0) dan (-½,0), sedangkan (0,0) merupakan titik pelana. 7/6/007 [MA 114] 68
Contoh. Tentukan titik ekstrim global dan jenisna, dari f(,) = +1 pada S={(,) + 1} Jawab f (,) = f (,) = f (,) = f (,) = f (,) = 0 Titik kritisna diperoleh dengan menelesaikan persamaan f (,) = 0 dan f (,)=0, aitu didapat (0,0) Jadi titik-titik kritisna adalah (0, 0)( terletak di dalam S), sedangkan jenisna titik pelana (nilai D < 0) Untuk titik-titik batasna, misalkan =cos t dan =sint (karena S adalah lingkaran satuan), sehingga didapat f(t)=cos t sin t+1 (untuk mencari maks/min dari f(,) pada S) 7/6/007 [MA 114] 69
Contoh (lanjutan) Untuk mendapatkan nilai maksimun dan minimun f pada S, turunkan f, aitu: f (t)= cos t sint sint cost = 0 4 cos t sint= 0 sint= 0 t= 0, π, π, 3π t= 0, π/, π, 3π/ Untuk t = 0 = 1, = 0 f(1, 0) = Untuk t = π/ = 0, = 1 f(0, 1) = 0 Untuk t = π = -1, = 0 f(-1, 0) = Untuk t = 3π/ = 0, = -1 f(0, -1) = 0 Jadi nilai maksimum global = pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/007 [MA 114] 70
Latihan 1. Tentukan titik ekstrim dan jenisna, dari a. f(,) = 3 + 3-6 e. f(, ) = + + b. f(,) = 6 6 ( + f. f(, ) = e c. f(,) = +4 +8 1 d. f(,) = 3 3 + 9 + 4. Tentukan titik ekstrim global dan jenisna, dari a. f(,) = 6+ 8+7 pada S={(,) + 1} b. f(,) =3+4 pada S={(,) 0 1, 1 1} 4 4) 7/6/007 [MA 114] 71
g (, ) = 0 Metode Lagrange Untuk mencari nilai ektrim terkendala Misalkan z =f(,) dengan kendala g(,) = 0. Akan dicari ektrim f terhadap kendala g. Perhatikan kurva ketinggian dari suatu fungsi f (,) = 9 berikut : Untuk memaksimumkan f thd kendala g(,) =0 sama dengan mencari perpotongan kurva ketinggian f (, ) = k dengan fungsi kendala g (, ) = 0 sehingga diperoleh k f (, ) untuk setiap, D f sepanjang g (, ) = 0 Karena kurva ketinggian dan kurva kendala saling meninggung garis tegak lurusna sama karena kurva ketinggian r f dan kurva kendala r r maka f (, ) = λ g(, ) 7/6/007 [MA 114] 7
Metode Lagrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f( 0, 0 ) terhadap kendala g( 0, 0 )=0, selesaikan r r (0, 0) = λ g(0, 0) dan g(0, ) = f 0 dengan ( 0, 0 ) titik kritis, λ pengali langrange Untuk memaksimumkan/meminimumkan f( 0, 0 ) terhadap kendala g( 0, 0 )=0 dan h( 0, 0 )=0, selesaikan r r r f ( 0, 0) = λ g( 0, 0) + µ h( 0, 0) 0, g( 0, 0 )=0, h( 0, 0 )=0 dengan ( 0, 0 ) titik kritis, λ pengali langrange 7/6/007 [MA 114] 73
Contoh Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimun dan minimun dari 1. f(,)= + 1 pada lingkaran + =1 Jawab: r f (, ) = ˆi ˆj r g(, ) = ˆi + ˆj Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r f (, ) = λ g(, ) dan g(, ) = 0 aitu: = λ.(1) = λ.() + = 1..(3) 7/6/007 [MA 114] 74
Contoh (lanjutan) Dari persamaan (3), nilai dan tidak mungkin samasama nol, sehingga Untuk 0, dari (1) di dapat λ = 1, kemudian dari () di dapat = 0, dan dari (3) di dapat =1 = ± 1 Untuk 0, dari () di dapat λ = -1, kemudian dari (1) di dapat = 0, dan dari (3) di dapat =1 = ± 1 Titik-titik kritis aitu (1,0), (-1,0), (0,1) dan (0,-1) Untuk (1,0) f(1, 0) =, untuk (-1,0) f(-1, 0) = Untuk (0,1) f(0, 1) = 0, untuk (0,-1) f(0,-1) = 0 Jadi nilai maksimum global = pada titik (1,0) dan (-1,0), Sedangkan nilai minimun global=0 pada titik (0,1) dan (0,-1) 7/6/007 [MA 114] 75
Contoh. f(,,z)= + +3z pada elips ang merupakan perpotongan + = dan bidang + z = 1 Jawab: r f (, ) = ˆi + ˆj + 3 kˆ r g(, ) = ˆi + ˆj r h(, ) = ˆj + Titik-titik kritis didapat dengan memecahkan persamaan lagrange berikut r r r f (,, z) = λ g(,, z) + µ h(,, z), g(,, z) = 0 dan h(,, z) = 0 kˆ aitu: 1 = λ.(1) = λ + µ.() 3 = µ.(3) + =....(4) + z = 1....(5) 7/6/007 [MA 114] 76
Contoh (lanjutan) Dari (1), = 1/(λ), dari () dan (3), = -1/(λ). Jadi dari (4), didapat λ = ± ½. Untuk λ = ½, didapatkan titik kritis (1, -1, ). Untuk λ = -½, didapatkan titik kritis (-1, 1, 0). Jadi nilai maksimum = 5 pada titik (1,-1,), Sedangkan nilai minimun global=1 pada titik (-1,1,0) 7/6/007 [MA 114] 77
Latihan (Gunakan Metode Lagrange) 1. Tentukan nilai minimum dari f(,) = + pada kendala g(,)= 3 = 0. Tentukan nilai maksimum dari f(,) = pada lingkaran + = 1 3. Tentukan nilai maksimum dari f(,) = 4 4+ pada kendala + = 1 4. Tentukan nilai minimum dari f(,) = + +z pada kendala + 3 z = 1 7/6/007 [MA 114] 78