Tranformai Balikan Suatu tranformai pada uatu bidan adala uatu funi an bijektif denan daera aal dan daera ailna jua Jika ebua ari dan refleki pada ari maka Kita tuli jua Jadi adala uatu tranformai an memetakan etiap titik pada dirina Tranformai an demikian dinamakan tranformai Identita dilambankan denan uruf I Jadi I paka I meman benar uatu tranformai? paka I injektif? Untuk menunjukkan I injektif ditunjukkan I I Bukti: mbil denan enurut definii identita I I Karena maka I I Jadi I injektif paka I urjektif? Untuk menunjukkan I urjektif ditunjukkan I Bukti: kan dibuktikan I mbil Seina menurut definii identita jika maka I Jadi I urjektif I Jadi Benar bawa I uatu tranformai Karena I tranformai T tranformai berlaku ifat berikut: TI IT I[ T p ] T Jadi TI T IT I[ T ] T Jadi IT T eina TI IT T
Denan demikian tranformai identita I berperan ebaai bilanan I dalam impunan tranformai-tranformai denan operai perkalian antara tranformaitranformai Dalam impunan bilanan-bilanan real denan operai perkalian pada etiap 0 ada balikan eina Demikian jua dalam tranformai jika terdapat dua tranformai mial T dan an ail kalina adala I tranformai identita dituli T T I Tranformai balikan dari T dituli ebaai T eina TT T T I Teorema an berkaitan denan tranformai balikan: Setiap tranformai T memiliki balikan Bukti: Dipunai T tranformai akan dibuktikan T memiliki balikan ial balikan dari T adala L maka TL LT Ole karena T uatu tranformai maka T urjektif Karena urjektif Kita tentukan L X prapeta T X Kita puna T X Karena L X maka T [ L X ] X Jadi L X adala prapeta dari X Diperole T [ L X ] X atau X X TL Karena TL X X maka menurut definii identita I X X TL X I X X Jadi TL I Selanjutna LT X L[ T X ] ndaikan T X B Karena tranformai maka prapeta dari B denan X L B Jadi karena T X B maka L [ T X ] L B X Jadi LT X X I X X Jadi LT I Seina TL LT I Sekaran akan dibuktikan bawa L adala uatu tranformai I
Dari definii L jela L uatu padanan an urjektif Selanjutna akan dibuktikan L injektif ndaikan X L L X dan andaikan pula T X T X L X dan L X denan Karena T tranformai dan jika maka T T eina kita perole X X Jadi karena T tranformai dan L X L maka: [ L X ] T[ L ] T T X X T X X Jadi L injektif Seina L bijektif maka L uatu tranformai Karena TL LT I maka L merupakan balikan dari tranformai T an dilambankan denan T Jadi L T Conto: ada uatu item umbu ortoonal XOY didefiniikan tranformai F dan G ebaai berikut: F dan G Seina FG F[ G ] F[ ] Dan GF G[ F ] G Jadi FG GF I tau FG GF I Jadi F dan G balikan atu ama lain Kita tuli G F Setiap tranformai ana memiliki atu balikan Bukti: ndaikan T uatu tranformai denan dua balikan S dan S Karena S balikan dari T maka TS S T I
dan karena S balikan dari T maka Seina TS TS [ S ] T[ S ] T Karena T tranformai maka S S TS S T I Seina S S Jadi balikan T adala S S S Denan kata lain tranformai T ana memiliki atu balikan Balikan etiap pencerminan pada ari adala pencerminan itu endiri Bukti: ndaikan pencerminan pada ari adala ndaikan X Y X maka [ X ] X atau X I X X jadi o I Jika X maka X X eina X [ X ] atau o I Jadi untuk etiap X diperole o I Jadi Definii : Suatu tranformai an balikanna adala tranformai itu endiri dinamakan uatu involui ndaikan T dan S tranformai maka main-main memiliki balikan aitu T dan S Kompoii tranformai aitu S balikan T o S T o jua uatu tranformai Jadi ada
4 pabila T dan S tranformai-tranformai maka Bukti: Diketaui T S o T o S I o T o S S o T Tetapi S ot o T o S S o T ot o S S o I o S S o S I Ole karena uatu tranformai ana memiliki atu balikan maka T S S o T o Jadi balikan ail kali tranformai adala ail kali balikan balikan tranformai denan urutan an terbalik Conto: ada ebua item umbu ortoonal ada ari { } { 0} Tentukan eina R denan R 7 Jawab : ndaikan dan Kita perole berturut-turut R Jadi [ R ] Ole karena R 7 dan maka R R 7 eina R 7 7 7 eina 7 Tua: Dalam tua dibawa ini kita definiikan padanan-padanan ebaai berikut: a pabila ebua ari adala padanan an didefiniikan untuk eala titik ebaai berikut: pabila maka pabila maka adala titik tena rua ari teak luru dari pada b pabila ebua ari adala padanan an didefiniikan untuk emua titik ebaai berikut:
pabila maka pabila maka eina titik tena rua ari teak luru dari pada c pabila ebua titik U adala padanan an didefiniikan ebaai berikut : Untuk U eina adala titik tena rua ari Untuk U Jika ebua ari dan ebua titik tentukan balikan tranformai tranformai berikut: a b c d U eneleaian: Kau untuk a enurut definii identita Jika maka I I [ ] [ ] Jadi Kau untuk enurut definii dari padanan pabila maka luru denan dari Diketaui Karena dimana adala rua ari teak
aka b Kau untuk enurut definii identita Jika maka I Untuk kau enurut definii identita Diketaui Karena aka c Kau untuk enurut definii pencerminan Jika maka maka Untuk kau enurut definii pencerminan Jika maka enurut Teorema 6 I
d Jika jela U Jadi balikan dari U adala U Jika maka U dimana adala titik tena rua ari Dari ipotei Jika G eina adala titik tena rua ari teak luru dari pada dan mialkan dan merupakan titik poton ari an teak luru denan dan melalui titik dan maka titik tena rua ari Sederanakanla: eneleaian: Jadi balikan dari U a b c d e f o enurut teorema apabila T dan S tranformai maka a b c d e f o o o ndaikan ebua ari a paka ebua iometri? b paka ebua involui? T o S S o T maka: c pabila B dan C eari kolinear apaka an dapat katakana tentan petapetana? eneleaian: a mbil ebaran tia titik B dan C denan B C dan B C Karena maka adala titik tena ari teak luru dari pada Karena pada B maka B B adala titik tena ari teak luru dari B
Karena pada C maka b mbil ebaran titik C C adala titik tena ari teak luru dari C Karena maka adal titik tena rua ari teak luru dari pada Ini berarti bukan merupakan balikan dari Jadi bukan uatu involui c mbil tia titik B dan C an eari G dan r B G B B B dan BB B r C G C C CC dan CC C r BB CC Jadi // BB // CC // atau p // Bq // Cr Seina B pq dan BC qr kibatna B B dan BC B C Dapat diimpulkan jika B dan C eari maka adala ebua iometri 4 Diketaui ari-ari dan an berpotonan dan titik dan tidak pada ariari terebut Lukila: a R eina R eneleaian: R R R [ ] R [ ]
b K eina K eneleaian: K K [ ] K K c E eina E eneleaian: E E [ ] [ ] E E E d D eina D D eneleaian: D D D D [ ] D D Karena [ ] D D D berarti I Tranformai Identita [ ] K [ ] E
aka arula D terletak pada perpotonan antara ari dan D 5 Diketaui ari-ari dan k dan ebua titik tidak pada ari-ari terebut Lukila ari-ari: a v eina v v dan v b u eina u k k k k R R v S v S c z eina U z v S v S R R z
d w eina w 6 Diketaui titik-titik 9 dan B a Tentukan koordinat-koordinat B U eneleaian: 06 9 B B B U Jadi koordinat B U adala 06 b Tentukan koordinat-koordinat denan U eneleaian: U [ ] w w w w S S R R [ ] w
Jadi koordinat U adala c paka U ebua iometri? paka U ebua involui? eneleaian: mbil embaran titik dan Jarak ke adala U dan U Seina jarak ke adala: Ka rena maka U tidak menawetkan jarak Jadi U bukan ebua iometri mbil embaran titik Jela U Jela U U 6 4 4 6 4 4 Jadi U bukan ebua involui d Tentukan koordinat-koordinat U eneleaian: ndaikan d b c a U Jela [ ] U U
U a c b d a c b d a c b d dan a c dan b d Jadi koordinat U a c b d 7 pabila { } tentukanla: a Koordinat-koordinat untuk eneleaian: Jela { } p p Jadi koordinat untuk adala b Koordinat-kordinat eneleaian: ndaikan a c b d Jela [ p ] a c b d a b b d a b dan b d a b dan b d Jadi koordinat a c b d
c C denan C B apabila umbu Y dan B 6 eneleaian: Jela C B C B C [ B ] b C [ 6 ] C 6 C 6 C 46 8 pabila T L S tranformai-tranformai buktikan bawa eneleaian: b TLS S L T enurut Teorema 64 : pabila S dan T tranformai-tranformai maka ToS S ot Seina TLS TLS S TL 9 Sederanakanla: a b eneleaian: S L T a b 0 pabila titik aal dan { } eina U D 4 eneleaian: tentukan koordinat-koordinat titik D Jela U D 4 D 4 D [ 4 ] D D 4 68 8 D 6 D 6
ndaikan { 6} dan umbu Y pabila titik aal tentukan peramaan ari k eina U eneleaian: k Jela U k U k k [ ] 0 6-6 [ ] - eramaan ari k an melalui dua titik aitu titik 0 dan 0 adala: 6 0 0 0 Jadi peramaan ari k adala 6
pabila { } tentukan: a Koordinat-koordinat titik denan 6 eneleaian: Jela titik 6 akan memoton teak luru di eina koordinat adala b Koordinat-koordinat titik untuk eneleaian: Koordinat-koordinat titik untuk Jela titik memoton teak luru ari di dan ial koordinat Jela adala dan dan dan dan dan Seina koordinat adala
Diketaui // Titik dan B terletak di tena-tena antara dan Jarak antara dan adala 4 cm dan jarak antara proeki-proeki dan B pada adala 6 cm Tentukan jarak terpendek jalur antara dan B an dipantulkan ole dan ebanak tia kali tidak diitun 4 Tentukan jarak dalam oal apabila pemantulan itu adala n kali 5 Diketaui perei panjan BCD dan ebua titik di dalam BCD an terletak di tena-tena antara ii-ii B dan DC; jarak antara dan ii D adala cm anjan ii D cm dan panjan ii DC 4 cm a Luki jajarenjan dalam perei panjan an ala atu iina melalui dan an titik-titik udutna terletak pada ii-ii perei panjan itu b Tentukan kelilin paralelloram