TRANSFORMASI. 1) T(A) = A 2) Apabila P A, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis. Selidiki apakah

Transkripsi

1 TRNSFORMSI Suatu transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan daerah nilainya V juga. Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : juga V. 1. Surjektif, artinya : Jika T suatu transformasi, maka tiap titik B V ada prapeta V sehingga B = T(). B dinamakan peta dari dan dinamakan prapeta dari B. 2. Injektif, artinya : Jika dan T(, T( maka, atau jika T( dan T( sedangkan maka. Contoh : ndaikan. da perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai Jadi T : V V yang didefinisikan sebagai berikut : 1) T() = 2) pabila P, maka T(P) = Q dengan Q titik tengah garis. Selidiki apakah padanan T tersebut suatu transformasi? Jawab : R P Jelas bahwa memiliki peta, yaitu sendiri. mbil sebarang titik R pada V. Oleh karena V bidang Euclides, maka ada satu garis yang melalui dan R, jadi ada satu ruas garis sehingga ada tepat satu titik S dengan S antara dan R, sehingga S = SR. Ini berarti untuk setiap X V ada satu Y dengan Y = T(X) yang memenuhi persyaratan (2). Jadi daerah asal T adalah V.

2 1) pakah T surjektif, atau apakah daerah nilai T juga V? untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V memiliki prapeta. Jadi apabila Y apakah ada X yang bersifat T(X) = Y? Menurut ketentuan pertama, kalau Y = prapetanya adalah sendiri, sebab T() =. Y = T(X) X pabila Y, maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada X tunggal dengan X sehingga Y = YX. Jadi Y adalah titik tengah yang merupakan satu-satunya titik tengah. Jadi Y = T(X). Ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta. Jadi T adalah suatu padanan yang surjektif. 2) pakah T injektif? Untuk menyelidiki ini ambillah dua titik,. P,Q, tidak segaris (kolinear). Kita akan menyelidiki kedudukan T(P) dan T(Q). T(P) T(Q) P Q ndaikan T(P) = T(Q) Oleh karena T(P) maka dalam hal ini memilki dua titik sekutu yaitu dan T(P) = T(Q). ini berarti bahwa garis berimpit, sehingga mengakibatkan bahwa.

3 Ini berlawanan dengan pemisalan bahwa, P, Q tidak segaris. Jadi pengandaian bahwa T(P) = T(Q) tidak benar sehingga haruslah T(P) T(Q). Jadi, T injektif. Dari uraian di atas tampak bahwa padanan T itu injektif dan surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu transformasi dari V ke V. Ditulis T : V V.

4 Tugas: 1. ndaikan g dan h dua garis yang sejajar pada bidang euclides V. sebuah titik yang terletakdi tengah antara g dan h. Sebuah T padanan dengan daerah asal g yang didefinisikan sebagai berikut: pabila P g maka P' = T ( P) = P h a) pakah daerah nilai T? b) pabila D g, E g, D E, buktikan bahwa D ' E' = DE ; D ' = T ( D), E' = T ( E) c) pakah T injektif Jawab: P g P =T(P) a) Daerah nilai T adalah h b) D g, E g, D E h D ' = T ( D), E' = T ( E) E D E D g h Perhatikan segitiga DE dan segitiga D E (Bertolak belakang) (Karena tengah-tengah dan ) (Karena tengah-tengah dan ) Diperoleh menurut definisi sisi sudut sisi kibatnya

5 c) kan dibuktikan T injektif x y g y =T(y) x =T(x) mbil dua titik dan pada g, kan dibuktikan T ( X ) T ( Y ) h X Y ndaikan Oleh karena T ( X ) = X h dan T ( Y ) = Y h Dalam hal ini X dan Y memiliki dua titik sekutu yaitu dan. Ini berarti bahwa garis X dan Y berimpit, sehingga berakibat. Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) T ( Y ) Jadi T injektif 2. Diketahui sebuah titik K dan ruas garis B, K B dan sebuah garis g sehingga g // B dan jarak K dan B, adalah dua kali lebih panjang dari pada jarak antara K dan g. da padanan T dengan daerah asal B dan daerah nilai g sehingga apabila P B maka T( P) = P' = KP g. a) pakah bentuk himpunan peta-peta P kalau P bergerak pada B b) Buktikan bahwa T injektif. c) pabila E dan F dua titik pada B, apakah dapat dikatakan tentang jarak E F Jawab: jika E = T(E) dan F = T(F)? K P P B a) K B, g // B, T: B g

6 P B maka T( P) = P' = KP g P' = KP g sehingga P' g Jadi bentuk himpunan peta-peta P adalah ruas garis yang berimpit dengan g. b) kan dibuktikan T injektif mbil dua titik dan pada B, X Y kan dibuktikan T ( X ) T ( Y ) ndaikan Oleh karena T( X ) = KX g dan T( Y) = KY g Dalam hal ini X dan Y memiliki dua titik sekutu yaitu dan. Ini berarti bahwa garis X dan Y berimpit, sehingga berakibat. Hal ini suatu kontradiksi, haruslah T ( X ) T ( Y ) c) Jadi T injektif K E F E F Dipunyai,, maka, sehingga Perhatikan dan Jelas (dalam bersebrangan) (dalam bersebrangan) Diperoleh fakta ~ menurut teorema sudut-sudut-sudut kibatnya Jadi Jarak adalah setengah jarak

7 3. Diketahui tiga titik, R, S yang berlainan dan tidak segaris. da padanan T yang dedefinisikan sebagai berikut: T() =, T(P) = P sehingga P titik tengah a) Lukislah R = T(R) b) Lukislah Z sehingga T(Z) = S c) pakah T suatu transformasi? jawab: z T(Z) = S P ' R P R =T(R) P =T(P) c) kan diselidiki apakah T surjektif T surjektif jika terdapat prapeta sehingga Jika maka prapetanya adalah sendiri sebab pabila maka terdapat tunggal dengan sehingga Jadi adalah titik tengah. rtinya Jadi terdapat prapeta sehingga rtinya T Surjektif kan diselidiki T injektif mbil titik, dan,,, tidak segaris ndaikan Oleh karena dan maka dalam hal ini dan memiliki dua titik sekutu yaitu dan. Ini berarti bahwa garis dan berimpit, sehingga mengakibatkan. Dengan kata lain,, segaris. Ini suatu kontradiksa dengan pernyataan,, tidak segaris Pengandaian ditinggalkan, sehingga Dengan kata lain T injektif Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi Diketahui P = (0,0), C 1 = {( x, y) x + y = 1}

8 2 2 C 2 = {( x, y) x + y = 25} T : C 1 C 2 adalah suatu padanan yang definisikan sebagai berikut : pabila X C1 makat ( X ) = X ' = PX C2 a) pabila = (0,1) tentukan T() b) Tentukan prapeta dari B(4,3) c) pabila Z sebarang titik pada daerah asal T, tentukan jarak ZZ, dengan Z = T(Z). d) pabila E dan F dua titik pada daerah asal T, apakah dapat dikatakan tentang Jawab: jarak E F? F P B(4,3) E a) = (0,1) maka T() = (0,5) b) Perhatikan segitiga Berlaku: dan Sehingga prapeta B adalah, c) Dipunyai daerah asal Maka Berarti, dimana 1 Jelas Selanjutnya

9 Maka Berarti, dimana 25 Jelas Jelas,, segaris Jadi jarak 4 d) Dipunyai,, Maka panjang busur Selanjutnya dan Maka panjang busur Karena,, segaris Dan,, segaris Maka Sehingga Jadi 5

10 5. Diketahui f : V V. Jika P(x,y) maka f(p) =( x, y ) a) Tentukan f() jika = (-3,6) b) Tentukan semua prapeta dari titik B(4,2) c) pakah bentuk daerah nilai f? d) pakah f suatu transformasi? Jawab : a) f() =(3,6) b) Prapeta dari B(4,2) adalah (4,2),(4,-2),(-4,2),(-4,-2) c) Daerah nilai f adalah himpunan semua titik-titik di Kuadran I d) mbil 4,2, 4, 2 Jelas Selanjutnya 4,2 dan 4,2 Diperoleh fakta Jadi terdapat dan rtinya f tidak injektif Karena f tidak injektif maka f bukan transformasi 6. Diketahui fungsi g : sumbu X V yang didefinisikan sebagai berikut : pabila P(x,0) maka g(p) = (x,x 2 ). a) Tentukan peta (3,0) oleh g b) pakah R(-14, 196) daerah nilai g? c) pakah g surjektif? d) Gambarlah daerah nilai g. Jawab : a) =(3,0), g()=(3,9) b) Jelas R V Jadi daerah nilai, dan mempunyai prapeta yaitu 14,0 pada sumbu c) mbil titik, maka, dengan Jelas terdapat, 0 sehingga Jadi, g surjektif

11 d) g(p)=(x,x 2 ) 7. T : V V, didefinisikan sebagai berikut : pabila P(x,y) maka i) T(P) = (x + 1, y), untuk x > 0 ii) T(P) = (x - 1, y), untuk x < 0 a) pakah T injektif? b) pakah T suatu transformasi? Jawab : a) mbil P(x 1,y 1 ) dan Q(x 2,y 2 ) sehingga P Q kan dibuktikan T ( P) T ( Q) Karena Untuk x > 0 P Q maka x1 x2 atau y1 y2 T(P) = (x 1 +1, y 1 ) T(Q) = (x 2 +1, y 2 ) Jelas x 1 x2 x1 + 1 x2 + 1 atau y1 y2 Sehingga T ( P) T ( Q) Untuk x < 0 T(P) = (x 1-1, y 1 ) T(Q) = (x 2-1, y 2 ) Jelas x 1 x2 x1 1 x2 1 atau y1 y2 Sehingga T ( P) T ( Q) b) mbil 0, ndaikan terdapat, Sehingga Kasus 0 (0,0) P(x,0)

12 Maka 1, Kontradiksi dengan pernyataan 0 Kasus 0 Maka 1, 0, Kontradiksi dengan pernyataan 0 Jadi tidak terdapat, Sehingga Dengan kata lain T tidak surjektif Karena T tidak surjektif, maka T bukan transformasi 8. Diketahui sebuah garis S dan titik-titik, B, C seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini B C T : V V didefinisikan sebagai berikut : i. Jika P S maka T(P) = P ii. Jika P S maka T(P) = P, sedemikian hingga garis S adalah sumbu ruas PP ' a) Lukislah = T(), B = T(B) b) Lukislah prapeta titik C c) pakah T suatu transformasi? d) Buktikan bahwa B = B

13 Jawab : a) dan b) B C B C c) kan diselidiki T surjektif Dalam hal ini T surjektif jika Terdapat sehingga Jika maka prapetanya adalah sendiri sebab Jika maka terdapat dengan tunggal sehingga garis dan sumbu ruas. Jadi Berarti Jadi T surjektif kan diselidiki apakah T injektif mbil, dengan. Jika, maka T(P)=P dan T(Q)=Q Sehingga Jika, akan diselidiki kedudukan T(P) dan T(Q) ndaikan T(P) = T(Q) Menurut definisi sehingga adalah sumbu ruas garis dengan demikian Kemudian sehingga adalah sumbu ruas garis dengan demikian

14 Karena dan dari satu titik di luar hanya dapat ditarik satu garis yang tegak lurus maka dan berimpit, akibatnhya Ini suatu kontradiksi dengan pernyataan Jadi harusnya rtinya T injektif Karena T surjektif dan T injektif maka T transformasi d) kan dibuktikan B =B D B E B kan dibuktikan bahwa Misal titik potong garis dengan ruas garis dan titik potong garis dengan ruas garis Perhatikan dan (menurut definisi adalah sumbu sehingga tengah-tengah ) 90 (berimpit) (karena sumbu maka ) Maka menurut teorema sisi-sudut-sisi kibatnya dan Perhatikan dan (diketahui) 1) (menurut definisi adalah sumbu sehingga tengah-tengah ) 2)

15 90 (karena sumbu maka ) Berakibat 3) Dari 1), 2) dan 3) maka menurut teorema sudut-sisi-sudut kibatnya