Aljabar Linier. Kuliah

Transkripsi

1 Aljabar Linier Kuliah

2 Materi Kuliah Transformasi Linier dari F n ke F m Perubahan Matriks Basis Matriks dari Transformasi Linier Perubahan Basis untuk Transformasi Linier Matriks-matriks Ekivalen 2

3 Transformasi Linier dari F n ke F m Review: Misalkan τ: R n R m ditulis sebagai τ A : R n R m, sehingga τ A x = Ax Dengan A matriks standar berukuran m n. Contoh Misalkan τ: R 4 R 3 transformasi linier yang didefinisikan dengan τ x 1 x 2 x 3 x 4 = 2x 1 3x 2 + x 3 5x 4 4x 1 + x 2 2x 3 + x 4 5x 1 x 2 + 4x τ x = Maka τ dapat dibuat menjadi x 1 x 2 x 3 x 4 3

4 Teorema Jika A matriks m n atas F, maka τ A L F n, F m. 2. Jika τ L F n, F m maka τ = τ A, di mana A = τ e 1 τ e 2 τ e n Teorema 2.11 Misalkan A matriks m n atas F. 1. τ A : F n F m injektif jika dan hanya jika rk A = n. 2. τ A : F n F m surjektif jika dan hanya jika rk A = m. 4

5 Perubahan Matriks Basis Review: Koordinat matriks dari suatu vektor terhadap basis terurut. 5

6 Perubahan Operator Basis Misalkan B = b 1, b 2,, b n dan C = c 1, c 2,, c n adalah basis terurut untuk ruang vektor V. Maka dapat ditentukan v B dan v C. Perhatikan gambar berikut: Pemetaan yang membawa v B ke v C adalah φ B,C = φ C φ B 1 dan disebut perubahan operator basis atau perubahan operator koordinat. 6

7 Perhatikan bahwa φ B,C adalah suatu operator pada Fn yang mempunyai bentuk τ A, di mana Matriks A ini disimbolkan dengan M B,C matriks basis dari B ke C. dan disebut sebagai perubahan 7

8 Teorema 2.12 Misalkan B = b 1, b 2,, b n dan C basis terurut untuk V. Maka pengganti operator basis φ B,C = φ C φ B 1 adalah automorfisma dari F n (operator linier yang bijektif dari F n ke F n ) dimana matriks standarnya adalah Oleh karena itu M B,C = b 1 C b 2 C b n C v C = M B,C v B dan M C,B, = M B,C 1 8

9 Teorema 2.13 Jika diberikan dua dari pernyataan berikut: 1. Matriks invertibel A 2. Basis terurut B untuk F n 3. Basis terurut C untuk F n Maka yang ketiga secara unik ditentukan oleh persamaan A = M B,C 9

10 Matriks dari Transformasi Linier Misalkan τ: V W adalah transformasi linier, dimana dim V = n dan dim W = m dan misalkan B = b 1, b 2,, b n basis terurut untuk V dan C basis terurut untuk W. Maka pemetaan θ: v B τ(v) C adalah representasi dari τ sebagai transformasi linier dari F n ke F m, dalam arti bahwa mengetahui θ adalah ekivalen dengan mengetahui τ. Dan representasi ini bergantung pada pemilihan basis terurut B dan C. Oleh karena θ adalah transformasi linier dari F n ke F m, maka transformasi ini adalah perkalian dengan matriks m n, yaitu τ(v) C = A v B Yanita, Matematika FMIPA Unand 11/25/

11 Teorema 2.14 Misalkan τ L V, W dan B = b 1, b 2,, b n basis terurut untuk V dan C basis terurut untuk W. Maka τ dapat direpresentasikan terkait dengan B dan C sebagai perkalian matriks, yaitu τ(v) C = τ B,C v B di mana disebut sebagai matriks dari τ yang terkait dengan basis B dan C. Jika V = W dan B = C, maka τ B,C = τ B,B dan ditulis τ B,B dengan τ B, sehingga τ(v) B = τ B v B Yanita, Matematika FMIPA Unand 11/25/

12 Contoh 1 Misalkan D: P 2 P 2, operator derivatif dengan P 2 adalah ruang vektor dari semua polinomial berderajat paling besar 2. Misalkan B = C = (1, x, x 2 ). Tentukan D B dan D(5 + x + 2x 2 ) B. Penyelesaian : D B = = = D(b 1 ) B D(1) B D(b 2 ) B D(b 3 ) B D(x) B D(x 2 ) B D(5 + x + 2x 2 ) B = = Jadi D 5 + x + 2x 2 = 1 + 4x 12

13 Contoh 2 Misalkan T: R 3 R 2 dengan T B = 0 1 1, terurut di R 2. Tentukan:, a. Matriks standar untuk T. b. Matriks T B,C. x y z = x 3z y basis terurut di R 3 dan C = 1 1, 1 1 basis 13

14 Teorema 2.15 Misalkan V dan W ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan F, dengan B = b 1, b 2,, b n basis terurut untuk V dan C = c 1, c 2,, c m basis terurut untuk W. 1. Pemetaan μ: L V, W M m,n (F) didefinisikan dengan μ τ = τ B,C adalah isomorfisma, sehingga L V, W M m,n (F). Karenanya dim L V, W = dim( M m,n (F)) = m n. 2. Jika σ L U, V dan τ L V, W dan jika B, C dan D basis terurut untuk U, V dan W berturut-turut, maka τσ B,D = τ C,D σ B,C Dengan demikian, matriks dari hasilkali (komposisi) τσ adalah hasilkali dari matriks τ dan matriks σ 14

15 Bukti Teorema 2.15 (1) Diketahui Vdan W ruang vector atas lapangan F, dim(v) < dan dim(w) <. B = b 1, b 2,, b n basis terurut untuk V C = c 1, c 2,, c m basis terurut untuk W μ: L V, W M m,n (F) didefinisikan dengan μ τ = τ B,C Akan dibuktikan μ adalah isomorfisma. 15

16 Bukti Teorema 2.15 (2) Diketahui U, V dan W ruang vector atas lapangan F,dim(U) <, dim(v) < dan dim(w) < B adalah basis untuk U, C adalah basis untuk V dan D adalah basis untuk W σ L U, V dan τ L V, W Akan dibuktikan τσ B,D = τ C,D σ B,C 16

17 Perubahan Basis untuk Transformasi Linier Teorema 2.16 Misalkan τ L V, W, (B, C) dan (B, C ) masing-masing pasangan basis terurut untuk V dan W. Maka τ B,C = M C,C τ B,C M B,B Korolari 2.17 Misalkan τ L V, B dan C basis terurut untuk V. Maka matriks τ yang terkait dengan C dapat ditulis dalam bentuk matriks τ yang terkait dengan B sebagai berikut: τ C = M B,C τ B M B,C 1 17

18 Matriks-Matriks ekivalen Karena perubahan matriks basis adalah tepat matriks invertibel maka τ B,C = M C,C τ B,C M B,B mempunyai bentuk τ B,C = P τ B,C Q 1, di mana P dan Q adalah matriks invertibel. Definisi Dua matriks A dan B ekivalen jika terdapat matriks invertibel P dan Q, sehingga B = PAQ 1. 18

19 Teorema 2.18 Misalkan V dan W ruang vektor dengan dim V = n dan dim W = m. Maka dua matriks m n A dan B ekivalen jika dan hanya jika matriks-matriks tersebut merepresentasikan transformasi linier yang sama τ L V, W, tetapi mungkin terkait dengan basis terurut yang berbeda. Dalam kasus ini, A dan B merepresentasikan tepat himpunan transformasi linier yang sama di L V, W 19

20 Bukti Teorema 2.18 Misalkan τ L V, W, (B, C) dan (B, C ) masing-masing pasangan basis terurut untuk V dan W. Jika A dan B merepresentasikan τ, yaitu jika A = τ B,C dan B = τ B,C untuk basis terurut B, C, B dan C, maka Teorema 2.16 menunjukkan bahwa A dan B ekivalen. Selanjutnya misalkan bahwa A dan B ekivalen, katakanlah B = PAQ 1 di mana P dan Q invertibel. Misalkan juga A merepresentasikan transformasi linier τ L V, W untuk suatu basis terurut B dan C, yaitu A = τ B,C. Teorema 2.13 mengakibatkan bahwa terdapat basis terurut yang tunggal B untuk V sehingga Q = M B,B dan basis terurut C untuk Wsehingga P = M C,C. Oleh karena itu B = M C,C τ B,C M B,B = τ B,C Jadi B juga merepresentasikan τ. Dengan sifat simetri, terlihat bahwa A dan B merepresentasikan himpunan transformasi linier yang sama. Yanita, Matematika FMIPA Unand 11/25/

21 Similaritas Matriks Definisi Dua matriks A dan B similar, disimbolkan dengan A~B jika terdapat matriks invertibel P sehingga B = PAP 1. Kelas-kelas ekivalensi yang berhubungan dengan similaritas disebut dengan kelas-kelas similaritas. 21

22 Teorema 2.19 Misalkan V ruang vektor berdimensi n. Maka dua matriks n n A dan B similar jika dan hanya jika matriks-matriks ini merepresentasikan operator linier τ L V yang sama, tetapi mungkin terkait dengan basis terurut yang berbeda. Dalam kasus ini, A dan B merepresentasikan tepat himpunan transformasi linier yang sama dalam L V 22