MAKALAH OLEH KELOMPOK I NAMA : 1. SHINTA JULIANTY 2. SITI HERLIZA 3. FATMALIZA 4. SUPRA ANTONI 5. JUNIANTY

Transkripsi

1 MAKALAH OLEH KELOMPOK I NAMA : 1. SHINTA JULIANTY 2. SITI HERLIZA 3. FATMALIZA 4. SUPRA ANTONI 5. JUNIANTY PROGRAM STUDI MATA KULIAH DOSEN PENGAMPU : PENDIDIKAN MATEMATIKA : GEOMETRI TRANSFORMASI : FADLI, S.Si.,M.Pd. SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA (STKIP-PGRI) LUBUKLINGGAU TAHUN 2009/2010

2 BAB II TRANSFORMASI 2.1. Transformasi. Suatu Transformasi pada suatu bidang V adalah suatu Fungsi yang bijektif dengan daerah asalnya V dan Daerah nilainya V juga Seperti Anda ketahui suatu Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang bersifat : 1. Surjektif 2. Injektif. Contoh : 1. Andaikan A V. Ada perpetaan (padanan) T dengan daerah asal V dan daerah nilai juga V. Jadi T : V yang dideinisikan sebagai beriku : (1) T (A) = A (2) Apabila P A. Maka T (P) = Q dengan Q titik tengah garis AP selidiki apakah padanan T tersebut suatu Transformasi. Jawab. A R S = T (R) Q = T (P) P Jelaskan bahwa A memiliki peta yaitu A sendiri. Ambil sebarang titik R A pada V. Oleh karena V bidang Euclides,maka ada satu garis yang melalui A dan R, Jadi ada satu ruas garis AR sehingga ada tepat satu titik S dengan S antara A dan R, Sehingga AS = SR. ini berarti untuk setiap X V ada satu Y dengan Y = T ( X) yang memenuhi persyaratan (2) jadi daerah asal T adalah V. 1. Apakah T Surjektif atau apakah daerah nilai T juga V untuk menyelidiki ini cukuplah dipertanyakan apakah setiap titik di V? memiliki prapeta. Jadi apabila Y = A prapetanya adalah A sendiri,sebab T (A) = A.

3 A Y = T (X) X Apabilah Y A.maka oleh karena V suatu bidang Euclides, ada % tunggal dengan X AY Sehingga AY = YX. Jadi Y adalah titik tengah AY, yang merupakan satusatunya titik tengah jadi Y =T (X). ini berarti bahwa X adalah prapeta dari titik Y. Dengan demilian dapat di katakana bahwa setiap titik pada V memiliki prapeta jadi T adalah suatu padanan yang Surjektif. Andaikan T (P) = T(Q). Oleh karena T (P) A P dan T (Q) A Q maka dalam hal ini AP dan A Q memiliki dua titik sekutu yaitu A dan T ( P) = T (Q). Ini berarti bahwa garis A P dan A Q berimpit,sehingga mengakibatkan bahwa Q A P. ini berlawanan dengan pemisalan bahwa A. P, Q. Titik bergaris. Jadi pengandaian bahwa T (P) = T (Q) tidak benar sehingga haruslah T (P) T (Q) Bagaimana apabila P, Q, A. Segaris? dari uraian di atas tanpak bahwa padanan T itu Injektif dan Surjektif, sehingga T adalah padanan yang bijektif. Dengan demikian terbukti T suatu Transformasi dari V ke V. Ditulis T : V V.

4 BAB III PENCERMINAN Definisi : Suatu pencerminan (Reflexi) pada sebuah garis s adalah suatu fungsi M S yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang V sebagai berikut : ( i ) Jika P s maka ( P) = P (ii ) Jika P s.maka M S ( P) sehingga garis s adalah sumbu PP pencerminan M s pada garis s selanjutnya kita lambangkan sebagai M s Garis s dinamakan sumbu refleksi atau sumbu pencerminan atau singkat cermin. Untuk menyelidiki lebih lanjut sifat-sifat pencerninan, kita selidiki apakah pencerminan itu suatu transformasi. 1) Dari definisi di atas jelas bahwa daerah asal M s adalah seluruh bidang V. 2) M s adalah padanan yang surjektif,sebab ambil X V. Kalau X s maka X = X 1 sebab M s (X) =X = X 1. Andaikan sekarang X 1 s. Dari sifat geometri ada X = V sehingga s menjadi sumbu ruas XX Ini berarti bahwa M s (X) = X 1 ( Ingat V adalah bidang Euclides). Artinya : Setiap X memilik prapeta. Jadi M s adalah Surjektif. 3. Apakah M s Injektif? Andaikan A B. kalau A s dan B s, maka jelas A = M s (A) = A dan B 1 = M s (B) = B. Jadi A 1 B 1 Kalau salah satu misalnya A s, maka A 1 = M s (A) = B karena B s, B 1 = M s Dengan B 1 s. Disini pula A 1 B 1 Andaikan selanjutnya A s. B s. Andai bahwa M s ( A) = M s (B). Atau A 1 = B 1. Jadi A 1 A s dan B 1 B garis berlainan yang tegak lurus pada s. ini tak mungkin. atau M s (A)_ M s (B). s. ini berarti dari satu titik A 1 ada dua Jadi pengandaian bahwa kalau A B maka M s (A) = M s (B) adalah tidak benar sehingga pengandaian itu salah. Jadi kalau A B maka M s (A) M s (B) Jadi M s adalah injektif.

5 A 1 B 1 S Kita tulis M S : V V, sifat tersebut dapat dituangkan dalam bentuk teorema : Teorema 3.1 : Setiap reflexi pada garis adalah suatu transformasi. Di samping sifat penting itu, suatu pencerminan pada garis mengawetkan jarak. Artinya : kalau A dan B dua titik maka apabila A 1 = (A) dan B 1 = M (B), AB = A 1 B 1.jadi jarak setiap dua titik sama dengan jarak antara peta-petanya. Jadi jarak tidak berubah. Sifat demikian yang di miliki oleh M itu, membuat M disebut Transformasi yang Isometrik atau M adalah suatu isomettrik. Defenisi : Suatu Transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setiap pasang titik P,Q = PQ dengan P = T (P) dan Q 1 = T ( Q). Teorema 3.2 : Setiap reflexi pada garis adalah suatu isometri ( lihat gambar 3.1). A B Jadi kalau A 1 = M s (A). B = M s (B) maka AB = A 1 B 1 Tugas : Coba Anda buktikan sifat tersebut.