ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING"

Transkripsi

1 ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI ATAS SEBARANG RING Uha Inaini 1 dan Indah Emilia Wijayanti 2 S2 Matematika FMIPA UGM, uhainaini@mail.ugm.ac.id 2 Juruan Matematika FMIPA UGM, ind wijayanti@ugm.ac.id Abtrak. Diketahui R ring dengan elemen atuan, M R merupakan R modul kanan dan S R himpunan denominator kanan. Dapat dibentuk ring fraki kanan Q = RS 1 dan Q modul kanan MS 1. Selanjutnya apabila terdapat A(M R) dapat dibentuk A(MS 1 R ) dan A(MS 1 Q ). Oleh karena itu di dalam tulian ini dibicarakan bentuk dan beberapa ifat dari aoiai prima pada modul fraki yang meliputi: Karakteriai aoiai prima pada modul fraki, hubungan antara aoiai prima pada modul fraki dengan modul awal- nya, beberapa ifat aoiai prima jika R merupakan ring Noetherian kanan, hubungan antara aoiai prima dengan himpunan emua elemen pembagi nol dari Q dan bentuk aoiai prima pada jumlah langung dan pergandaan Karteiu dari modul-modul fraki ata ring yang ama. Kata Kunci: Aoiai Prima, Ring Fraki, Modul Fraki. 1 Pendahuluan Pengertian aoiai prima dilatarbelakangi oleh pengamatan hubungan modul dengan ringnya. Aoiai prima digunakan untuk mengkarakteriai ubmodul P primer. Submodul N di R modul M merupakan ubmodul P primer jika dan hanya jika A(M/N) = {P }. Oleh karena itu, penelitian mengenai ifatifat dari aoiai prima banyak dilakukan. Salah atu peneliti adalah Annin [1,2] yang mengkaji bentuk aoiai prima pada modul fraki ata ebarang ring (dimungkinkan non komutatif). Pembahaan aoiai prima pada modul fraki terebut hanya pada bentuk dan yarat yang diperlukan dalam pembentukannya. Selain itu yarat 1 S berdaarkan pengamatan dapat diperumum dengan S. Oleh karena itu di paper ini, diberikan ifat-ifat aoiai prima pada modul fraki ata ebarang ring, dengan S tidak haru memuat elemen atuan yang belum pernah dikaji oleh peneliti ebelumnya. 2 RING DAN MODUL FRAKSI KANAN Pengertian ring fraki (ring of fraction) dilatarbelakangi oleh pengamatan hubungan himpunan emua bilangan bulat Z dengan himpunan emua bilangan raional Q. Untuk kau R ring ebarang, didefiniikan Definii 1. [3] Ring R S dikatakan ring fraki kanan dari ring R ata S R jika ada homomorfima ring ϕ : R R S edemikan hingga 1. S, ϕ() unit di R S. 2. x R S, x = ϕ(a)ϕ() 1 untuk uatu a R dan S. 3. Ker ϕ = {r R r = 0 untuk uatu S}.

2 Terdapat edikit perbedaan Definii 1 dengan definii di buku Lam (1998). Menurut hail pengamatan, elemen atuan tidak haru termuat di S karena pembentukan ring fraki kanan terebut maih bia dilakukan tanpa yarat terebut. Untuk menjamin ekiteni dari ring fraki kanan, himpunan multiplikatif S haru memenuhi yarat perlu berikut: 1. Untuk etiap a R dan S, as R. Selanjutnya S diebut permutabel kanan. 2. Untuk etiap a R jika a = 0 untuk uatu S maka a = 0 untuk uatu S. Selanjutnya S diebut reveribel kanan. Selanjutnya himpunan multiplikatif = S R dan 0 / S yang memenuhi 1 dan 2 diebut dengan himpunan denominator kanan. Jika diambil ebarang ring dengan elemen atuan R dan himpunan denominator kanan S R dapat dibentuk ring fraki kanan. Pertama-tama dibentuk himpunan R S = {(r, ) r R, S} dan dilengkapi dengan relai ekuivaleni berikut: (r, ) (r, ) x, y R edemikian hingga rx = r y R dan x = y S. Selanjutnya kela ekuivaleni yang terbentuk dinotaikan dengan r = {(r, ) R S (r, ) (r, )}. Himpunan emua kela-kela di R S dinamakan RS 1, yaitu RS 1 = { r (r, ) R S}. Selanjutnya jika diambil ebarang a, c b d RS 1, didefiniikan a = c jika dan b d hanya jika (a, b) (c, d). Notai r juga dapat dituli ebagai r 1, kemudian di dalam RS 1 didefiniikan operai penjumlahan dan perkalian ebagai berikut: r + r = rx + r y x r r = rp q dengan x = y S dan p = r q R. Diperoleh RS 1 merupakan ring fraki kanan R ata S. Diberikan modul M ata ring R yang memuat elemen atuan. Jika diberikan himpunan denominator kanan S R maka terdapat modul MS 1 yang merupakan modul fraki kanan dari modul M ata S. Pertama-tama dibentuk himpunan M S = {(m, ) m M, S} dan dilengkapi dengan relai ekuivaleni berikut (m, ) (m, ) x, y R edemikian hingga mx = m y M dan x = y S. 2

3 Selanjutnya kela ekuivaleni yang terbentuk dinotaikan dengan m = {(m, ) M S (m, ) (m, )} Himpunan emua kela-kela di M S dinamakan MS 1, yaitu MS 1 = { m (m, ) M S}. Diambil ebarang m, m MS 1, didefiniikan m = m jika dan hanya jika (m, ) berelai dengan (m, ). Notai m juga dapat dituli ebagai m 1. Diambil ebarang m, m MS 1 dan r RS 1, kemudian di dalam MS 1 t didefiniikan operai penjumlahan dan perkalian kalar ebagai berikut: m + m = mx + m y x m r t = mp tq dengan x = y S dan p = rq S untuk uatu x, y, p, q R. Diperoleh MS 1 merupakan RS 1 modul fraki kanan M ata S. 3 ASSOSIASI PRIMA PADA MODUL FRAKSI Pada bab ini akan diajikan definii aoiai prima pada modul ata ebarang ring beerta contohnya dan ifat terkait. Pada keeluruhan pembahaan ubbab ini diaumikan R merupakan ring dengan elemen atuan, S R merupakan himpunan denominator kanan dan Q = RS 1 merupakan ring fraki kanan dari R ata S. Selanjutnya M R merupakan R modul kanan dan yang dikatakan ideal merupakan ideal dua ii. Sebelum dibaha lebih lanjut diberikan definii dari beraoiai prima ebagai berikut. Definii 2. Diberikan R modul kanan M R. Ideal A di R dikatakan beraoiai prima dengan modul M R jika A = Ann(N R ) untuk uatu R modul prima tak nol N R M R. Berikut ifat jika R merupakan ring komutatif. Propoii 1. Diberikan R modul kanan M R. Ideal A di R beraoiai prima dengan modul M R jika dan hanya jika A ideal prima dan A = Ann(x) untuk uatu 0 x M R. Bukti. Pertama-tama ditunjukkan untuk arah ke kiri. Diberikan A uatu ideal prima di R dengan A = Ann(x) untuk uatu 0 x M. Dibentuk ubmodul terkecil yang memuat x yaitu < x >= xr. Pertama-tama ditunjukkan bahwa A = Ann(xR). Jela bahwa xr merupakan ubmodul tak nol. Selanjutnya dapat ditunjukkan bahwa xr merupakan modul prima. Selanjutnya ditunjukkan untuk arah ke kanan. Diberikan A ideal di R dengan A = Ann(N R ) untuk uatu R modul prima tak nol N R M R. Diambil ebarang elemen taknol x N R elanjutnya dibentuk ubmodul xr N R. Karena N R modul prima, diperoleh A = Ann(N R ) = Ann(xR). Akan ditunjukkan bahwa A = Ann(x). Jela bahwa karena x xr diperoleh A Ann(x). 3

4 Diambil ebarang p Ann(x). Perhatikan bahwa p mengenolkan x. Sehingga diperoleh p juga mengenolkan modul yang dibangun oleh x. Karena N R merupakan R modul prima, diperoleh pengenol ubmodul terebut ama dengan Ann(N R ) = A. Dapat ditunjukkan A ideal prima di R. Jadi A merupakan ideal prima di R dengan A = Ann(x). Selanjutnya himpunan emua aoiai prima dari M dinotaikan dengan A(M). Selanjutnya pada keeluruhan bab ini diaumikan R dan S memenuhi kondii berikut: Untuk etiap N R merupakan R ubmodul dari Q modul M Q berlaku ideal kanan Ann(N R ) e dari Q merupakan ideal dua ii di Q. (1) Sebelum dipaparkan mengenai bentuk aoiai prima pada modul fraki, terlebih dahulu diberikan teorema ebagai berikut: Teorema 1. Diberikan R modul kanan M dan S R himpunan denominator kanan dengan 1 / S. Selanjutnya dapat dibentuk himpunan S = S {1}. Selalu berlaku RS 1 = R S 1 dan MS 1 = M S 1. Bukti. Perhatikan bahwa karena S S diperoleh RS 1 R S 1. Selanjutnya diambil ebarang r R S 1. Untuk 1 jela bahwa r RS 1. Untuk = 1, diambil ebarang t S diperoleh r = r = rt RS 1. Untuk kau modul 1 t fraki analog. Dengan kata lain ada tidaknya elemen atuan pada himpunan S tetap diperoleh ring fraki kanan dan modul fraki kanan yang ama. Selanjutnya diberikan Teorema ebagai berikut. Teorema 2. Aumikan pernyataan (1) berlaku dan M merupakan Q modul kanan. Diperoleh A(M Q ) = {A e A A(M R ) dan A S = } = {I I c A(M R ) dan I c S = } Sebelum membuktikan Teorema 2 kita akan ditunjukkan beberapa lemma yang digunakan pada hubungan antara annihilator dan modul prima ata R dan Q. Kondii (1) diperlukan untuk pembuktian terebut. Diberikan ebarang R ubmodul N R dari uatu Q modul M Q, diberikan N e = N Q Q merupakan Q ubmodul dari M Q yang dibangun oleh N R. Dengan kata lain N e = N Q Q = {Σ i I n i i i Selanjutnya diberikan lemma ebagai berikut. t i i n i N, t i i Q Q }. Lemma 1. Diberikan M Q merupakan Q modul kanan. Diperoleh, 1. Ann(M R ) = Ann(M Q ) c 2. Diberikan N R uatu R ubmodul dari Q modul M Q. Didapat Ann(NQ) e Ann(N R ) e dan jika pernyataan (1) dipenuhi, diperoleh peramaan yang ama. 4

5 Bukti. Diambil ebarang y Ann(M R ), diperoleh xy = 0 untuk etiap x M R. Perhatikan bahwa jika diambil ebarang m Q, diperoleh ψ(y) Ann(M Q), dengan kata lain y Ann(M Q ) c. Selanjutnya diambil ebarang y Ann(M Q ) c dan g S, diperoleh yg Ann(M g Q ). Diambil ebarang m M, diperoleh mg Q. Perhatikan bahwa karena yg Ann(M g g Q ) diperoleh my = 0 untuk etiap m M, dengan kata lain y Ann(M R ). Diambil ebarang N R merupakan R ubmodul di M Q. Pertama-tama ditunjukkan Ann(NQ) e Ann(N R ) e. Diambil ebarang x Ann(N e y Q), dengan x R dan y S. Selanjutnya diambil ebarang n N, diperoleh nx = 0. Jadi didapat x Ann(N R ). Selanjutnya diambil ebarang a Ann(N R) e dan r Q. Menggunakan ifat permutabel kanan didapat ada c R dan u S t edemikian hingga tc = au. Perhatikan bahwa au Ann(N R ) karena untuk etiap n N berlaku (au)n = a(un) = 0. Selanjutnya karena Ann(N R ) e merupakan ideal dua ii, diperoleh c = 1au Ann(N t R) e. Karena c R didapat c Ann(N R ). Perhatikan bahwa n r a = n rc = 0. Jadi didapat t u Ann(N R ) e Ann(NQ). e Selanjutnya diberikan Lemma berikut. Lemma 2. Diberikan M Q merupakan Q modul kanan dan memenuhi pernyataan (1). Jika M Q prima maka M R prima. Bukti. Diambil ebarang M R merupakan R ubmodul di M R. Akan ditunjukkan Ann(M R ) = Ann(M R). Dari Lemma 1 bagian kedua dan (M Q) e ubmodul di M Q dan M Q prima diperoleh Didapat Jadi M R merupakan modul prima. Ann((M Q) e ) = Ann(M Q ). Ann(M R) = Ann(M R) e R = Ann(M Q ) R = Ann(M R ). Selanjutnya diberikan propoii ebagai berikut Propoii 2. Diberikan himpunan denominator kanan S R dan Q = RS 1. Selanjutnya dibentuk S = {u R u U(Q), S}, didapat 1. S merupakan himpunan denominator kanan 2. R S 1 = RS 1 Bukti. Jela bahwa S merupakan himpunan denominator kanan. Selanjutnya ditunjukkan RS 1 = R S 1. Pertama-tama ditunjukkan RS 1 R S 1. Diambil ebarang S, jela bahwa 2 U(Q). Jadi diperoleh S S, mengakibatkan RS 1 R S 1. Selanjutnya karena S 1 Q diperoleh R S 1 Q. Selanjutnya diberikan Lemma ebagai berikut. Lemma 3. Diberikan a 1 1, a 2 2,, a k k a i i t R, dengan 1 i k. Q. Terdapat t S edemikian hingga 5

6 Bukti. Dapat ditunjukkan menggunakan induki matematika dan ifat permutabel kanan S. Selanjutnya diberikan Lemma ebagai berikut. Lemma 4. Diberikan R ubmodul N R di M Q. Jika pernyataan (1) berlaku dan N R modul prima maka N e Q merupakan modul prima. Bukti. Perhatikan bahwa N R modul prima, ehingga berakibat NQ e {0}. Diambil ebarang N Q merupakan Q ubmodul tak nol di NQ. e Diambil ebarang n N Q dengan n 0. Mialkan n = k i=1 n i ( a i i ) dengan n i N R, a i R dan i S. Menggunakan Lemma 3 terdapat t S edemikian hingga n t N R N R dan n t 0. Selanjutnya karena N R modul prima diperoleh Ann(N R ) = Ann(N R N R) Ann(N R). Diberikan ebarang a Ann(N Q), diperoleh a Ann(N R) edemikian hingga a Ann(N R ). Menggunakan Lemma 1 diperoleh a Ann(NQ). e Sehingga didapat Ann(N Q) = Ann(NQ). e Selanjutnya akan diberikan bukti dari Teorema 2 ebagai berikut. Bukti. Diambil ebarang I A(M Q ). Dari definii, terdapat {0} N Q M Q dengan N Q merupakan Q modul prima dan I = Ann(N Q ). Dibentuk himpunan A = I c. Karena Q I = I ce = A e dapat ditunjukkan A S =. Selanjutnya ditunjukkan arah ebaliknya. Diambil ebarang A e dengan A A(M R ) dan A S =. Karena A A(M R ), terdapat modul prima tak nol N R M R dengan A = Ann(N R ). Menggunakan Lemma 1 dan Lemma 4 diperoleh N e Q merupakan Q modul prima. Jadi A e A(M Q ). Selanjutnya bukti untuk peramaan kedua analog. Hail terebut maih dapat dikaji lebih lanjut. Namun ebelumnya diberikan Lemma ebagai berikut. Lemma 5. Diberikan M R merupakan R modul kanan dan M R merupakan S beba tori. Diperoleh A(M R ) = A(MS 1 R ). Bukti. Perhatikan bahwa M R merupakan S beba tori dan terdapat penyiipan M R ke MSR 1. Jela bahwa A(M R ) A(MSR 1 ). Selanjutnya akan ditunjukkan A(MSR 1 ) A(M R ). Diambil ebarang A A(MSR 1 ). Menurut definii, terdapat R modul prima N R edemikian hingga A = Ann(N R ). Diambil ebarang m N R \ {0}, dengan m M R dan S. Diperoleh m 0. Selanjutnya dibentuk ubmodul iklik tak nol mr R di N R. Karena R, diperoleh m = m mr R. Diambil M R = mr R. Lebih lanjut diperoleh Ann(M R) = Ann(N R ) = A. Jadi ketika diambil m M R diperoleh M R M R. Dapat diimpulkan bahwa A A(M R ). Dari Teorema 2 dan Lemma 5 diperoleh akibat ebagai berikut. Corollary 1. Diberikan R modul kanan M R dan M R merupakan S beba tori. Aumikan bahwa M R memenuhi pernyataan (1), diperoleh A(MS 1 Q ) = {A e A A(M R ) dan A S = } (1) = {I I c A(M R ) dan I c S = } (2) 6

7 Bukti. Menggunakan Teorema 2 diperoleh bahwa A(MS 1 Q ) = {A e A A(MS 1 R ) dan A S = } (3) = {I I c A(MSR 1 ) dan I c S = } Selanjutnya menggunakan Lemma 5, dengan mengganti A(MSR 1 ) = A(M R ) Akibat 1 terbukti. Terdapat kondii alternatif yang mengakibatkan pernyataan (1) berlaku mekipun R dan Q bukan ring Noetherian kanan. Kondii terebut adalah Untuk etiap t S, terdapat t R dan q C(Q) edemikian hingga 1 t = t q, dengan C(Q) merupakan himpunan center di Q. (2) Selanjutnya diberikan propoii ebagai berikut. Propoii 3. Aumikan pernyataan (2) berlaku untuk S. Jika A merupakan ideal dua ii di R maka A e merupakan ideal dua ii di Q. Lebih lanjut pernyataan (1) berlaku untuk R dan Q. Bukti. Diberikan A merupakan ideal dua ii di R. Diambil ebarang a A dan r Q. Cukup ditunjukkan bahwa t Ae tertutup terhadap perkalian dari kiri. Diambil ebarang c R dan u S edemikian hingga tc = au. Menggunakan pernyataan (2) diperoleh untuk uatu t R dan q C(Q), berlaku r a t = rc u = rt auq = rt a uq u u = rt aq A e. Keamaan terebut berlaku karena q merupakan center di Q. Perhatikan bahwa pernyataan (2) elalu berlaku jika S merupakan ubet multiplikatif central di R. Dari propoii terebut dapat ditarik keimpulan yaitu, maka Teorema 2 dan Akibat 1 elalu berlaku jika S entral. Sebelum diberikan contoh mengenai bentuk aoiai prima pada modul fraki, diberikan terlebih dahulu teorema berikut. Teorema 3. Diberikan ring matrik M n (R) dengan R merupakan ring komutatif dengan elemen atuan. Elemen A M n (R) merupakan unit jika dan hanya jika det(a) merupakan unit di R. Pertama-tama diberikan contoh ring fraki kanan dan modul fraki kanan pada ring matrik berukuran n n ebagai berikut. Contoh 1. Diberikan ring komutatif dengan elemen atuan R dan dibentuk ring matrik egitiga bawah M n(r). Perhatikan bahwa M n (R) merupakan M n(r) modul kanan. Selanjutnya dibentuk S M n(r) merupakan himpunan matrik-matrik dengan elemen diagonalnya 1 R. Diperoleh S merupakan himpunan denominator kanan. Terdapat ring fraki kanan (M n(r))s 1 = { P A P M n(r), A S}. Selanjutnya karena M n (R) merupakan M n(r) modul kanan, dengan mengambil himpunan S yang ama diperoleh modul fraki kanan (M n (R))S 1 = { M A M M n(r), A S}. 7

8 Selanjutnya diberikan contoh aoiai prima pada modul fraki ebagai berikut. Contoh 2. Diberikan M n (Z) modul kanan M n (Z 6 ). Selanjutnya menggunakan S eperti pada Contoh 1, ecara analog dapat ditunjukkan S merupakan himpunan denominator kanan di M n (Z). Jadi dapat dibentuk modul fraki kanan Selanjutnya diperoleh (M n (Z 6 ))S 1 = { M A M M n(z 6 ), A S}. A(M n (Z 6 )) = {M n (2Z), M n (3Z)}. Selanjutnya menggunakan Akibat 1 diperoleh A(MS 1 Q ) = {A e A A(M R ) dan A S = } = {(M n (2Z)) e, (M n (3Z)) e } (4) Selanjutnya akan dibaha mengenai beberapa ifat aoiai prima pada modul fraki. Pada keeluruhan ubbab ini, apabila tidak ada keterangan lain diaumikan ring yang dimakud merupakan dengan elemen atuan dan memenuhi kondii (1). Pertama-tama didefiniikan dan (A(M R )) e = {A e MS 1 Q A A(M R )} (A(MS 1 Q )) c = {I c M R I A(MS 1 Q )}. Pertama-tama diberikan lemma ebagai berikut Lemma 6. Diberikan R modul M dan S R himpunan denominator kanan. Selalu berlaku A(MSQ 1 ) (A(M R )) e dan (A(MSQ 1 )) c A(M R ). Bukti. Diambil ebarang I A(MSQ 1 ). Menggunakan Teorema 1 diperoleh I (A(M R )) e. Selanjutnya jika diambil ebarang I (A(MSQ 1 )) c maka I e A(MSQ 1 ). Menggunakan Akibat 1 keamaan kedua diperoleh I A(M R ). Perhatikan bahwa Lemma 6 ama aja mengatakan banyak elemen dari A(MSQ 1 ) kurang dari atau ama dengan banyak elemen dari A(M R ). Pertama-tama diberikan karakteriai dari aoiai prima ebagai berikut. Propoii 4. Diketahui M merupakan uatu R-modul dan P ideal prima di R. Ideal P beraoiai dengan M jika dan hanya jika ada monomorfima modul dari R/P ke M. Lebih lanjut jika N ubmodul di M maka A(N) A(M). Bukti. Jela, dengan pemetaan f : R/P M dengan f(r + P ) = xr. Berikut diberikan karakteriai dari aoiai prima pada modul fraki. Propoii 5. Diketahui M R merupakan uatu R-modul dan P ideal prima di R. Ideal P e beraoiai dengan MSQ 1 jika dan hanya jika ada monomorfima modul dari R/P ke M R dan P S =. Lebih lanjut jika N ubmodul di M maka A(NSQ 1 ) A(MSQ 1 ). 8

9 Bukti. ( ) Diketahui P e beraoiai prima dengan MS 1. Menggunakan Teorema 1 diperoleh P A(M R ) dan P S =. Selanjutnya menggunakan Propoii 4 terdapat monomorfima modul dari R/P ke M R dan P S =. ( ) Diketahui terdapat monomorfima modul f : R/P M R. Menggunakan Propoii 4 diperoleh P beraoiai prima dengan M R. Menggunakan Akibat 1 diperoleh P e A(MSQ 1 ). Diberikan lemma ebagai berikut. Lemma 7. Diberikan R modul tak nol M R, S R himpunan denominator kanan dan R ubmodul N R. Jika N = {0} maka NSQ 1 = {0}. Konvernya berlaku jika z(n) S =. Bukti. Diambil N R merupakan R ubmodul di M R dengan N R = {0}. Perhatikan bahwa NSQ 1 = { 0 S} = { 0 }. Jadi diperoleh NS 1 Q himpunan nol. Untuk ebaliknya, diaumikan z(n) S =. Andaikan NSQ 1 himpunan nol dan N R bukan himpunan nol. Terdapat n N R edemikian hingga n 0. Karena z(n) S =, terjadi kontradiki. Jadi N R = {0}. Selanjutnya diberikan propoii berikut. Propoii 6. Diberikan R modul M. Jika M = {0} maka A(M) merupakan himpunan koong. Konvernya berlaku jika R merupakan ring Noetherian. Bukti. Jela. Selanjutnya diberikan propoii berikut. Propoii 7. Diberikan R modul tak nol M dan R ubmodul N. Jika N = {0} maka A(NSQ 1 ) merupakan himpunan koong. Konvernya berlaku jika R merupakan ring Noetherian kanan dan z(n) S =. Bukti. Diambil ebarang R modul tak nol M dan N merupakan R ubmodul. Jika N = {0} maka NSQ 1 juga nol. Sehingga diperoleh A(NSQ 1 ) merupakan himpunan koong. Sebaliknya diketahui A(NS 1 ) merupakan himpunan koong. Selanjutnya menggunakan Propoii 6 dan Lemma 7 diperoleh N R = {0}. Pertama-tama diberikan z(m) merupakan himpunan elemen pembagi nol di M. Diperoleh z(m) = {r R xr = 0 untuk uatu x M dengan x 0}. Selanjutnya diberikan teorema berikut. Teorema 4. Diketahui M merupakan uatu R-modul. Selalu berlaku {P P A(M)} z(m). Selanjutnya hal terebut menjadi ama jika R merupakan ring Noether. Bukti. Jela. 9

10 Diberikan z(msq 1 ) merupakan himpunan elemen pembagi nol di Q modul MSQ 1. Diperoleh z(msq 1 ) = { r Q = RS 1 x r = 0 untuk uatu x t u t MS 1 Q dengan x 0 dan u S}. Selanjutnya diberikan teorema berikut. Teorema 5. Diketahui MSQ 1 merupakan uatu Q-modul. Diperoleh {P e P A(M) dan P S = } z(msq 1 ). Selanjutnya hal terebut menjadi ama jika R merupakan ring Noetherian kanan. Bukti. Diambil ebarang P e {P e P A(M) dan P S = }. Menggunakan Akibat 1 diperoleh P e A(MSQ 1 ). Selanjutnya menggunakan Teorema 4 diperoleh P A(MSQ 1 ). Selanjutnya diaumikan R merupakan ring Noetherian kanan. Diambil ebarang I z(msq 1 ). Menggunakan Propoii 4 diperoleh z(msq 1 ) = {I I A(MSQ 1 )}. Jadi diperoleh I A(MSQ 1 ). Menggunakan Teorema 2 diperoleh I {P e P A(M) dan P S = }. Propoii 8. Diberikan R modul M. Jika N merupakan R ubmodul di M maka A(M) A(N) A(M/N). Bukti. Jela. Selanjutnya dapat ditunjukkan hail lain dari propoii 5. Propoii 9. Jika N R ubmodul di M R maka A(MSQ 1 ) A(NSQ 1 ) A(MSQ 1 /NSQ 1 ). Bukti. Diambil ebarang P A(MSQ 1 ). Perhatikan bahwa karena N R M R diperoleh NSQ 1 MSQ 1. Jela bahwa NSQ 1 merupakan Q ubmodul di MSQ 1. Sehingga dapat dibentuk MSQ 1 /NSQ 1 = { r + NS 1 Q r MS 1 Q }. Menggunakan Propoii 8 diperoleh P A(MSQ 1 /NSQ 1 ). Jadi diperoleh A(MSQ 1 ) A(NSQ 1 ) A((MSQ 1 )/(NSQ 1 )). Selanjutnya diberikan akibat ebagai berikut. Corollary 2. Diberikan R modul M j, dengan j J merupakan himpunan indek terhitung dan S R himpunan denominator kanan. Diperoleh A(( M j )S 1 ) = A(M j S 1 ). j J j J Bukti. Jela bahwa ( j J M j )S 1 = j J M j S 1. Menggunakan Propoii 5 didapat A(M j S 1 ) A( M j S 1 ). j J j J Dapat ditunjukkan A( j J M j S 1 ) j J A(M j S 1 ) menggunakan induki matematika dan Propoii 9. Pertama-tama diberikan contoh aoiai prima pada direct um dari modul fraki pada kau berhingga ebagai berikut: 10

11 Contoh 3. Diberikan M n (Z) modul M 1, M 2, dan M 3 dengan M 1 = M n (Z 6 ), M 2 = M n (Z 10 ) dan M 3 = M n (Z 15 ). Diambil S himpunan matrik egitiga bawah ata Z yang entri-entri pada diagonalnya 1. Analog dengan contoh 1 diperoleh S merupakan himpunan denominator kanan. Jadi dapat dibentuk modul fraki kanan (M 1 M 2 M 3 )S 1. Diperoleh A(M 1 M 2 M 3 ) = A(M 1 ) A(M 2 ) A(M 3 ) = {M n (2Z), M n (3Z), M n (5Z)} (5) Menggunakan Akibat 2 diperoleh A((M 1 M 2 M 3 )S 1 = A(M 1 S 1 ) A(M 2 S 1 ) A(M 3 S 1 ) (6) = {(M n (2Z)) e, (M n (3Z)) e, (M n (5Z)) e } (7) Selanjutnya diberikan akibat ebagai berikut. Corollary 3. Diberikan R modul M j, dengan j J merupakan himpunan indek terhitung dan S R himpunan denominator kanan. Diperoleh A(( M j )( S) 1 ) = j J j J j J A(M j S 1 j ). Bukti. Perhatikan bahwa ( j J M j )( j J S) 1 = j J M j S 1. Menggunakan Propoii 5 didapat A(M j S 1 ) A( M j S 1 ). j J j J Untuk arah ebaliknya, bukti analog dengan bukti pada Akibat 2. Sehingga diperoleh A( j J M j S 1 ) = j J A(M j S 1 ). 4 Keimpulan Berdaarkan pembahaan pada bab-bab ebelumnya, dapat ditarik ejumlah keimpulan ebagai berikut : 1. Sifat-ifat aoiai prima pada kau ring komutatif maih dipertahankan pada kau ebarang ring. 2. Aoiai prima dari pergandaan karteiu ama dengan gabungan aoiai prima dari modul-modul penyuunnya. 3. Mialkan untuk etiap N R merupakan R ubmodul dari Q modul M Q berlaku ideal kanan Ann(N R ) e dari Q merupakan ideal dua ii di Q. dan R merupakan S beba tori. Himpunan aoiai prima dari MSQ 1 adalah himpunan ekteni dari elemen-elemen di A(M R ) yang iriannya dengan S merupakan himpunan koong. Lebih lanjut A(MSQ 1 ) juga dapat dipandang ebagai himpunan emua ideal di RS 1 yang hail kontrakinya berada di A(M R ) dan iriannya dengan S merupakan himpunan koong. 4. Banyak elemen dari A(MS 1 Q ) kurang dari atau ama dengan banyak elemen dari A(M R ). 11

12 5. Syarat perlu dan cukup ideal P e beraoiai dengan MSQ 1 adalah terdapat monomorfima modul dari R/P ke M R dan irian P dengan S merupakan himpunan koong. Lebih lanjut jika N ubmodul di M maka A(NSQ 1 ) ubhimpunan dari A(MSQ 1 ). 6. Diberikan R modul tak nol M dan R ubmodul N. Himpunan N = {0} merupakan yarat cukup bagi A(NSQ 1 ) ama dengan himpunan koong. Konvernya berlaku jika diberi tambahan yarat R merupakan ring Noetherian kanan dan tidak ada elemen S yang mengenolkan elemen N. 7. Selalu berlaku gabungan dari P e dengan P A(M) dan P S = merupakan ubhimpunan z(msq 1 ). Jika ditambahkan yarat R merupakan ring Noetherian kanan maka diperoleh himpunan yang ama. 8. Syarat perlu N R ubmodul di M R adalah A(MSQ 1 ) merupakan ubhimpunan dari A(NSQ 1 ) digabung dengan A(MSQ 1 /NSQ 1 ). 9. Himpunan aoiai prima dari jumlahan langung terhitung dari modul fraki ama dengan gabungan dari aoiai prima maing-maing modul fraki terebut. Daftar Putaka 1. Annin S, 2011, Aociated Prime over Skew Polynomial Ring, Communication in Algebra, 30(5), (2002). 2. Annin S dan Warner, N.J., 2012, Aociated Prime under Noncommutative Localization, Preliminary verion. 3. Lam, T.Y.,1998, Lecture On Module and Ring ISBN , California. 4. Deore, R.P., 2008, On Aociated Prime and Primary Subemimodule, International Journal of Algebra, Vol. 2, 2008, no.16, Dummit, D.S dan Foote, R.M.,2003, Abtract Algebra ISBN , , California. 6. Mc Caland, R.L. and Smith, P.F.,2008, Generalized Aociated Prime and Radical of Submodule International Electronic Journal of Algebra Volume 4 (2008) Savitt D,2000, Aociated Prime and Primary Decompoition Preliminary verion. 8. Tavallaee, H.A.,2010, On Aociated and Supported Prime Mathematical Science Vol. 4, No. 1 (2010)

Pembentukan Ring Bersih Menggunakan Lokalisasi Ore. Construction of Clean Ring using Ore Localization

Pembentukan Ring Bersih Menggunakan Lokalisasi Ore. Construction of Clean Ring using Ore Localization Jurnal Matematika & Sain, April 4, Vol. 9 Nomor Pembentukan Ring Berih Menggunakan Lokaliai Ore Abtrak Uha Inaini dan Indah Emilia Wijayanti ) Juruan Matematika, Fakulta Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF(5m)

BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF(5m) BAB III PEMBAHASAN TEOREMA DAN LEMMA YANG DIBUTUHKAN DALAM KONSTRUKSI ARITMETIK GF5m) Teori finite field mulai diperkenalkan pada abad ke tujuh dan abad ke delapan dengan tokoh matematikanya Pierre de

Lebih terperinci

SYARAT PERLU DAN CUKUP SUBMODUL TERKOMPLEMEN. Sri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM. Abstrak

SYARAT PERLU DAN CUKUP SUBMODUL TERKOMPLEMEN. Sri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM. Abstrak JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 5. No. 1, 8-13, April 2002, IN : 1410-8518 YARAT PERLU DAN CUKUP UBMODUL TERKOMPLEMEN ri Wahyuni Jurusan Matematika FMIPA UGM Abstrak Dipresentasikan syarat perlu dan

Lebih terperinci

DEFINISI DAN RUANG SOLUSI

DEFINISI DAN RUANG SOLUSI DEFINISI DAN RUANG SOLUSI Pada bagian ini akan dibaha tentang bai dan dimeni menggunakan pengertian dari kebebaan linear ( beba linear dan merentang ) yang dibaha pada bab ebelumnya. Definii dari bai diberikan

Lebih terperinci

STABILISASI SISTEM LINIER POSITIF MENGGUNAKAN STATE FEEDBACK

STABILISASI SISTEM LINIER POSITIF MENGGUNAKAN STATE FEEDBACK Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 105 109 ISSN : 2303 2910 c Juruan Matematika FMIPA UNAND STABILISASI SISTEM LINIER POSITIF MENGGUNAKAN STATE FEEDBACK ERIN DWI FENTIKA, ZULAKMAL Program Studi

Lebih terperinci

MATEMATIKA IV. MODUL 9 Transformasi Laplace. Zuhair Jurusan Teknik Elektro Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 )

MATEMATIKA IV. MODUL 9 Transformasi Laplace. Zuhair Jurusan Teknik Elektro Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 ) MATEMATIKA IV MODUL 9 Tranformai Laplace Zuhair Juruan Teknik Elektro Univerita Mercu Buana Jakarta 2007 年 2 月 6 日 ( 日 ) Tranformai Laplace Tranformai Laplace adalah ebuah metode yangdigunakan untuk menyeleaikan

Lebih terperinci

1. Pendahuluan. 2. Tinjauan Pustaka

1. Pendahuluan. 2. Tinjauan Pustaka 1. Pendahuluan Komunikai merupakan kebutuhan paling menonjol pada kehidupan manuia. Pada awal perkembangannya ebuah pean diampaikan ecara langung kepada komunikan. Namun maalah mulai muncul ketika jarak

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN III MODUL BEBAS, PENGENOL, DAN

Lebih terperinci

Prosiding SPMIPA; pp: ; 2006 ISBN:

Prosiding SPMIPA; pp: ; 2006 ISBN: Proiding SPMIPA; : 96-101; 006 ISBN: 979.70.7.0 SUKU BANYAK BIKUADRATIK TAK-TEREDUKSI DENGAN FAKTORISASI MODULO BILANGAN PRIMA Suryoto Juruan Matematika FMIPA Univerita Dionegoro Jl. Prof. H. Soedarto

Lebih terperinci

Korelasi antara tortuositas maksimum dan porositas medium berpori dengan model material berbentuk kubus

Korelasi antara tortuositas maksimum dan porositas medium berpori dengan model material berbentuk kubus eminar Naional Quantum #25 (2018) 2477-1511 (8pp) Paper eminar.uad.ac.id/index.php/quantum Korelai antara tortuoita imum dan poroita medium berpori dengan model material berbentuk kubu FW Ramadhan, Viridi,

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan

Lebih terperinci

SUBMODUL PRIMA, SEMIPRIMA, DAN PRIMER DI MODUL DAN MODUL FRAKSI

SUBMODUL PRIMA, SEMIPRIMA, DAN PRIMER DI MODUL DAN MODUL FRAKSI Jurnal Gammath, Volume 2 Nomor 1, Maret 2017 SUBMODUL PRIMA, SEMIPRIMA, DAN PRIMER DI MODUL DAN MODUL FRAKSI Lina Dwi Khusnawati FKIP Universitas Muhammadiyah Surakarta lina.d.khusnawati@ums.ac.id Abstrak

Lebih terperinci

BAB III NERACA ZAT DALAM SISTIM YANG MELIBATKAN REAKSI KIMIA

BAB III NERACA ZAT DALAM SISTIM YANG MELIBATKAN REAKSI KIMIA BAB III EACA ZAT DALAM SISTIM YAG MELIBATKA EAKSI KIMIA Pada Bab II telah dibaha neraca zat dalam yang melibatkan atu atau multi unit tanpa reaki. Pada Bab ini akan dibaha neraca zat yang melibatkan reaki

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

Kajian Solusi Numerik Metode Runge-Kutta Nystrom Orde Empat Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua

Kajian Solusi Numerik Metode Runge-Kutta Nystrom Orde Empat Dalam Menyelesaikan Persamaan Diferensial Linier Homogen Orde Dua Jurnal Gradien Vol. No. Juli 0 : -70 Kajian Solui Numerik Metode Runge-Kutta Nytrom Empat Dalam Menyeleaikan Peramaan Diferenial Linier Homogen Dua Zulfia Memi Mayaari, Yulian Fauzi, Cici Ratna Putri Jelita

Lebih terperinci

PERTEMUAN 3 PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAM LINIER

PERTEMUAN 3 PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAM LINIER PERTEMUAN PENYELESAIAN PERSOALAN PROGRAM LINIER Setelah dapat membuat Model Matematika (merumukan) peroalan Program Linier, maka untuk menentukan penyeleaian Peroalan Program Linier dapat menggunakan metode,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. R S = { r s. untuk S subset multiplikatif dari R yang tidak memuat pembagi nol dan didefinisikan

BAB I PENDAHULUAN. R S = { r s. untuk S subset multiplikatif dari R yang tidak memuat pembagi nol dan didefinisikan BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Topik "Hubungan Modul Dedekind Dengan Modul π Melalui Modul Invertibel dan Modul Padat" merupakan kajian atas 2(dua) jenis submodul yang muncul dari ide yang

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Peatnya perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi membuat matematika menjadi angat penting artinya, bahkan dapat dikatakan bahwa perkembangan ilmu pengetahuan dan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN 3. Deain Penelitian yaitu: Pengertian deain penelitian menurut chuman dalam Nazir (999 : 99), Deain penelitian adalah emua proe yang diperlukan dalam perencanaan dan pelakanaan

Lebih terperinci

BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING ( ( ) )

BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING ( ( ) ) BENTUK - BENTUK IDEAL PADA SEMIRING ( ( ) ) Dian Winda Setyawati Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya ABSTRAK. Diberikan R semiring dan I himpunan bagian dari R maka I disebut ideal pada R jika dan maka

Lebih terperinci

BAB VIII METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

BAB VIII METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR 6 BAB VIII METODA TEMPAT EDUDUAN AAR Dekripi : Bab ini memberikan gambaran ecara umum mengenai diagram tempat kedudukan akar dan ringkaan aturan umum untuk menggambarkan tempat kedudukan akar erta contohcontoh

Lebih terperinci

FIsika KARAKTERISTIK GELOMBANG. K e l a s. Kurikulum A. Pengertian Gelombang

FIsika KARAKTERISTIK GELOMBANG. K e l a s. Kurikulum A. Pengertian Gelombang Kurikulum 2013 FIika K e l a XI KARAKTERISTIK GELOMBANG Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami pengertian gelombang dan jeni-jeninya.

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. Populasi dalam penelitian ini adalah semua siswa kelas XI IPA SMA YP Unila

III. METODE PENELITIAN. Populasi dalam penelitian ini adalah semua siswa kelas XI IPA SMA YP Unila III. METODE PENELITIAN A. Populai dan Sampel Populai dalam penelitian ini adalah emua iwa kela XI IPA SMA YP Unila Bandar Lampung tahun ajaran 01/013 yang berjumlah 38 iwa dan terebar dalam enam kela yang

Lebih terperinci

PENAKSIR VARIANSI POPULASI YANG EFISIEN PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI

PENAKSIR VARIANSI POPULASI YANG EFISIEN PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA MENGGUNAKAN KOEFISIEN REGRESI PENAKIR VARIANI POPLAI YANG EFIIEN PADA AMPLING ACAK EDERHANA MENGGNAKAN KOEFIIEN REGREI Neneng Gutiana Rutam Efendi Harion Mahaiwa Program Matematika Doen Juruan Matematika Fakulta Matematika dan Ilmu

Lebih terperinci

MATEMATIKA IV. MODUL 12 Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace

MATEMATIKA IV. MODUL 12 Diferensiasi dan Integrasi Transformasi Laplace MATEMATIKA IV MODUL 2 Difereniai dan Integrai Tranformai Laplace Zuhair Juruan Teknik Elektro Univerita Mercu Buana Jakarta 2008 年 0 月 3 日 ( 日 ) Difereniai dan Integrai Tranformai Laplace Tranformai Laplace

Lebih terperinci

Volume 9 Nomor 1 Maret 2015

Volume 9 Nomor 1 Maret 2015 Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

MODUL IV ESTIMASI/PENDUGAAN (3)

MODUL IV ESTIMASI/PENDUGAAN (3) MODUL IV ETIMAI/PENDUGAAN (3) A. ETIMAI RAGAM Etimai ragam digunakan untuk menduga ragam σ berdaarkan ragam dari uatu populai normal contoh acak berukuran n. Ragam contoh ini akan digunakan ebagai nilai

Lebih terperinci

BAB II TEGANGAN TINGGI IMPULS

BAB II TEGANGAN TINGGI IMPULS BAB II TEGANGAN TINGGI IMPULS 2. TEGANGAN IMPULS Tegangan Impul (impule voltage) adalah tegangan yang naik dalam waktu ingkat ekali kemudian diuul dengan penurunan yang relatif lambat menuju nol. Ada tiga

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);

II. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif); II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

Nina membeli sebuah aksesoris komputer sebagai hadiah ulang tahun. Kubus dan Balok. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com

Nina membeli sebuah aksesoris komputer sebagai hadiah ulang tahun. Kubus dan Balok. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com Bab Kubu dan Balok ujuan embelajaran etelah mempelajari bab ini iwa diharapkan mampu: Mengenal dan menyebutkan bidang, ruuk, diagonal bidang, diagonal ruang, bidang diagonal kubu dan balok; Menggambar

Lebih terperinci

PEMBENTUKAN IDEAL MAKSIMAL GELANGGANG POLINOM MIRING MENGGUNAKAN IDEAL GELANGGANG TUMPUANNYA

PEMBENTUKAN IDEAL MAKSIMAL GELANGGANG POLINOM MIRING MENGGUNAKAN IDEAL GELANGGANG TUMPUANNYA PEMBENTUKAN IDEAL MAKSIMAL GELANGGANG POLINOM MIRING MENGGUNAKAN IDEAL GELANGGANG TUMPUANNYA Amir Kamal Amir Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin Makassar amirkamalamir@yahoo.com ABSTRAK. Gelanggang

Lebih terperinci

BAB III PERLUASAN INTEGRAL

BAB III PERLUASAN INTEGRAL BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

MENENTUKAN INDEKS KOMPOSIT MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE UNTUK MENGUKUR TINGKAT INDUSTRIALISASI

MENENTUKAN INDEKS KOMPOSIT MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE UNTUK MENGUKUR TINGKAT INDUSTRIALISASI Jurnal Matematika Vol.6 No. Nopember 6 [ 9 : 8 ] MENENTUKAN INDEKS KOMPOSIT MENGGUNAKAN METODE LAGRANGE UNTUK MENGUKUR TINGKAT INDUSTRIALISASI DI PROPINSI JAWA BARAT Juruan Matematika, Uiverita Ilam Bandung,

Lebih terperinci

Transformasi Laplace

Transformasi Laplace Tranformai Laplace Muhafzan Agutu 22 Tranformai Laplace 3 Denii Tranformai Laplace Dalam bagian ini kita akan membicarakan ifat-ifat dan beberapa aplikai dari tranformai Laplace. Denii Diberikan uatu fungi

Lebih terperinci

MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND

MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND MODUL HASIL BAGI DARI SUATU MODUL DEDEKIND Erlina Tri Susianti 1) Santi Irawati 2) Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Malang. email: erltrisa@yahoo.co.id, santira99@gmail.com Abstrak: Gelanggang

Lebih terperinci

Modul Perkalian. Oleh Samsul Arifin Jurusan Matematika FMIPA UGM Sekip Utara Yogyakarta 55281

Modul Perkalian. Oleh Samsul Arifin Jurusan Matematika FMIPA UGM Sekip Utara Yogyakarta 55281 Modul Perkalian Oleh Samsul Arifin Jurusan Matematika FMIPA UGM Sekip Utara Yogyakarta 5528 Abstrak Di dalam teori modul terdapat modul khusus yang disebut modul perkalian (multiplication modules). Misalnya

Lebih terperinci

BEBERAPA SIFAT DIMENSI KRULL DARI MODUL. Amir Kamal Amir 1)

BEBERAPA SIFAT DIMENSI KRULL DARI MODUL. Amir Kamal Amir 1) Paradigma, Vol. 14 No. 2 Agustus 2010 hlm. 105 112 BEBERAPA SIFAT DIMENSI KRULL DARI MODUL Amir Kamal Amir 1) 1) Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, Makassar 90245 E-mail: amirkamalamir@yahoo.com

Lebih terperinci

PENTINGNYA MEDIA PEMBELAJARAN LABE (LANTAI BERHITUNG) PADA PELAJARAN MATEMATIKA SISWA SD KELAS III TERHADAP HASIL BELAJAR

PENTINGNYA MEDIA PEMBELAJARAN LABE (LANTAI BERHITUNG) PADA PELAJARAN MATEMATIKA SISWA SD KELAS III TERHADAP HASIL BELAJAR Tuga Matakuliah Pengembangan Pembelajaran Matematika SD Doen Pengampu Mohammad Faizal Amir, M.Pd. S-1 PGSD Univerita Muhammadiyah Sidoarjo PENTINGNYA MEDIA PEMBELAJARAN LABE (LANTAI BERHITUNG) PADA PELAJARAN

Lebih terperinci

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Matrik Alih

Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Matrik Alih Intitut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya Matrik Alih Materi Contoh Soal Ringkaan Latihan Aemen Materi Contoh Soal Ringkaan Latihan Aemen Pengantar Dalam Peramaan Ruang Keadaan berdimeni n, teradapat

Lebih terperinci

HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP

HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,

Lebih terperinci

Beberapa Sifat Ideal Bersih-N

Beberapa Sifat Ideal Bersih-N JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 61-66 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 88 BAB IV HASIL PEELITIA DA PEMBAHASA Dalam bab ini dipaparkan; a) hail penelitian, b) pembahaan. A. Hail Penelitian 1. Dekripi Data Dekripi hail penelitian yang diperoleh dari pengumpulan data menggunakan

Lebih terperinci

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif

Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Nana Fitria 2, Puguh Wahyu Prasetyo 3, Vika Yugi Kurniawan 4 Jurusan Matematika, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta Indonesia

Lebih terperinci

METODE PENELITIAN. penelitian quasi experimental. Desain ini mempunyai kelompok kontrol, tetapi

METODE PENELITIAN. penelitian quasi experimental. Desain ini mempunyai kelompok kontrol, tetapi III. METODE PENELITIAN A. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah dengan menggunakan metode penelitian quai experimental. Deain ini mempunyai kelompok kontrol, tetapi tidak

Lebih terperinci

PENGGUNAAN RATA-RATA GEOMETRIK DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA (STUDI KASUS PADA SAHAM THE WALT DISNEY COMPANY )

PENGGUNAAN RATA-RATA GEOMETRIK DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA (STUDI KASUS PADA SAHAM THE WALT DISNEY COMPANY ) Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 44 52 ISSN : 2303 2910 c Juruan Matematika FMIPA UNAND PENGGUNAAN RATA-RATA GEOMETRIK DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA (STUDI KASUS PADA SAHAM THE WALT DISNEY

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN A. Jeni Penelitian Penelitian ini menggunakan pendekatan kuantitatif yang akan dilakukan merupakan metode ekperimen dengan deain Pottet-Only Control Deign. Adapun pola deain penelitian

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada tulisan ini diasumsikan semua ring merupakan ring komutatif dengan elemen satuan, kecuali jika diberikan suatu pernyataan lain. Diberikan ring R dan P

Lebih terperinci

KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG

KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG Oleh: NITA ARIANI G54009 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 007 ABSTRAK

Lebih terperinci

KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING

KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING KAJIAN BENTUK-BENTUK IDEAL PADA SEMIRING Oleh: RUZIKA RIMADHANY 1209 100 042 Dosen Pembimbing: DIAN WINDA SETYAWATI, S.Si, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT

Lebih terperinci

BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA

BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA A IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA A. Dekripi Data Penelitian ini menggunakan penelitian ekperimen. Subyek penelitiannya dibedakan menjadi kela ekperimen dan kela kontrol. Kela ekperimen diberi perlakuan

Lebih terperinci

A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif

A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3

Lebih terperinci

BAB XIV CAHAYA DAN PEMANTULANYA

BAB XIV CAHAYA DAN PEMANTULANYA 227 BAB XIV CAHAYA DAN PEMANTULANYA. Apakah cahaya terebut? 2. Bagaimana ifat perambatan cahaya? 3. Bagaimana ifat pemantulan cahaya? 4. Bagaimana pembentukan dan ifat bayangan pada cermin? 5. Bagaimana

Lebih terperinci

Seminar Nasional Aljabar, Pengajaran Dan Terapannya

Seminar Nasional Aljabar, Pengajaran Dan Terapannya Tulisan ini telah dipresentasikan pada dipresentasikan dalam Seminar Nasional Alabar, Pengaaran Dan Terapannya dengan tema Kontribusi Alabar dalam Upaya Meningkatkan Kualitas Penelitian dan Pembelaaran

Lebih terperinci

BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE

BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE BAB VI TRANSFORMASI LAPLACE Kompeteni Mahaiwa mampu. Menentukan nilai tranformai Laplace untuk fungi-fungi yang ederhana. Menggunakan ifat-ifat tranformai untuk menentukan nilai tranformai Laplace untuk

Lebih terperinci

MODEL SIR UNTUK KETAHANAN BEHAVIOURAL

MODEL SIR UNTUK KETAHANAN BEHAVIOURAL PROSDG SB : 978 979 6353 3 T MODEL SR UTUK KETAHAA BEHAVOURAL KEASH BATAR Matematika Terapan, Juruan Pendidikan Matematika Fakulta Matematika dan lmu Pengetahuan Alam Univerita egeri Yogyakarta, Yogyakarta

Lebih terperinci

Transformasi Laplace. Slide: Tri Harsono PENS - ITS. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS

Transformasi Laplace. Slide: Tri Harsono PENS - ITS. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS Tranformai Laplace Slide: Tri Harono PENS - ITS 1 1. Pendahuluan Tranformai Laplace dapat digunakan untuk menyatakan model matemati dari item linier waktu kontinu tak ubah waktu, Tranformai Laplace dapat

Lebih terperinci

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. Dekripi Data Untuk mengetahui pengaruh penggunaan media Audio Viual dengan metode Reading Aloud terhadap hail belajar iwa materi العنوان, maka penuli melakukan

Lebih terperinci

TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA)

TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA) TEORI RING LANJUT (MODUL PRIMA) 23 Maret 2010 Samsul Arifin (09/290722/PPA/2875) Yunita Septriana Anwar (08/275043/PPA/2614) IDEAL PRIMA Definisi 1: Misalkan R ring dan ideal. I disebut prima jika untuk

Lebih terperinci

Transformasi Laplace dalam Mekatronika

Transformasi Laplace dalam Mekatronika Tranformai Laplace dalam Mekatronika Oleh: Purwadi Raharjo Apakah tranformai Laplace itu dan apa perlunya mempelajarinya? Acapkali pertanyaan ini muncul dari eorang pemula, apalagi begitu mendengar namanya

Lebih terperinci

DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI

DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI TANGGAPAN FREKUENSI BAB VIII DESAIN SISEM ENDALI MELALUI ANGGAPAN FREUENSI Dalam bab ini akan diuraikan langkah-langkah peranangan dan kompenai dari item kendali linier maukan-tunggal keluaran-tunggal yang tidak berubah dengan

Lebih terperinci

MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER

MODUL FAKTOR DARI MODUL ENDOMORFISMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATAS GAUSSIAN INTEGER Prosiding eminar Nasional Matematika dan Terapannya 2016 p-in : 2550-0384; e-in : 2550-0392 MODUL FAKTO DAI MODUL ENDOMOFIMA PADA HIMPUNAN BILANGAN BULAT ATA GAUIAN INTEGE Linda Octavia oelistyoningsih

Lebih terperinci

PENAKSIR RASIO DAN PRODUK EKSPONENSIAL YANG EFISIEN UNTUK VARIANSI POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

PENAKSIR RASIO DAN PRODUK EKSPONENSIAL YANG EFISIEN UNTUK VARIANSI POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA PEAKIR RAIO DA PRODUK EKPOEIAL YAG EFIIE UTUK VARIAI POPULAI PADA AMPLIG ACAK EDERHAA Mega Elmaanti 1* Firdau Hapoan irait 1 Mahaiwa Program 1 Matematika Doen Juruan Matematika Fakulta Matematika dan Ilmu

Lebih terperinci

Pembentukan Ideal Prim Gelanggang Polinom Miring Atas Daerah ( )

Pembentukan Ideal Prim Gelanggang Polinom Miring Atas Daerah ( ) Vol. 8, No.2, 64-68, Januari 2012 Pembentukan Ideal Prim Gelanggang Polinom Miring Atas Daerah ( ) Amir Kamal Amir Abstrak Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1, adalah suatu endomorfisma

Lebih terperinci

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA

IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)

Lebih terperinci

DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS

DESAIN SISTEM KENDALI MELALUI ROOT LOCUS Bab VI: DESAIN SISEM ENDALI MELALUI OO LOCUS oot Lou dapat digunakan untuk mengamati perpindahan pole-pole (lup tertutup) dengan mengubah-ubah parameter penguatan item lup terbukanya ebagaimana telah ditunjukkan

Lebih terperinci

BAB V ANALISIS HASIL PERANCANGAN

BAB V ANALISIS HASIL PERANCANGAN BAB V ANALISIS HASIL PERANCANGAN 5.1. Proe Fluidiai Salah atu faktor yang berpengaruh dalam proe fluidiai adalah kecepatan ga fluidiai (uap pengering). Dalam perancangan ini, peramaan empirik yang digunakan

Lebih terperinci

Penentuan Jalur Terpendek Distribusi Barang di Pulau Jawa

Penentuan Jalur Terpendek Distribusi Barang di Pulau Jawa Penentuan Jalur Terpendek Ditribui Barang di Pulau Jawa Stanley Santoo /13512086 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Intitut Teknologi Bandung, Jl. Ganeha 10 Bandung

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR: RING

STRUKTUR ALJABAR: RING STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari

Lebih terperinci

III. METODE PENELITIAN. Penelitian ini dilaksanakan di SMP Muhammadiyah 3 Bandar Lampung kelas VII

III. METODE PENELITIAN. Penelitian ini dilaksanakan di SMP Muhammadiyah 3 Bandar Lampung kelas VII III. METODE PENELITIAN A. Populai dan Sampel Penelitian ini dilakanakan di SMP Muhammadiyah 3 Bandar Lampung kela VII emeter genap Tahun Pelajaran 0/0, SMP Muhammadiyah 3 Bandar Lampung memiliki jumlah

Lebih terperinci

Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih

Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih Jurnal Matematika Integrati ISSN 4-684 Volume No, April 05, pp 65-74 Setiap Modul merupakan Submodul dari Suatu Modul Bersih Kartika Sari, Indah Emilia Wijayanti ) Jurusan Matematika,Fakultas MIPA, Universitas

Lebih terperinci

PROSIDING ISBN : Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2)

PROSIDING ISBN : Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2) Modul Strongly Supplemented A 6 Dzikrullah Akbar 1), Sri Wahyuni 2) 1) Mahasiswa S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA UGM Email : dzikoebar@yahoo.com 2) Dosen PS S2 Matematika Jurusan Matematika FMIPA

Lebih terperinci

BAB II MOTOR INDUKSI TIGA PHASA

BAB II MOTOR INDUKSI TIGA PHASA BAB MOTOR NDUKS TGA PHASA.1 Umum Motor induki merupakan motor aru bolak balik ( AC ) yang paling lua digunakan dan dapat dijumpai dalam etiap aplikai indutri maupun rumah tangga. Penamaannya beraal dari

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN A. Jeni Penelitian Jeni penelitian ini adalah penelitian kuantitatif dengan pendekatan ekperimental. Deain penelitian ini adalah Pottet-Only Control Deign. Dalam deain ini terdapat

Lebih terperinci

ROOT LOCUS. 5.1 Pendahuluan. Bab V:

ROOT LOCUS. 5.1 Pendahuluan. Bab V: Bab V: ROOT LOCUS Root Locu yang menggambarkan pergeeran letak pole-pole lup tertutup item dengan berubahnya nilai penguatan lup terbuka item yb memberikan gambaran lengkap tentang perubahan karakteritik

Lebih terperinci

BAB III PERANCANGAN MODEL DAN SIMULASI SISTEM

BAB III PERANCANGAN MODEL DAN SIMULASI SISTEM BAB III PERANCANGAN MODEL DAN SIMULASI SISTEM 3.1 Pendahuluan Berikut diagram blok pemodelan ytem yang akan diimulaikan. Seluruh ytem dimodelkan dengan meggunakan program Matlab. Parameter yang diukur

Lebih terperinci

X. ANTENA. Z 0 : Impedansi karakteristik saluran. Transformator. Gbr.X-1 : Rangkaian ekivalen dari suatu antena pancar.

X. ANTENA. Z 0 : Impedansi karakteristik saluran. Transformator. Gbr.X-1 : Rangkaian ekivalen dari suatu antena pancar. X. ANTENA X.1 PENDAHULUAN Dalam hubungan radio, baik pada pemancar maupun pada penerima elalu dijumpai antena. Antena adalah uatu item / truktur tranii antara gelombang yang dibimbing ( guided wave ) dan

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani

Lebih terperinci

BAB III METODE PENELITIAN

BAB III METODE PENELITIAN BAB III METODE PENELITIAN A. Jeni Penelitian Jeni penelitian ini adalah penelitian kuantitatif dengan pendekatan ekperimental. Deain penelitian ini adalah Pottet-Only Control Deign. Dalam deain ini terdapat

Lebih terperinci

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017

PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas

Lebih terperinci

Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan

Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Kajian Sifat Sifat Graf Pembagi-Nol dari Ring Komutatif dengan Elemen Satuan Soleha 1, Dian W. Setyowati 2, Satrio A. W. 3 1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, seha_07@matematika.its.ac.id 2 Institut

Lebih terperinci

BAB XV PEMBIASAN CAHAYA

BAB XV PEMBIASAN CAHAYA 243 BAB XV PEMBIASAN CAHAYA. Apakah yang dimakud dengan pembiaan cahaya? 2. Apakah yang dimakud indek bia? 3. Bagaimana iat-iat pembiaan cahaya? 4. Bagaimana pembentukan dan iat bayangan pada lena? 5.

Lebih terperinci

BAB II MOTOR INDUKSI TIGA PHASA. Motor induksi adalah motor listrik arus bolak-balik yang putaran rotornya

BAB II MOTOR INDUKSI TIGA PHASA. Motor induksi adalah motor listrik arus bolak-balik yang putaran rotornya BAB MOTOR NDUKS TGA PHASA.1 Umum Motor induki adalah motor litrik aru bolak-balik yang putaran rotornya tidak ama dengan putaran medan tator, dengan kata lain putaran rotor dengan putaran medan pada tator

Lebih terperinci

RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN. Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK

RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN. Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK RING ABELIAN DAN MODUL ABELIAN Oleh: Andri Novianto (1) Elah Nurlaelah (2) Ririn Sispiyati (2) ABSTRAK Dalam tulisan ini akan diperkenalkan modul abelian sebagai perluasan dari ring abelian. Misalkan suatu

Lebih terperinci

Modul Faktor Dari Modul Supplemented

Modul Faktor Dari Modul Supplemented Modul Faktor Dari Modul Supplemented A 16 Puguh Wahyu Prasetyo S2 Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta Email : puguhwp@gmail.com Ari Suparwanto Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta Email : ari_suparwanto@ugm.ac.id

Lebih terperinci

SYARAT PERLU MENGKONSTRUKSIKAN RELASI EKIVALENSI PADA RING TIDAK KOMUTATIP ELVINA HERAWATY

SYARAT PERLU MENGKONSTRUKSIKAN RELASI EKIVALENSI PADA RING TIDAK KOMUTATIP ELVINA HERAWATY SYARAT PERLU MENGKONSTRUKSIKAN RELASI EKIVALENSI PADA RING TIDAK KOMUTATIP ELVINA HERAWATY Jurusan Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Abstrak Diketengahkan metode memperluas himpunan

Lebih terperinci

ANALISA STRUKTUR TIKUNGAN JALAN RAYA BERBENTUK SPIRAL-SPIRAL DENGAN PENDEKATAN GEOMETRI

ANALISA STRUKTUR TIKUNGAN JALAN RAYA BERBENTUK SPIRAL-SPIRAL DENGAN PENDEKATAN GEOMETRI ANALISA STRUKTUR TIKUNGAN JALAN RAYA BERBENTUK SPIRAL-SPIRAL DENGAN PENDEKATAN GEOMETRI Edi Sutomo Program Studi Magiter Pendidikan Matematika Program Paca Sarjana Univerita Muhammadiyah Malang Jln Raya

Lebih terperinci

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d

0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d 1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?

Lebih terperinci

IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye

IDEAL DIFERENSIAL DAN HOMOMORFISMA DIFERENSIAL. Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye DEAL DFEENSAL DAN HOMOMOFSMA DFEENSAL Na imah Hijriati, Saman Abdurrahman, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat l. end. A. Yani Km. 36 Kampus Unlam Banjarbaru Email : imah_math@yahoo.co.id

Lebih terperinci

Analisa Kendali Radar Penjejak Pesawat Terbang dengan Metode Root Locus

Analisa Kendali Radar Penjejak Pesawat Terbang dengan Metode Root Locus ISBN: 978-60-7399-0- Analia Kendali Radar Penjejak Peawat Terbang dengan Metode Root Locu Roalina ) & Pancatatva Heti Gunawan ) ) Program Studi Teknik Elektro Fakulta Teknik ) Program Studi Teknik Mein

Lebih terperinci

Syarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif Lemah dan Ring Endomorfisma dari Modul Distributif Lemah

Syarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif Lemah dan Ring Endomorfisma dari Modul Distributif Lemah Syarat Perlu Suatu Modul Merupakan Modul Distributif Lemah Ring Endomorfisma dari Modul Distributif Lemah Fitriani Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Email: fitriani_mathunila@yahoocoid AbstrakMisalkan

Lebih terperinci

Beberapa Sifat Ideal Bersih-N

Beberapa Sifat Ideal Bersih-N JURNAL FOURIER Oktober 216, Vol. 5, No. 2, 65-7 ISSN 2252-763X; E-ISSN 2541-5239 Beberapa Sifat Ideal Bersih-N Uha Isnaini dan Indah Emilia Wijayanti Jurusan Matematika FMIPA UGM, Yogyakarta, Sekip Utara,

Lebih terperinci

NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275

NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA. Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 50275 NEUTROSOFIK MODUL DAN SIFAT-SIFATNYA Suryoto 1, Bambang Irawanto 2, Nikken Prima Puspita 3 1,2,3 Jurusan Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H. Soedarto, SH, Tembalang, Semarang 5275 1 suryoto_math@undip.ac.id

Lebih terperinci

BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA

BAB IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA A IV DESKRIPSI DAN ANALISIS DATA A. Dekripi Data Kegiatan penelitian dilakanakan pada tanggal ampai dengan 4 April 03 di Madraah Ibtidaiyah Infarul Ghoy Plamonganari Pedurungan Semarang. Dalam penelitian

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Modul adalah generalisasi dari ruang vektor yaitu dengan memperluas struktur lapangan pada ruang vektor menjadi ring yang strukturnya lebih umum. Dengan kata

Lebih terperinci

Daerah Ideal Utama Adalah Almost Euclidean

Daerah Ideal Utama Adalah Almost Euclidean Daerah Ideal Utama Adalah Almost Euclidean Oleh Ratwa Suriadikirta Irawati A B S T R A C T Daerah Euclid (DE) merupakan daerah ideal utama (DIU), daerah ideal utama merupakan daerah faktorisasi tunggal

Lebih terperinci

MASALAH PENGEPAKAN BANGUN DATAR

MASALAH PENGEPAKAN BANGUN DATAR MASALAH PENGEPAKAN BANGUN DATAR Sumardyono, M.Pd. Maalah pengepakan (packing) adalah maalah meletakkan objek-objek yang aling beringgungan dengan cara tertentu dan di dalam uatu wadah dengan peifikai tertentu

Lebih terperinci

STATISTIK FERMI - DIRAC

STATISTIK FERMI - DIRAC STATISTIK ERMI - DIRAC Diuun untuk memenuhi tuga mata kuliah iika Statitik DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII DISUSUN OLEH : KELOMPOK VII 1. 06101011006 MUHAMMAD URQON. 0610101100 EVELINA ASTRA PATRIOT 3. 06101011037

Lebih terperinci