TRANSFORMASI BALIKAN

Transkripsi

1 TRANSFORMASI BALIKAN Disusun Oleh : Nama : Dodi Sunhaji ( ) Esty Gustina ( ) Indah Sri ( ) Warnitik ( ) Oryza Sativa Kelas : VIA Prodi : Matematika Mata Kuliah : Geometri Transformasi SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA ( STKIP PGRI ) 2009 / 2010

2 TRANSFORMASI BALIKAN Dari contoh-contoh pada pasal-pasal yang terdahulu. Jika g sebuah garis dan M g refleksi pada garis g. P direfleksikan pada garis g, menjadi : M g (P) = P M g (P ) = P maka M g M g (P) = P. kita tulis M 2 g (P) = P. M 2 g adalah suatu transformasi yang memetakan setiap titik pada dirinya. Transformasi demikian dinamakan transformasi identitas yang dilambangkan dengan huruf I. jadi, I(P) = P Transformasi balikan T ditulis T. maka T T = T T = I. Teorema 1 Setiap transformasi T memiliki balikan. Bukti : Andaikan T suatu transformasi. X є V. karena T suatu transformasi maka bijektif. Jadi ada prapeta A є V sehingga T(A) = X. Lalu kita tentukan L(X) = A artinya L(X) adalah prapeta dari X sehingga dari T(A) = X T [L(X)] = X Atau (TL)(X) = I (X), ν X є V berarti TL = I. Selanjutnya (LT)(X) = L[T(X)]. Andaikan T(X) = B maka L(B) = X jadi L[T(X)] = L(B) = X sehingga TL= LT= I. Sekarang akan dibuktikan bahwa L adalah suatu transformasi. Dari definisi L jelas L suatu padanan yang surjektif. Andaikan L(X 1 ) = L(X 2 ) dan andaikan T(A 1 ) = X 1, T(A 2 ) = X 2 dengan (I 1 ) = A 1 dan L(X 2 ) = A 2. karena T statu transformasi, A 1 = A 2 jadi dari L(X 1 ) = L(X 2 ) X 1 = X 2. sehingga L injektif.

3 Dengan demikian terbukti bahwa L bijektif, jadi L suatu Transformasi. Transformasi L ini disebut balikan dari transformasi T dan dilambangkan dengan L = T. Contoh : Pada suatu sistem sumbu ortogonal XOY didefinisikan transformasi F dan G sebagai berikut : Untuk ν P(x,y), F(P) = (x + 2, ½y) dan G(P) = (x - 2, 2y). Buktikan bahwa F balikan G dan sebaliknya! Pembuktian : (FG)(P) = F[G(P)] = F[(x - 2, 2y)] = (x,y) = P (GF)(P) = G [F (P)] = G[(x + 2, ½y)] = (x,y) = P Jadi F dan G balikan satu sama lain, G = F Teorema 2 Setiap transformasi memiliki hanya satu balikan Pembuktian Andai T suatu transformasi dengan dua balikan S 1 dan S 2 jadi : (TS 1 )(P) = (S 1 T)(P) = I(P), ν P dan (TS 2 )(P) = (S 2 T)(P) = I(P), ν P sehingga (TS 1 )(P) = (TS 2 )(P) T[S 1 (P)] = T[S 2 (P)]. Karena T transformasi maka S 1 (P) = S 2 (P), ν P sehingga S 1 = S 2. Jadi balikan T adalah S 1 = S 2 = S.

4 Teorema 3 Balikan setiap pencerminan pada garis adalah pencerminan itu sendiri. Bukti : Andaikan pencerminan pada garis g adalah M g. Andaikan M g (X) = Y, X є g maka M g [M g (X)] = X atau (M g M g ) (X) = I(X), ν X є g. Jadi M g o M g = I. Kalau X є g maka M g (X) = X. sehingga M g (X) = M g [M g (X)] atau juga M g o M g = I. Sehingga diperoleh M g o M g = I. Dengan demikian maka M g = M g. Definisi: Suatu transformasi yang balikannya adalah transformasi itu sendiri dinamakan suatu involusi. Andaikan T dan S transformasi maka masing-masing memiliki balikan yaitu T dan S Komposisi transformasi yaitu T o S adalah juga suatu transformasi. Jadi ada balikan (T o S) Teorema 4 Apabila T dan S transformasi- transformasi maka ( T o S ) = S o T Bukti : Kita tahu ( T o S ) o ( T o S ) = I Tetapi (S o T ) o ( T o S ) = S o ( T o T ) o S = S o I o S = S o S = I Karena suatu transformasi hanya satu balikan maka ( T o S ) = S o T Jadi balikan hasil kali transformasi adalah hasil kali balikan-balikan transformasi dengan urutan yang terbalik.

5 Contoh: Pada sebuah sistem sumbu ortogonal ada garis g = {(x,y) y = x} dan h = {(x,y) y = 0} tentukan P sehingga M h M g (P) = R dengan R = (2,7) Penyelesaian : Andaikan P = (x,y). Kita peroleh berturut-turut (M g M h ) (M h M g )(P) = (M g [M h (R)] Jadi P = M g [M h (P)]. Oleh karena R = (2,7) dan M h = M h maka M h (P) = M h (R) = (2,-7) sehingga M g M h (R) = M g (2,-7) = M g (2,7) = (7,2) sehingga P = (-7,2) Soal 1. Diberikan relasi T : v v yang ditetapkan sebagai berikut Apabila P = (x,y) є v, maka : i) T(P) = (x + 1, y) untuk x 0 ii) T(P) = (x - 1, y) untuk x < 0 Apakah T suatu transformasi? 2. Diberikan garis g adalah {(x,y) y = 0} dan h = {(x,y) y = x}. Tentukan persamaan garis M h (g). 3. Apabila T 1,T 2 dan T 3 masing-masing transformasi, buktikan bahwa (T 1 ot 2 ot 3 ) = T 3 o T 2 o T 1

6 Pembahasan : 1. Ambil sebarang titik P = (x,y) є v Untuk x 0, x + 1 є R akibatnya (x + 1, y) є v Untuk x < 0, x 1 є R akibatnya (x 1, y) є v, Sehingga v selalu mempunyai peta di v. Jadi relasi T merupakan fungsi dari v ke v. Ambil (0,0) є v sehingga (0,0) = T(P) = (x + 1, y) jika x 0 didapat x = dan y = 0. dalam hal ini terjadi kontradiksi dengan persyaratan x 0. akibatnya (, 0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan (i) apabila (0,0) = T(P) = (x - 1, y) jika x < 0 didapat x = 1 dan y = 0 dan inipun terjadi lagi kontradiksi dengan persyaratan x < 0. akibatnya (1,0) bukan prapeta dari (0,0). Berdasarkan (ii) akibat dari kedua hal ini (0,0) tidak mempunyai prapeta oleh T. Jadi relasi T bukan suatu transformasi. 2. Misal x o, y o є g maka y o = 0 Mg(x o, y o ) = y o, x o = x,y Maka diperoleh x = y o dan y = x o Sehingga didapat hubungan x = 0 maka M h (g) = {(x,y) x = 0). 3. (T 1 o T 2 o T 3 ) = [(T 1 o T 2 ) o T 3 ] asosiatif = T 3 o (T 1 o T 2 )] teorema 4 = T 3 o T 2 o T 1 teorema 4