HASIL KALI TRANSFORMASI

Transkripsi

1 Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi, denan F : V V G : V V HASIL KALI TRANSFORMASI Maka komposisi dari F dan G yan ditulis sebaai Go F didefinisikan sebaai: (Go F) (P) = G[F(P)], P V Teorema : Jika F : V V dan G : V V masin-masin suatu transformasi maka asil kali H = Go F : V V adala jua suatu transformasi. Bukti : Akan dibuktikan H = Go F suatu transformasi. Untuk ini arus dibuktikan dua al yaitu H surjektif dan H injektif. 1) Akan dibuktikan H surjektif. Karena F transformasi maka daera nilai F adala seluru bidan V, dan daera asal G jua seluru V sebab G suatu transformasi. Ambil y V, apaka ada x seina H(x) = y? Akan dibuktikan y = H(x). Karena G transformasi maka y V z V y Karena F suatu transformasi maka pada Maka y = G[F(x)] atau y = Go F (x). Jadi y = H(x). Jadi H surjektif. ) Akan dibuktikan H injektif. = G(z). z x V z = F(x). Artinya, Jika P Q maka H(P) H(Q) P,Q ε V. Ambil P,Q ε V dan P Q. Karena F injektif maka F(P) F(Q). Jelas G(F(P)) G(F(Q)) karena G injektif. Diperole, Jika P Q maka G(F(P)) G(F(Q)) P,Q ε V. Jadi H injektif. Karena H surjektif dan H injektif maka H suatu transformasi. Jadi H = Go F suatu transformasi.

2 Catatan : Denan jalan yan serupa dapat pula dibuktikan bawa asil kali Fo G jua suatu transformasi. Soal-soal 1). Diketaui : aris-aris dan dan titik-titik P,Q dan K. Lukisla : a). A = M [M (P)] b). B = M [M (P)] c). C = M [M (P)] d). D = M [M (K)] e). R seina M [M (R)] = Q f). Apaka M o M = M o M? Jawab: A a). P Q M (P) b). P M (P) B P = M [M (P)] c). M (P)

3 d). K = D P Q e). R P Q M (Q) f). Tidak, sebab terliat pada nomor (a) dan (b), diperole M [M (P)] M [M (P)]. ). Diketaui : T dan S isometri Selidiki : a). TS sebua isometri b). TS = ST c). Jika sebua aris maka = (TS)() jua sebua aris. d). Jika // dan = (TS)(), = (TS)() maka // Jawab : a). T dan S adala isometri-isometri seina T dan S adala suatu transformasi Berdasarkan teorema Jika F : V V dan G : V V masin-masin suatu transformasi, maka asil kali H = Go F : V V adala jua suatu transformasi, maka TS jua transformasi. Adb apaka TS isometri Ambil sebaran titik A, B V

4 S(A) = A, S(B) = B Karena S isometri seina AB = A B T(A ) = A, T(B ) = B Karena T suatu isometri seina A B = A B Denan demikian AB = A B = A B TS(A) = T[S(A)] TS(A) = T[S(A)] = T(A ) = T(B ) = A = B Karena AB = A B seina TS sebua isometri. Jadi TS adala suatu isometri. b). Adb TS = ST c). Apabila sebua aris maka = TS() jua sebua aris Tela diketaui bawa TS sebua isometri Berdasarkan teorema sebua isometri memetakan aris menjadi aris Maka = TS() adala sebua aris Jadi pernyataan jika sebua aris maka = TS() jua sebua aris benar. d). Apabila // dan = TS(), = TS() maka // Karena TS sebua isometri, berdasarkan teorema sebua isometri menawetkan kesejajaran dua aris Seina diperole // denan = TS(), = TS(), // Jadi pernyataan Apabila // dan = TS(), = TS() maka // benar. 3). Diketaui : aris-aris dan, A, B, C Lukisla : a). M [M ( ABC)] b). M [M ( ABC)] c). K seina M [M (K)] = K d). R seina M [M (R)] = D

5 Jawab: a). A C B A B C C A b). M (A) = A M (B) = B (karena B maka M (B) = B ) M (C) = C M (A ) = A M (B ) = B M (C ) = C Jadi, M [M ( ABC)] = A B C B C A = A B C A B C

6 M (A) = A = A (karena A ) M (B) = B M (C) = C M (A ) = A M (B ) = B M (C ) = C Jadi, M [M ( ABC)] = A B C c). Akan dilukis K seina M [M (K)] = K M [M (K)] = K (M M )(K) = K Hasil kali persamaan (M M )(K) = K anya akan terjadi pada titik poton antara aris dan aris. Ole karena itu K adala titik poton aris dan aris. K d). Akan dilukiskan titik R seina M [M (R)] = D Karena D maka D = M (D) = D Seina diperole M (R) = D Jadi, R adala prapeta D ole M R D 4). Diketaui : aris-aris,, k denan // k Lukisla : a). = M [M ()] b). = M [M ()] c). k = M [M (k)]

7 Jawab: a). = M [M ()] ' k b). = M [M ()] M () k ' c). k = M [M (k)] M (k) k k' 5). Diketaui : dua aris dan yan berpotonan Lukisla : a). k seina M [M (k)] = b). m seina M [M (m)] =

8 c). n seina M [M (n)] membai sama besar sudut lancip antara dan Jawab: 6). Diketaui : padanan S dan T sebaai berikut Ditanyakan : a). TS(P) Daera asal S adala, S(X) adala titik tena AX Daera asal T adala daera di luar linkaran l dan T(X) = b). Daera asal dan daera nilai TS c). R seina (TS)(R) = Q denan Q l d). Apaka ST ada? Jika ya, tentukan daera asal dan daera nilainya Jawab: a). Ambil P seina S(P) pertenaan AP TS(P) = T[S(P)] TS(P) perpotonan linkaran l denan S(P) B BX l A S(P) TS(P) B l P b). Karena TS(X) = T[S(X)] berarti daera asal T adala S, sementara daera asal c). S adala. Jadi, daera asal TS di. Daera nilai S adala S(X) yaitu pertenaan AX. Daera nilai T(X) adala BX l, dan untuk TS(X) maka BS(X) l = l Jadi, daera nilai TS adala pada linkaran l. d). Ambil sebaran titik P Maka T(P) di l karena daera asil T di l. S[T(P)] tidak ada karena T(P) l, sementara daera asal S di.

9 Jadi, ST tidak ada. 7). Diketaui : aris adala sumbu X sebua sumbu ortoonal dan ( x y) Ditanyakan : a). Persamaan aris M [M ()] b). P = M [M (P)] denan P = (0,3) c). Q = M [M (Q)] denan Q = (3,-1) d). R = M [M (R)] denan R = (x, y) e). Besarnya ROR apabila O titik asal Jawab: a). M [M ()] = M () = M ({( x, 0), x R} ) = {( 0, y), y R} { y x} =, =. Jadi, diperole M [M ()] adala sumbu-y sebua sistem sumbu ortoonal. Persamaan aris M [M ()] adala x = 0. b). Akan ditentukan P = M [M (P)] denan P = (0,3) M [M (P)] = M [M (0,3)] = M [(0,-3)] = (-3,0) Jadi P = (-3,0). c). Akan ditentukan Q = M [M (Q)] denan Q = (3,-1) M (Q) = M (3,-1) = (-1,3) Jadi, Q = M [M (Q)] = M (-1,3) = (-1,-3) d). Akan ditentukan R = M [M (R)] denan R = (x, y) R = M [M (R)] = M [M (x, y)] = M (y, x) = (y,-x)

10 e). m( ROR ) =...? O(0,0) α) R(x,y) R (y,-x) Misalkan m( ROR ) = α RR" = OR + OR" ( x y) + ( y + x) = x + y + y + ( x) ( x + y )( y + ( x) ) x xy + y + y + xy + x = x + y + y + x ( x + y ) cosα ( x + y ) cosα = 0 cosα = 0 α = 90 atau α = 70 adi, m( ROR ) = 90 OR OR" cosα cosα J 8). Diketaui : dua aris dan yan berbeda berpotonan di P Buktikan : M [M (A)] = P jika dan anya jika A = P Bukti : Garis dan berpotonan di titik P, maka P dan P (1) ( ) Diketaui M [M (A)] = P...(i) Akan dibuktikan jika M [M (A)] = P maka A = P Karena P, menurut definisi pencerminan, M (P) = P...(ii) Dari (i) dan (ii) diperole M [M (A)] = P = M (P) M (A) = P...(iii) Karena P, menurut definisi pencerminan, M (P) = P...(iv) Dari (iii) dan (iv) diperole M (A) = P = M (P) A = P Jadi, jika M [M (A)] = P maka A = P (terbukti) () ( ) Diketaui A = P Akan dibuktikan jika A = P maka M [M (A)] = P Karena A = P dan P, menurut definisi pencerminan,

11 M (A) = M (P) = P Karena P, menurut definisi pencerminan, M (P) = P = M [M (A)] seina M [M (A)] = P Jadi, jika A = P maka M [M (A)] = P (terbukti) Dari (1) dan () diperole : Jika dua aris dan yan berbeda berpotonan di P, maka M [M (A)] = P jika dan anya jika A = P (terbukti) 9). Diketaui : andaikan sumbu X dan = (, y) { x y = x} S adala padanan yan didefinisikan sebaai berikut : Jika P maka S(P) = P, jika P maka S(P) adala titik tena ruas aris teak lurus dari P pada Ditanyakan : a). Buktikan S suatu transformasi! b). Jika P = (x,y) sebua titik sembaran, tentukan koordinat-koordinat titik S[M(P)]! c). Selidiki apaka S M = M S? d). Selidiki apaka S M = M S? Jawab: a). S : V V Akan dibuktikan S bijektif (i). Akan dibuktikan S surjektif (1). Untuk P Ambil sebaran P V Jelas prapeta P = P sebab S(P) = P (). Untuk P Ole karena V bidan euclide maka terdapat denan tunal P denan P PT dimana T dan PT Seina PX = XT Karena PX = XT maka X merupakan titik tena PT Jadi, X adala titik tena ruas aris teak lurus dari P pada atau X = S(P), karena X = S(P) maka P prapeta dari X.

12 Dari (1) dan () diperole S surjektif. (ii). Akan dibuktikan S injektif b). P = (x, y) Ambil sebaran P, Q V denan P Q (1). Untuk P, Q Jelas S(P) = P dan S(Q) = Q Karena P Q maka S(P) S(Q) (). Untuk P dan Q Jelas S(P) = P dan S(Q) = X, dimana X titik tena ruas aris teak lurus dari Q pada, maka X Karena P dan X maka P X atau S(P) S(Q) (3). Untuk P, Q Jelas S(P) = Y, dimana Y titik tena ruas aris teak lurus dari P pada dan S(Q) = X titik tena ruas aris teak lurus dari Q pada. Andaikan S(P) = S(Q) atau Y = X Karena Y titik tena ruas aris teak lurus dari P pada, misalkan ruas aris tersebut dinamakan PT dimana T. Maka Y PT dan PY = YT Karena X = Y maka X PT dan PX = XT...(*) Karena S(Q) = X maka X titik tena ruas aris teak lurus dari Q pada, maka X UQ dan QX = XU...(**) Dari (*) dan (**) diperole PT dan UQ berimpit. Karena T dan U maka T = U dan P = Q, al ini kontradiksi denan P Q. (i). Untuk P M (P) = P maka S[M (P)] = P (ii). Untuk P M (P) = (x,-y) 1 S[M (P)] = ( x, y)

13 c). Ambil sebaran P = (x, y) (i). Untuk P M (P) = P maka S[M (P)] = S(P) = P S(P) = P maka M [S(P)] = M (P) = P S[M (P)] = M [S(P)] (ii). Untuk P Jadi, 1 M (P) = ( x, y) maka S[M (P)] = S(P) = ( x, y) 1 1 S(P) = ( x, y) maka M [S(P)] = M ( x, y) S[M (P)] = M [S(P)] S[M (P)] = M [S(P)] d). Ambil sebaran P = (x, y) (i). Untuk P 1 M (P) = (0, x) maka S[M (P)] = (0, x) S(P) = ( x,0) maka M [S(P)] = (0, x) (ii). Untuk P Jadi, M [S(P)] S[M (P)] 1 M (P) = ( y, x) maka S[M (P)] = ( y, x) M [S(P)] S[M (P)] 1 1 S(P) = ( x, y) maka M [S(P)] = ( y, x) M[S(P)] S[M (P)] { } 10). Diketaui : = ( x, y) y = 0 dan = (, y) { x y = x} S transfomasi (yan didefinisikan seperti nomor 9) A = (,-8) dan P = (x, y) Tentukan koordinat-koordinat titik-titik berikut : a). M M S(A) d). M S M (A) b). M S M (A) e). S M (A) c). S M S(A) f). S M (A) Jawab: a). A = (, -8) A = S(A)

14 Sesuai definisi S (jika P maka S(P) adala titik tena ruas aris teak lurus dari P pada ) maka A adala titik tena aris yan melalui A dan ( 8) A = (, ) = (, 4) Jadi, S(A) = (,-4) A = M S(A) = M (,-4) Sesuai definisi pencerminan, maka aris adala aris sumbu titik (, -4) dan A. Misal: A = (a, b), maka: + a 4 + b a b (,0) = (, ) (,0) = (1 +, ) a =, b = 4 Jadi, A = M S(A) = M (,4) A = M (A ) = M M S(A) = M (,4) Sesuai definisi pencerminan, maka aris adala aris sumbu titik (,4) dan A. Misal A = (a, b ), maka: Untuk mencari titik tena A dan A Misal titik tena A dan A adala W, maka W Karena adala aris y = x, maka nilai absis sama denan ordinat, radien = 1 Misal W = (m,m) Persamaan aris melalui A dan W: y = 1( x 4) y = x + 6 (denan radien(m) = 1) Subtitusikan W(m,m) pada y = x + 6 maka m = m + 6 m = 6 m = 3 Jadi, W(3,3). 11). Diketaui : andaikan dan dua aris yan teak lurus A, B, C adala tia bua titik, seina M (A) = B dan M (A) = C Ditanyakan : tentukan titik-titik a). M 3 (A) c). M M M M M (A) b). M M M (A) d). M M 3 (A) Jawab: Misalkan seperti ambar berikut:

15 A(-x,y) B(x,y) C(-x,-y) D(x,-y) a). M 3 (A) = (M M M )(A) c). M M M M M (A) = (M M )[M (A)] = (M M M )[M (A)] = (M M )(B) = (M M M )(B) = M [M (A)] = (M M )[M (B)] = M (A) = (M M )(B) = B = M [M (B)] = M (A) = C b). (M M M )(A)= (M M )[M (A)] d). M M 3 (A) = (M M )[M (A)] = (M M )(C) = (M M )(A) = M [M (C)] = M [M (A)] = M (D) = M (C) = B = C 1). Diketaui : dua aris, //, titik-titik P dan Q, P dan P Ditanyakan : a). Lukisla P = M M (P) dan Q = M M (Q)! b). Berbentuk apaka seiempat PP QQ? c). Buktikan pendapat anda!

16 Jawab: a). M M (Q) = Q Q Q = M (Q) M M (P) = P P = M (P) P b). Seiempat PP Q Q berbentuk jajarenjan c). //, P = M M (P), dan Q = M M (Q) Jadi, P" Q" = M M ( PQ ) Karena pencerminan suatu isometri, maka P" Q" // PQ dan P" Q" = PQ, denan demikian seiempat PP Q Q suatu jajarenjan (berdasarkan teorema seiempat yan memiliki sepasan sisi yan sejajar dan sama panjan adala jajarenjan ). { }, 13). Diketaui : = ( x, y) y = 3 = ( y) { x, y = 1}, dan k sebua aris yan melalui A = (1,4) dan B = (-1,-) Tentukanla : a). Persamaan k = M M (k) b). Luas seiempat AA BB apabila A = M M (A) dan B = M M (B) c). Koordinat P = M M (P), P = M M (P) apabila P = (x, y) d). Nilai α dalam persamaan aris = {( x, y) y =α} apabila = {( x, y) x = }, A = (5,1), dan A = M M (A) = (-3,1) Jawab: a). k = M M (k) Karena A k dan B k, seina A =M M (A) k dan B =M M (B) k. A = (1,1), B = (-1,6). Misal A = x, ) dan B = x, ). ( 1 y1 ( y

17 Persamaan aris k : y y y1 y 1 = x x1 x x 1 y 1 = 6 1 x y 1 x 1 = 6 y 1 = 3( x 1) y 1 = 3x 3 y = 3x + 9 Jadi, persamaan aris k ': y = 3x + 9 b). AA B B membentuk banun jajarenjan denan alas(a) = dan tini(t) = 8. Luas = a x t = x 8 = 16 Jadi, luas AA B B = 16 satuan luas. c). P ( x, y). Pencerminan titik P teradap aris M (P) = P ( x ', y' ) Karena aris merupakan sumbu PP, seina -1 merupakan titik tena dari y dan y : y y' = 1 y y' = Jadi, koordinat titik P (x, -y ) y' = y dan Pencerminan titik P teradap aris M [M (P)] = P ( x ", y" ) Karena aris merupakan sumbu P P, seina 3 merupakan titik tena dari y dan y : y' y" = 3 Dan x " = x' = x y' y" = 6 y" = 6 y' x ' = x y" = 6 ( y ) y" = y + 8 Jadi, koordinat titik P (x, y + 8) = { x, y y =α}, = {( x, y) x = }, A = (5,1), dan A = M M (A) = (-3,1), d). ( ) berapa α? Pencerminan titik A teradap aris ( x y) {, = } = x : M (A) = A ( x ', y' ) Karena aris merupakan sumbu AA (dari definisi pencerminan), seina x = merupakan titik tena 5 dan x sedankan y = 1 (tetap). 5 + x' = 5 + x' = 4 x' = 1

18 Jadi, A = M (5,1) = (-1,1) Pencerminan titik A teradap aris ( x y) {, =α} = y : A = M (A ) = M (-1,1) = (-3,1) Karena aris merupakan sumbu A A (dari definisi pencerminan), seina x = α merupakan titik tena -1 dan -3 sedankan y = y = ( 3) = α α = Jadi, persamaan aris ( x y) {, = } = y 14). Diketaui : dua aris,, Q =, dan sebua titik P, dan P Ditanyakan : Jawab: e). Lukisla A = M M (P) f). Selidiki apaka Q titik tena AP? ). Lukisla B = M M (P) a). A = M M (P) M (P) S A R Q P b). Misalkan M(P) = P Maka PP' memoton di titik R dan P' A memoton di titik S Karena P adala pencerminan dari P maka PR = RP dan PP' Karena A adala pencerminan dari P maka P S = SA dan Karena PP' dan maka PP'// seina RP = QS Karena P' A dan maka P' A // seina P S = RQ Peratikan PRQ dan QSA P' A

19 PR = RP dan RP = QS maka PR = QS m( PRQ) = m( QSA) = 90 RQ = P S dan P S = SA maka RQ = SA Berdasarkan sistem aksioma kekonruenan Maka PRQ QSA denan aturan S Sd S Seina PQ = QA Karena PQ = QA dan PQ PA dan QA PA maka Q tena-tena PA Jadi, titik Q pada pertenaan PA c). A = M M (P) B P M (P) 15). Diketaui : adala sumbu-x dan sumbu-y sebua sistem sumbu ortoonal A = (4,-3) dan P = (x,y) Tentukanla : a). Koordinat-koordinat M M (A) dan M M (A) b). Koordinat-koordinat M M (P) c). Apaka M M dan M M? Jawab: a). M M (A) = M [M (A)] = M [M (4,-3)] = M (-4,-3) = (-4,3) M M (A) = M [M (A)] = M [M (4,-3)] = M (4,3) = (-4,3)

20 b). M M (P) = M [M (x, y)] = M (-x, y) = (-x,-y) c). M M (P) = M [M (x, y)] = M (x,-y) = (-x, -y) Ternyata M M (P) = (-x,-y) = M M (P) Jadi, M M (P) = M M (P)