ISOMETRI DAN HASIL KALI TRANSFORMASI

Transkripsi

1 ISOETRI DN HSIL KLI TRNSFORSI DI SUSUN OLEH : KELOPOK II. ri neraini 4007 ). Elftria ). aryana ) 4. Sudar si ) 5. Ibnu Harlis Firmansa ) 4. Samini ) PROGR STUDY PENDIDIKN TETIK SEKOLH TINGGI KEGURUN DN ILU PENDIDIKN PERSTUN GURU REPULIK INDONESI STKIP- PGRI) LUUKLINGGU 009/00

2 ISOETRI. Penertian Isometri Secara umum isometri adala suatu isometri yan mempertaankan jarak panjannya suatu ruas aris ). Tela kita liat di atas bawa suatu pencerminan atau reflexi pada sebua aris adala suatu transformasi yan menawetkan jarak atau jua dinamakan suatu isometri Kecuali untuk menawetkan jarak antara dua titik.suatu isometri memiliiki sifat sifat berikut : Teorema 4. Sebua isometri bersifat : a) menetapkan aris menjadi aris b) menawetkan besarnya sudut antara dua aris c) menawetkan kesejajaran dua aris ukti : a) daikan sebua aris dan T sebua isometri.kita akan membuktikan bawa T) adala suatu aris jua... mbil maka misalkan. Gambar 4. t),. Untuk ini kita buktikan : i) uktikan mbil T) : melalui dan ada suatu aris. x ole karena bidan kita adala bidan Euclides. Kita ndaikan X ) artinya.jadi suatu transformasi maka ada x seina TX) suatu isometri maka X X + X.Ole karena itu T suatu isometri beitu pula X erarti bawa. X. searis pada ini berarti lai bawa X dan ole karena itu T jadi pula X+ X ini b X T X ) seina sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X denan X.. ) atau.. X ). ii) uktikan mbil lai Y aka ada Y seina TY) Y denan Y misalkan Y) artinya Y dan Y + Y.Ole karena itu T sebua isometri

3 maka Y Y.. Y Y. seina Y + Y ini berarti bawa. Y. aris yaitu aris yan melalui satunya aris yan melalui dan maka dan Ole karena satu- Y.Jadi arusla ukti serupa berlaku untuk keadaan Y ) atau Y ). Seina.Jadi kalau sebua aris maka T) adala sebua aris b) mbil sebua C Denan seitia persamaannya adala C Gambar 4. ndaikan T ). T ). C T C) menurut ) maka t t dan t C t adala rr r r r r r r aris lurus.ole karena itu C C maka C C sedankan C. C C. C C seina C C.. C C seina suatu isometri menawetkan besarnya sebua sudut. jadi Gambar 4. Kita arus memperliatkan bawa P jadi TP) P denan P a dan b. a // b andaikan a memoton b di sebua titik P Ole karena Tsebua transformasi maka ada P seina P a dan P b. ini bearti bawa a memoton b di pjadi bertentanan denan yan diketaui bawa a // b. Gambar 4.8

4 Conto : Diketaui aris t linkaran l denan pusat D dan C seperti pada ambar 4. C a) Lukisla C ) C 4.. Isometri lansun dan isometri lawan Peratikan ambar 4.9a ini. nda meliat suatu transformasi T yan memetakan sei tia C pada seitia C misalnya sebua pencerminan pada aris. C C C C Gambar 4.9a O Gambar 4. 9b Tampak apabila pada seitia s,urutan kelilin adala C adalan berlawanan denan putar an jarum jam,maaka pada putarannya, yaitu seitia C urutan kelili C adala sesuai denan putaran jarum jam pada 4. 9b anda jua liat suatu isometri yaitu suatu rotasi putaran ) menelilinin sebua titik 0. Untuk membaas lebi lanjut fenomena isometri diatas.kita perkenalkan konsep orientasi tia titik tak searis.andaikan P. P ) anda tia titik yan tak searis.maka P melalui P. P danp ada tepat satu linkaran kita dapat menelilinin I berawal misalnya dari P kemudian sampai di P.P dan akirnya kembali ke P.pabila R H kelilin ini ini sesuai denan putaran ara jarum jam, maka di katakan bawa anda tia titik P. P ) memiliki orientasi yan sesuai ddenan putaran ara jarum jam P atau orientasi yan neatif ). pabila ara kelilin itu berlawanan denan ara putaran jarum jam,maka dikatakan bawa anda tia titik P. P ) memiliki orientasi yan P 4

5 berlawanan denan putaran ara jarum jam atau orientasi yan positif ).Jadi pada ambar 4.9a..C ) memiliki orientasi positif sedankan C ) memiliki orientasi yan neatif.pada ambar 4.9b orientasi C) adala positif dan orientasi ) tetap positif. C Jadi pencerminan pada ambar 4.9a menuba orientasi sedankan putaran pada ambar 4.9b menawetkan orientasi. Definisi : ) Suatu transformasi T menawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tia titik tak searis P. P ) orientasi sama denan anda P. P ) denan P P P T P ). P T P ). P T P ). ) Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tia titik yan tak searis P. P ) orientasinya tidak sama denan orientasi peta petanya P P P. P ) denan P T P ). P T P ). P T ). P Definisi : Suaatu transformasi dinamakan lansun apabila tranformasi itu mnawetkan orientasi : suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transformasi itu menuba orientasi.sala satu sifat yan pentin dalam eometri transformasi kita iala: Teorema 4. : Setiap reflexi pada ris adala suatu isometri lawan. Teorema ini tanpa bukti Tidak setiap isometri adala isometri lawan. nda dapat meliat pada ambar 4.9b Di situ isometri kita yaitu rotasi pada titik 0 ) adala sebua isometri lansun Ole karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut anpa bukti Disitu isometri kita yaitu rotasi pada titik 0 ) adala sebua isometri lansun 5

6 V HSIL KLI TRNSFORSI Definisi : ndaikan F dan G dua transformasi, denan F V V G V V aka oroduk atau komposisi dari F dan G yan ditulis sebaai G 0 F didefinisikan sebaai : G 0 F ) P) G [ F P) ]. V P V Teorema 5. : Jika F : V V dan G : V V masin masin suatu transformasi, maka asil kali H G 0 F : V V adala jua suatu transformasi uktikan : Untuk inni arus di buktikan dua al yaitu ) H subjektif. ) H injektif ) Ole karena F transformasi maka daera nilai F adala seluru bidan V, dan daera asal G jua seluru bidan V sebab G transformasi jua. mbil y apaka ada x seina H x ) y? Karena G transformasi maka untuk setiap y ada z V : V seina y G z),karena F suaatu transformasi maka pada z ini ada x V seina z F X). maka y [Z x ) ] atau y G [ F X) atau y G o F ) X) Jadi y H x ). ) Untuk membuktikan bawa H injektif,arus kita perliatkan bawa kalau P Q maka H P) H Q) ndaikan H P ) H Q ),maka G [ F P ) ] G [F Q ) ] Ole karena G injektif maka F P) F G ).Karena F injektif maka pula P Q ini bertentanan denan penandaian bawa P Q Jaadi pemisalan bawa H P ) H Q ) tidak benar.seina arusla H P) H Q) Conto soal : ndaikan G sebua aris dan T sebua transformasi F : V V yan didefinisikan sbaai berikut JIK x X maka T X) X V maka T X ) adala titik tena ruas aris dari x ke 9 ammbar 5. ) yan teak lurus x T X) x Gambar 5. 6

7 Jelas T suatu transformasi buktikan ).paka T suatu transformasi? mbil kemudian transformassikan kedua. isalkan sebaai berikut : mbil sebua aris dan adala reflexi dari aris jadi asilkali [ T x ) ] Y adala suatu tranformasi pula seina Y o T ) X ) paka asil kali ini merupakan isometri selidiki pada conto di atas kebetulan o T T o untuk membuktikanla ini ambil ambar 5. aris sebaai sumbu x suatu sistim koordinat ortoonal dan aris sebaai sumbu Y.Titik poton dan kita ambil sebaai titik asal. ndaikan x x, y ) maka T x) x, y ) dan [T x) ] - x, y ) Ole karena [T X ) ]T[ X) maka o T x ) T o akan tetapi sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku.untuk memperliatkan ini ambil lai aris dan aris yan tidak teak lurus pada liat ambar 5. x Tx ) Gambar 5. T [ x)] T[ x)] x) Tampak bawa [T x)] T[ x)].jadi o T T o dapat di katakan bawa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S uktikanla bawa meman.dari conto di atas [T x)] T[ x)] pada ambar 5..Hasil kali transformasi yan tela di baas di atas tidak anya terbatas pada dua transformasi andaikan T, T,transformasi transformasi.kita dapat menyusun terlebi dauluasil kalit o T kemudian dikalikan denan T untuk asil kali transformasi kita tulis T T. T ) Jadi andaikan : P T P). P T P ). P T P ). P T T ) P) T T P))) T T P ) ) T P ) P... 7

8 Kita dapat menalikan sebaai berikut : T T ) P) T ) T P) ) T ) P) T T P) T P ) P Jadi asil kali transformasi bersifat asosiatif bawa T T ) T ) kita dapat jua menatakan Latian soal! Diketaui aris t a) Lukisla sebua C seina t C ) C. rtinya ole t. C dan asil reflexi pada t berimpit ) b) Lukisla sebua linkaran yan berimpit denan petanya ole. c) Lukisla sebua sei empat yan berimpit denan petanya ole. Penyelesaian : a) C seina t C ) C b) l t l) l 5). Diketaui aris { x,y ) x + y }dan {x,y ) x - }.Tulisla sebua persamaan aris ). Penyelesaian : { x.y) x + y } dan { x,y ) x - } x + y x - x 0 y y 0 x 8

9 y - x - x + y - ) + y y y X - X + y Jadi aris persamaan yan di maksud yaitu { x,y ) y } 6). Diketaui aris { x, y) x y } dan aris { x, y ) y }.Tulisla persamaan aris ). Penyelesaian : { x,y ) x y dan aris { x,y ) y } y x y ) x y + 40 x x + 0 x - X - aka persamaan aris yan dimaksud adala { x,y) x - } 7. Diketaui aris aris { x,y) y 0 }, { x,y) y x } dan k { x,y) x } Tulisla persamaan aris aris berikut : a) ) b) ) c) ) d) k) Penyelesaian : Diketaui { x,y) y 0 } { x,y) y x } k { x,y) x } 9

10 Hal 65. a) ) y x 0 x x 0 Jadi persamaan yan di maksud { x,y ) x 0 } b) k) x y 0 c) ) y 0. Pada ambar 4.0 pada tia titik tak searis P,Q,R :T dan S isometri isometri denan P T P). Q T P), R T R) sedankan P S P). Q S Q). R S R) termasuk olonan manaka T dan S itu? Q. R. P P. R P. R. Q Q Penyelesaian : P,Q,R : T dan S adala isometri P T P), Q T Q), R T R) R. Q P. R. Seara jarum jam aka T Isometri lawan P. Q erlawanan ara jarum jam P S p), Q SP), R S P) Q P P R Seara jarum jam R Q Seara jarum jam aka S Isometri lansun )Diketaui aris aris dan dan titik titik P dan Q Lukisla : a) [ p)] b) [ p)] c) C [ p)] d) D [ k )] 0

11 e) R Seina [ R)] Q o o f) paka?menapa? Penyelesaian : a) [ p)] p ) b) [ p)] p) P p) p" p") c) C [ p)] p') p' p') C d) D [ k )] k ) k ' e) [ R)] Q k ') k k ' D [ R)] Q R) R' // R') Q f) o ) o PC karena : [ P)] KK D p) p' // Q p') p' [ P)] p) p'' p) R p'')