Dekomposisi Graf Hasil Kali Tiga Lintasan ke Dalam Sub Graf Perentang Reguler

Transkripsi

1 Vol. 10, No. 1, 14-25, Juli 2013 Dekompoii Gaf Hail Kali Tiga Linaan ke Dalam Sub Gaf Peenang Regule Hamaai 1 Abak Dekompoii gaf G adala impunan * + dengan meupakan ubgaf dai Gyang memenui ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) unuk eiap. Jika meupakan ubgaf peenang egule, maka impunan * +diebu fakoiai dai G. Dalam ulian ini, diajikan dekompoii dan fakoiai gaf ail kali iga linaan unuk. Kaa Kunci:Dekompoii, gaf, ub gaf, fakoiai. 1. Pendauluan Gaf G(V, E) adala uau iem yang edii dai impunan beingga ak koong V = V (G)dan impunan E = E(G) dengan E V 2. Himpunan V diebu impunan iikdai G dan impunan E diebu impunan iidai G. Seiap aau di V (G) diebu iik dan eiap = di E(G) diebu ii. Selanjunya, ii diuli. Tiik diebu eangga (neigbo) dai iik jika. Lebi lanju, iik dan dikaakan iik-iik beeangga(adjacen), edangkan ii dikaakan ekai (inciden) dengan iik dan. Dua ii 1 dan 2 pada G diebu ii-ii beeangga jika 1 dan 2 ekai pada au iik yang ama. Dua gaf G dan H diebuiomofjika edapa pemeaaan au-au dan pada : V (G) V (H) edemikian eingga unuk eiap V (G) belaku V (G) jika anya jika ( ) ( ) E (H). Kadinaliaimpunan S dinoaikan dengan, adala banyaknya anggoa dai S. Odegaf G adala ( ), dan ukuangaf G adala ( ). Gaf G beode dinoaikan dengan.deajaiik, dinoaikan dengan ( ), adala ( ). Deaja makimum daig adala ( ) * ( ) ( )+, dan deaja minimum dai G adala ( ) min * ( ) ( )+. Gaf G diebu gaf * + jika * ( ) ( ) +. Gaf F diebu komplemendai gaf G, jika V(F) = V(G) dan E(F) jika dan anya jika E(G). Komplemen dai gaf G dinoaikan dengan. Dua gaf G dan H diebu iomofik jika edapa pemeaaan au-au dan pada : V(G) V(H)edemikian eingga unuk eiap V(G) belaku V (G) jika anya jika ( ) ( ) E(H). Gaf H(V, E ) diebu ubgaf dai G jika ( ) dan E E(G). elanjunya, ubgaf H dai G diuli H G. Sufgaf H dikaakan ubgaf makimal dai G jika H memua emua ii ( ) unuk emua Mialkan H G, H diebu ubgaf peenang dai G jika V(H) =V(G). Subgaf peenang yang eiap iiknya bedeaja ama kaakanla diebu ubgaf peenang egule- aau fako-. Jadi ubgaf peenang egule bedeaja 1 diebu fako-1, deaja 2 diebu fako-2, dan eeunya. 1 Juuan Maemaika FMIPA Univeia Haanuddin

2 15 2. Amalgamai Gaf Amalgamai gaf adala uau opeai pada gaf. Bebeapa opeai pada gaf yang ela dikenal ebelumnya dianaanya: opeai jumla, gabung, kali dan coona Opeai Gabung, Jumla, dan Kali Mialkan adala gaf dengan impunan iik dan impunan ii,. Gaf gabung adala uau gaf dengan impunan iik dan impunan ii Definii gaf jumla ecaa umum belum ada. Namun unuk jumla dua gaf, Zykov ela mendefiniikannya pada aun 1952 epei beiku : Gaf jumla (join) adala uau gaf dengan ( ) dan ( ) * +. Cono gafjumla dapa dilia pada Gamba 1b. : : Gamba 1. (a) Gaf dan (b) Gaf. Di ini diajikan Gaf kali dua gaf dan iga gaf. Gaf kali G = G 1 G 2 adala gaf dengan impunan iik V(G) = V 1 V 2 dan impunan ii E(G) = {uv : u=(u 1,u 2 ), v=(v 1,v 2 ) ( ) dengan u 1 =v 1 dan u 2 v 2 ( ) aau u 2 =v 2 dan u 1 v 1 ( )+ Definii gaf kali dai dua gaf dapa dikembangkan menjadi gaf kali dai iga gaf aau empa gaf dan eeunya. Gaf kali dai iga gaf diuli G = G 1 G 2 G 3 adala gaf dengan impunan iik V(G) = V 1 V 2 V 3 dan impunan ii E(G) = {uv : jika u=(u 1,u 2,u 3 ), v=(v 1,v 2,v 3 ) ( ) dengan u 1 =v 1,u 2 =v 2 dan u 3 v 3 ( ) aau u 1 =v 1, u 3 =v 3 dan u 2 v 2 ( ) aau u 2 =v 2, u 3 =v 3 dan u 1 v 1 ( )+ Sebagai cono, mialkan impunan iik 3 linaan beode 2 beuu-uu : V( )={ 1, 2 }, V( ) ={y 1,y 2 } dan V( )={z 1,z 2 } dengan impunan ii beuu-uu: E( )={e 11 = 1 2 }, E( ) ={e 21 = y 1 y 2 } dan E( )={e 31 = z 1 z 2 }. Gaf ail kali dai iga linaan beode 2: adala gaf dengan impunan iik V( )={( 1,y 1, z 1 ), ),( 1,y 1, z 2 ), ( 1,y 2, z 1 ), ( 1,y 2, z 2 ), ( 2 y 1,z 1 ),( 2, y 1,z 2 ), ( 2,y 2,z 1 ), ( 2,y 2,z 2 } dan impunan ii E( )={( 1,y 1, z 1 )( 1,y 1, z 2 ), ( 1,y 1, z 1 ) ( 1,y 2, z 1 ), ( 1,y 1, z 1 )( 2 y 1,z 1 ),( 1,y 1, z 2 )( 1 y 2,z 2 ), ( 1,y 1, z 2 )( 2, y 1,z 2 ), ( 1,y 2, z 1 )( 1,y 2, z 2 ), ( 1,y 2, z 1 )( 2,y 2,z 1 ), ( 1,y 2, z 1 )( 1,y 2,z 2 ), ( 1,y 2, z 2 )( 2,y 2,z 2 ), ( 2 y 1,z 1 )( 2,y 2,z 1 ), ( 2,y 1,z 1 )( 2,y 1,z 2 ), ( 2,y 2,z 1 ) ( 2,y 2,z 2 )}. (1)

3 16 2 y 2 z 1 z 2 1 y 1 ( 2, y 2, z 1 ) ( 2, y 2, z 2 ) ( 1, y 2, z 1 ) ( 1, y 2, z 2 ) ( 2, y 1, z 1 ) ( 2, y 1, z 2 ) ( 1, y 1, z 1 ) ( 1, y 1, z 2 ) Gamba 2. Gaf Opeai Amalgamai Gaf Penggunaan induki maemaika dalam pembukian fako pada gaf ail kali linaan dipelukan opeai amalgamai. Olenya iu, penyajian beiku lebi inci menguaikan pengeian amalgamai gaf, kuunya unuk amalgamai ii. Amalgamai gaf edii aa dua yakni amalgamai iik dan amalgamai ii. Mialkan G i, i=1,2,..., nadala gaf dengan iik eap dan ii eap Amalgamai iik gaf G i pada iik unuk uau j dinoaikan ( ) adala gaf yang edii aa emua gaf dengan. Sebagai cono, impunan iik dan ii gaf G 1 = adala gaf linaan beode 3 dengan impunan iik V( )=* + dan impunan ii E( )=* +. Secaa umum dapa diuli G i = adala linaan ke-i beode ndengan impunan iik V( )=* + dan impunan ii E( )={ }. Lia Gamba 3.

4 17 Gamba 3. Gaf Linaan. Menuu definii di aa, Amalgamai iik dai dua gaf linaan beode dua dinoaikan ( ) ( ) adala gaf dengan impunan iik {v 11 =v 21, v 12, v 22 } dan impunan ii {e 11 =v 11 v 12 =v 21 v 12,e 21 =v 21 v 22 } aau {e 11 =v 11 v 12,e 21 =v 11 v 22 }, kaena v 11 =v 21. Jadi amalgamai iik gaf-gaf adala penggabungan gaf-gaf eebu dengan mennyaukan eiap iiknya menjadi anya au iik. Dapa dilia dengan jela pada amalgamai ( ) yakni penggabungan gaf dengan mennyaukan iik dan. Lebi jelanya lia Gamba 4. v 12 v 22 : : v 11 v 21 v 22 v 12 v 11 = v 21 ( ) Lebi jau, noaikan Gamba 4. Gaf Linaan dan Sea Gaf Amalgamainya ( ). ( ) * + dan ( ) * +. (2) Maka amalgamai iik ( ). Jelanya peaikan Gamba 5.

5 18 : Gamba 5. Gaf Amalgamai Tiik ( ). Mialkan G i dengan impunan ii E(G i )={e i1, e i2,..., e ij } dan G dengan impunan ii E(G )={e 1, e 2,..., e j }. Amalgamai ii G i eadap G adala mengambil emua G i dan G dengan e i1 =e 1, e i2 = e 2,..., e j = e ij unuk uau i dan, dinoaikan dengan (G i ; e i1, e i2,..., e ij ; G ; e 1, e 2,..., e j ). Sebagai cono akan dikonuki amalgamai ii eadap. Dengan mengikui noai (1) dan (2), maka impunan iik ( ) ( ) ={( 1,y 1, z 1 ), ),( 1,y 1, z 2 ), ( 1,y 2, z 1 ), ( 1,y 2, z 2 ), ( 2 y 1,z 1 ),( 2, y 1,z 2 ), ( 2,y 2,z 1 ), ( 2,y 2,z 2 }, dan impunan iik ( )={( 1,y 1, z 2 ), ),( 1,y 1, z 3 ), ( 1,y 2, z 2 ), ( 1,y 2, z 3 ), ( 2 y 1,z 2 ),( 2, y 1,z 3 ), ( 2,y 2,z 2 ), ( 2,y 2,z 3 }. Noaikan e ijz =( i,y j, z )( i,y j, z +1 ), e ij =(,y 1, z 1 )( +1,y i, z j ), dan e iyj =( i,y z j )( i,y +1, z j ), Maka impunan ii ( ) ( ) = {e 11z =( 1,y 1, z 1 )( 1,y 1, z 2 ), e 1y1 = ( 1,y 1, z 1 ) ( 1,y 2, z 1 ), e 11 = ( 1,y 1, z 1 )( 2 y 1,z 1 ), e 1y2 =( 1,y 1, z 2 )( 1 y 2,z 2 ),e 12 =( 1,y 1, z 2 )( 2, y 1,z 2 ), e 12z =( 1,y 2, z 1 )( 1,y 2, z 2 ), e 21 =( 1,y 2, z 1 )( 2,y 2,z 1 ), e 12z =( 1,y 2, z 1 )( 1,y 2,z 2 ), e 22 =( 1,y 2, z 2 )( 2,y 2,z 2 ),e 2y1 =( 2 y 1,z 1 )( 2,y 2,z 1 ), e 21z = ( 2,y 1,z 1 )( 2,y 1,z 2 ), e 22z = ( 2,y 2,z 1 ) ( 2,y 2,z 2 ), dan impunan ii iik ( )={( 1,y 1, z 2 )( 1,y 1, z 3 )=e 11z, ( 1,y 1, z 2 ) ( 1,y 2, z 2 )=e 1y2, ( 1,y 1, z 2 )( 2 y 1,z 2 )=e 12,( 1,y 1, z 3 )( 1 y 2,z 3 )=e 1y3,( 1,y 1, z 3 )( 2, y 1,z 3 )=e 13, ( 1,y 2, z 2 )( 1,y 2, z 3 )=e 12z, ( 1,y 2, z 2 )( 2,y 2,z 2 )=e 22, ( 2,y 1, z 2 )( 2,y 1,z 3 )=e 21z, ( 1,y 2, z 3 )( 2,y 2,z 3 )=e 23,( 2 y 1,z 2 )( 2,y 2,z 2 )=e 2y2, ( 2,y 1,z 2 )( 2,y 1,z 3 )=e 21z, ( 2,y 2,z 2 ) ( 2,y 2,z 3 )=e 22z }. Amalgamai ii eadap dinoaikan dengan( ) dapa diingka menjadi( ) adala gaf dengan impunan iik iik {( 1,y 1, z 1 ), ),( 1,y 1, z 2 ), ( 1,y 2, z 1 ), ( 1,y 2, z 2 ), ( 2 y 1,z 1 ),( 2, y 1,z 2 ), ( 2,y 2,z 1 ), ( 2,y 2,z 2 ), ( 1,y 1, z 3 ), ( 1,y 2, z 3 ),( 2, y 1,z 3 ), ( 2,y 2,z 3 }, dan impunan ii {e 11z =( 1,y 1, z 1 )( 1,y 1, z 2 ), e 1y1 = ( 1,y 1, z 1 ) ( 1,y 2, z 1 ), e 11 = ( 1,y 1, z 1 )( 2 y 1,z 1 ), e 1y2 =( 1,y 1, z 2 )( 1 y 2,z 2 ),e 12 =( 1,y 1, z 2 )( 2, y 1,z 2 ), e 12z =( 1,y 2, z 1 )( 1,y 2, z 2 ), e 21 =( 1,y 2, z 1 )( 2,y 2,z 1 ), e 12z =( 1,y 2, z 1 )( 1,y 2,z 2 ), e 22 =( 1,y 2, z 2 )( 2,y 2,z 2 ),e 2y1 =( 2 y 1,z 1 )( 2,y 2,z 1 ), e 21z = ( 2,y 1,z 1 )( 2,y 1,z 2 ), e 22z = ( 2,y 2,z 1 ) ( 2,y 2,z 2 ), ( 1,y 1, z 2 )( 1,y 1, z 3 )=e 11z, ( 1,y 1, z 3 )( 1 y 2,z 3 )=e 1y3,( 1,y 1, z 3 )( 2, y 1,z 3 )=e 13, ( 1,y 2, z 2 )( 1,y 2, z 3 )=e 12z, ( 2,y 1, z 2 )( 2,y 1,z 3 )=e 21z, ( 1,y 2, z 3 )( 2,y 2,z 3 )=e 23, ( 2,y 1,z 2 )( 2,y 1,z 3 )=e 21z, ( 2,y 2,z 2 ) ( 2,y 2,z 3 )=e 22z }. Benuk gaf ( )dapa dilia pada Gamba 6.

6 19 2 y 2 z 1 z 2 1 y 1 z 2 z 3 e 22z ( 2,y 2,z 3 ) e 21 e 2y1 e 22 e 2y2 e 22 e 2y2 ( 1,y 2,z 3 ) e 21z e 1y2 ( 2,y 1,z 3 ) e 1y1 e 11 e 1y2 e 12 e 12 ( 1,y 1,z 3 ) e 11z e 22z ( 2,y 2,z 3 ) e 21 e 2y1 e 22 e 21z e 2y2 ( 1,y 2,z 3 ) e 1y1 e 11 e 1y2 e 12 ( 2,y 1,z 3 ) e 11z ( 1,y 1,z 3 ) ( ): Gamba 6. Gaf Amalgami Sii Teadap. Dapa dipeika baa amalgamai ii ( ) ama dengan dengan ( ). (3) Teoema 1. Amalgamai ii ( ) ama dengan gaf kali dai iga linaan dengan ( ). Buki.

7 20 Akan dibukikan dengan pembukian induki maemaika dengan n 3. Unuk n = 3, ( ) ama dengan dengan ( ). Hal ini bena euai dengan peamaan (3). Aumikan Teoema 1 bena unuk eiap n k, yakni( dengan ( ). ) ama dengan gaf kali dai iga linaan Akan diunjukkan baa( ) ama dengan gaf kali dai iga linaan dengan ( ). Dai (2) dikeaui baa apabila ( ), maka ( ) + dan ( ) * +. Seingga adala gaf dengan impunan iik {( 1, y 1, z 1 ), ( 1, y 2, z 1 ), ( 2,y 2,z 1 ), ), ( 2, y 1, z 1 ), ( 1, y 1, z 2 ), ( 1 y 2,z 2 ), ( 2, y 2,z 2 ), ( 2,y 1,z 2 ), ( 1, y 1, z 3 ), ( 1, y 2, z 3 ),( 2, y 2,z 3 ), ( 2,y 1,z 3 ),..., ( 1, y 1, z k-1 ), ( 1, y 2, z k- 1),( 2, y 2,z k-1 ), ( 2,y 1,z k-1 ), ( 1, y 1, z k ), ( 1, y 2, z k ),( 2, y 2,z k ), ( 2,y 1,z k )}, dan impunan ii {,,..., e 1yk, e 2k, e 2yk, e 1k }. Demikian pula dengan adala gaf dengan impunan iik {( 1, y 1, z k ), ( 1, y 2, z k ),( 2, y 2,z k ), ( 2,y 1,z k ), ( 1, y 1, z k+1 ), ( 1, y 2, z k+1 ),( 2, y 2,z k+1 ), ( 2,y 1,z k+1 )} dan impunan ii{, ( ) ( ) ( ) ( )}. Amalgamai ii( ) adala gaf dengan mengambil emua dan, yakni gaf dengan impunan iik {( 1, y 1, z 1 ), ( 1, y 2, z 1 ), ( 2,y 2,z 1 ), ), ( 2, y 1, z 1 ), ( 1, y 1, z 2 ), ( 1 y 2,z 2 ), ( 2, y 2,z 2 ), ( 2,y 1,z 2 ), ( 1, y 1, z 3 ), ( 1, y 2, z 3 ),( 2, y 2,z 3 ), ( 2,y 1,z 3 ),..., ( 1, y 1, z k-1 ), ( 1, y 2, z k-1 ),( 2, y 2,z k-1 ), ( 2,y 1,z k-1 ), ( 1, y 1, z k ), ( 1, y 2, z k ),( 2, y 2,z k ), ( 2,y 1,z k ), ), ( 1, y 1, z k+1 ), ( 1, y 2, z k+1 ),( 2, y 2,z k+1 ), ( 2,y 1,z k+1 )} dan impunan ii {,,..., e 1yk, e 2k, e 2yk, e 1k, ( ) ( ) ( ) ( )}. Dapa dipeika baa gaf dengan impunan iik dan impunan ii epei ini adala gaf. Jadi P n =( ) dengan ( ). 3. Dekompoii Gaf Hail Kali Tiga Linaan

8 21 Pada bagian pendauluan ela didefiniikan enang ubgaf. Himpunan ubgaf dengan yaa eenu akan dibaa pada ubbab ini. Definii 1. Mialkan G adala gaf dan H i G unuk eiap i. Dekompoii gaf G adala impunan {H 1, H 2,..., H k } edemikian eingga ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan V(H i ) = V(H j ) unuk eiap i j. Dekompoii gaf biaanya diuli. Pada Definii 1 dapa dilia baa V(H i ) = V(H j ) unuk eiap i j. Ini ainya eiap ubgaf H i meupakan ubgaf peenang dai gaf G. Himpunan ubgaf-ubgaf peenang H i meupakan dekompoii gaf Gjika eiap ii pada ubgaf peenang eebu aling beba au dengan lainnya. Cono 1. Dibeikan iga linaan ode dua dengan impunan iik beuu-uu V( )={ 1, 2 }, V( ) ={y 1,y 2 } dan V( )={z 1,z 2 }, dan impunan ii beuu-uu: E( )={e 11 = 1 2 }, E( ) ={e 21 = y 1 y 2 } dan E( )={e 31 = z 1 z 2 }. Gaf ail kali iga linaan dapa digamba pada Gamba 7. u=( 2, y 2, z 1 ) v = ( 2, y 2, z 2 ) =( 1, y 2, z 1 ) =( 1, y 2, z 2 ) =( 2, y 1, z 1 ) =( 2, y 1, z 2 ) =( 1, y 1, z 1 ) =( 1, y 1, z 2 ) Gamba 7. Gaf Hail Kali Tiga Linaan Ode Dua. Benuk dan label iik-iik gaf G pada Gamba 7 dapa diuli epei pada Gamba 8. u v Gamba 8. Benuk dan Label Tiik-Tiik Gaf. Bebeapa ubgaf peenang dai gaf ail kali iga linaan dapa dilia pada Gamba 9. Subgaf gaf peenang eebu adala H 1, H 2, H 3,..., H 6.Subgaf peenang egule adala ubgafh 3, H 4,dan H 5.

9 22 Hamaai Gamba 9. Dekompoii Gaf adala {H 1, H 2 } dan {H 3, H 4, H 5 }. Subgaf peenang lain dai gaf dapa dilia pada Gamba 10. v u v u v

10 23 u v u v Gamba 10. Sub Gaf Peenang Regule dai G. Dekompoii lain dai gaf adala {H 5, H 7 }, dan {G, H 8 }. Definii 3.1. Mialkan impunan {H 1, H 2,..., H k } adala dekompoii dai G. Jika ubgaf H 1, H 2,..., H k-1 dan H k adala ubgaf peenang egule maka dekompoii {H 1, H 2,..., H k } diebu fakoiai dai gaf G. Peaikan Gamba 8, 9, dan Gamba 10. Pada Gamba 8, dapa dilia baa gaf G juga meupakan ubgaf peenang dai G, yakni ubgaf peenang kuaa egule bedeaja 3 aau fako-3. Pada Gamba 9, ubgaf peenang H 3, H 4,dan H 5 juga meupakan ubgaf peenang egule deaja au.jadi ubgaf H 3, H 4,dan H 5, emuanya adala fako-1. Selanjunya, pada Gamba 10, ubgafh 7 adala fako-2, dan ubgaf H 8 adala fako-0. Dengan demikian, edapa iga fakoiai dai gaf G yakni dekompoii {H 3, H 4, H 5 }, {H 5, H 7 }, dan {G, H 8 }. Pembaaan elanjunya, adala melia apaka gaf ail kali iga linaan ode 2 ( P n ) memiliki fakoiai aau idak. Unuk n = 2, gaf ailkali P n memiliki fakoiai epei yang ela diuaikan. Unuk n = 3, gaf ail kali P n adala P 3 =( ) dengan ( ). Benuk gaf P 3 dapa dilia pada Gamba 11. Dapa dipeika baa gaf ail kali P 3 memiliki dekompoiibanyak ubgaf peenang eingga juga memiliki banyak dekompoii. Namun idak ada dekompoii yang meupakan fakoiai. (4) Teoema 2. Gaf ail kali P n idak memiliki fakoiai unuk n 3. Buki.Pembukian dilakukan dengan induki maemaika dengan memulai pada induki n = 3. (a) Unuk n = 3, gaf ail kali P n idak memiliki fakoiai. Dai (4) (b) Unuk n = 4, gaf ail kali P n adala epei beiku:

11 24 Subgaf peenang dai gaf ail kali P 4 adala ebagai beiku H 1 : H 2 : H 3 : H 4 : H 5 : H 6 : Dekompoii dai gaf ail kali P 4 adala {H 1,H 2 }, {H 2,H 3,H 4 }, dan {H 4,H 5 }. Dapa dipeika baa ke iga dekompoii eebu idak ada yang meupakan fakoiai. Selanjunya, dai Teoema.1 dikeaui baa meupakan amalgamai ii eadap dengan ( ). Juga ela dikeaui baa idak memiliki fakoiai edangkan memiliki fakoiai. Beai gaf yang idak memiliki fakoiai adala gaf yang

12 25 meupakan amalgamai ii dai gaf yang idak memiliki fakoiai eadap gaf yang memiliki fakoiai. (c) Aumikan = P idak memiliki fakoiai unuk eiap 3 k. Akan diunjukkan baa P k+1 juga idak memiliki fakoiai. Dai Teoema 1 dikeaui baa P k+1 meupakan amalgamai ii eadap dengan ( ). Menuu aumi idak memiliki fakoiai, edangkan memiliki fakoiai. Bedaakan (2), gaf ail kali P k+1 idak memiliki fakoiai. (d) Bedaakan (a), (b), dan (c), gaf ail kali P n = P 2 P 2 P n idak memiliki fakoiai unuk eiap n, n Keimpulan Bebeapa al yang dapa diimpulkan dalam ulian ini anaalain: a. Amalgamai iik ujung dua linaan juga meupakan linaan, b. Amalgamai ii dua gaf ail kali dai iga linaan juga meupakan gaf ail kali iga linaan. c. Gaf ail kali iga linaan ode dua memiliki fakoiai. Gaf ail kali dua linaan ode dua eadap linaan ode lebi dai dua memiliki dekompoii eapi idak memiliki fakoiai. Dafa Puaka [1] Baio A., 2010.Fakoiai Gaf Beauan dengan Ode Genap.UIN Malang. [2] Caand G. dan Zang P., 2005.Inoducion o Gap Teoy. Mc Ga Hill Inenaional Ediion. [3] Hamaai, 2007.Bilangan Ramey unuk Gaf yang Memua Binang. Dieai. Depaemen Maemaika ITB, Bandung.