MATERI : GESERAN (TRANSLASI) KELOMPOK 6 (VI.E)

Transkripsi

1 MATERI : GESERAN (TRANSLASI) KELOMPOK 6 (VI.E) Disusun Oleh: 1. ARI SUKA LESMANA 2. YULAIMA SUPRIHATIN 3. HERVI MARDIANA

2 SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMUPENDIDIKAN PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA STKIP PGRI LUBUKLINGGAU

3 GESERAN (TRANSLASI) Geseran (translasi) adalah suatu transformasi yang memindahkan semua titik pada bidang dengan jarak yang sama dan arah yang sama. Ketentuan dan sifat-sifat Teorema 1: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka AA = BB dengan A = M h M g (A) dan B = M h M g (B) Bukti: Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya t sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g sebagai sumbu x. A (x,y) n A (x,y) A N B 0 B g h Andaikan A = (a 1 a 2 ) dan B=(b 1, b 2 ). Kalau N tengah-tengah ruas garis A B maka harus di buktikan S N (A)=B. Andaikan persamaan h adalah x = k (k 0). Apabila P = (x,y) dan P (M h (P)) maka titik Q (k,y) dengan Q sebagai titik tengah PP memotong h di sebuah PP. Jadi P = M h (P) = (2k x,y) sedangkan M g (P) = (-x,y). Jadi M h M g (P) = M h M g (P) = M h {(-x,y)}= (2k-x,y) Jadi pula A = M h M g (A) = (2x + b 1.a 2 ) B = M h M g (B) = (2x + b 1. b 2 )

4 Oleh karena N titik tengah A B maka: N = ( 2k + a ) 1 + b1 a2 + 2 a2 b 2 2k + a1 + b1 a2 + b2 Sedangkan S N (A)= 2 a1, 2 a2 2 2 S N (A)=(2k+b 1.b 2 )=B Dengan demikian,maka AA = BB Teorema 2: Apabila AB = CD maka G AB = G CD Bukti: Jika X sebarang,maka harus dibuktikan G AB (X)=G CD (X) Andaikan G AB (X)=X 1 dan G CD (X)=X 2 Jadi XX 1 = AB dan XX 2 = CD G AB =G CD. Karena AB = CD maka XX 1 = XX 2 berarti X 1 =X 2 sehingga Teorema 3: Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada C dan C g dan D h, apabila AB = 2 CD maka G AB = M h M g Bukti: Andaikan P sebuah titik sebarang, jika P=G AB (P) dan P =M h M g (P) maka harus dibuktikan bahwa P=P

5 P h C C = M A M g (C) B C h P g A Menurut ketentuan geseran, PP = AB Oleh karena AB = 2CD, maka PP = 2CD berhubungan C =M h M g (C), C g. Maka C =M h (C). Jadi D adalah titik tengah maka CC sehingga PP =2 CD = P sebarang, maka G AB =M h M g. CC = 2CD. Oleh karena CC = PP (teorema.1). PP ini berarti bahwa P=P Jadi G AB (P)=M h M g (P) karena Teorema 4 : Jika G AB sebuah geseran maka (G AB )=G BA Bukti: Oleh karena himpunan isometri-isometri merupakan grup bagian dari grup transformasi-transformasi. Maka setiap geseran memiliki balikan (G AB ) 1 Dari uraian diatas kita peroleh berturut-turut yaitu: G AB =M h M g =M g M h

6 Sedangkan G AB =M h M g =M g M h Sehingga Jadi (G AB ) 1 =(M g M h ) 1 1 M h M 1 g =M g M h =G BA (G AB )=G BA Hasil Kali Geseran Akan di perlihatkan bahwa setiap geseran dapat di uraikan sebagai hasil kali dua setengah putaran. Teorema 5 : Jika G AB Sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik sehingga AB = 2 CD maka G AB = S DSC Bukti : Andaikan G = CD ; K g di C, n g di D. B D A C n k

7 Maka CD ruas garis berarah dari k ke n. Oleh karena AB = 2 CD maka = sedangkan = dan =. Jadi : = ( )( )= ( ) atau : = ( I =. Dengan demikian maka = Teorema 6 : Komposisi suatu geseran dan Suatu setengah putaran adalah Suatu setengah putaran. Bukti : Andaikan suatu geseran dan C sebuah titik sebarang. Andaikan E titik yang tunggal sehingga CE = AB. Andaikan D titik tengah CE maka CE = 2 CD.menurut teorema 5 =.Jadi, = ( ) = ( ) = I = maka = Akibat : andaikan,,dan masing-masing setengah putaran, maka = dengan D sebuah titik sehingga AD = CD Bukti : Kita peroleh berturut turut =. jadi, = A B D C

8 Andaikan = maka 2 BC = 2 AX atau BC = AX.jadi, = sehingga =. Perhatikan dua geseran dan. Maka (A) = B dan (B) = C. sehingga dapat kita tulis bahwa (A) = C. apabila E titik sebarang, maka (E) = dengan = sedangkan G AB (E )=E sehingga E E =. B E Q A P R C E E Maka = E dengan = sehingga G BC (E) = E = (E). Jadi =. Hal ini dapat juga dilihat sebagai berikut dengan menggunakan teorema.6: Andaikan P.Q dua titik sehingga 2 = dan titik R sehingga 2 = maka = dan = Sehingga = ( ) ( ) = Oleh karena 2 = maka = Jadi = Dengan demikian terbukti teorema berikut:

9 Teorema.7 : Hasil kali dua translasi adalah sebuah translasi. Catatan : Apabila = maka = = I. Disini I adalah transformasi identitas. Jadi : kalau = maka kalau I dianggap sebagai translasi. Teorema diatas tetap berlaku. Teorema.8 : Jika sebuah translasi yang ditentukan oleh titik-titik 0 (0,0) dan A (a,b) dan T transformasi yang didefinisikan untuk semua titik p (x,y) sebagai T ( P) = (x+a,y+b) maka T = Bukti : Untuk P = ( x,y),t(p)=(x+a,y+b). andaikan P = (p) maka = sehingga p (x+a-0,y+b-0)=(x+a,y+b).karena T(P) = (x+a,y+b) untuk setiap P = (x,y) maka T (P)= P = G OA (P). jadi, T = G OA Contoh soal : 1. Jika A = (2,-1) dan B = (3,4).Tentukan : a. G AB (P) Jika P = (x,y) Jawab : b. Titik D sehingga G AB (D) = (1,3) a. G AB (P) = (x,y) ={(3-2)+ x, (4+1) + y } =(1 + x, 5 + y) Jika P = (x,y)

10 b. Karena G AB (D) = (1,3) maka D = (1,3).Karena G AB (P) = (-1 + x, -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( , ) = ( 0, -2)D) = (1,3) maka D = (1,3).Karena G AB (P) = (-1 + x, -5 + y) jika P =(x,y) Sehingga D = G AB (1,3) = ( , ) = ( 0, -2) Jawaban : 2. Jika A = (3,-1),B = (1,7) dan C = (4,2) adalah titik titik yang di ketahui, tentukan sebuah titik D sehingga = Andaikan E sebuah titik sehingga = maka E = (4+(1-3),2+(7-(-1)) atau E =(2,10).Apabila D titik tengah CE maka D = (3,6) Sehingga = 2. jadi, = 2 Menurut teorema 5 di peroleh = maka titik D yang di cari adalah (3,6)