MAKALAH OLEH KELOMPOK II

Transkripsi

1 MKLH OLEH KELOMOK II NM : 1. MRIS ( ) 2. NOV LUKIT ( ). SYMSURI ( ) 4. SUDRYNTI ( ) 5. CMELLI ( ) ROGRM STUDI : ENDIDIKN MTEMTIK MT KULIH : GEOMETRI TRNSFORMSI DOSEN ENGMU : FDLI, S.Si.,M.d. SEKOLH TINGGI KEGURUN DN ILMU ENDIDIKN ERSTUN GURU REULIK INDONESI (STKI-GRI) LUUKLINGGU THUN 2009/2010 1

2 1. ISOMETRI Isometri Transformasi U merupakan Isometri jika dan anya jika untuk setiap pasan titik dan Q dipenui Q = Q denan U( ) Q = U Q. = dan ( ) Denan perkataan lain isometri adala suatu transformasi yan mempertaankan jarak (panjan suatu ruas aris). Teorema : Isometri adala kolineasi Sebua isometri bersifat : a. memetakan aris menjadi aris b. Isometri mempertaankan besar sudut. c. Isometri menawetkan kesejajaran. ukti : a. ndaikan sebua aris dan T suatu isometri Kita akan membuktikan bawa T() = adala suatu aris jua. Gambar mbil dan maka = T ( ) = T ( ) : melalui dan ada satu aris, misalnya : kan kita buktikan =.untuk ini akan dibuktikan dan. ukti mbil ( X ) artinya maka ada X seina erarti bawa X ole karena bidan kita adala bidan Euclides kita andaikan X + X =. karena itu T suatu isometri, jadi suatu transformasi T ( X ) = X, maka X =, X = X, jadi X + X =. X. searis pada, berarti lai bawa X = T ( X ). 2

3 ukti Maka ada Y seina T Y ) = Y (, denan Y misalnya ( ) Y rtinya Y dan Y + Y =, karena T sebua isometri maka Y = Y. Y = Y. =., seina Y + Y =, berarti.. Y. searis yan melalui dan maka ukti serupa berlaku untuk keadaan (Y) atau (Y ). Seina sebua aris maka = T ( ) adala sebua aris. Y arusla =, jika mbil sebua C C C ndaikan = T( ). = T( ). C = T ( C) Menurut (a) maka dan adala aris lurus. Ole karena C = C maka C = C sedankan =. C = C. C = C, seina C dan C Seina suatu isometri menawetkan besarnya sebua sudut.. jadi C = C a b a b Kita arus memperliatkan bawa a // b. andaikan a memoton b disebua titik jadi p ε a dan pε b. ole karena T sebua transformasi maka ada p seina T ( ) = denan ε a dan ε. ini berarti bawa a memoton b di ; jadi p

4 bertentanan denan yan diketaui bawa a // b. maka penandaian bawa memoton b sala jadi arusla a // b a Conto : { } Diketaui aris = ( x, y) dan aris ( x y) {, y = 2 } refleksi pada aris tentukanla persamaan aris = M ( )? enyelesaian : Ole karena adala sebua = x apabila M adala M sebua refleksi pada jadi suatu isometri maka menurut teorema aris y Q 0 x R(1,-1) (0, -) = {( x, y) } ( x y) {, y = 2 } = x y = 2x x = 0 y = 0 x = 0 y = x = 1 y = 1 y = 2x 0 = 2x 2x = x = 2, dimana y = 0 Garis akan melalui titik poton antara dan misalnya R sebab 4 M ( R) = R

5 Jelas bawa R = ( 1, 1) : akan pula melalui Q = M (Q) Ole karena Q = ( 2,0) maka Q = ( 0, 2) x = y y = 2x x = 2y x + 2y + = 0 x 2y = 0 Denan demikian persamaan adala : {( x, y) x 2 = 0} = y SOL ( ) ( ) 1. Jika = ( x, y) y = x dan = ( x, y) y = x tentukan persamaan aris = M ( ) enyelesaian : = (( x, y) y x) = ( x y) = (, y = x) 2 y = x y = 2x x = 0 y = 0 x = 0 y = x = 1 y = 1? y = 2x 0 = 2x 2x = x = / 2, dimana y = 0 y (0, ) R(1,1) 0 x Garis akan melalui titik poton antara dan 5

6 Jelas bawa R = (1,1 ) y = x y = 2x x = 2y x + 2y = 0 Maka denan demikian persamaan ( ) {( x, y) x + 2 = 0} = y adala : ( ) 2. Jika = ( x, y) dan = ( x, y) 2y = x + selidikila apaka titik ( 2, 4) pada aris = M ( ) enyelesaian :? = (( x, y) ) ( x y) x = 0 y = 0 x = 1 y = 1 y (, 2y = + ) = x x = 0 y = 0 x = 1 y = 2 terletak (1,2) 0 (1,-1) x (-2,-4) 2y = x + x = y,jadi ( x, y) { 2x + = 0} = y Substitusikan nilai x dan y : jadi Jadi titik ( 2, 4) terletak pada = M ( ) 2x = y + 2x + y = 0 2x y + = 0 ISOMETRI LNSUNG DN ISOMETRI LWN 6

7 Suatu transformasi dari seitia C pada seitia 11C1 yan di cerminkan pada aris. Liat ambar (a) C C 1 C 2 2 C Gambar (a) 0 Gambar (a) Tampak bawa seitia C urutan kelilin adala C adala berlawanan ara denan putaran jarum jam, maka pada petanya yaitu seitia 1 1C1 urutan kelilin C adala sesuai denan putaran jarum jam. ada ambar (a) diatas ada jua suatu isometri yaitu suatu rotasi yan menelilini sebua titik O. ada seitia C urutan C adala berlawanan ara denan putaran jarum jam maka petanya pada yaitu pada seitia 2 2 C 2 urutan kelilin 2 2 C2 tetap berlawanan denan putaran jarum jam. KONSE ORIENTSI TIG TITIK YNG TK SEGRIS. ndaikan (. ) 1 2. anda titik yan tak searis. Maka melalui ada tepat satu linkaran l kita dapat menelilini l misalnya pada p1 kemudian sampaidi. 2 dan akirnya kembali ke 1. apabila ara kelilin ini sesuai denan putaran jarum jam, maka dikatakan bawa anda lima titik (. ) memiliki orientasi yan sesuai denan putaran jarum jam 1 2. (atau orientasi yan neative). pabila ara kelilin itu berlawanan denan ara putaran jarum jam, maka dikatakan bawa anda tia titik (. ) memiliki orientasi yan berlawanan 1 2. denan putaran ara jarum jam.( orientasi yan positif ).

8 Jadi pada ambar (a) ( C ) memiliki orientasi positif sedankan ( ) memiliki 1 1C1 orientasi neatif. ada ambar (b) orientasi ( C ) adala positif dan orientasi ( ) tetap 2 2C2 positif. Jadi pencerminan pada ambar (a) menuba orientasi sedankan putaran pada ambar (b) menawetkan orientasi. Definisi : Suatu transformasi dinamakan lansun apabila transformasi itu menawetkan orientasi: suatu transformasi dinamakan transformasi lawan apabila transformasi itu menuba orientasi. Sala satu yan pentin dalam eometri transformasi kita. 2.. Hasil Kali Transformasi Definisi : Misalkan F dan G dua transformasi denan F : V V dan G : V V maka komposisi dari F dan G ditulis sebaai ( G F )( ) = G( F( ) ), V o. Fo G yan didefinisikan ndaikan T 1, T2, T transformasi transformasi. Kita dapat menyusun terlebi daulu asil kali T2ο T1 kemudian dikalikan denan T. untuk asil kali transformasi ini kita tulis sebaai T ( T2. T1 ) Jadi andaikan = T ( ). = T ( ). = T ( ) Maka [ T T. T )]( ) = T [ T T ( )] ( = T = T [ T ( 1 (1)) ] 2 T [ T ( )] 2 = T ( = " ) Kita jua dapat menalikan sebaai berikut : 8

9 ( ( TT ) T )( ) = ( T T [ T ( )]) 2 1 = ( TT )( ) = T [ T ( )] 2 = T ( = " ) " Jika asil kali bersifat asosiatif, kita dapat jua menatakan bawa T = (T2T 1) = (TT2 )T1 TT2 T1 9