RINGKASAN MATERI PENCERMINAN

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "RINGKASAN MATERI PENCERMINAN"

Budi Salim
7 tahun lalu
Tontonan:

1 RINGKSN MTERI PENCERMINN Definisi: Suatu encerminan (reflei) ada sebuah garis s adalah suatu fungsi M s ang didefinisikan untuk setia titik ada bidang V sebagai berikut: a. jika P s maka M s (P) = P b. jika P s maka M s (P) = P sehingga garis s adalah sumbu PP. Pencerminan M ada garis s selanjutna dilambangkan sebagai M s. garis s disebut sumbu refleksi / sumbu encerminan / singkat cermin. Teorema Setia refleksi ada garis adalah suatu transformasi. ukti: M s : V V I. kan dibuktikan Ms surjektif. mbil Sebarang X V X Ms( X ). Menurut definisi jika X S maka Ms( X ) X X Jadi X V X X Ms( X ) X S X V X X Ms( X ) dengan S sumbu XX Jadi M s surjektif. II. kan dibuktikan M s injektif. Kasus Misalkan Untuk Jadi Kasus mbil S maka Ms( ). S maka Ms( ) S S maka

2 i). Ms ( ) ii). Ms( ) akni S sumbu dari. Karena Kasus 3 Untuk S dan S maka S S ndaikan Ms ) Ms( ). Maka dienuhi : ( adalah suatu garis dengan sumbu S artina S. adalah suatu garis dengan sumbu S artina S. ndaikan maka menurut teorema tidak ada buah garis ang tegak lurus terhada garis sumbu S ang melalui titik ang sama. rtina jika Ms( ) Ms( ) maka haruslah. Padahal diketahui. Jadi haruslah Ms ) Ms( ). ( Karena Ms surjektif dan injektif maka berlaku bahwa setia refleksi ada garis adalah suatu transformasi. Definisi: Suatu transformasi T adalah suatu isometri jika untuk setia asang titik P Q berlaku P Q = PQ dengan P = T(P) dan Q = T(Q). Teorema: Setia refleksi ada garis adalah suatu isometri. Jadi kalau = Ms() = Ms() maka =. ukti: mbil Semarang V dengan Ms() = dan Ms() =. kan ditunjukkan =. Kasus I Jika S maka Ms() = = dan Ms() = =. Jadi = Ms()Ms() =. Kasus II S =

3 Jika S S dan Ms() = = dan Ms () = kan ditunjukkan = Perhatikan C & C C = C (berimit) m C mc (karena siku-siku) C = C (karena S sumbu simetri) Menurut teorema karena C & C memunai sifat S Sd S ang sama maka C C. Jadi =. Kasus III Jika S dan Ms() = Ms() =. kan ditunjukkan = Perhatikan DC & DC. DC = DC (berimit) m DC mdc (karena siku-siku) C = C (karena S sumbu simetri) C Menurut teorema karena DC & DC memunai sifat S Sd S ang sama maka DC DC. Jadi D = D dan m DC m DC. Karena m DC m DC dan m DC m DC (90 0 ) md 90 Maka md mdc m DC md m D Perhatikan D & D D = D (berimit) m D m D (dari ernataan ) D = D (diketahui) Menurut teorema karena D & D memunai sifat S Sd S ang sama maka D D. Jadi =. S

4 SOL LTIHN. Diketahui dua titik dan. Lukislah garis g sehingga Mg() =. Tentukan ula Mg(). Mg() = dan Mg() =. abila ada V ada sistem sumbu ortogonal dan (3) sedangkan (--). Tentukan ersamaan sebuah garis g sehingga Mg() =! Diket : (3) (--) Ditana: Persamaan garis g sehingga Mg() = Jawab : Persamaan garis 3 3 3( 3) 4( ) Y X 4 Gradien m = 3 3 Gradien ang tegak lurus garis m = - 4 (3) ( ) ( ) Titik tengah = ( ) Persamaan garis ang melalui ( ) dengan m = 3 adalah = m ( ) 3 = - ( + ) 4

5 3 3 = = = = 0 Jadi ersamaan garis g adalah = 0 3. Diketahui: g = Ditana: a. Mg() bila (). -3 b. ila Mg(C) = (-7) maka C =... c. P() maka Mg(P) =... Jawab: a. Persamaan garis ang melalui () dan tegak lurus g adalah =. (-3) adalah titik tengah Maka (-3) = Jelas ( ) 6 8 Jadi = (-8) b. Persamaan garis ang melalui Mg(C) = (-7) dan tegak lurus g adalah = 7. D(-37) adalah titik tengah Maka (-37) = C C C Jelas 64 ( 7) C 57 C C Jadi C = (-57) C C C C 7 c. Persamaan garis ang melalui P() dan tegak lurus g adalah =.

6 Misal Q = (QQ) adalah titik tengah Jelas Q = (-3 ) = 6 ( 6 ) PP. Jadi aabila P () maka Mg(P) = P = (-6 ). 4. Diketahui g = Ditana: a. Jika = 3 tentukan = Mg(). b. Jika D = (-4) tentukan raeta D oleh Mg. c. Jika P(). Tentukan Mg(P) Jawab: a. Persamaan garis ang melalui Misal (3) adalah titik tengah 3 dan tegak lurus g adalah = 3. Maka (3) = 3 Jelas 4 (3 ) 6 34 Jadi = (3 4 ) b. Persamaan garis ang melalui D = (-4) dan tegak lurus g adalah =. Misal C() adalah titik tengah Maka () = D D Jelas 44 ( 4) D 8 D D D D DD Jadi Praeta D oleh Mg = (8) D D D ( 4) c. Persamaan garis ang melalui P( ) dan tegak lurus g adalah =. Misal Q = ( Q Q ) adalah titik tengah PP.

7 Jelas Q = ( Q ) = ( ) 4 4 Jadi aabila P () maka Mg(P) = P = (- 4 - ). 5. Diketahui h = Ditana: a. Jika = (-3) tentukan = M h (). b. Jika D = (-4) tentukan raeta dari oleh M h. c. Jika P(). Tentukan M h (P) Jawab: a. Dicari gradien garis = aitu m = Maka ersamaan garis ang melalui (-3) dan tegak lurus g dengan m = - adalah 3 ( ) 3 m( ) Mencari erotongan = dan = - dengan mensubstitusikanna. = = - = - = - substitusikan = - ke ersamaan = dieroleh = -. Jadi titik tengah (- - ).

8 Jelas (- - ) titik tengah maka 3 Jelas ( 3 ) 3 Jadi = (-3) b. Gradien garis = aitu m = Maka ersamaan garis ang melalui (-35) dan tegak lurus g dengan m = - adalah 5 ( 3) 3 5 m( ) Mencari erotongan = dengan = - + dengan cara substitusi. = = - + = = substitusikan = ke ersamaan = dieroleh =. Jadi titik tengah (). Jelas () titik tengah maka Jelas ( 3 5) 5 3 Jadi = (5-3) ( 3) 5 c. Persamaan garis ang melalui P( ) dan tegak lurus g adalah m( ) Misal Q = ( Q Q ) adalah titik tengah PP.

9 Jelas Q = ( Q Q ) = ( ) Q Q Q Jadi aabila P () maka Mg(P) = P = ( Q Q ). Q 6. Diketahui k = Ditana: 0 a. Jika = (-3) tentukan = M k (). b. Jika D = (-4) tentukan raeta dari oleh M k. c. Jika P(). Tentukan M k (P) Jawab: a. Dicari gradien garis k 0 Jadi m k = - Maka ersamaan garis ang melalui (-3) dan tegak lurus k dengan m = adalah 3 ( ) 3 5 m( ) Mencari erotongan = - dengan = - 5 dengan cara substitusi. = - = 5 = 5 = 5 substitusikan = 5 ke ersamaan = - dieroleh = - 5. Jadi titik otongna ( 5-5 ) Karena ( 5-5 ) titik tengah maka

10 3 5 5 Jelas ) 3 ( Jadi = (3-) b. Gradien garis = - aitu m = - Maka ersamaan garis ang melalui (-35) dan tegak lurus g dengan m = adalah ) ( 5 ( ) m Mencari erotongan = - dengan = +8 dengan cara substitusi. = - = + 8 = -8 = -4 substitusikan = -4 ke ersamaan = - dieroleh = 4. Jadi titik otongna (-44). Karena (-44) titik tengah maka 5 3) ( 44 Jelas ) 5 3 ( Jadi = (-5 3) c. Persamaan garis ang melalui P( ) dan tegak lurus k dengan m = adalah m ) ( Misal Q = ( Q Q ) adalah titik tengah PP.

11 Jelas Q = ( Q Q ) = Q Q ( ) Q Jadi aabila P () maka Mg(P) = P = ( Q Q ). Q 7. Diketahui g = Ditana: a. Mg(0) b. Mg() dengan (). c. Jika P(+). Tentukan M g (P)=P. Jawab: a. Diunai g = dari + = =. Gradien dari g adalah m = - dan gradien ang tegak lurus dengan g adalah m = Maka ersamaan garis h ang melalui O(00) dan tegak lurus g dengan m = adalah m( ) 0 ( 0) Jadi h Titik otong antara g dan h adalah titik O aitu = = = = substitusikan = ke ersamaan = dieroleh =. Jadi titik otongna ( )

12 Karena ( ) titik tengah OO maka Jelas ( 0 ) Jadi Mg(O) = () b. Maka ersamaan garis h ang melalui () dan tegak lurus g dengan m = adalah ( ) m( ) Jadi h + Mencari erotongan g dengan h. = - = + = 0 = 0 substitusikan = 0 ke ersamaan = - dieroleh =. Jadi titik otongna (0). Karena (0) titik tengah OO maka o o o o 0 Jelas. ( ) 0 o o 0 o o Jadi = (-0) c. Diunai = ( + ) dan g = Karena Mg(P) = P maka P P ( ) Dieroleh + = ( ) 0

13 Dan = 0 + = Jadi Mg(P) = (0). 8. Diketahui g = dan (k). Ditana: Tentukan k bila Mg() = Jawab : Diunai 3 + = 0 Karena Mg() = maka terletak ada g. Nilai k daat dicari dengan mensubstitusikan titik ke ersamaan garis g. Untuk = maka 3 + = 0-3 = - 3 = 3 = Jadi nilai k =. 9. Diketahui k = a = (3-) Tentukan a aabila Mk() =! Karena Mk() = maka = (3-) terletak ada garis k. Dieroleh a.3 3(-) + = 0 3a +3 + = 0 3a = - 4 a = Jadi nilai a = Diunai T(P) = (-5 +3) P = ( ) V Ditana: Selidiki aakah T suatu isometri? Jawab: kan ditunjukkan aakah T suatu isometri. Menurut definisi T suatu isometri jika P P V maka P P = P P mbil sebarang titik P P V dengan P =( ) dan P =( ) T(P ) = P = ( -5 +3) T(P ) = P = ( -5 +3) P P P P P P P P P P ( 5) ( 5) ( 3) ( 3) )

14 Maka P P = P P. karena P P = P P maka T suatu isometri.

dokumen-dokumen yang mirip

R E S U M E TRANSFORMASI

R E S U M E TRANSFORMASI R E S U M E TRNSFORMSI Transformasi pada suatu bidang V adalah suatu fungsi yang bijektif dengan arah asalnya V dan daerah nilainya V juga Fungsi yang bijektif adalah sebuah fungsi yang : 1 Surjektif 2