Perbaikan Bagan Kendali Pergerakan Data (Data Driven)

Bab 3 Perbaika Baga Kedali Pergeraka Data Data Drive) 3.1 Pedahulua Baga kedali klasik utuk eoitorig rataa didasarka pada asusi keorala. Ketika syarat keorala tidak dipeuhi, baga kedali klasik ii tidak lagi valid utuk diguaka karea galat yag fatal ugki aka serig ucul Albers ad Kalleberg, 2006). Nilai-ilai seperti false alar rate FAR) da average ru legth ARL) bisa jadi berbeda dega ilai yag ditetuka. Utuk egatasi perasalaha tersebut, Albers da Kalleberg pada tahu 2006 eperkealka pegguaa perbaika baga kedali pergeraka data data drive). Pada prisipya, baga kedali ii egikuti betuk uu batas kedali persaaa 2.1.1)). Perbedaaya terletak pada taksira ilai galat stadarya. Dala baga kedali pergeraka data data drive), proses seleksi baga kedali yag aka diguaka diperoleh dari ilai stadarisasi aksiu da iiu dari data terurutya. Nilai stadarisasi iilah yag ejadi titik tolak utuk eetuka apakah data berdistribusi oral atau tidak. Jika dari atura peyeleksia data tidak berdistribusi oral, aka harus diuji apakah data terasuk paraetrik atau oparaetrik. Hal yag earik jika data buka oral da paraetrik, aka 16

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)17 otoatis prosedur ii eutuska bahwa data oparaetrik. Baga kedali ii eperbaiki taksira galat yag diakibatka peaksira paraeter yag terlibat atau utuk data oparaetrik, baga kedali ii diguaka utuk eaksir kuatil dari distribusiya. Pada perbaika baga kedali pergeraka data data drive) ii, peaksira utuk kuatil ekstri digatika oleh peaksira kuatil biasa, sehigga dapat diguaka utuk ukura sapel yag tidak terlalu besar Albers ad Kalleberg, 2006). Biasaya, paraeter dari distribusi yag diajuka tidak diketahui. Oleh karea itu, observasi pada phase I X 1, X 2,..., X diguaka utuk eaksir paraeterya. Harga yag harus dibayar utuk perluasa odel paraetrik adalah galat stokastik yag besar yag diakibatka peaksira dari dua paraeter tabaha, satu utuk batas kedali atas da satu utuk batas kedali bawah. Baga kedali satu arah yag epuyai batas kedali atas dega FAR=p dapat udah diperoleh ketika fugsi distribusi kotiu F dari observasi yag terkedali diketahui. Utuk sederhaaya, pilih UCL = F 1 p), diaa F x) = 1 F x) da kareaya F 1 p) adalah kuatil atas p dari X yag epuyai fugsi distribusi F. Misalya, ketika X berdistribusi oral dega rataa µ da variasi σ 2 diketahui, kita peroleh UCL = µ + u p σ lihat persaaa 2.1.1)) dega u p = Φ 1 p) setara L pada persaaa 2.1.1)) kuatil atas p dari distribusi oral stadar. Biasaya dipilih u p = 3 setara dega F AR = p = 0.00135 da ARL = 1 = 741. p Ketika paraeter dari F dala baga kedali oral atau paraetrik) tidak diketahui, atau F sediri dala baga kedali oparaetrik) tidak diketahui, kita harus eaksir kuatil atas p dega egguaka observasi di phase I X 1, X 2,..., X, yag diasusika terkedali. Sebagai kosekuesiya, F AR da ARL buka lagi deteriistik tetapi variabel acak karea ereka bergatug pada X 1, X 2,..., X. Gagasa dari kasus ii adalah stokastik F AR, tulis P harus edekati ilai p yag ditetapka. Utuk edapatka bias yag kecil EP ) p) dibutuhka saple berukura besar utuk dilibatka dala peetua batas kedali wwwhoe.cs.utwete.l, [8]).

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)18 Ada dua aspek yag ejadi perhatia dala eetuka baga kedali stadar; peaksira paraeter da asusi keorala. Utuk eoitor rataa, dasar dari baga kedali X Shewhart eujukka siyal di luar kedali segera setelah ilai observasi baru yag ucul elebihi batas kedali 3σ. Misal, asusika observasi yag baru ucul X berdistribusi oral dega rataa µ da sipaga baku σ, batas kedali atas didefiisika sebagai UCL = µ + 3σ da batas kedali bawah didefiisika sebagai LCL = µ 3σ. Siyal di luar kedali terjadi ketika X > UCL da X < LCL. Peluag false alar rate FAR) p yag bersesuaia, yaitu peluag uculya siyal di luar terkedali ketika observasi dala keadaa asih terkedali, setara dega 0.0027 lihat 2.2). Kodisi ii setara dega uculya satu siyal di luar terkedali setiap 370 observasi pada saat proses asih terkedali. 3.2 Perbaika baga kedali pergeraka data Ada tiga tujua dari pegguaa perbaika baga kedali pergeraka data ii, yaitu bias EP = p, peluag elebihi exceedace) P P > p1 + ε)) α, da P r 1 P > 1 1 ε)) α. Dala tugas akhir ii haya aka dibahas utuk kasus p bias EP = p. Karea keterbatasa iforasi pada Albers ad Kalleberg 2006), aka uraia di bawah ii haya aka ebahas peiliha batas kedali tapa pebuktia. A. Baga kedali oral Perbaika baga kedali pergeraka data utuk data oral ii dibuat sebagai koreksi terhadap baga kedali oral klasik. sehigga dapat diguaka utuk julah sapel yag kecil. Misalka observasi X 1, X 2,..., X, X +1 variabel acak yag idetik da salig bebas berdistribusi N µ, σ 2 ) selaa observasi berada pada kodisi terkedali. Variabel acak X 1, X 2,..., X adalah observasi pada phase I, yaitu kodisi observasi yag diasusika terkedali, yag edasari peaksira paraeter µ da σ. Seetara X +1 berada pada phase II, yaitu tahap oitorig.

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)19 Dala kodisi di luar kedali, X +1 berdistribusi N µ 1, σ 2 ), dega µ 1 > µ, dala kasus elebihi batas kedali atas, da µ 1 < µ, dala kasus data elebihi batas kedali bawah. Diasusika proses berada pada kodisi terkedali. Jika µ da σ diketahui da F AR = p, aka UCL = µ + u p σ, dega u p adalah galat bakuya. Sedagka utuk kodisi µ da σ tidak diketahui, µ ditaksir oleh rataa sapel X = 1 da σ ditaksir oleh sipaga baku sapel S = S 2 diaa, S 2 = 1 1 i 1 X 2 X i X) 2 i 1 Utuk ebedaka dega batas kedali pada baga kedali klasik, batas kedali bawah da atas utuk perbaika baga kedali pergeraka data data drive) berturut-turut dilabagka dega LL N da ÛL N, dega N eyataka oral. Utuk kasus batas bawah, tada ) diguaka utuk LL N da tada +) diguaka utuk ÛL N. Siyal di luar kedali diberika saat observasi X +1 fase II berada di luar iterval LL N, ÛL N). Baga kedali satu arah dapat dega udah ditetuka dega eggati p 2 pada batas kedali dega p, da egabil hubuga dari salah satu iterval yag ada. Dega egguaka u p 2 {1 + u p/2+3 4 } sebagai koreksi utuk L pada persaaa 2.1.1), batas kedali atas da bawah didefiisika oleh: Target EP = p LLN, ÛL N X ± u p 2 S{1 + u p/2+3 4 } B. Baga kedali paraetrik Utuk eperluas suatu distribusi oral dala suatu kelopok distribusi yag lebih besar dega ekor yag lebih tebal atau lebih tipis dari distribusi oral, dipertibagka atura dasar dari kuatil oral stadar sebagai kuatil

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)20 yag baru. segera dipilih. stadar u p Jika keorala tidak lagi dipeuhi, odel yag lebih uu harus Utuk ekor yag lebih berat dari distribusi oral, ilai galat aka eigkat, tetapi jika ekor lebih tipis, kodisi sebalikya aka ucul wwwhoe.cs.utwete.l, [8]). Telah disaraka utuk eggati u p dega cγ)u 1+γ p wwwhoe.cs.utwete.l, [8]), utuk 0 < p < 1 2 dega γ > 1 da cγ) erupaka suatu kostata oral utuk ebuat variasi saa dega 1) yag didefiisika oleh cγ) = {E u p 21+γ) } 1/2. cγ) dapat kita tuliska sebagai berikut : cγ) = π 1/4 2 1+γ)/2 Γ γ + 3 1/2 3.2.1) 2) dega Γ erupaka fugsi Gaa. Jika kita perhatika utuk γ = 0 aka euju stadar oral kuatil u p. Peaksira ilai Γ dilakuka dega etode statistik terurut. Misal X 1)... X ) adalah statistik terurut dari X 1,..., X. Perhituga utuk γ pada ekor atas dilabagka dega ˆγU, dapat dituliska sebagai berikut : ˆγU = 1.1218log Xet0.95+1)) X ) X et0.75+1)) X 1 3.2.2) Utuk eperbaiki taksira galat odelya, diguaka kuatil sapel 95% da 75% wwwhoe.cs.utwete.l, [8]). Pegguaa kuatil sapel 95% da 75% didasarka pada pedekata data oral, diaa kuatil 75% erupaka kuatil atas q 3 ) da kuatil 95% setara dega batas 2σ yag erupaka batas kedali perigata Motgoery, 2001, hal 165). Perhatika bahwa X et0.95+1)) X)/X et0.75+1)) X) 1 eaksir cγ)u 1+γ 0.05)/cγ)u 1+γ 0.25) = u 0.05 /u 0.25 ) 1+γ da 1/ logu 0.05 /u 0.25 ) = 1.1218 dega etx) adalah bilaga bulat dari x. Dega cara yag saa, taksira γ pada ekor bawah, ˆγL, dapat ditulis: ˆγL = 1.1218log ) X X et0.95)) 1 3.2.3) X X et0.75)) Sebelu asuk pada pebahasa batas kedali, terlebih dahulu diperkealka beberapa otasi yag dibutuhka utuk betuk koreksiya: C 1 γ, u p ) = 1.23 0.63γ + 0.73γ 2 + 0.74u p 0.08γu p 0.14γ 2 u p

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)21 dega a = 1 C 2 γ) = ua u a ) 1+γ 2.4378 1+γ et0.95 + 1) et0.75 + 1), b = 1 + 1 + 1 C 3 γ, u p ) = 76.37 120.12γ 81.93γ 2 + 35.53u p + 53.71γu p + 37.18γ 2 u p Batas kedali dua sisi utuk baga kedali paraetrik diotasika oleh LL p da ÛL p. Dega egguaka {cˆγ)u 1+ˆγ p C 1 ˆγ, u p )C 2 ˆγ) + C 3ˆγ,u p/2 ) } sebagai koreksi 2 utuk L pada persaaa 2.1.1), batas kedali atas da bawah didefiisika oleh: Target EP = p X ± S{cˆγ)u 1+ˆγ p 2 LLP, ÛL P C 1 ˆγ, u p )C 2 ˆγ) + C 3ˆγ,u p/2 ) } Utuk batas kedali atas ˆγ yag diguaka adalah ˆγU, da utuk batas kedali bawah ˆγ yag diguaka adalah ˆγL C. Baga kedali iiu Pada kasus oparaetrik, tidak ada solusi euaska yag dapat diperoleh kecuali ukura sapel dari observasi sagat besar wwwhoe.cs.utwete.l, [8]). Baga kedali iiu ii erupaka perbaika dari baga kedali oparaetrik sehigga baga kedali dapat diguaka utuk ukura sapel biasa Albers ad Kalleberg, 2006). Berbeda dega baga kedali oral da paraetrik, baga kedali ii tidak egikuti betuk uu batas kedali persaaa 2.1.1)), tetapi egguaka etode statistik terurut diaa kuatil yag diguaka bergatug pada ukura sapel pada fase I diaa observasiya diasusika terkedali) da fase II proses oitorigya). Berikut beberapa otasi yag diperguaka dala ebagu baga kedali iiu: r = et{p/2)} 1/ ) k ditetuka oleh r k 1 + p/2) + < r k +,

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)22 dega 0 < λ < 1 λ = p/2) + r k 1 + r k + r k 1 + Target LLMIN, ÛL MIN EP P = p LL MIN : 1 λ)x r k) + λx r+1 k) ÛL MIN : 1 λ)x +k+1 r) + λx +k r) 3.3 Atura peyeleksia Ide dibalik atura peyeleksia adalah bertaha selaa ugki di dala baga oral klasik. Pegguaa baga kedali paraetrik dilakuka jika ekor dari distribusi sapel lebih tebal atau tipis dari pada distribusi oral, da beralih ke baga oparaetrik MIN saat perluasa kodisi ke kelopok paraetrik diperkiraka gagal juga. Dari data dapat diketahui baga aa yag harus diguaka. Karea batas kedali ditetuka oleh perilaku pada ekor yag jauh p kecil), ukura alai utuk eetuka baga aa yag aka dipilih adalah stadarisasi iiu pada observasi fase I X ) X)/S utuk batas kedali atas da stadarisasi iiu X X 1) )/S utuk batas kedali bawah Albers ad Kalleberg, 2006). Masalah selajutya adalah peetua batas seleksi. Distribusi dega ekor yag lebih tebal dari distribusi oral dapat eyebabka asalah serius dega perilaku observasi yag terkedali erujuk ke baga kedali yag tidak valid. Distribusi dega ekor yag lebih tipis lazi diguaka pada kasus observasi yag terkedali dega kosekuesi siyal di luar kedali yag tidak terdeteksi. Hal ii dikareaka galat pada observasi yag terkedali lebih serius dibadigka pada observasi yag tidak terkedali. Selai itu, karea galat odel positif yag saa besar dega p atau lebih, dapat dega udah ucul, sebalikya pada galat odel egatif p, kita abil atura peyeleksia yag tidak seibag. Utuk

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)23 batas kedali atas aka dipilih baga kedali oral ketika: u 0.7+0.5log)/ X ) X S u 5/ ) 3.3.1) Utuk elihat apakah ii egiplikasi, isalka X 1,..., X peubah acak yag salig bebas da idetik dega distribusi oral stadar. Maka Albers ad Kalleberg, 2006): da P X < u 0.7+0.5log)/ ) = 1 2 P X > u 5/ ) ) = 1 ) 0.7 + 0.5log) exp0.7 0.5log) 1 5 ) 1 exp 5 ) 5 karea itu, ketika stadar iiu X ) X)/S sagat besar, ii egidikasika bahwa ekor ugki lebih tebal dari pada distribusi oral da kita beralih ke baga paraetrik atau oparaetrik. Deikia pula peraliha utuk ilai yag relatif kecil dari X ) X)/S, egidikasika perilaku ekor yag lebih tipis. Total dari perbaika baga kedali pergeraka data data drive) dua sisi diberika oleh persaaa berikut. Misalka d 1N = u 0.7+0.5log)/, d 2N = u 5/ ) 3.3.2) d 1P ˆγ) = cˆγ)u 1+ˆγ 0.2+0.5log)/, d 2P ˆγ) = cˆγ)u 1+ˆγ 3/ ) 3.3.3) Batas kedali bawah da batas kedali atas ditujukka berturut-turut oleh LL C da ÛL C.

BAB 3. PERBAIKAN BAGAN KENDALI PERGERAKAN DATA DATA DRIVEN)24 Utuk batas kedali atas diperoleh sebagai berikut: Utuk batas kedali bawah LL C kita peroleh: