FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49

Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2 Fungsi Invers 3 Fungsi Logaritma Natural 4 Fungsi Eksponen Natural 5 Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum 6 Fungsi Trigonometri Invers 7 Telaah Konsep (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 2 / 49

Beberapa Terapan Fungsi Invers Fungsi logaritma: Penentuan besaran skala gempa bumi (dalam skala Richter). Penentuan kekerasan suara (dalam desibel, db). Fungsi eksponen: Pertumbuhan populasi bakteri, populasi penduduk yang bergantung pada daya dukung lingkungan. Perhitungan banyaknya tabungan dengan bunga majemuk kontinu. Penentuan kandungan bahan radioaktif. Penentuan kapasisitas penyimpanan muatan listrik pada kapasitor blitz kamera. Fungsi trigonometri invers: Posisi tempat duduk terbaik ketika menonton film di bioskop. Masalah-masalah nyata yang terkait pengukuran sudut. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 3 / 49

Fungsi Satu ke Satu Fungsi Satu ke Satu Definisi Fungsi f dikatakan fungsi satu ke satu (-) pada daerah fungsi D f jika x = x 2 f (x ) = f (x 2 ) atau f (x ) = f (x 2 ) x = x 2 untuk setiap x, x 2 D f. Uji garis datar akan memotong fungsi - tepat pada satu titik. Jika f naik ataukah turun pada interval I, maka f fungsi - pada I. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 4 / 49

Fungsi Satu ke Satu ( ) f x = x 3 f ( x) = x 0 0 Fungsi Contoh (Fungsi -) f (x) = x 3 fungsi - pada D f = R 2 f (x) = x fungsi - pada D f = [0, ) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 5 / 49

Fungsi Satu ke Satu ( ) f x = x 2 f ( x) = sin x 0 f Bukan Fungsi Contoh (Fungsi -) f (x) = x 2 bukan fungsi - pada (, ), tetapi fungsi - pada [0, ) 2 f (x) = sin x bukan fungsi - pada R, tetapi fungsi - pada [ π/2, π/2] (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 6 / 49

Fungsi Satu ke Satu Soal (Identifikasi Fungsi -) Manakah di antara fungsi-fungsi berikut yang merupakan fungsi -? Jelaskan! f (x) = x 2 f (x) = 3x 2 + 5x 4 3 f (x) = 3x + cos x 4 x 0 2 3 4 f (x) 0 4 9 5 f (t) adalah tinggi badan seseorang pada saat berumur t tahun. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 7 / 49

Fungsi Invers Fungsi Invers Definisi Misalkan f fungsi - dengan daerah asal D f dan daerah hasil (wilayah) W f. Fungsi invers f adalah f yang bersifat y = f (x) x = f (y) () dengan D f = W f, W f = D f. D f = W f Wf = D f x f f y ( ) ( ) y= f x x= f y (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 8 / 49

Fungsi Invers Grafik fungsi f merupakan pencerminan grafik fungsi f terhadap garis y = x. y (b, a) y = x y = f (x) (a, b) y = f(x) x (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 9 / 49

Fungsi Invers Penentuan Fungsi Invers Ilustrasi Geometris (a) (b) Wf D f D f (c) (d) W f W f D f W f D f Langkah Aljabar Misalkan f fungsi -, dengan y = f (x). Untuk memperoleh f : Tuliskan y = f (x), Gambar (a), (b). 2 Nyatakan x dalam y (x = f (y)), Gambar (c). 3 Tukar x dan y sehingga diperoleh y = f (x), Gambar (d). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 0 / 49

Fungsi Invers f( x) = 2x 2 f x x x 2 ( ) =, 0 f ( x) = x+ 2 f ( x) = x, x 0 Contoh Tentukan fungsi invers bagi fungsi - berikut. y = f (x) = 2x 2 x = f (y) = y/2 + f (x) = x/2 +. 2 y = f (x) = x 2, x 0 x = f (y) = y f (x) = x. 3 y = f (x) = x x + (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49

Fungsi Invers Suatu Fungsi dengan Inversnya Saling Membatalkan y = f (x) f (y) = x y = f (x) f (y) = x Karenanya berlaku sifat pembatalan: f (f (x)) = x, x D f f ( f (x) ) = x, x W f (2) Contoh y = f (x) = 2x f (x) = x/2 f (f (x)) = f ( f (x) ) = x. 2 y = f (x) = x 2, x 0 f (x) = x /2 f (f (x)) = f ( f (x) ) = x. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 2 / 49

Fungsi Invers Turunan Fungsi Invers Misalkan y = f (x) x = f (y). dy/dx = f (x), dx/dy = ( f ) (y) = ( f ) (f (x)) Dengan penurunan implisit terhadap y pada f (x) = y: f (x) dx = dy dx = dy f (x) = dy/dx, atau ( f ) (y) = f (x) = f (f (y)) dx = dy dy/dx ( f ) (y) = f (x) = f (f (y)) (3) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 3 / 49

Fungsi Invers Ilustrasi Geometris Gradien Fungsi dan Inversnya ( f ) (y) = f (x) = f (f (y)) y l 2 (d, c) y = x y (b, a) l 2 y = x l (b, a) (a, b) l (c, d) x y = f (x) y = f(x) (a, b) x c a m2 = = d b m dx = dy dy dx ( f )'( b) = f ' ( a) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 4 / 49

Fungsi Invers Gradien Fungsi dan Inversnya f x x x 2 ( ) =, 0 m = f '(2) = 2(2) = 4 ' m ( 2 = f ) (4) = = m 4 m f x 3 ( ) = x 2 2 = f '(2) = 3(2) = 2 ' m ( 2 = f ) (6) = = m 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 5 / 49

Fungsi Invers Soal (Turunan Fungsi -) Misalkan g adalah fungsi invers dari f dan f (4) = 5, f (4) = 2/3. Hitung g (5). 2 Jika f (x) = 3x + cos x, tentukan a f () ( b f ) (). 3 Jika f (x) = x + x, tentukan ( f ) (6). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 6 / 49

Fungsi Logaritma Natural Fungsi Logaritma Natural Definisi Fungsi logaritma natural ln x = x dt, x > 0 (4) t (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 7 / 49

Fungsi Logaritma Natural Grafik Fungsi Logaritma Natural f (x) = ln (x) = x t dt, x > 0 f (x) = /x (berdasarkan TDK ) f fungsi naik pada D f = (0, ). 2 f (x) = /x 2 < 0 f cekung ke bawah pada D f = (0, ). x 3 ln(x) = t dt = < 0, 0 < x < 0, x = > 0, x > 0 Grafik ln x f ( x) = ln x (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 8 / 49

Fungsi Logaritma Natural Turunan Fungsi Logaritma Natural D x ln x = x D x ln u = u D xu (5) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 9 / 49

Fungsi Logaritma Natural Soal Tentukan turunan fungsi berikut f (x) = ln x ( 2 f (x) = sin ln ) x 2 + Solusi ln x, x > 0 f (x) = ln x = (perhatikan x = 0) ln ( x), x < 0 /x, x > 0 f (x) = D x ln x = = ( ) = /x, x < 0 x x D x ln x =, x = 0 (6) x (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 20 / 49

Fungsi Logaritma Natural Sifat-sifat Logaritma Natural Teorema Jika x, y bilangan positif, dan r bilangan rasional, maka. ln = 0 2. ln (x y) = ln x + ln y 3. ln (x/y) = ln x ln y (7) 4. ln x r = r ln x (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 2 / 49

Fungsi Logaritma Natural Contoh (Sifat Logaritma) Gunakan turunan untuk menunjukkan ln (x a) = ln x + ln a (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 22 / 49

Fungsi Logaritma Natural Integral Terkait Fungsi Logaritma D x ln x = x, x = 0 x dx = ln x + C, x = 0 (8) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 23 / 49

Fungsi Logaritma Natural Soal Tentukan integral berikut 2 3 0 dx x ln x, jawab: ln ln x + C 4x 3 dx, jawab: ln 2 + x4 tan x dx, jawab: ln sec x + C (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 24 / 49

Fungsi Logaritma Natural Teknik Penurunan Logaritmik Teknik penurunan logaritmik efisien dalam menentukan turunan fungsi bernilai positif yang melibatkan: pangkat berupa variabel (misal: x x, x ln x ), perkalian/pembagian/pangkat beberapa suku. Teknik: Untuk menurunkan y = f (x) dengan teknik penurunan logaritmik, Logaritmakan kedua sisi ln y = ln f (x). 2 Turunkan masing-masing sisi terhadap x y y = D x [ln f (x)]. 3 y = y D x [ln f (x)] = f (x) D x [ln f (x)]. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 25 / 49

Fungsi Logaritma Natural Soal Gunakan teknik penurunan logaritmik untuk menentukan y dari fungsi-fungsi berikut. y = x x (, x > 0 y = x x x!! ) ( x 2 + 3 ) 2x + 2 y =, x > 5 x 5 3 y = x n, n : bilangan real (dengan definisi turunan dan turunan implisit, baru diturunkan untuk n bilangan rasional) 4 x y = y x, x, y > 0, y = e, jawab: y2 (ln x ) x 2 (ln y ) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 26 / 49

Fungsi Eksponen Natural Fungsi Eksponen Natural Fungsi logaritma natural, ln, merupakan fungsi -. Karenanya ln mempunyai fungsi invers dan disebut fungsi eksponen natural. Untuk setiap bilangan real x, fungsi eksponen natural e x = exp (x) = ln x (9) Hubungan ln dengan exp y = e x x = ln y Bilangan Euler e bersifat ln e =, e = 2.7828... (bilangan irasional, tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 27 / 49

Fungsi Eksponen Natural Grafik Fungsi Eksponen Natural Karena e x merupakan invers dari ln x, grafik fungsi e x merupakan pencerminan ln x terhadap garis y = x. f (x) = ln x f (x) = e x : D f = W f = (, ), W f = D f = (0, ) x y = ln x = e e y = x y = ln x e (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 28 / 49

Fungsi Eksponen Natural Karena e x merupakan invers dari ln x, maka berdasarkan sifat pembatalan fungsi terhadap inversnya pada pers. (2), berlaku: e ln x = x, x > 0 ln e x = x, x R (0) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 29 / 49

Fungsi Eksponen Natural Sifat-sifat Eksponen Natural Teorema Jika x, y adalah bilangan real, maka. e x+y = e x e y 2. e x y = e x /e y () 3. (e x ) y = e x y (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 30 / 49

Fungsi Eksponen Natural Contoh (Sifat Eksponen) Gunakan sifat logaritma (7) dan sifat pembatalan (0) untuk menunjukkan e x+y = e x e y. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 3 / 49

Fungsi Eksponen Natural Turunan Fungsi Eksponen Natural y = e x, dy dx =? Kedua ruas dilogaritmakan: ln y = ln (e x ) = x Cara I: turunkan langsung terhadap x: ln y = x dy y dx = dy dx = y = ex. Cara II: turunkan terhadap y, gunakan turunan fungsi invers (3): x = ln y dx dy = y dy dx = dx/dy = y = ex. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 32 / 49

Fungsi Eksponen Natural Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Natural D x e x = e x D x e u = e u D x u (2) e x dx = e x + C (3) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 33 / 49

Fungsi Eksponen Natural Soal Hitung 2 3 4 d dx d dx ( e 2x+ ln x ) [ ] e ln(2x+) / (2x + ) d dx (xx ) dengan membuat x x = e ln xx = e x ln x dan tunjukkan hasilnya sama dengan menggunakan penurunan logaritmik xe x 2 + dx, jawab: 2 e x2 + C. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 34 / 49

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum Definisi Fungsi eksponen umum dengan basis a R f (x) = a x Fungsi logaritma umum dengan basis a adalah invers dari a x, a > 0, a = f (x) = log a x Kaitan: y = a x x = log a y (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 35 / 49

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 36 / 49

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Umum Berdasarkan persamaan a x = e ln ax = e x ln a, diperoleh d dx ax = a x ln a d dx au = a u ln a du dx (4) a x dx = ax ln a + C (5) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 37 / 49

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum Kaitan Logaritma Umum dan Logaritma Natural y = log a x x = a y x = a y ln x = y ln a y = ln x ln a y = log a x ln x ln a (6) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 38 / 49

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum Turunan dan Integral Fungsi Logaritma Umum y = log a x = ln x ln a dy dx = x ln a D x log a x = D x log a u = x ln a u ln a D xu (7) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 39 / 49

Fungsi Logaritma dan Eksponen Umum Perlukah Basis Selain e? Pada uraian sebelumnya, terungkap 2 fakta penting:. a x = e ln ax = e x ln a, a > 0 2. log a x = ln x, a > 0, a = ln a Kedua persamaan tersebut menunjukkan bahwa semua fungsi logaritma umum dan eksponsial umum dengan basis a dapat dinyatakan dengan basis natural e. Semua perhitungan, termasuk turunan dan integral dengan basis umum a dapat dinyatakan dengan basis natural e. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 40 / 49

Fungsi Trigonometri Invers Fungsi Trigonometri Invers Landasan f ( x) = sin x y = x f( x) = sin x Fungsi trigonometri tidak bersifat - pada daerah fungsinya. Dengan membatasi daerah fungsi, fungsi-fungsi trigonometri dapat dibuat -, sehingga memiliki fungsi invers. Contoh perhitungan: sin x = x = sin () = 2 π. cos x = 2 x = cos ( 2 ) = 3 π. tan x = x = tan () = 4 π. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 4 / 49

Fungsi Trigonometri Invers Fungsi Trigonometri Invers Definisi y = sin x x = sin y, y [ π/2, π/2] 2 y = cos x x = cos y, y [0, π] 3 y = tan x x = tan y, y ( π/2, π/2) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 42 / 49

Fungsi Trigonometri Invers Menurunkan Fungsi Trigonometri Invers Contoh Tentukan turunan y = tan x Solusi y = tan x tan y = x sec 2 y (dy/dx) = dy/dx = sec 2 y = cos2 y = ( + x 2 ) 2 = + x 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 43 / 49

Fungsi Trigonometri Invers Turunan Fungsi Trigonometri Invers Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan D x sin x = x 2, x < D x cos x =, x < x 2 D x tan x = + x 2 D x cot x = + x 2 D x sec x = x x 2, x > D x csc x = x x 2, x > (8) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 44 / 49

Fungsi Trigonometri Invers Integral Terkait Fungsi Trigonometri Invers Setiap rumus pada tabel formula (8) menghasilkan sebuah rumus integral. Dua yang terpenting: x 2 dx = sin x + C + x 2 dx = tan x + C (9) Formula (9) dapat diperumum menjadi ( a2 x dx = x 2 sin a a 2 + x 2 dx = ( x a tan a ) + C, a > 0 ) + C, a = 0 (20) (lihat soal). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 45 / 49

Fungsi Trigonometri Invers Soal Hitung integral berikut: 2 3 4 π/2 0 sin x + cos 2 x dx, jawab: 4 π dx, a > 0, a2 x jawab: 2 sin ( x a ) + C a 2 + x 2 dx, x + 4 x 2 + 4 dx, jawab: 2 ln ( x 2 + 4 ) ( x + 2 tan 2 ) + C (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 46 / 49

Telaah Konsep I Kuis Benar-Salah Telaah Konsep Fungsi f (x) = sin x, x [0, π] fungsi -. 2 ln x 2 = 2 ln x, x = 0. 3 π 2 = e 2 ln π. 4 Jika a < b, maka e a < e b. 5 Jika x > 0, maka (ln x) 4 = 4 ln x. 6 ln ( 2e x+) ln (2e x ) =, x R. 7 ln ( 3 0) > 0. 8 Fungsi invers dari y = + e x adalah y = ln (x ). 9 sin x = sin x. 0 d dx (5x ) = x 5 x. d dx (xe ) = x e. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 47 / 49

Telaah Konsep II Kuis Benar-Salah Telaah Konsep 2 d dx (ln π) = π. 3 dx = ln 2 x + C. x 4 e 2 5 ln dx = 2. x 0 0 = dx =. x (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 48 / 49

Tentang Slide Telaah Konsep Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 202 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 49 / 49