STATISTIKA Muhamad Nursalman Pendilkom/Ilkom UPI 1
Daftar Isi Bab 1 Peluang Bab Peubah Acak Bab 3 Distribusi Peluang Diskret Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu Bab 5 Fungsi Peubah Acak Bab 6 Teori Penaksiran Bab 7 Pengujian Hipotesis
Bab 1 Peluang (Ruang Sampel) Definisi: Gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang S. Definisi: Kejadian adalah himpunan dari ruang sampel. Ruang nol atau ruang hampa ialah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung unsur. Himpunan seperti ini dinyatakan dengan lambang. 3
Bab 1 Peluang (Menghitung Titik Sampel) Teorema: Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n 1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n 3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n 1 n n k cara. 4
Bab 1 Peluang (Menghitung Titik Sampel) Teorema: Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n! Teorema: banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah np r = n!/(n-r)! Jumlah kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r adalah n r = n!/(n-r)! 5
Bab 1 Peluang (Peluang Suatu Kejadian) Definisi: Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yang termasuk A. Jadi 0 PA ( ) 1, P( ) = 0 & P(S) = 1. Peluang bersyarat B dengan diketahui A, dinyatakan degan P(B A), ditentukan oleh PB ( A) = PA ( B) PA ( ), P(A) > 0 6
Bab Peubah Acak (Distribusi Peluang Diskret) Definisi: Fungsi f(x) adalah suatu fungsi peluang atau distribusi peluang suatu peubah acak diskret X bila, untuk setiap hasil x yang mungkin, 1. f(x) 0.. f ( x ) = x 1. 3. P(X = x) = f(x). 7
Bab Peubah Acak (Distribusi Peluang Diskret) Definisi: Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh F( x) = PX ( x) = f() t t x 8
Bab Peubah Acak (Distribusi Peluang Kontinu) Definisi: Fungsi f(x) adalah suatu fungsi padat peluang peubah acak kontinu X, yang didefinisikan di atas himpunan semua bilangan real R, bila 1. f( x) 0 untuk semua x elemen R.. f( xdx ) = 1 3. P(a < X < b) = b f ( xdx ) a 9
Bab Peubah Acak (Distribusi Peluang Kontinu) Definisi: Distribusi kumulatif F(x) suatu peubah acak kontinu X dengan distribusi peluang f(x) dinyatakan oleh F( x) px ( x) f() tdt = = x 10
Bab Peubah Acak (Harapan Matematika) Definisi: Misalkanlah X suatu pebuah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematik X ialah E( X) = xf( x) x bila X diskret = xf( xdx ) bila X kontinu 11
Bab Peubah Acak (Harapan Matematika) Teorema: Mean peubah acak X adalah EX ( ) = µ Teorema: Variansi peubah acak X adalah σ = EX ( ) µ 1
Bab 3 Distribusi Peluang Diskret (Distribusi Binomial) Definisi: Banyaknya sukses X dalam n usaha suatu percobaan binomial disebut suatu peubah acak binomial. 13
Bab 3 Distribusi Peluang Diskret (Distribusi Binomial) Distribusi Binomial Bila suatu usaha binomial dapat menghasilkan sukses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q =1- p, maka distribusi peluang peubah acak binomial X, yaitu banyaknya sukses dalam n usaha bebas, ialah n x n x bxnp ( ;, ) = pq, x x = 0, 1,,,n. 14
Bab 3 Distribusi Peluang Diskret (Distribusi Binomial) Teorema: Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai rataan dan variansi µ = np dan σ = npq 15
Bab 3 Distribusi Peluang Diskret (Distribusi Poisson) Distribusi Poisson Distribusi peluang peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya sukses yang terjadi dalam suatu selang waktu atau daerah tertentu, diberikan µ x oleh px ( : µ ) = e µ x!, x = 0,1,, µ menyatakan rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam selang waktu atau daerah tertentu tersebut dan e =,7188 16
Bab 3 Distribusi Peluang Diskret (Distribusi Poisson) Teorema: Rataan dan variansi distribusi Poisson p(x; µ ) keduanya sama dengan µ. Teorema: Misalkanlah X peubah acak binomial dengan distribusi peluang b(x;n,p). Bila n, p 0, dan µ = np, maka bxn (;, p) pxµ (; ) 17
Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu (Distribusi Normal) Distribusi Normal Fungsi padat peubah acak normal X, dengan rataan µ dan variansi σ, ialah 1 (1/)[( x µ )/ σ)] nx ( ; µσ, ) = e, < x< πσ Dengan π = 3,14159 dan e =,7188 Distribusi Normal Baku jika µ = 0 dan σ = 1. 18
Bab 4 Distribusi Peluang Kontinu (Distribusi Khi-Kuadrat) Distribusi Khi-Kuadrat Peubah acak kontinu X berdistribusi khi-kuadrat, dengan µ = v dan σ = v dan derajat kebebasan v, bila fungsi padatnya diberikan oleh 1 f x x e x v N Γ( v /) v/ 1 x/ + ( ) =, > 0, v / 19
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Teorema: Bila X 1,X, X n peubah acak bebas yang berdistribusi normal, masing-masing dengan rataan σ dan variansi µ 1, µ,... µ 1, σ,... σn n, maka peubah acak Y = ax 1 1+ ax +... + ax n n berdistribusi normal dengan rataan µ = aµ + a µ + + a µ Dan variansi Y 1 1... n n σ σ σ σ Y = a1 1 + a +... + an n 0
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Teorema: Bila X 1,X, X n peubah acak yang saling bebas masing-masing berdistribusi khikuadrat dengan derajat kebebasan v 1,v, v n, maka peubah acak Y = X1 + X +... + Xn Berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = v 1 + v + + v n 1
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Akibat Bila X 1,X, X n peubah acak bebas yang berdistribusi sama-sama normal dengan rataan dan variansi σ, maka peubah acak µ Y n X i µ = i= 1 σ berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n.
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Definisi: Bila X 1,X, X n menyatakan sampel acak ukuran n, maka rataan sampel dinyatakan oleh statistik X = n i= 1 n X i 3
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Definisi: Bila X 1,X, X n sampel acak ukuran n, maka variansi sampel didefinisikan oleh statistik S = n i= 1 ( X X) i n 1 4
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Teorema: Bila X rataan sampel acak ukuran n yang diambil dari populasi dengan rataan µ dan variansi σ yang berhingga, maka limit distribusi X µ Z = σ / n Bila n, ialah distribusi normal baku n(z;0,1). 5
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Teorema: Bila S variansi sampel acak ukuran n diambil dari populasi normal dengan variansi, maka peubah acak σ X = ( n 1) S σ Berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n 1. 6
Bab 5 Fungsi Peubah Acak Teorema: Misalkan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v. Bila Z dan V bebas, maka distribusi peubah acak T, bila Diberikan oleh T = Z V / v ( v+ 1)/ Γ [( v+ 1)/] t ht () = 1 +, - <t<. Γ( v/) π v v Ini dikenal dengan nama distribusi t dengan derajat kebebasan v. 7
Bab 6 Teori Penaksiran Selang kepercayaan untuk µ ; σ diketahui Selang kepercayaan (1- α )100% untuk µ ialah x z σ / n < µ < x+ z σ / n x α/ α/ dengan menyatakan rataan sampel ukuran n dari populasi dengan variansi yang diketahui dan menyatakan nilai distribusi normal baku sehingga daerah di sebelah kanannya mempunyai luas α /. σ z α / 8
Bab 6 Teori Penaksiran Selang kepercayaan untuk µ ; σ tak diketahui dan n < 30 Selang kepercayaan (1- α )100% untuk µ ialah x t s/ n < µ < x+ t s/ n α / α/ dengan x dan s masing-masing menyatakan rataan dan simpangan baku sampel ukuran n < 30 yang diambil dari populasi yang hampir normal dan t α / menyatakan nilai dari distribusi t, dengan derajat kebebasan v = n 1, sehingga daerah di sebelah kanannya seluas α /. 9
Bab 6 Teori Penaksiran Selang kepercayaan untuk σ Selang kepercayaan (1- α )100% untuk variansi σ suatu populasi normal diberikan oleh ( n 1) s ( n 1) s < σ < χα/ χ1 α/ bila s menyatakan variansi sampel ukuran n, dan dan χ1 α / menyatakan nilai distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan v = n 1 sehingga luas di sebelah kanannya, masing-masing, sebesar α / dan 1 α /. χ α / 30
Bab 7 Pengujian Hipotesis Definisi: Hipotesis statistik ialah suatu anggapan atau pernyataan, yang mungkin benar atau tidak, mengenai satu populasi atau lebih. 31
Bab 7 Pengujian Hipotesis Langkah-langkah: 1. H :?=? 0 0. H : tandingannya?<?,?>? atau?? 1 0 0 0 3. Pilih taraf keberartian α 4. Pilih uji statistik yang sesuai dan cari daerah kritis 5. Hitunglah nilai statistik dari sampel acak ukuran n 6. Kesimpulan: tolak H bila statistik tsb mempunyai nilai dalam daerah kritis; jika tidak, terima H. 0 0 3
Bab 7 Pengujian Hipotesis H Uji Statistik 0 1 H Daerah kritis X µ µ < µ 0 0 Z < zα Z = µ = µ 0 σ / n µ > µ 0 Z > zα σ diketahui µ µ Z < z & Z > z 0 α / α/ µ = µ 0 X µ µ < µ 0 T < tα = ; = 1 S/ n µ > µ 0 T > tα σ tak diketahui µ µ T < t & T > t 0 T v n 0 α/ α/ 33
Bab 7 Pengujian Hipotesis H Uji Statistik H 0 1 Daerah kritis σ < σ X < χ ( n 1) S 0 1 α X = = 0 σ 0 > 0 X > α v= n 1 σ σ0 X < χ1 α/ & X > χα/ σ σ σ σ χ 34