CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya

Transkripsi

1 CNH3E3 PROSES STOKASTIK Peubah Acak & Pendukungnya Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si TELKOM UNIVERSITY JALAN TELEKOMUNIKASI 1, BANDUNG, INDONESIA

2 Ruang Sampel dan Kejadian PEUBAH ACAK (P.A) Fungsi yang memetakan ruang sampel ke bilangan real RUANG SAMPEL Himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Anggota dari ruang sampel adalah kejadian elementer

3 Ani dan Sepatunya S = {(d, b); d, b = 0, 1, 2, 3 d + b = 3}

4 Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, n(a) P(A) = lim = n(a) n n n(s)

5 Aksioma Peluang 1 0 P(A) 1, untuk setiap A A 2 P(S) = 1 3 Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 4 Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P(A B) = P(A) P(B)

6 Teorema Peluang 1 P(A c ) = 1 P(A) 2 Jika A B, maka P(A) P(B)

7 Jika A dan B dua kejadian, dengan P(B) > 0, peluang bersyarat A diberikan B, didefinisikan P(A B) = P(B A) P(B)

8 Teorema Bayes Jika kejadian - kejadian A 1, A 2, A 3,..., A n adalah partisi dari ruang sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P(B) > 0, berlaku, P(A i B) = P(A i B) P(B) P(B A i )P(A i ) = n i=1 P(B A i)p(a i )

9 Latihan Ruang Sampel dan Kejadian Pak Mad mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya laki-laki, diberikan bahwa Pak Mad tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki?

10 S = {(p, p); (p, l); (l, p); (l, l)} B : kejadian memiliki 2 anak laki-laki A : kejadian paling tidak memiliki 1 anak laki-laki P(B A) = = P(A B) P(A) P{(ll)} {(ll), (lp), (pl)} P{(ll), (lp), (pl)}

11 Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Jika Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat A adalah 1 3. Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia mendapat A adalah 1 2. Ayu memutuskan untuk melemparkan koin dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat A di kursus Matematika?

12 C : kejadian Ayu mengambil kursus Matematika A : kejadian Ayu mendapat A P(A C) = P(A C)P(C) =

13 Peubah Acak Ruang Sampel dan Kejadian 1 Peubah Acak Diskrit p.a X dikatakan p.a diskrit jika semua nilai dari X merupakan bilangan cacah 2 Peubah Acak Kontinu p.a X dikatakan p.a kontinu jika semua nilai dari X merupakan bilangan real

14 Fungsi Kepadatan Peluang 1 Peubah Acak Diskrit probability mass function (pmf), p(x) = P(X = x) 2 Peubah Acak Kontinu probability density function (pdf), P(a X b) = b a f (x)dx

15 Fungsi Distribusi Kumulatif Cumulative distribution function (cdf) dari p.a X, F(x) = P(X x), < x < ; 0 F(x) 1 1 Peubah Acak Diskrit F(x) = P(X x) = Σ t x p(t) 2 Peubah Acak Kontinu F(x) = P(X x) = x f (t)dt

16 Catatan Ruang Sampel dan Kejadian Peubah Acak Diskrit 1 P(a < X b) = F(b) F(a) 2 P(X b) P(X < b) Peubah Acak Kontinu 1 P(a < X b) = b a f (t)dt 2 P(X = a) = 0

17 Ekspektasi Ruang Sampel dan Kejadian 1 Peubah Acak Diskrit E(X) = x xp(x) 2 Peubah Acak Kontinu E(X) = xf (x)dx x VARIANSI Var(X) = E(X 2 ) [E(X)] 2

18 Fungsi Pembangkit Momen 1 Peubah Acak Diskrit M X (t) = E(e tx ) = x e tx p(x) 2 Peubah Acak Kontinu M X (t) = E(e tx ) = e tx f (x)dx x

19 Sumber: Sheldon M. Ross, 2010

20 Sumber: Sheldon M. Ross, 2010

21 Latihan Ruang Sampel dan Kejadian Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini?

22 Latihan Ruang Sampel dan Kejadian Tentukan fungsi distribusi kumultif (cdf) dari distribusi Exponensial?

23 Latihan Ruang Sampel dan Kejadian Jika X, Y p.a saling bebas dan masing-masing berdistribusi Poisson dengan mean λ 1 dan λ 2. Tunjukkan bahwa p.a X + Y berdistribusi Poisson dengan mean λ 1 + λ 2.