MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA

Transkripsi

1 MINGGU KE-6 VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA VARIABEL RANDOM Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas dan R = {x < x < } dan B : Borel field pada R. Andaikan X : Ω R dan untuk setiap A R, kita definisikan X 1 (A) = {w Ω X (w) A}. Untuk C keluarga himpunan bagian dari R X 1 (C) = {X 1 (A) A C}. Mengingat sifat-sifat fungsi invers X 1 ( n=1 X 1 ( n=1 A n ) = A n ) = n=1 n=1 f 1 (A n ) f 1 (A n ) X 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B) X 1 (A c ) = (f 1 (A)) c

2 untuk C σ fields maka f 1 (C) juga merupakan σ fields. Definisi Misalkan (Ω, A, P) ruang probabilitas, R himpunan semua bilangan real, dan B Borel field maka X : Ω R disebut variabel random bila X 1 (B) A. Terdapat korespondensi 1-1 antara semua ukuran probabilitas P pada (R, B) dan fungsi titik pada F (x) yang didefinisikan sebagai F (x) = P((, x]), x R (1) Fungsi distribusi kumulatif (1) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut. 1 F ( ) = lim F (x) = 0. x 2 F ( ) = lim F (x) = 1. x 3 F (x) tidak turun dalam arti bila x 1 x 2, maka F (x 1 ) F (x 2 ). 4 F (x) kontinu dari kanan, yaitu lim h 0 F (x + h) = F (x).

3 Sebaliknya, bila ada fungsi F (x) pada R yang memenuhi 1 sampai dengan 4 maka F (x) adalah fungsi distribusi kumulatif suatu ukuran probabilitas pada (R, B). Untuk setiap variabel random X kita dapat menentukan ukuran probabilitas yang dibangkitkan oleh X dengan notasi P x pada (R, B) melalui P x (A) = P(X 1 (A)) = P({w : X (w) A}) untuk setiap A B (2) Teorema Ruang (R, B, P x ) dengan P x (A) seperti yang didefinisikan pada (2) merupakan ruang probabilitas. Definisi Variabel random X disebut diskret bila terdapat x 1, x 2, x 3... R sedemikian hingga P x (x n ) = 1 n=1 Dari definisi di atas kita melihat bahwa P x secara lengkap dapat ditentukan oleh fungsi p x (x n ) = P x ({x n }), n = 1, 2, 3,... Fungsi p x (x n ) disebut fungsi massa probabilitas dari X.

4 Contoh 1 Misalkan x 1 < x 2 < x 3 <... barisan bilangan real dan p n, n = 1, 2, 3... barisan bilangan real nonnegatif sedemikian hingga p n = 1. Kita definisikan n=1 n p i x n x < x n+1, n = 1, 2,... F (x) = i=1 (3) 0 < x < x 1 F (x) merupakan fungsi distribusi kumulatif tangga. F (x) pada (3) disebut fungsi distribusi kumulatif diskret dan variabel random yang bersesuaian disebut variabel random diskret. Sebaliknya, misalkan kita mempunyai fungsi distribusi kumulatif F (x) dalam (3) dan Ω = {x 1, x 2, x 3...}, A = 2 Ω, dan didefinisikan P(A) = i:x i A p i, A A dan X (w) = w, maka P ukuran probabilitas dengan fungsi distribusi kumulatif F (x) pada (3).

5 Contoh Fungsi Distribusi Kumulatif Kontinu Fungsi distribusi kumulatif seragam berbentuk 0 < x < 0 F (x) = x 0 x < x < Misalkan F (x) fungsi distribusi kumulatif dan F (x) mempunyai derivatif f (x). Menurut teorema fundamental dalam kalkulus F (x) = x f (y)dy, x R Andaikan P adalah ukuran probabilitas yang berkorespondensi dengan F. Untuk setiap B B berlaku F (B) = f (x)dx. f (x) B disebut fungsi kepadatan probabilitas. Syarat perlu dan cukup agar fungsi distribusi kumulatif mempunyai fungsi kepadatan probabilitas adalah F (x) kontinu absolut.

6 VARIABEL RANDOM DISKRET Definisi Suatu variabel random disebut variabel random diskret bila jelajahnya berhingga atau tak terhingga terhitung. Definisi Misalkan X variabel random diskret dengan jelajah D. Fungsi massa probabilitas (f.m.p.) dari X adalah p x (x) = P(X = x) untuk x D Perhatikan bahwa fungsi massa probabilitas memenuhi dua sifat 1. 0 p x (x) 1 untuk setiap x D 2. p x (x) = 1 x D Contoh 2 Diketahui p x (x) = 1 3 untuk x = 1, 0, 1 adalah fungsi massa probabilitas dari variabel random X. Fungsi distribusi kumulatif dari X adalah 0 x < x < 0 F (x) = x < x 1

7 TRANSFORMASI Kita mempunyai variabel random X dan diketahui distribusinya. Kita ingin menyelidiki distribusi variabel random Y dengan Y = g(x ). Kasus g fungsi satu-satu. Fungsi massa probabilitas dari Y adalah p y (y) = P[{Y = y}] = P[g(x) = y] = P[X = g 1 (y)] = p x (g 1 (y)) Contoh 3 Misal X mempunyai f.m.p. p(x) = ( 1 2 )x, x = 1, 2, 3,... Bila Y = X 1 atau g(x ) = X 1 maka g(x ) fungsi 1-1 dengan invers g 1 (y) = y + 1 sehingga f.m.p. dari Y adalah p y (y) = p x (x + 1) = ( 1 2 )y+1 untuk y = 0, 1, 2, 3,... Kasus g tidak satu-satu. Pada umumnya, kita tidak membangun aturan umum, namun pada hampir semua kasus yang menyangkut variabel random diskret, fungsi massa probabilitas Y ditentukan secara langsung.

8 Contoh 4 Misalkan X variabel random geometrik dengan fungsi massa probabilitas. Andaikan Z = (X 2) 2. Ruang Z adalah D z = {0, 1, 4, 9, 16...}. Perhatikan Z = 0 bila dan hanya bila X = 2.Z = 1 bila dan hanya bila X = 1 atau X = 3. Sedangkan untuk harga-harga lain dalam ruang D z terdapat korespondensi satu-satu dengan D x melalui x = z + 2 untuk z {4, 9, 16...}. Akibatnya, fungsi massa probabilitas dari Z adalah p x (2) = 1 untuk z = 0 4 p z (z) = p x (1) + p x (3) = 5 8 untuk z = 1 p x ( z + 2) = 1 ( ) 1 z untuk z = 4, 9, VARIABEL RANDOM KONTINU Variabel random X disebut kontinu bila fungsi distribusi kumulatif dari X, yaitu F x (x) merupakan fungsi kontinu untuk setiap x R. Hampir semua variabel random kontinu adalah kontinu absolut dalam arti terdapat fungsi f x (x) 0 sedemikian hingga F x (x) = x f x (u) du f x (x) disebut fungsi kepadatan probabilitas (f.k.p) dengan sifat-sifat: 1 f x (x) 0 dan 2 f x (x)dx = 1

9 Contoh 5 Misalkan X variabel random dengan fungsi distribusi kumulatif 0 x < 0 1 F x (x) = x 0 x x 2 f.k.p f x (x) yang bersesuaian adalah f x (x) = x 2 TRANSFORMASI VARIABEL RANDOM KONTINU Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p f x (x). Kita ingin menentukan f.k.p. Y, hasil transformasi Y = g(x ). Kita sering mendapatkan f.k.p. dari Y dengan cara menentukan fungsi distribusi kumulatifnya terlebih dahulu. Contoh 6 Misal X mempunyai f.k.p. f (x0 = 2x 0 x 1 dan fungsi distribusi kumulatif 0 x < 0 F x (x) = x 2 0 x < 1 1 x 1

10 Misalkan Y = X 2. Penyokong Y sama dengan penyokong X yaitu [0, 1] F Y (y) = P[Y y] = P[X 2 y] = P[X y] = F x ( y) = y 2 = y Akibatnya f y (y) = df Y (y) dy = 1 0 y 1 Contoh 7 Misalkan fx(x) = 1 2, 1 < x < 1, merupakan f.k.p. dari variabel random X. Kita definisikan variabel random baru Y dengan Y = X 2. Kita ingin menentukan f.k.p. dari Y. Bila y 0, probabilitas P(Y y) ekuivalen dengan P(X 2 y) = P[ y X y] Akibatnya, fungsi distribusi kumulatif dari Y, F y (y) = P[Y y] diberikan oleh 0 y < 0 y 1 F Y (y) = 2 dx = y 0 y < 1 y 1 y 1

11 sehingga f y (y) = d dy F y (y) = d dy y = 1 2 y 0 < y < 1. Teorema Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p. f x (x) dan penyokong S x. Andaikan Y = g(x ), dengan g(x) fungsi satu-satu yang terdiferensialkan pada S x, x = g 1 (y) menyatakan invers dari g dan dx dy = d(g 1(y) ) dy. Maka, f.k.p. dari y diberikan oleh f y (y) = f x (g 1 (y)) dx dy, untuk y S y (4) dengan S y = {y = g(x) : x S x } Teorema Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p. f x (x) dan penyokong S x. Andaikan Y = g(x) dengan g(x) terdiferensialkan pada S x. Bila {S ix, i = 1, 2,...r} partisi dari S x dan S y = r dan g(x) satu-satu dari S ix S iy, i = 1, 2,...r, maka dengan r S i (y)f yi (y), f y (y) = i=1 0 yang lain f yi (y) = f x [g 1 i y S y (y)] d dy g 1 i (y), y S iy dan S i (y) = 1 bila y S iy dan S i (y) = 0 untuk y yang lain. S iy i=1

12 Contoh 8 Misalkan X variabel random kontinu dengan f.k.p. f x (x) dan Y = g(x ) = X 2. Kita ingin menentukan f.k.p. f y (y) dari Y. Dengan mengandaikan f x (x) > 0 untuk setiap x R, maka S 1x = (, 0], S 2x = (0, ), S 1y = [0, ), S 2y = (0, ). Fungsi invers yang bersesuaian dari g adalah g 1 1 (y) = y, g 1 2 (y) = y sehingga Akibatnya, d dy g 1 (y) = 1 2 y dan d dy g 2 (y) = 1 2 y. f y1 (y) = f x ( 1 y) 2 y, f y 2 (y) = f x ( 1 y) 2 y untuk y > 0. Akibatnya, kita mendapat f y (y) = 1 2 y [f x( y) + f x ( y)]

13 Contoh 9 Misalkan X variabel random dengan f.k.p. f x (x) = 1 2π e x2, < x < Andaikan Y = X 2. Dengan argumentasi yang sama seperti dalam contoh di atas 1 f y (y) = 2 y {f ( y) + f ( y)}, y > 0 = 0, y 0 1 e y 2, y > 0 2πy 0, y 0 VARIABEL RANDOM CAMPURAN Contoh 10 Misalkan F (x) fungsi distribusi kumulatif dengan bentuk 0 x < 0 x + 1 F (x) = 0 x < x 1 Sebagai contoh ) P( 3 < x 1 2 ) = F ( 1 2 F ( 3) = = 3 4 dan P(X = 0) = F (0) F (0 ) = = 1 2

14 Contoh 11 Misalkan X variabel random campuran dengan fungsi distribusi kumulatif 0 x < 0 x 2 0 x < 1 4 F (x) = 1 1 x < 2 2 x 2 x < x 3